初二上冊全等三角形

初二上冊全等三角形篇一：八年級數(shù)學(xué)全等三角形復(fù)習(xí)題及答案

全等三角形知識點總結(jié)

知識點總結(jié)

一、全等圖形、全等三角形：

1.全等圖形：可以完全的兩個圖形就是全等圖形。2.全等圖形的性質(zhì)：全等多邊形的、分別相等。

3.全等三角形：三角形是特殊的多邊形，因此，全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等。同樣，假設(shè)兩個三角形的邊、角分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等。

說明：全等三角形對應(yīng)邊上的高，中線相等，對應(yīng)角的平分線相等；全等三角形的周長，面積也都相等。

這里要注意：〔1〕周長相等的兩個三角形，不一定全等；〔2〕面積相等的兩個三角形，也不一定全等。二、全等三角形的斷定：1.一般三角形全等的斷定

〔1〕三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等〔“邊邊邊〞或“〞〕。

〔2〕兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(“邊角邊〞或“〞)?！?〕兩個角和它們的夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等(“角邊角〞或“〞)?！?〕有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(“角角邊〞或“〞)。2.直角三角形全等的斷定

利用一般三角形全等的斷定都能證明直角三角形全等．

斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(“斜邊、直角邊〞或“〞)．注意：兩邊一對角(SSA)和三角(AAA)對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等。3.性質(zhì)

1、全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等。2、全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等。3、全等三角形的對應(yīng)角平分線相等。4、全等三角形的對應(yīng)中線相等。5、全等三角形面積相等。6、全等三角形周長相等。

(以上可以簡稱:全等三角形的對應(yīng)元素相等)三、角平分線的性質(zhì)及斷定：

性質(zhì)定理：角平分線上的點到該角兩邊的間隔相等。斷定定理：到角的兩邊間隔相等的點在該角的角平分線上。四、證明兩三角形全等或利用它證明線段或角相等的根本方法步驟：

1.確定條件〔包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關(guān)系〕；

2.回憶三角形斷定公理，搞清還需要什么；3.正確地書寫證明格式〔順序和對應(yīng)關(guān)系從推導(dǎo)出要證明的問題〕。

初二數(shù)學(xué)第十一章全等三角形綜合復(fù)習(xí)

切記：“有三個角對應(yīng)相等〞和“有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等〞的兩個三角形不一定全等。

例1.如圖，A,F,E,B四點共線，AC例2.如圖，在例3.如圖，在例4.如圖，AB//CD，AD//BC，求證：AB例5.如圖，AP,CP分別是BP為例6.如圖，D是例7.如圖，在同步練習(xí)

一、選擇題：

1.能使兩個直角三角形全等的條件是()

A.兩直角邊對應(yīng)相等C.兩銳角對應(yīng)相等

B.一銳角對應(yīng)相等D.斜邊相等

B.ABD.2.根據(jù)以下條件，能畫出唯一C.3.如圖，A.4個

B.3個

C.2個

D.1個

4.如圖，A.B.CED.C.5.如圖，ABA.67

C.23

B.46

D.無法確定

二、填空題：

6.如圖，在CD:AD7.如圖，AB8.將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，BC,BD為折痕，那么9.如圖，在等腰RtDE10.如圖，點D,E,F,B在同一條直線上，AB//CD，AE//CF，且AEBD三、解答題：

12.如圖，延長線于F點。求證：BF篇二：初二數(shù)學(xué)上冊全等三角形綜合才能測試題及答案

初二數(shù)學(xué)全等三角形練習(xí)題

一、填空題

1．如圖1所示，兩個三角形全等，其中某些邊的長度和某些角的度數(shù)，(1)(2)

2．如圖2所示，在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，要使△ABC≌△DEF，3．把“兩個鄰角的角平分線互相垂直〞寫成“假設(shè)4．在△ABC和△A′B′C中，∠A=∠A′，CD與C′D′分別為AB邊和A′B5．如圖3所示，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=(3)(4)

6．如圖4所示，將一副七巧板拼成一只小動物，那么∠AOB=7．如圖5所示，P、Q是△ABC的邊BC上的兩點，且BP=PQ=QC=(5)(6)(7)

8．等腰△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點，連結(jié)AD，假設(shè)△ACD9．如圖6所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AB=AD，10．如圖7所示，△ABC、△ADE與△EFG都是等邊三角形，D二、選擇題

11．如圖8所示，在∠AOB的兩邊截取AO=BO，CO=DO，連結(jié)AD、BC交于點P，考察以下結(jié)論，其中正確的選項是〔〕

①△AOD≌△BOC②△APC≌△BPD③點P在∠AOB的平分線上

A．只有①B．只有②

C．只有①②D．①②③

12．以下判斷正確的選項是〔〕

A．有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

B．有兩邊對應(yīng)相等且有一角為30°的兩個等腰三角形全等(8)

C．有一角和一邊相等的兩個直角三角形全等

D．有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

13．假設(shè)兩個三角形的兩條邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個三角形的第三邊所對

的角的關(guān)系是〔〕

A．相等B．互余C．互補或相等D．不相等

14．如圖9所示，在下面圖形中，每個大正方形網(wǎng)格都是由邊長為1的小正方形組成，那么圖中陰影局部面積最大的是〔〕

(9)

15．將五邊形紙片ABCDE按如圖10所示方式折疊，折痕為AF，點E、D分別落在E′，D′，∠AFC=76°，那么∠CFD′等于〔〕

A．31°B．28°C．24°D．22°

(10)(11)(12)

16．如圖11所示，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點，假設(shè)EF=2，那么ABCD的周長是〔〕

A．4B．8C．12D．16

17．如圖12所示，在銳角△ABC中，點D、E分別是邊AC、BC的中點，且DA=DE，那么以下結(jié)論錯誤的選項是〔〕

A．∠1=∠2B．∠1=∠3C．∠B=∠CD．∠3=∠B

18．如圖13所示，把腰長為1的等腰直角三角形折疊兩次后，得到的一個小三角形的周長是〔〕

A．

．

C．

(13)(14)(15)

19．如圖14所示中的4×4的正方形網(wǎng)格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+A．245°B．300°C．315°D．330°

20．：如圖15所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CDA．1對B．2對C．3對D．4對

三、解答題

21．〔9分〕如以下列圖，有一池塘，要測量池塘兩端A、B的間隔，請用構(gòu)造全等三角形的方法，設(shè)計一個測量方案〔畫出圖形〕，并說明測量步驟和根據(jù)．

22．〔9分〕如以下列圖，∠1=∠2，∠C=∠D，求證：AC=BD．

23．〔9分〕如以下列圖，D、E分別為△ABC的邊AB、AC上點，〔1〕請你選出兩個條件作為題設(shè)，余下作結(jié)論，寫一個正確的命題：命題的條件是_______

和_______，命題的結(jié)論是_______和________〔均填序號〕

〔2〕證明你寫的命題．

24．〔10分〕如以下列圖，△ABC為等邊三角形，BD為中線，延長BC至E，2

25．〔11分〕如圖①所示，把一張矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，將重合局部△BFD剪去，

得到△ABF和△EDF．

①

〔1〕判斷△ABF與△EDF是否全等？并加以證明；

〔2〕把△ABF與△EDF不重合地拼在一起，可拼成特殊三角形和特殊四邊形，將以下拼圖〔圖②〕按要求補充完好．

②

26．〔12分〕〕如圖〔1〕所示，OP是∠MON的平分線，線為對稱軸的全等三角形．

請你參考這個作全等三角形方法，解答以下問題：

〔1〕如圖〔2〕，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AC、CE分別是∠BAC，∠BCA

的平分線交于F，試判斷FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系．

〔2〕如圖〔3〕，在△ABC中，假設(shè)∠ACB≠90°，而〔1〕中其他條件不變，請問〔1〕

中所得的結(jié)論是否仍然成立？假設(shè)成立，請證明；假設(shè)不成立，說明理由．

1．60°2．BC=EF或∠D=∠A或∠C=∠F

3．假設(shè)作兩個鄰補角的角平分線，那么這兩條角平分線互相垂直

4．假設(shè)①②，那么③5．3

6．135°7．120°8．36°或45°

9．2610．1511．D12．D13．C14．D

15．B16．D17．D18．B19．C20．D

21．在平地任找一點O，連OA、OB，延長AO至C使CO=AO，延BO至D，使DO=那么CD=AB，根據(jù)是△AOB≌△COD〔SAS〕，圖形略．

22．證△ACB≌△BDA即可．

23．〔1〕條件①、③結(jié)論②、④，〔2〕證明略

24．略

25．〔1〕△ABF≌△EDF，證明略

〔2〕如圖

:

26．〔1〕FE=FD

〔2〕〔1〕中的結(jié)論FE=FD仍然成立．

在AC上截取AG=AE，連結(jié)FG．

證△AEF≌△AGF得∠AFE=∠AFG，F(xiàn)E=FG．

由∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線

得∠DAC+∠ECA=60°．

所以∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，所以∠CFG=60°．

由∠BCE=∠ACE及FC為公共邊．

可證△CFG≌△CFD，

所以FG=FD，所以FE=FD．

篇三：八年級上全等三角形專題講解

全等三角形專題講解

專題一全等三角形判別方法的應(yīng)用

專題概說：斷定兩個三角形全等的方法一般有以下4種：

1．三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等〔簡寫成“SSS〞〕

2．兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等〔簡寫成“SAS〞〕

3．兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等〔簡寫成“ASA〞〕

4．兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等〔簡寫成“AAS〞〕

而在判別兩個直角三角形全等時，除了可以應(yīng)用以上4種判別方法外，還可以應(yīng)用“斜邊、直角邊〞，即斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等〔簡寫成“HL〞〕．也就是說“斜邊、直角邊〞是判別兩個直角三角形全等的特有的方法，它僅適用于判別兩個直角三角形全等．

三角形全等是證明線段相等，角相等最根本、最常用的方法，這不僅因為全等三角形有很多重要的角相等、線段相等的特征，還在于全等三角形能把的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)絡(luò)起來．那么我們應(yīng)該怎樣應(yīng)用三角形全等的判別方法呢？

〔1〕條件充足時直接應(yīng)用

在證明與線段或角相等的有關(guān)問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等，而從近年的中考題來看，這類試題難度不大，證明兩個三角形的條件比擬充分．只要同學(xué)們認真觀察圖形，結(jié)合條件分析尋找兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等．

例1：如圖1，CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D，BD、CE交于點O，且AO平分∠BAC．那么圖中全等的三角形有___對．

分析：由CE⊥AB，BD⊥AC，得∠AEO=∠ADO=90o．由AO平分∠BAC，得∠EAO=∠DAO．又AO為公共邊，所以△AEO≌△ADO．所以AEO=DO，AE=AD．又∠BEO=∠CDO=90o，

∠BOE=∠COD，所以△BOE≌△COD．由

EDAE=AD，∠AEO=∠ADO=90o，∠BAC為公O

共角，所以△EAC≌DAO．所以AB=AC．又BC∠EAO=∠DAO，AO為公共邊，所以△ABO≌△ACO．圖1所以圖中全等的三角形一共有4對．

〔2〕條件缺乏，會增加條件用判別方法

此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的條件或條件不充分，需要補充使三角形全等的條件．解這類問題的根本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，逐步分析，探究結(jié)論成立的條件，從而得出答案．例2如圖2，AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，還需添

A加的條件是〔只需填一個〕_____．

12

分析：要使△ABC≌△ADE，注意到∠1=∠2，

所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠EAC．

要使△ABC≌△ADE，根據(jù)SAS可知只需AC=AE圖2

即可；根據(jù)ASA可知只需∠B=∠D；根據(jù)AAS可知只需∠C=∠E．故可添加的條件是AC=AE或∠B=∠D或∠C=∠E．

〔3〕條件比擬隱蔽時，可通過添加輔助線用判別方法

在證明兩個三角形全等時，當(dāng)邊或角的關(guān)系不明顯時，可通過添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運用全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等．

例3：如圖3，AB=AC，∠1=∠2．

求證：AO平分∠BAC．A分析：要證AO平分∠BAC，即證∠BAO=∠BCO，

要證∠BAO=∠BCO，只需證∠BAO和∠BCO所在的兩

個三角形全等．而由條件知，只需再證明BO=CO即可．證明：連結(jié)BC．12O因為AB=AC，所以∠ABC＝∠ACB．BC因為∠1=∠2，所以∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2．圖3

即∠3=∠4，所以BO=CO．

因為AB=AC，BO=CO，AO=AO，

所以△ABO≌△ACO．

所以∠BAO=∠CAO，即AO平分∠BAC．

〔4〕條件中沒有現(xiàn)成的全等三角形時，會通過構(gòu)造全等三角形用判別方法

有些幾何問題中，往往不能直接證明一對三角形全等，一般需要作輔助線來構(gòu)造全等三角形．

例4：如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，D為BC的中點，CE⊥AD于E，交AB于F，連接DF．

求證：∠ADC=∠BDF．C

證明：過B作BG⊥BC交CF延長線于G，DE所以BG∥AC．所以∠G=∠ACE．因為AC⊥BC，

BFCE⊥AD，所以∠ACE=∠ADC．所以∠G=∠ADC．A

G因為AC=BC，∠ACD＝∠CBG=90o，所以圖4

△ACD≌△CBG．所以BG=CD=BD．因為∠CBF=∠GBF=45o，BF=BF，所以△GBF≌△DBF．所以∠G=∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．

說明：常見的構(gòu)造三角形全等的方法有如下三種：①涉及三角形的中線問題時，常采用延長中線一倍的方法，構(gòu)造出一對全等三角形；②涉及角平分線問題時，經(jīng)過角平分線上一點向兩邊作垂線，可以得到一對全等三角形；

③證明兩條線段的和等于第三條線段時，用“截長補短〞法可以構(gòu)造一對全等三角形．

〔5〕會在實際問題中用全等三角形的判別方法

新課標(biāo)強調(diào)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，注意培養(yǎng)同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，形成解決簡單實際問題的才能﹒在近年中考出現(xiàn)的與全等三角形有關(guān)的實際問題，表達了這一數(shù)學(xué)理念，應(yīng)當(dāng)引起同學(xué)們的重視．

例5要在湖的兩岸A、B間建一座欣賞橋，由于條件

限制，無法直接度量A，B兩點間的間隔﹒請你用學(xué)過的數(shù)

學(xué)知識按以下要求設(shè)計一測量方案﹒

(1)畫出測量圖案﹒

(2)寫出測量步驟〔測量數(shù)據(jù)用字母表示〕﹒圖5

(3)計算A、B的間隔〔寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示〕﹒分析：可把此題轉(zhuǎn)化為證兩個三角形全等．第(1)題，測量圖案如圖5所示．第(2)題，測量步驟：先在陸地上找到一點O，在AO的延長線上取一點C，并測得OC=OA，在BO的延長線上取一點D，并測得OD=OB，這時測得CD的長為a，那么AB的長就是a．第(3)題易證△AOB≌△COD，所以AB=CD，測得CD的長即可得AB的長．

解：(1)如圖6示．

(2)在陸地上找到可以直接到達A、B的一點O，在AO的延長線上取AB一點C，并測得OC＝OA，在BO的延長線上取一點D，并測

得OD＝OB，這時測出CD的長為a，那么AB的長就是a．

O(3)理由：由測法可得OC=OA，OD=OB．

又∠COD=∠AOB，∴△COD≌△AOB．C

D

∴CD=AB=a．圖6

評注：此題的背景是學(xué)生熟悉的，提供了一個學(xué)生A

D動手操作的時機，重點考察了學(xué)生的操作才能，培養(yǎng)了

E學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識﹒F

練習(xí)：1．：如圖7，D是△ABC的邊BCAAB上一點，AB∥FC，DF交AC于點E，DE=FE．圖7

求證：AE=CE．

D2．如圖8，在△ABC中，點E在BC上，點

D在AE上，∠ABD=∠ACD，∠BDE=∠CDEE

求證：BD=CD．圖8A3．用有刻度的直尺能平分任意角嗎？下面是一種M

PC方法：如圖9所示，先在∠AOB的兩邊上取OP=OQ，

再取PM=QN，連接PN、QM，得交點C，那么射線OCOQNB平分∠AOB．你能說明道理嗎？圖9

A4．如圖10，△ABC中，AB=AC，過點A作GE

GE∥BC，角平分線BD、CF相交于點H，它們的

延長線分別交GE于點E、G．試在圖10中找出3

對全等三角形，并對其中一對全等三角形給出證明．P圖10

5．：如圖11，點C、D在線段

AB上，PC=PD．請你添加一個條件，使圖

中存在全等三角形，并給予證明．ACDB

所添條件為__________，你得到的一圖11A對全等三角形是△_____≌△_____．

F6．如圖12，∠1=∠2，BC=EF，那么需要EBC補充一個直接條件_____〔寫出一個即可〕，才能A使△ABC≌△DEF．圖12D

7．如圖13，在△ABD和△ACD中，

BCAB=AC，∠B=∠C．

D求證：△ABD≌△ACD．圖13CD

8．如圖14，直線AD與BC相交于點O，O且AC=BD，AD=BC．A

A圖14B求證：CO=DO．

9．△ABC，AB=AC，E、F分別E

A為AB和AC延長線上的點，且BE=CF，EFCBG交BC于G．求證：EG=GF．圖15F

B

10．：如圖16，AB=AE，BC=ED，

點F是CD的中點，AF⊥CD．CFD求證：∠B=∠E．圖16

11．如圖17，某同學(xué)把一把三角形的玻璃

打碎成了三塊，如今要到玻璃店去配一塊大小

形狀完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是〔〕﹒

(A)帶①和②去(B)帶①去

(C)帶②去(D)帶③去圖17

12．有一專用三角形模具，損壞后，只剩下

如圖18中的陰影局部，你對圖中做哪些數(shù)據(jù)度量后，

就可以重新制作一塊與原模具完全一樣的模具，并

說明其中的道理．圖18E

13．如圖19，將兩根鋼條AA'、BB'的中點O連在一起，使AA'、BB'可以繞著點O自由轉(zhuǎn)動，就做成了一個測量工件，那么A'B'的長等于內(nèi)槽寬AB，那么斷定△OAB≌△OAB的理由是〔〕

〔A〕邊角邊〔B〕角邊角

〔C〕邊邊邊〔D〕角角邊圖19

專題二角的平分線

從一個角的頂點出發(fā)，把一個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．角的平分線有著重要的