2021-2022學(xué)年廣西壯族自治區(qū)崇左市龍華中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2021-2022學(xué)年廣西壯族自治區(qū)崇左市龍華中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)，集合，，則右圖中陰影部分表示的集合為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B2.若不等式對一切實數(shù)都成立，則的取值范圍為

A.

B.

C.

D.參考答案：D3.若三角形ABC的內(nèi)角A滿足sin2A=,則sinA+cosA等于(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C4.集合．若,則實數(shù)的值為

（

）A．1

B．-1

C．±1

D．0或±1參考答案：D5.已知M是拋物線上的任意一點，以M為圓心的圓與直線相切且經(jīng)過點，設(shè)斜率為1的直線與拋物線C交于P，Q兩點，則線段PQ的中點的縱坐標(biāo)為（）A.2 B.4 C.6 D.8參考答案：A【分析】根據(jù)拋物線的定義求得拋物線的方程，設(shè)出斜率為的直線的方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，消去，然后利用韋達定理求得中點的縱坐標(biāo).【詳解】由于為圓心的圓與直線相切且經(jīng)過點，根據(jù)拋物線的定義可知為拋物線的焦點，故，，所以拋物線方程為.設(shè)斜率為的直線的方程為，則，代入拋物線方程得，即，所以，.即中點的縱坐標(biāo)為，故選A.【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.6.《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈．”其意思為：現(xiàn)有一善于織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，第1天織了5尺布，現(xiàn)在一月（按30天計算）共織390尺布.此問題中若記該女子一月中的第n天所織布的尺數(shù)為，則的值為A．56

B．52

C．28

D．26參考答案：D7.函數(shù)的零點的個數(shù)為A．1

B．2

C．3D．4參考答案：C略8.若，，，則A．

B．

C．

D．參考答案：答案:A解析：，，，9.已知，在區(qū)間[0,2]上存在三個不同的實數(shù),使得以為邊長的三角形是構(gòu)成直角三角形，則的取值范圍是（

）．A.

B.

C.

D.參考答案：B10.若，則二項式的展開式中含x項的系數(shù)是(

)A．210

B．

C．240

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在極坐標(biāo)系中,曲線與的公共點到極點的距離為__________參考答案：【知識點】點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；兩點間的距離公式．N3答案

解析：由得，，代入得，解得或（舍），

所以曲線與的公共點到極點的距離為，

故答案為：．【思路點撥】聯(lián)立與消掉即可求得，即為答案．12.已知中，，，且，則的取值范圍是▲。參考答案：【知識點】向量的數(shù)量積

F3因為，所以，即可得，因為可得，設(shè)，所以有，因為，可得，所以，故答案為.【思路點撥】根據(jù)題意可得，由平方可得，可得，根據(jù)角B的范圍求得，而即可求得.13.函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_______。參考答案：略14.同位一間寢室的四名女生，她們當(dāng)中有一人在修指甲，一人在看書，一人在梳頭發(fā)，另一個在聽音樂（1）A不在修指甲，也不在看書；（2）B不在聽音樂，也不在修指甲，（3）如果A不在聽音樂，那么C不在修指甲；（4）D既不在看書，也不在修指甲；（5）C既不在看書，也不在聽音樂。若上面的命題都是真命題，問她們各在做什么？

A在_____________；B在_____________；C在____________；D在____________。參考答案：答案：聽音樂、看書、修指甲、梳頭發(fā)15.某校為了解高一學(xué)生寒假期間的閱讀情況，抽查并統(tǒng)計了100名同學(xué)的某一周閱讀時間，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），那么這100名學(xué)生中閱讀時間在小時內(nèi)的人數(shù)為_____．參考答案：5416.函數(shù)，實數(shù)互不相同，若，則的范圍為

．參考答案：略17.函數(shù)，其中，若動直線與函數(shù)的圖像有三個不同的交點，它們的橫坐標(biāo)分別為，則是否存在最大值？若存在，在橫線處填寫其最大值；若不存在，直接填寫“不存在”_______________．參考答案：由得，即，解得或．即，，所以，所以由圖象可知要使直線與函數(shù)的圖像有三個不同的交點，則有，即實數(shù)的取值范圍是．不妨設(shè)，則由題意可知，所以，由得，所以，因為，所以，即存在最大值，最大值為1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）已知函數(shù)(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性(Ⅱ)當(dāng)時，過坐標(biāo)原點作曲線的切線，設(shè)切點為，求實數(shù)的值；(Ⅲ)a=4時，y=f(x)的圖像與直線y=m有三個交點，求m的取值范圍參考答案：(I)(I)(1)時，在減，為增，(2)0<a<2時，增，減，為增(3)時，增，減，增，(4)時，為增

(II)，所以切線的斜率，整理得,顯然是這個方程的解，又因為在上是增函數(shù)，所以方程有唯一實數(shù)解，故.

略19.（本題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，且；數(shù)列為等差數(shù)列，且。(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若為數(shù)列的前項和，求證：。參考答案：（1）由

……4’

（2）數(shù)列為等差數(shù)列，公差

從而

從而

………………12’20.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD為邊長為2對的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點．（1）判定AE與PD是否垂直，并說明理由；（2）若PA=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．參考答案：考點：二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的性質(zhì)．專題：計算題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（1）判斷垂直．證明AE⊥BC．PA⊥AE．推出AE⊥平面PAD，然后證明AE⊥PD．（2）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出平面AEF的一個法向量，平面AFC的一個法向量．通過向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值．解：（1）垂直．證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．因為E為BC的中點，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD，所以AE⊥PD．（2）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點，∴A（0，0，0），，，D（0，2，0），P（0，0，2），，，所以，．設(shè)平面AEF的一個法向量為，則，因此，取z1=﹣1，則．因為BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故為平面AFC的一個法向量．又，所以．因為二面角E﹣AF﹣C為銳角，所以所求二面角的余弦值為．【點評】本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．21.在單調(diào)遞增數(shù)列{an}中，a1=2，a2=4，且a2n﹣1，a2n，a2n+1成等差數(shù)列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比數(shù)列，n=1，2，3，…．（Ⅰ）（ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（ⅱ）求數(shù)列{an}的通項公式．（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，證明：Sn＞，n∈N*．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；等差關(guān)系的確定；等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）（?。┩ㄟ^題意可知2a2n=a2n﹣1+a2n+1、，化簡即得結(jié)論；（ⅱ）通過計算可知數(shù)列的首項及公差，進而可得結(jié)論；（2）通過（ii）、放縮、裂項可知＞4（﹣），進而并項相加即得結(jié)論．【解答】（Ⅰ）（ⅰ）證明：因為數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，a1=2＞0，所以an＞0（n∈N*）．由題意得2a2n=a2n﹣1+a2n+1，，于是，化簡得，所以數(shù)列為等差數(shù)列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ⅱ）解：因為a3=2a2﹣a1=6，，所以數(shù)列的首項為，公差為，所以，從而．結(jié)合，可得a2n﹣1=n（n+1）．因此，當(dāng)n為偶數(shù)時an=，當(dāng)n為奇數(shù)時an=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）證明：通過（ii）可知=．因為an=，所以，∴+…=，所以，n∈N*．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22.（本小題共13分）如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，,點E為的中點。（Ⅰ）求證：

(Ⅱ)

求證：（Ⅲ）在線段AB上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由。參考答案：（Ⅰ）

,點E為的中點,連接。的中位線//

……2分又

……4分（II）正方形中,

由已知可得：，

…….6分,

…….7分

…….8分（Ⅲ）由題意可得：,以點D為原點，DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，

………9分