湖南省永州市塘家?guī)X鄉(xiāng)中學2021年高三數(shù)學理期末試卷含解析

湖南省永州市塘家?guī)X鄉(xiāng)中學2021年高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)，，若，則的最小值為A．

B．6

C．

D．參考答案：A2.有5名優(yōu)秀畢業(yè)生到母校的3個班去作學習經(jīng)驗交流，則每個班至少去一名的不同分派方法種數(shù)為A.

B.

C.

D.參考答案：A【知識點】排列、組合及簡單計數(shù)問題．J1J2

解析：人數(shù)分配上有兩種方式即1，2，2與1，1，3．若是1，1，3，則有×=60種，若是1，2，2，則有×=90種所以共有150種不同的方法．故選：A．【思路點撥】根據(jù)題意，分析可得人數(shù)分配上有兩種方式即1，2，2與1，1，3，分別計算兩種情況下的情況數(shù)目，相加可得答案．3.奇函數(shù)的定義域為R，若為偶函數(shù)，且，則A．-2

B．-1

C．0

D．1

參考答案：D4.拋物線的焦點坐標是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：B5.已知集合A={x|x≥3或x≤1}，B={x|x2﹣6x+8＜0}，則（?RA）∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）參考答案：C【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】解不等式求出集合B，根據(jù)補集與交集的定義寫出（?RA）∩B．【解答】解：集合A={x|x≥3或x≤1}，B={x|x2﹣6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，則?RA={x|1＜x＜3}，所以（?RA）∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故選：C．6.雙曲線的焦點到漸近線的距離等于實軸的長，則該雙曲線的離心率為

A．

B．

C．2

D．參考答案：D7.若點P（x，y）坐標滿足ln||=|x﹣1|，則點P的軌跡圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】KE：曲線與方程．【分析】取特殊點代入進行驗證即可．【解答】解：由題意，x=1時，y=1，故排除C，D；令x=2，則y=，排除A．故選B．8.數(shù)列的前項和，則當時，有(

)（A）

（B）（C）

（D）參考答案：D9.設(shè)集合A={x|x2﹣5x﹣14＜0}，B={x|x＞1，x∈N}，則A∩B的元素的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：C【考點】交集及其運算．【專題】計算題；集合思想；集合．【分析】求出A中方程的解確定出A，找出A與B的交集，找出交集的個數(shù)即可．【解答】解：由A中不等式變形得：（x﹣7）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜7，即A={x|﹣2＜x＜7}，∵B={x|x＞1，x∈N}，∴A∩B={x|1＜x＜7，x∈N}={2，3，4，5，6}，則A∩B的元素的個數(shù)為5．故選：C．【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．10.已知數(shù)列{an}滿足Sn=，則=

（

）A．1

B．－1

C．2

D．－2參考答案：答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當直線AB與a成角時，AB與b成角；②當直線AB與a成角時，AB與b成角；③直線AB與a所成角的最小值為；④直線AB與a所成角的最大值為．其中正確的是________（填寫所有正確結(jié)論的編號）參考答案：②③由題意知，三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖．不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，故，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則點保持不變，點的運動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓．以為坐標原點，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標系．則，，直線的方向單位向量，．點起始坐標為，直線的方向單位向量，．設(shè)點在運動過程中的坐標，其中為與的夾角，．那么在運動過程中的向量，．設(shè)與所成夾角為，則．故，所以③正確，④錯誤．設(shè)與所成夾角為，.當與夾角為時，即，．∵，∴．∴．∵．∴，此時與夾角為．∴②正確，①錯誤．

12.已知向量與向量的夾角為120°，若且，則在上的投影為．參考答案：考點： 數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．

專題： 平面向量及應(yīng)用．分析： 因為向量與向量的夾角為120°，所以在上的投影為，問題轉(zhuǎn)化為求．解答： 解：因為向量與向量的夾角為120°，所以在上的投影為，問題轉(zhuǎn)化為求，因為，故，所以在上的投影為．故答案為：．點評： 本題考查在上的投影的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量垂直的性質(zhì)的合理運用．13.在平面直角坐標系中，已知點P（4，0），Q（0，4），M，N分別是x軸和y軸上的動點，若以MN為直徑的圓C與直線PQ相切，當圓C的面積最小時，在四邊形MPQN內(nèi)任取一點，則這點落在圓C內(nèi)的概率為

▲

．參考答案： 14.已知底面為正三角形的直三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，當三棱柱的體積最大時，三棱柱的高為

.參考答案：如圖所示，設(shè)為外接球球心，三棱柱的高為，則由題意可知，，，，，此時三棱柱的體積為，其中.令，則，令，則，當時，，函數(shù)增，當時，，函數(shù)減.故當三棱柱的體積最大時，三棱柱的高為.15.在邊長為2的正△ABC中，則_________。參考答案：16.已知＝有零點，則取值范圍為

參考答案：17.在平面直角坐標系xoy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為，，則C的參數(shù)方程為

▲

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）如圖6，四棱錐的底面是邊長是1的正方形，側(cè)棱⊥平面，、分別是、的中點．⑴求證：平面；⑵記，表示四棱錐的體積，求的表達式（不必討論的取值范圍）．參考答案：證明與求解：⑴取的中點，連接、，則，……2分，因為，所以平面平面……4分，平面，所以平面……6分．⑵，⊥平面，所以⊥平面……8分，平面，……9分，，所以……10分，由⑴知……11分，所以……13分，……14分．略19.各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，前n項和．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若恒成立，求k的取值范圍；（3）對任意m∈N*，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間（2m，22m）內(nèi)的項的個數(shù)記為bm，求數(shù)列{bm}的前m項和Sm．參考答案：解：（1）∵，∴，兩式相減得，整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，∵數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，∴an﹣an﹣1=2，n≥2，∴{an}是公差為2的等差數(shù)列，又得a1=1，∴an=2n﹣1．（2）由題意得，∵，∴=…（8分）∴（3）對任意m∈N+，2m＜2n﹣1＜22m，則，而n∈N*，由題意可知，于是=，即．略20.某手機廠商在銷售200萬臺某型號手機時開展“手機碎屏險”活動、活動規(guī)則如下：用戶購買該型號手機時可選購“手機碎屏險”，保費為x元，若在購機后一年內(nèi)發(fā)生碎屏可免費更換一次屏幕．該手機廠商將在這200萬臺該型號手機全部銷售完畢一年后，在購買碎屏險且購機后一年內(nèi)未發(fā)生碎屏的用戶中隨機抽取1000名，每名用戶贈送1000元的紅包，為了合理確定保費x的值，該手機廠商進行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計后得到下表（其中y表示保費為x元時愿意購買該“手機碎屏險”的用戶比例）；（1）根據(jù)上面的數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的回歸直線方程；（2）通過大數(shù)據(jù)分析，在使用該型號手機的用戶中，購機后一年內(nèi)發(fā)生碎屏的比例為0.2%．已知更換一次該型號手機屏幕的費用為2000元，若該手機廠商要求在這次活動中因銷售該“手機碎屏險”產(chǎn)生的利潤不少于70萬元，能否把保費x定為5元？x1020304050y0.790.590.380.230.01

參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為，，參考數(shù)據(jù)：表中的5個值從左到右分別記為，相應(yīng)的值分別記為，經(jīng)計算有，其中，．參考答案：（1）；（2）能【分析】（1）由已知表格中的數(shù)據(jù)求得，進而可得線性回歸方程；（2）求出保費定為5元時，該手機廠商在這次活動中，因銷售該“手機碎屏險”產(chǎn)生的利潤，與70萬元比較，即可得出結(jié)果.【詳解】解：（1）由已知得，，，所以，，關(guān)于的回歸直線方程為；（2）能把保費定為5元．理由如下：若保費定為5元，則估計．估計該手機廠商在這次活動中因銷售該“手機碎屏險”產(chǎn)生的利潤為元（萬元）（萬元）.∴把保費定為5元．【點睛】本題主要考查線性回歸方程，熟記最小二乘法求即可，屬于?？碱}型.21.求證：對任意的有成立．參考答案：

用數(shù)學歸納法證明：

①當時，不等式成立；②假設(shè)當（，）時，不等式成立，即，那么當時

＝∴當時，不等式成立。由①②知對任意的,不等式成立．

略22.（本小題滿分12分）移動公司在國慶期間推出4G套餐，對國慶節(jié)當日辦理套餐的客戶進行優(yōu)惠，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐一的客戶可獲得優(yōu)惠200元，選擇套餐二的客戶可獲得優(yōu)惠500元，選擇套餐三的客戶可獲得優(yōu)惠300元.國慶節(jié)當天參與活動的人數(shù)統(tǒng)計結(jié)果如圖所示，現(xiàn)將頻率視為概率.(1)求某人獲得優(yōu)惠金額不低于300元的概率；(2)若采用分層抽樣的方式從參加活動的客戶中選出6人，再從該6人中隨機選出兩人，求這兩人獲得相等優(yōu)惠金額的概率.參考答案：【答案解析】(1)；(2)解析：（1）設(shè)事件=“某人獲得優(yōu)惠金額不低于300元”，

……………1分則.

……………4分（2）設(shè)事件=“從這6人中選出兩人，他們獲得相等優(yōu)惠金額”，……………5分由題意按分層抽樣方式選出的6人中，獲得優(yōu)惠200元的1人，獲得優(yōu)惠500元的3人，獲得優(yōu)惠300元的2人，

……………6分分別記為，從中選出兩人的所有基本事件如下：，，，，，，，，，，，，，，，共1