人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修兩點間的距離公式點到直線的距離公式兩條平行直線間的距離

2.3.2兩點間的距離公式

2.3.3點到直線的距離公式

2.3.4兩條平行直線間的距離激趣誘思知識點撥在一條筆直的公路同側(cè)有兩個村莊A和B,現(xiàn)在計劃在公路上某處建一個公交站點C,以方便兩村人民的出行.如何選址能使站點到兩個村的距離之和最小?激趣誘思知識點撥一、兩點間的距離公式1.已知平面上兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2),那么這兩點間的距離為名師點析1.兩點間的距離與這兩點的先后順序無關(guān),即上述公式也2.(1)當(dāng)P1P2∥x軸(y1=y2)時,|P1P2|=|x2-x1|.(2)當(dāng)P1P2∥y軸(x1=x2)時,|P1P2|=|y2-y1|.激趣誘思知識點撥微練習(xí)已知點P1(4,2),P2(2,-2),則|P1P2|=

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激趣誘思知識點撥二、點到直線的距離1.概念:過一點向直線作垂線,則該點與垂足之間的距離,就是該點到直線的距離.2.公式:點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時為0)的距離名師點析1.運用公式前首先應(yīng)把直線方程化為一般式.2.注意公式特征,分子絕對值符號里面是把坐標(biāo)(x0,y0)代入直線方程的左邊得到的.當(dāng)A=0,或B=0時,上述公式仍然成立.激趣誘思知識點撥微練習(xí)原點到直線x+2y-5=0的距離為(

)答案:D微思考點P(x0,y0)到x軸,y軸,直線y=a,x=b的距離分別是什么?答案:到x軸的距離d=|y0|,到y(tǒng)軸的距離d=|x0|,到y(tǒng)=a的距離d=|y0-a|,到x=b的距離d=|x0-b|.激趣誘思知識點撥三、兩條平行直線間的距離1.概念:夾在兩條平行直線間的公垂線段的長度就是兩條平行直線間的距離.2.求法:兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.名師點析兩條平行線間距離公式適用于兩條直線的方程都是一般式,并且x,y分別對應(yīng)的系數(shù)一模一樣的情況,如果兩平行直線的方程中x,y的系數(shù)對應(yīng)不同,必須先等價化為系數(shù)對應(yīng)相同才能套用公式.激趣誘思知識點撥微練習(xí)兩條平行線l1:3x-4y-1=0與l2:6x-8y-7=0間的距離為(

)答案:A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測兩點間距離公式的應(yīng)用例1已知△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),試判斷△ABC的形狀.思路分析:可求出三條邊的長,根據(jù)所求長度判斷三角形的形狀.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟兩點間距離公式的應(yīng)用兩點間的距離公式是解析幾何的重要公式之一,它主要解決線段的長度問題,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1已知點A(-3,4),B(2,),在x軸上找一點P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測坐標(biāo)法及其應(yīng)用例2如圖,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是BC邊上異于B,C的任意一點,求證:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.思路分析:建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,設(shè)出各頂點的坐標(biāo),應(yīng)用兩點間的距離公式證明.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:如圖,以BC的中點為原點O,BC所在的直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).則|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2,∴|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2,∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟坐標(biāo)法及其應(yīng)用1.坐標(biāo)法解決幾何問題時,關(guān)鍵要結(jié)合圖形的特征,建立平面直角坐標(biāo)系.坐標(biāo)系建立的是否合適,會直接影響問題能否方便解決.建系的原則主要有兩點:(1)讓盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上,這樣便于運算;(2)如果條件中有互相垂直的兩條線,要考慮將它們作為坐標(biāo)軸;如果圖形為中心對稱圖形,可考慮將中心作為原點;如果有軸對稱性,可考慮將對稱軸作為坐標(biāo)軸.2.利用坐標(biāo)法解平面幾何問題常見的步驟:(1)建立坐標(biāo)系,盡可能將有關(guān)元素放在坐標(biāo)軸上;(2)用坐標(biāo)表示有關(guān)的量;(3)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算;(4)把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2已知正三角形ABC的邊長為a,在平面ABC上求一點P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.解:以BC所在直線為x軸,以線段BC的中點為原點,建立直角坐標(biāo)系,如圖所示.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測求點到直線的距離例3求點P0(-1,2)到下列直線的距離:(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.思路分析:當(dāng)直線與坐標(biāo)軸不平行時,直接代入公式求得距離;當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行時,可以數(shù)形結(jié)合求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(方法2)∵直線x=2與y軸平行,∴由圖知d=|-1-2|=3.(方法2)∵直線y-1=0與x軸平行,∴由圖知d=|2-1|=1.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟點到直線距離的求法求點到直線的距離時,先把直線方程化為一般式,再代入公式.如果直線垂直于坐標(biāo)軸,那么可結(jié)合圖形求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究已知點A(a,2)(a>0)到直線l:x-y+3=0的距離為1,則a的值為

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探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測兩平行線間的距離例4(1)已知直線3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,則它們之間的距離是(

)A.-2 B.-6 C.2 D.0思路分析:(1)首先利用兩直線平行求出參數(shù)m的值,將兩直線方程對應(yīng)系數(shù)化為相同,然后代入距離公式求值;(2)首先將兩直線方程系數(shù)化為相同,然后代入距離公式,建立a,c的方程組求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測即m=4.所以對應(yīng)直線方程為6x+4y+1=0.又直線3x+2y-3=0可化為6x+4y-6=0,答案:(1)D

(2)A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟求兩條平行直線間的距離的兩種思路1.利用“化歸”思想將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為求其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離.由于這種求法與點的選擇無關(guān),因此,選點時,常選取一個特殊點,如直線與坐標(biāo)軸的交點等,以便于運算.2.利用兩條平行直線間的距離公式求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3已知直線l1與l2:x+y-1=0平行,且l1與l2的距離是,求l1的方程.解:(方法1)∵l1∥l2,∴可設(shè)l1的方程為x+y+c=0.∴c=1或c=-3.∴l(xiāng)1的方程為x+y+1=0或x+y-3=0.(方法2)∵l1∥l2,∴可設(shè)l1的方程為x+y+c=0.|c+1|=2.∴c=1或c=-3.從而l1的方程為x+y+1=0或x+y-3=0.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測一題多解——求直線的方程典例求過點M(-2,1),且與A(-1,2),B(3,0)距離相等的直線方程.解:(方法1)由題意可得kAB=-,線段AB的中點為C(1,1),滿足條件的直線經(jīng)過線段AB的中點或與直線AB平行.當(dāng)直線過線段AB的中點時,由于M與C點的縱坐標(biāo)相同,所以直線MC的方程為y=1;綜上,所求直線的方程為y=1或x+2y=0.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(方法2)顯然所求直線的斜率存在,設(shè)直線方程為y=kx+b,根據(jù)條件故所求直線方程為y=1或x+2y=0.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法總結(jié)解此類題目有兩種方法,一是利用數(shù)形結(jié)合的方法,過一定點與兩定點距離相等的點的直線有兩條,根據(jù)這兩條直線的幾何特征可求出其直線方程.二是求此類問題的一般方法,它應(yīng)用了點到直線的距離公式,但設(shè)所求直線的方程時,要注意考慮直線的斜率是否存在.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.點A(1,-2)關(guān)于原點的對稱點為A',則|AA'|為(

)答案:A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.點(1,2)到直線y=2x+1的距離為(

)答案:A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.兩條平行直線3x+4y-12=0與ax+8y+11=0間的距離為(

)答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.設(shè)點A在x軸上,點B在y軸上,線