高中數(shù)學(xué)思想(重要)

一、高中數(shù)學(xué)解題思維策略第一講數(shù)學(xué)思維的變通性一、概念數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性——善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活的設(shè)想和解題方案。根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練：（1）善于觀察心理學(xué)告訴我們：感覺和知覺是認(rèn)識(shí)事物的最初級(jí)形式，而觀察則是知覺的高級(jí)狀態(tài)，是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺。觀察是認(rèn)識(shí)事物最基本的途徑，它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提。任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對(duì)題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。例如，求和.這些分?jǐn)?shù)相加，通分很困難，但每項(xiàng)都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且，因此，原式等于問題很快就解決了。（2）善于聯(lián)想聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。例如，解方程組.這個(gè)方程指明兩個(gè)數(shù)的和為，這兩個(gè)數(shù)的積為。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理，、是一元二次方程的兩個(gè)根，所以或.可見，聯(lián)想可使問題變得簡單。（3）善于將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)家G.波利亞在《怎樣解題》中說過：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換?？梢?，解題過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。例如，已知,,求證、、三數(shù)中必有兩個(gè)互為相反數(shù)。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問題變得熟悉、簡單。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為：思維變通性的對(duì)立面是思維的保守性，即思維定勢。思維定勢是指一個(gè)人用同一種思維方法解決若干問題以后，往往會(huì)用同樣的思維方法解決以后的問題。它表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的具體體現(xiàn)。要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。二、思維訓(xùn)練實(shí)例觀察能力的訓(xùn)練雖然觀察看起來是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以，必須重視觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來解題。例1已知都是實(shí)數(shù)，求證思路分析從題目的外表形式觀察到，要證的結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而xyxyO圖1－2－1可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。證明不妨設(shè)如圖1－2－1所示，則在中，由三角形三邊之間的關(guān)系知：當(dāng)且僅當(dāng)O在AB上時(shí)，等號(hào)成立。因此，思維障礙很多學(xué)生看到這個(gè)不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。學(xué)生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點(diǎn)間距離公式相似的原因，是對(duì)這個(gè)公式不熟，進(jìn)一步講是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握不牢固。因此，平時(shí)應(yīng)多注意數(shù)學(xué)公式、定理的運(yùn)用練習(xí)。已知，試求的最大值。解由得又當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為思路分析要求的最大值，由已知條件很快將變?yōu)橐辉魏瘮?shù)然后求極值點(diǎn)的值，聯(lián)系到，這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。思維障礙大部分學(xué)生的作法如下：由得當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為這種解法由于忽略了這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。有些問題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手。已知二次函數(shù)滿足關(guān)系，試比較與的大小。xyO2圖1－2－2思路分析由已知條件可知，在與左右等距離的點(diǎn)的函數(shù)值相等，說明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線xyO2圖1－2－2已知條件知它的開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致圖像簡捷地解出此題。解（如圖1－2－2）由，知是以直線為對(duì)稱軸，開口向上的拋物線它與距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。思維障礙有些同學(xué)對(duì)比較與的大小，只想到求出它們的值。而此題函數(shù)的表達(dá)式不確定無法代值，所以無法比較。出現(xiàn)這種情況的原因，是沒有充分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時(shí)要全面看問題，對(duì)每一個(gè)已知條件都要仔細(xì)推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。提高思維的變通性。聯(lián)想能力的訓(xùn)練在中，若為鈍角，則的值(A)等于1(B)小于1(C)大于1(D)不能確定思路分析此題是在中確定三角函數(shù)的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩角和公式可得下面解法。解為鈍角，.在中且故應(yīng)選擇（B）思維障礙有的學(xué)生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對(duì)三角函數(shù)的基本公式掌握得不牢固，不能準(zhǔn)確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運(yùn)用基本公式。若思路分析此題一般是通過因式分解來證。但是，如果注意觀察已知條件的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識(shí)來證題。證明當(dāng)時(shí)，等式可看作是關(guān)于的一元二次方程有等根的條件，在進(jìn)一步觀察這個(gè)方程，它的兩個(gè)相等實(shí)根是1，根據(jù)韋達(dá)定理就有：即若，由已知條件易得即,顯然也有.已知均為正實(shí)數(shù),滿足關(guān)系式,又為不小于的自然數(shù)，求證:思路分析由條件聯(lián)想到勾股定理,可構(gòu)成直角三角形的三邊，進(jìn)一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。證明設(shè)所對(duì)的角分別為、、則是直角，為銳角，于是且當(dāng)時(shí)，有于是有即從而就有思維阻礙由于這是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)的命題，一些學(xué)生都會(huì)想到用數(shù)學(xué)歸納法來證明，難以進(jìn)行數(shù)與形的聯(lián)想，原因是平時(shí)不注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，單純學(xué)代數(shù)，學(xué)幾何，因而不能將題目條件的數(shù)字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起來。問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練我們所遇見的數(shù)學(xué)題大都是生疏的、復(fù)雜的。在解題時(shí)，不僅要先觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)知識(shí)，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的，簡單的問題來解。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使問題很快得到解決，所以，進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練是很必要的。eq\o\ac(○,1)轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目例11已知求證、、中至少有一個(gè)等于1。思路分析結(jié)論沒有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式。、、中至少有一個(gè)為1，也就是說中至少有一個(gè)為零，這樣，問題就容易解決了。證明于是中至少有一個(gè)為零，即、、中至少有一個(gè)為1。思維障礙很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個(gè)為1，其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生問題變?yōu)槭煜栴}。因此，多練習(xí)這種“翻譯”，是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。直線的方程為，其中；橢圓的中心為，焦點(diǎn)在軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的一個(gè)頂點(diǎn)為，問在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到直線的距離。思路分析從題目的要求及解析幾何的知識(shí)可知，四個(gè)不同的點(diǎn)應(yīng)在拋物線（1）是，又從已知條件可得橢圓的方程為（2）因此，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)方程組（1）、（2）有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，求的取值范圍。將（2）代入（1）得：（3）確定的范圍，實(shí)際上就是求（3）有兩個(gè)不等正根的充要條件，解不等式組：在的條件下，得本題在解題過程中，不斷地把問題化歸為標(biāo)準(zhǔn)問題：解方程組和不等式組的問題。eq\o\ac(○,2)逆向思維的訓(xùn)練逆向思維不是按習(xí)慣思維方向進(jìn)行思考，而是從其反方向進(jìn)行思考的一種思維方式。當(dāng)問題的正面考慮有阻礙時(shí)，應(yīng)考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決。例13已知函數(shù)，求證、、中至少有一個(gè)不小于1.思路分析反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它也是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的解題方法。當(dāng)要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般可考慮采用反證法。證明（反證法）假設(shè)原命題不成立，即、、都小于1。則①＋③得，與②矛盾，所以假設(shè)不成立，即、、中至少有一個(gè)不小于1。eq\o\ac(○,3)一題多解訓(xùn)練由于每個(gè)學(xué)生在觀察時(shí)抓住問題的特點(diǎn)不同、運(yùn)用的知識(shí)不同，因而，同一問題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)生認(rèn)真觀察、多方聯(lián)想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)思維的變通性。例14已知復(fù)數(shù)的模為2，求的最大值。解法一（代數(shù)法）設(shè)解法二（三角法）設(shè)yxOyxO．i．-2i圖1－2－3Z解法三（幾何法）如圖1－2－3所示，可知當(dāng)時(shí)，解法四（運(yùn)用模的性質(zhì)）而當(dāng)時(shí)，解法五（運(yùn)用模的性質(zhì)）又第二講數(shù)學(xué)思維的反思性一、概述數(shù)學(xué)思維的反思性表現(xiàn)在思維活動(dòng)中善于提出獨(dú)立見解，精細(xì)地檢查思維過程，不盲從、不輕信。在解決問題時(shí)能不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè)，獲得獨(dú)特的解決問題的方法，它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關(guān)。本講重點(diǎn)加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。二、思維訓(xùn)練實(shí)例(1)檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤。例1已知，若求的范圍。錯(cuò)誤解法由條件得②×2－①得①×2－②得+得錯(cuò)誤分析采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)，其值是同時(shí)受制約的。當(dāng)取最大（?。┲禃r(shí)，不一定取最大（?。┲?，因而整個(gè)解題思路是錯(cuò)誤的。正確解法由題意有解得：把和的范圍代入得在本題中能夠檢查出解題思路錯(cuò)誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，才能反思性地看問題。證明勾股定理：已知在中，，求證錯(cuò)誤證法在中，而，，即錯(cuò)誤分析在現(xiàn)行的中學(xué)體系中，這個(gè)公式本身是從勾股定理推出來的。這種利用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循環(huán)論證的錯(cuò)誤是在不知不覺中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺。因此，在學(xué)習(xí)中對(duì)所學(xué)的每個(gè)公式、法則、定理，既要熟悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)。這樣才能避免循環(huán)論證的錯(cuò)誤。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤，正是思維具有反思性的體現(xiàn)。(2)驗(yàn)算的訓(xùn)練驗(yàn)算是解題后對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)的過程。通過驗(yàn)算，可以檢查解題過程的正確性，增強(qiáng)思維的反思性。已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求錯(cuò)誤解法錯(cuò)誤分析顯然，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤原因，沒有注意公式成立的條件是因此在運(yùn)用時(shí)，必須檢驗(yàn)時(shí)的情形。即：實(shí)數(shù)為何值時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。錯(cuò)誤解法將圓與拋物線聯(lián)立，消去，得①因?yàn)橛袃蓚€(gè)公共點(diǎn)，所以方程①有兩個(gè)相等正根，得解之，得錯(cuò)誤分析（如圖2－2－1；2－2－2）顯然，當(dāng)時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。xyxyO圖2－2－2xyO圖2－2－1要使圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程①有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)相等正根。當(dāng)方程①有一正根、一負(fù)根時(shí)，得解之，得因此，當(dāng)或時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。思考題：實(shí)數(shù)為何值時(shí)，圓與拋物線，有一個(gè)公共點(diǎn)；有三個(gè)公共點(diǎn)；有四個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)。養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。如：在解無理方程、無理不等式；對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式時(shí)，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會(huì)發(fā)生變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進(jìn)行檢驗(yàn)，舍棄增根，找回失根。(3)獨(dú)立思考，敢于發(fā)表不同見解受思維定勢或別人提示的影響，解題時(shí)盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強(qiáng)思維的反思性。因此，在解決問題時(shí)，應(yīng)積極地獨(dú)立思考，敢于對(duì)題目解法發(fā)表自己的見解，這樣才能增強(qiáng)思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。30支足球隊(duì)進(jìn)行淘汰賽，決出一個(gè)冠軍，問需要安排多少場比賽？解因?yàn)槊繄鲆蕴?個(gè)隊(duì)，30個(gè)隊(duì)要淘汰29個(gè)隊(duì)才能決出一個(gè)冠軍。因此應(yīng)安排29場比賽。思路分析傳統(tǒng)的思維方法是：30支隊(duì)比賽，每次出兩支隊(duì)，應(yīng)有15＋7＋4＋2＋1＝29場比賽。而上面這個(gè)解法沒有盲目附和，考慮到每場比賽淘汰1個(gè)隊(duì)，要淘汰29支隊(duì)，那么必有29場比賽。解方程考察方程兩端相應(yīng)的函數(shù)，它們的圖象無交點(diǎn)。所以此方程無解。例7設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的最小值是（）思路分析本例只有一個(gè)答案正確，設(shè)了3個(gè)陷阱，很容易上當(dāng)。利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：有的學(xué)生一看到，常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。 原方程有兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，的最小值是8；當(dāng)時(shí)，的最小值是18；這時(shí)就可以作出正確選擇，只有（B）正確。第三講數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性二、概述在中學(xué)數(shù)學(xué)中，思維的嚴(yán)密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴(yán)格的邏輯規(guī)則，考察問題時(shí)嚴(yán)格、準(zhǔn)確，進(jìn)行運(yùn)算和推理時(shí)精確無誤。數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學(xué)，論證的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)之一。但是，由于認(rèn)知水平和心里特征等因素的影響，中學(xué)生的思維過程常常出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：概念模糊概念是數(shù)學(xué)理論體系中十分重要的組成部分。它是構(gòu)成判斷、推理的要素。因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)。概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯(cuò)誤。判斷錯(cuò)誤判斷是對(duì)思維對(duì)象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式。數(shù)學(xué)中的判斷通常稱為命題。在數(shù)學(xué)中，如果概念不清，很容易導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤。例如，“函數(shù)是一個(gè)減函數(shù)”就是一個(gè)錯(cuò)誤判斷。推理錯(cuò)誤推理是運(yùn)用已知判斷推導(dǎo)出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯(lián)合。任何一個(gè)論證都是由推理來實(shí)現(xiàn)的，推理出錯(cuò)，說明思維不嚴(yán)密。例如，解不等式解或這個(gè)推理是錯(cuò)誤的。在由推導(dǎo)時(shí)，沒有討論的正、負(fù)，理由不充分，所以出錯(cuò)。二、思維訓(xùn)練實(shí)例思維的嚴(yán)密性是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。訓(xùn)練的有效途徑之一是查錯(cuò)。(1)有關(guān)概念的訓(xùn)練概念是抽象思維的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)推理離不開概念。“正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前提?！薄吨袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（試行草案）不等式錯(cuò)誤解法錯(cuò)誤分析當(dāng)時(shí)，真數(shù)且在所求的范圍內(nèi)（因），說明解法錯(cuò)誤。原因是沒有弄清對(duì)數(shù)定義。此題忽視了“對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件造成解法錯(cuò)誤，表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。正確解法求過點(diǎn)的直線，使它與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)。錯(cuò)誤解法設(shè)所求的過點(diǎn)的直線為，則它與拋物線的交點(diǎn)為，消去得：整理得直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，解得所求直線為錯(cuò)誤分析此處解法共有三處錯(cuò)誤：第一，設(shè)所求直線為時(shí)，沒有考慮與斜率不存在的情形，實(shí)際上就是承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。第二，題中要求直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對(duì)于直線與拋物線“相切”和“只有一個(gè)交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透。第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。正確解法當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直軸，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以即軸，它正好與拋物線相切。當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為平行軸，它正好與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)。設(shè)所求的過點(diǎn)的直線為則，令解得所求直線為綜上，滿足條件的直線為：判斷的訓(xùn)練造成判斷錯(cuò)誤的原因很多，我們?cè)趯W(xué)習(xí)中，應(yīng)重視如下幾個(gè)方面。①注意定理、公式成立的條件數(shù)學(xué)上的定理和公式都是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，解題中難免出現(xiàn)錯(cuò)誤。實(shí)數(shù)，使方程至少有一個(gè)實(shí)根。錯(cuò)誤解法方程至少有一個(gè)實(shí)根，或錯(cuò)誤分析實(shí)數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過嚴(yán)格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對(duì)實(shí)系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯(cuò)誤。正確解法設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根，則由于都是實(shí)數(shù)，解得例4已知雙曲線的右準(zhǔn)線為，右焦點(diǎn),離心率,求雙曲線方程。錯(cuò)解1故所求的雙曲線方程為錯(cuò)解2由焦點(diǎn)知故所求的雙曲線方程為錯(cuò)解分析這兩個(gè)解法都是誤認(rèn)為雙曲線的中心在原點(diǎn)，而題中并沒有告訴中心在原點(diǎn)這個(gè)條件。由于判斷錯(cuò)誤，而造成解法錯(cuò)誤。隨意增加、遺漏題設(shè)條件，都會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤解法。正解1設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線的右準(zhǔn)線為，右焦點(diǎn)，離心率，由雙曲線的定義知整理得正解2依題意，設(shè)雙曲線的中心為則解得所以故所求雙曲線方程為②注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運(yùn)用我們知道：如果成立，那么成立，即，則稱是的充分條件。如果成立，那么成立，即，則稱是的必要條件。如果，則稱是的充分必要條件。充分條件和必要條件中我們的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到。像討論方程組的解，求滿足條件的點(diǎn)的軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會(huì)出錯(cuò)。例5解不等式錯(cuò)誤解法要使原不等式成立，只需解得錯(cuò)誤分析不等式成立的充分必要條件是：或原不等式的解法只考慮了一種情況，而忽視了另一種情況，所考慮的情況只是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件，其錯(cuò)誤解法的實(shí)質(zhì)，是把充分條件當(dāng)成了充分必要條件。正確解法要使原不等式成立，則·P·C(3,0)·P·C(3,0)yxO圖3－2－1MN，或原不等式的解集為例6（軌跡問題）求與軸相切于右側(cè)，并與⊙也相切的圓的圓心的軌跡方程。錯(cuò)誤解法如圖3－2－1所示，已知⊙C的方程為設(shè)點(diǎn)為所求軌跡上任意一點(diǎn)，并且⊙P與軸相切于M點(diǎn)，與⊙C相切于N點(diǎn)。根據(jù)已知條件得，即化簡得錯(cuò)誤分析本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點(diǎn)都滿足條件），而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點(diǎn)都在所求的軌跡上）。事實(shí)上，符合題目條件的點(diǎn)的坐標(biāo)并不都滿足所求的方程。從動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以軸正半軸上任一點(diǎn)為圓心，此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條件，所以也是所求的方程。即動(dòng)圓圓心的軌跡方程是。因此，在求軌跡時(shí)，一定要完整的、細(xì)致地、周密地分析問題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。③防止以偏概全的錯(cuò)誤以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案，從而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。例7設(shè)等比數(shù)列的全項(xiàng)和為.若，求數(shù)列的公比.錯(cuò)誤解法錯(cuò)誤分析在錯(cuò)解中，由時(shí)，應(yīng)有在等比數(shù)列中，是顯然的，但公比完全可能為1，因此，在解題時(shí)應(yīng)先討論公比的情況，再在的情況下，對(duì)式子進(jìn)行整理變形。正確解法若，則有但，即得與題設(shè)矛盾，故.又依題意可得即因?yàn)?，所以所以所以說明此題為1996年全國高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21）題，不少考生的解法同錯(cuò)誤解法，根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分。④避免直觀代替論證我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來方便。但是，如果完全以圖形的直觀聯(lián)系為依據(jù)來進(jìn)行推理，這就會(huì)使思維出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象。O·圖3－2－2例8（如圖3－2－2），具有公共軸的兩個(gè)直角坐標(biāo)平面和所成的二面角等于.已知內(nèi)的曲線的方程是，求曲線在內(nèi)的射影的曲線方程。O·圖3－2－2錯(cuò)誤解法依題意，可知曲線是拋物線，在內(nèi)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是因?yàn)槎娼堑扔?，且所以設(shè)焦點(diǎn)在內(nèi)的射影是，那么，位于軸上，從而所以所以點(diǎn)是所求射影的焦點(diǎn)。依題意，射影是一條拋物線，開口向右，頂點(diǎn)在原點(diǎn)。所以曲線在內(nèi)的射影的曲線方程是錯(cuò)誤分析上述解答錯(cuò)誤的主要原因是，憑直觀誤認(rèn)為。正確解法在內(nèi)，設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)O·圖3－2－3MNH（如圖3－2－3）過點(diǎn)作O·圖3－2－3MNH過作軸，垂足為連接，則軸。所以是二面角的平面角，依題意，.在又知軸（或與重合），軸（或與重合），設(shè)，則因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以即所求射影的方程為推理的訓(xùn)練數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。例9設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在軸上，離心率，已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程。錯(cuò)誤解法依題意可設(shè)橢圓方程為則，所以，即設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則所以當(dāng)時(shí)，有最大值，從而也有最大值。所以，由此解得：于是所求橢圓的方程為錯(cuò)解分析盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯(cuò)誤的。結(jié)果正確只是碰巧而已。由當(dāng)時(shí)，有最大值，這步推理是錯(cuò)誤的，沒有考慮到的取值范圍。事實(shí)上，由于點(diǎn)在橢圓上，所以有，因此在求的最大值時(shí)，應(yīng)分類討論。即：若，則當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值。于是從而解得所以必有，此時(shí)當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值，所以，解得于是所求橢圓的方程為例10求的最小值錯(cuò)解1錯(cuò)解2錯(cuò)誤分析在解法1中，的充要條件是即這是自相矛盾的。在解法2中，的充要條件是這是不可能的。正確解法1其中，當(dāng)正確解法2取正常數(shù)，易得其中“”取“＝”的充要條件是因此，當(dāng)?shù)谒闹v數(shù)學(xué)思維的開拓性一、概述數(shù)學(xué)思維開拓性指的是對(duì)一個(gè)問題能從多方面考慮；對(duì)一個(gè)對(duì)象能從多種角度觀察；對(duì)一個(gè)題目能想出多種不同的解法，即一題多解?！皵?shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，它的各個(gè)部分之間存在概念的親緣關(guān)系。我們?cè)趯W(xué)習(xí)每一分支時(shí)，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部內(nèi)容，使之融會(huì)貫通”，這里所說的橫向聯(lián)系，主要是靠一題多解來完成的。通過用不同的方法解決同一道數(shù)學(xué)題，既可以開拓解題思路，鞏固所學(xué)知識(shí)；又可激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，達(dá)到開發(fā)潛能，發(fā)展智力，提高能力的目的。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。在一題多解的訓(xùn)練中，我們要密切注意每種解法的特點(diǎn)，善于發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)最有意義的簡捷解法。數(shù)學(xué)思維的開拓性主要體現(xiàn)在：一題的多種解法例如已知復(fù)數(shù)滿足，求的最大值。我們可以考慮用下面幾種方法來解決：①運(yùn)用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；②運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角形式；③運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何意義；④運(yùn)用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)（三角不等式）；⑤運(yùn)用復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系；⑥（數(shù)形結(jié)合）運(yùn)用復(fù)數(shù)方程表示的幾何圖形，轉(zhuǎn)化為兩圓與有公共點(diǎn)時(shí)，的最大值。一題的多種解釋例如，函數(shù)式可以有以下幾種解釋：①可以看成自由落體公式②可以看成動(dòng)能公式③可以看成熱量公式又如“1”這個(gè)數(shù)字，它可以根據(jù)具體情況變成各種形式，使解題變得簡捷?！?”可以變換為：，等等。思維訓(xùn)練實(shí)例例1已知求證：分析1用比較法。本題只要證為了同時(shí)利用兩個(gè)已知條件，只需要觀察到兩式相加等于2便不難解決。證法1所以分析2運(yùn)用分析法，從所需證明的不等式出發(fā)，運(yùn)用已知的條件、定理和性質(zhì)等，得出正確的結(jié)論。從而證明原結(jié)論正確。分析法其本質(zhì)就是尋找命題成立的充分條件。因此，證明過程必須步步可逆，并注意書寫規(guī)范。證法2要證只需證xM·yxM·yd圖4－2－1O因?yàn)樗灾恍枳C即因?yàn)樽詈蟮牟坏仁匠闪?，且步步可逆。所以原不等式成立。分?運(yùn)用綜合法（綜合運(yùn)用不等式的有關(guān)性質(zhì)以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）進(jìn)行推理、運(yùn)算，從而達(dá)到證明需求證的不等式成立的方法）證法3即分析4三角換元法：由于已知條件為兩數(shù)平方和等于1的形式，符合三角函數(shù)同角關(guān)系中的平方關(guān)系條件，具有進(jìn)行三角代換的可能，從而可以把原不等式中的代數(shù)運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)運(yùn)算關(guān)系，給證明帶來方便。證法4可設(shè)分析5數(shù)形結(jié)合法：由于條件可看作是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的單位圓，而聯(lián)系到點(diǎn)到直線距離公式，可得下面證法。證法5（如圖4-2-1）因?yàn)橹本€經(jīng)過圓的圓心O，所以圓上任意一點(diǎn)到直線的距離都小于或等于圓半徑1，即簡評(píng)五種證法都是具有代表性的基本方法，也都是應(yīng)該掌握的重要方法。除了證法4、證法5的方法有適應(yīng)條件的限制這種局限外，前三種證法都是好方法。可在具體應(yīng)用過程中，根據(jù)題目的變化的需要適當(dāng)進(jìn)行選擇。例2如果求證：成等差數(shù)列。分析1要證，必須有成立才行。此條件應(yīng)從已知條件中得出。故此得到直接的想法是展開已知條件去尋找轉(zhuǎn)換。證法1故，即成等差數(shù)列。分析2由于已知條件具有輪換對(duì)稱特點(diǎn)，此特點(diǎn)的充分利用就是以換元去減少原式中的字母，從而給轉(zhuǎn)換運(yùn)算帶來便利。證法2設(shè)則于是，已知條件可化為：所以成等差數(shù)列。分析3已知條件呈現(xiàn)二次方程判別式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)引人注目，提供了構(gòu)造一個(gè)適合上述條件的二次方程的求解的試探的機(jī)會(huì)。證法3當(dāng)時(shí)，由已知條件知即成等差數(shù)列。當(dāng)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程：其判別式故方程有等根，顯然＝1為方程的一個(gè)根，從而方程的兩根均為1，由韋達(dá)定理知即成等差數(shù)列。簡評(píng)：證法1是常用方法，略嫌呆板，但穩(wěn)妥可靠。證法2簡單明了，是最好的解法，其換元的技巧有較大的參考價(jià)值。證法3引入輔助方程的方法，技巧性強(qiáng)，給人以新鮮的感受和啟發(fā)。已知，求的最小值。分析1雖然所求函數(shù)的結(jié)構(gòu)式具有兩個(gè)字母，但已知條件恰有的關(guān)系式，可用代入法消掉一個(gè)字母，從而轉(zhuǎn)換為普通的二次函數(shù)求最值問題。解法1設(shè)，則 二次項(xiàng)系數(shù)為故有最小值。 當(dāng)時(shí)，的最小值為分析2已知的一次式兩邊平方后與所求的二次式有密切關(guān)聯(lián)，于是所求的最小值可由等式轉(zhuǎn)換成不等式而求得。解法2即 即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。的最小值為分析3配方法是解決求最值問題的一種常用手段，利用已知條件結(jié)合所求式子，配方后得兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的形式，從而達(dá)到求最值的目的。解法3設(shè)當(dāng)時(shí)，即的最小值為11O11Oxy圖4－2－2解法4如圖4－2－2，表示直線表示原點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離的平方。顯然其中以原點(diǎn)到直線的距離最短。此時(shí)，即所以的最小值為注如果設(shè)則問題還可轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，半徑的最小值。簡評(píng)幾種解法都有特點(diǎn)和代表性。解法1是基本方法，解法2、3、4都緊緊地抓住題設(shè)條件的特點(diǎn)，與相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來，所以具有靈巧簡捷的優(yōu)點(diǎn)，特別是解法4，形象直觀，值得效仿。設(shè)求證：分析1由已知條件為實(shí)數(shù)這一特點(diǎn)，可提供設(shè)實(shí)系數(shù)二次方程的可能，在該二次方程有兩個(gè)虛根的條件下，它們是一對(duì)共軛虛根，運(yùn)用韋達(dá)定理可以探求證題途徑。證法1設(shè)當(dāng)時(shí)，可得與條件不合。于是有該方程有一對(duì)共軛虛根，設(shè)為，于是又由韋達(dá)定理知分析2由于實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍然是這個(gè)實(shí)數(shù)，利用這一關(guān)系可以建立復(fù)數(shù)方程，注意到這一重要性質(zhì)，即可求出的值。證法2設(shè)當(dāng)時(shí)，可得與條件不合，則有，即但而即分析3因?yàn)閷?shí)數(shù)的倒數(shù)仍為實(shí)數(shù)，若對(duì)原式取倒數(shù)，可變換化簡為易于進(jìn)行運(yùn)算的形式。再運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，建立復(fù)數(shù)方程，具有更加簡捷的特點(diǎn)。證法3即從而必有簡評(píng)設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式或三角形式，代入已知條件化簡求證，一般也能夠證明，它是解決復(fù)數(shù)問題的基本方法。但這些方法通常運(yùn)算量大，較繁?，F(xiàn)在的三種證法都應(yīng)用復(fù)數(shù)的性質(zhì)去證，技巧性較強(qiáng)，思路都建立在方程的觀點(diǎn)上，這是需要體會(huì)的關(guān)鍵之處。證法3利用倒數(shù)的變換，十分巧妙是最好的方法。例5由圓外一點(diǎn)引圓的割線交圓于兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程。分析1（直接法）根據(jù)題設(shè)條件列出幾何等式，運(yùn)用解析幾何基本公式轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式，從而求出曲線方程。這里考慮在圓中有關(guān)弦中點(diǎn)的一些性質(zhì)，圓心和弦中點(diǎn)的連線垂直于弦，可得下面解法。解法1如圖4－2－3，設(shè)弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，則，在中，由兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理有整理，得其中圖4－2－3PM圖4－2－3PMBAOyx曲線類型，運(yùn)用待定系數(shù)法求出曲線方程。解法2因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，圓心為,半徑為該圓的方程為：化簡，得其中分析3（交軌法）將問題轉(zhuǎn)化為求兩直線的交點(diǎn)軌跡問題。因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)可看作直線與割線的交點(diǎn)，而由于它們的垂直關(guān)系，從而獲得解法。解法3設(shè)過點(diǎn)的割線的斜率為則過點(diǎn)的割線方程為：. 且過原點(diǎn)，的方程為這兩條直線的交點(diǎn)就是點(diǎn)的軌跡。兩方程相乘消去化簡，得：其中分析4（參數(shù)法）將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示成某一中間變量（參數(shù)）的函數(shù)，再設(shè)法消去參數(shù)。由于動(dòng)點(diǎn)隨直線的斜率變化而發(fā)生變化，所以動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是直線斜率的函數(shù)，從而可得如下解法。解法4設(shè)過點(diǎn)的割線方程為：它與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，的中點(diǎn)為.解方程組利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可求得點(diǎn)的軌跡方程為：其中分析5（代點(diǎn)法）根據(jù)曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系：點(diǎn)在曲線上則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程。設(shè)而不求，代點(diǎn)運(yùn)算。從整體的角度看待問題。這里由于中點(diǎn)的坐標(biāo)與兩交點(diǎn)通過中點(diǎn)公式聯(lián)系起來，又點(diǎn)構(gòu)成4點(diǎn)共線的和諧關(guān)系，根據(jù)它們的斜率相等，可求得軌跡方程。解法5設(shè)則兩式相減，整理，得所以即為的斜率，而對(duì)斜率又可表示為化簡并整理，得其中簡評(píng)上述五種解法都是求軌跡問題的基本方法。其中解法1、2、3局限于曲線是圓的條件，而解法4、5適用于一般的過定點(diǎn)且與二次曲線交于兩點(diǎn)，求中點(diǎn)的軌跡問題。具有普遍意義，值得重視。對(duì)于解法5通常利用可較簡捷地求出軌跡方程，比解法4計(jì)算量要小，要簡捷得多。二、《解密數(shù)學(xué)思維的內(nèi)核》數(shù)學(xué)解題的思維過程數(shù)學(xué)解題的思維過程是指從理解問題開始，經(jīng)過探索思路，轉(zhuǎn)換問題直至解決問題，進(jìn)行回顧的全過程的思維活動(dòng)。對(duì)于數(shù)學(xué)解題思維過程，G.波利亞提出了四個(gè)階段*（見附錄），即弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧。這四個(gè)階段思維過程的實(shí)質(zhì)，可以用下列八個(gè)字加以概括：理解、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、反思。第一階段：理解問題是解題思維活動(dòng)的開始。第二階段：轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動(dòng)的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，是思維策略的選擇和調(diào)整過程。第三階段：計(jì)劃實(shí)施是解決問題過程的實(shí)現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的靈活運(yùn)用和思維過程的具體表達(dá)，是解題思維活動(dòng)的重要組成部分。第四階段：反思問題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要方面，是一個(gè)思維活動(dòng)過程的結(jié)束包含另一個(gè)新的思維活動(dòng)過程的開始。數(shù)學(xué)解題的技巧為了使回想、聯(lián)想、猜想的方向更明確，思路更加活潑，進(jìn)一步提高探索的成效，我們必須掌握一些解題的策略。一切解題的策略的基本出發(fā)點(diǎn)在于“變換”，即把面臨的問題轉(zhuǎn)化為一道或幾道易于解答的新題，以通過對(duì)新題的考察，發(fā)現(xiàn)原題的解題思路，最終達(dá)到解決原題的目的?；谶@樣的認(rèn)識(shí)，常用的解題策略有：熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等。熟悉化策略所謂熟悉化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時(shí)，要設(shè)法把它化為曾經(jīng)解過的或比較熟悉的題目，以便充分利用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或解題模式，順利地解出原題。一般說來，對(duì)于題目的熟悉程度，取決于對(duì)題目自身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)和理解。從結(jié)構(gòu)上來分析，任何一道解答題，都包含條件和結(jié)論（或問題）兩個(gè)方面。因此，要把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題，可以在變換題目的條件、結(jié)論（或問題）以及它們的聯(lián)系方式上多下功夫。常用的途徑有：（一）、充分聯(lián)想回憶基本知識(shí)和題型：按照波利亞的觀點(diǎn)，在解決問題之前，我們應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問題相同或相似的知識(shí)點(diǎn)和題型，充分利用相似問題中的方式、方法和結(jié)論，從而解決現(xiàn)有的問題。（二）、全方位、多角度分析題意：對(duì)于同一道數(shù)學(xué)題，常?？梢圆煌膫?cè)面、不同的角度去認(rèn)識(shí)。因此，根據(jù)自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，適時(shí)調(diào)整分析問題的視角，有助于更好地把握題意，找到自己熟悉的解題方向。（三）恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素：數(shù)學(xué)中，同一素材的題目，常常可以有不同的表現(xiàn)形式；條件與結(jié)論（或問題）之間，也存在著多種聯(lián)系方式。因此，恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結(jié)論（或條件與問題）的內(nèi)在聯(lián)系，把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。數(shù)學(xué)解題中，構(gòu)造的輔助元素是多種多樣的，常見的有構(gòu)造圖形（點(diǎn)、線、面、體），構(gòu)造算法，構(gòu)造多項(xiàng)式，構(gòu)造方程（組），構(gòu)造坐標(biāo)系，構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造行列式，構(gòu)造等價(jià)性命題，構(gòu)造反例，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等等。二、簡單化策略所謂簡單化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜、難以入手的題目時(shí)，要設(shè)法把轉(zhuǎn)化為一道或幾道比較簡單、易于解答的新題，以便通過對(duì)新題的考察，啟迪解題思路，以簡馭繁，解出原題。簡單化是熟悉化的補(bǔ)充和發(fā)揮。一般說來，我們對(duì)于簡單問題往往比較熟悉或容易熟悉。因此，在實(shí)際解題時(shí)，這兩種策略常常是結(jié)合在一起進(jìn)行的，只是著眼點(diǎn)有所不同而已。解題中，實(shí)施簡單化策略的途徑是多方面的，常用的有:尋求中間環(huán)節(jié)，分類考察討論，簡化已知條件，恰當(dāng)分解結(jié)論等。1、尋求中間環(huán)節(jié)，挖掘隱含條件：在些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡單的基本題，經(jīng)過適當(dāng)組合抽去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的。因此，從題目的因果關(guān)系入手，尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯(lián)系的系列題，是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化的一條重要途徑。2、分類考察討論：在些數(shù)學(xué)題，解題的復(fù)雜性，主要在于它的條件、結(jié)論（或問題）包含多種不易識(shí)別的可能情形。對(duì)于這類問題，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，把原題分解成一組并列的簡單題，有助于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化。3、簡單化已知條件：有些數(shù)學(xué)題，條件比較抽象、復(fù)雜，不太容易入手。這時(shí)，不妨簡化題中某些已知條件，甚至?xí)簳r(shí)撇開不顧，先考慮一個(gè)簡化問題。這樣簡單化了的問題，對(duì)于解答原題，常常能起到穿針引線的作用。4、恰當(dāng)分解結(jié)論：有些問題，解題的主要困難，來自結(jié)論的抽象概括，難以直接和條件聯(lián)系起來，這時(shí)，不妨猜想一下，能否把結(jié)論分解為幾個(gè)比較簡單的部分，以便各個(gè)擊破，解出原題。三、直觀化策略：所謂直觀化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道內(nèi)容抽象，不易捉摸的題目時(shí)，要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為形象鮮明、直觀具體的問題，以便憑借事物的形象把握題中所及的各對(duì)象之間的聯(lián)系，找到原題的解題思路。（一）、圖表直觀：有些數(shù)學(xué)題，內(nèi)容抽象，關(guān)系復(fù)雜，給理解題意增添了困難，常常會(huì)由于題目的抽象性和復(fù)雜性，使正常的思維難以進(jìn)行到底。對(duì)于這類題目，借助圖表直觀，利用示意圖或表格分析題意，有助于抽象內(nèi)容形象化，復(fù)雜關(guān)系條理化，使思維有相對(duì)具體的依托，便于深入思考，發(fā)現(xiàn)解題線索。（二）、圖形直觀：有些涉及數(shù)量關(guān)系的題目，用代數(shù)方法求解，道路崎嶇曲折，計(jì)算量偏大。這時(shí)，不妨借助圖形直觀，給題中有關(guān)數(shù)量以恰當(dāng)?shù)膸缀畏治?，拓寬解題思路，找出簡捷、合理的解題途徑。（三）、圖象直觀：不少涉及數(shù)量關(guān)系的題目，與函數(shù)的圖象密切相關(guān)，靈活運(yùn)用圖象的直觀性，常常能以簡馭繁，獲取簡便，巧妙的解法。四、特殊化策略所謂特殊化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道難以入手的一般性題目時(shí)，要注意從一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比較簡單的特殊問題，以便從特殊問題的研究中，拓寬解題思路，發(fā)現(xiàn)解答原題的方向或途徑。五、一般化策略所謂一般化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一個(gè)計(jì)算比較復(fù)雜或內(nèi)在聯(lián)系不甚明顯的特殊問題時(shí)，要設(shè)法把特殊問題一般化，找出一個(gè)能夠揭示事物本質(zhì)屬性的一般情形的方法、技巧或結(jié)果，順利解出原題。六、整體化策略所謂整體化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道按常規(guī)思路進(jìn)行局部處理難以奏效或計(jì)算冗繁的題目時(shí)，要適時(shí)調(diào)整視角，把問題作為一個(gè)有機(jī)整體，從整體入手，對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面、深刻的分析和改造，以便從整體特性的研究中，找到解決問題的途徑和辦法。七、間接化策略所謂間接化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道從正面入手復(fù)雜繁難，或在特定場合甚至找不到解題依據(jù)的題目時(shí)，要隨時(shí)改變思維方向，從結(jié)論（或問題）的反面進(jìn)行思考，以便化難為易解出原題。數(shù)學(xué)解題思維過程數(shù)學(xué)解題的思維過程是指從理解問題開始，從經(jīng)過探索思路，轉(zhuǎn)換問題直至解決問題，進(jìn)行回顧的全過程的思維活動(dòng)。在數(shù)學(xué)中，通?？蓪⒔忸}過程分為四個(gè)階段：第一階段是審題。包括認(rèn)清習(xí)題的條件和要求，深入分析條件中的各個(gè)元素，在復(fù)雜的記憶系統(tǒng)中找出需要的知識(shí)信息，建立習(xí)題的條件、結(jié)論與知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，為解題作好知識(shí)上的準(zhǔn)備。第二階段是尋求解題途徑。有目的地進(jìn)行各種組合的試驗(yàn)，盡可能將習(xí)題化為已知類型，選擇最優(yōu)解法，選擇解題方案，經(jīng)檢驗(yàn)后作修正，最后確定解題計(jì)劃。第三階段是實(shí)施計(jì)劃。將計(jì)劃的所有細(xì)節(jié)實(shí)際地付諸實(shí)現(xiàn)，通過與已知條件所選擇的根據(jù)作對(duì)比后修正計(jì)劃，然后著手?jǐn)⑹鼋獯疬^程的方法，并且書寫解答與結(jié)果。第四階段是檢查與總結(jié)。求得最終結(jié)果以后，檢查并分析結(jié)果。探討實(shí)現(xiàn)解題的各種方法，研究特殊情況與局部情況，找出最重要的知識(shí)。將新知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)加以整理使之系統(tǒng)化。所以：第一階段的理解問題是解題思維活動(dòng)的開始。第二階段的轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動(dòng)的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，是思維策略的選擇和調(diào)整過程。第三階段的計(jì)劃實(shí)施是解決問題過程的實(shí)現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的靈活運(yùn)用和思維過程的具體表達(dá)，是解題思維活動(dòng)的重要組成部分。第四階段的反思問題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要方面，是一個(gè)思維活動(dòng)過程的結(jié)束包含另一個(gè)新的思維活動(dòng)過程的開始。通過以下探索途徑來提高解題能力：研究問題的條件時(shí)，在需要與可能的情況下，可畫出相應(yīng)圖形或思路圖幫助思考。因?yàn)檫@意味著你對(duì)題的整個(gè)情境有了清晰的具體的了解。清晰地理解情境中的各個(gè)元素；一定要弄清楚其中哪些元素是給定了的，即已知的，哪些是所求的，即未知的。深入地分析并思考習(xí)題敘述中的每一個(gè)符號(hào)、術(shù)語的含義，從中找出習(xí)題的重要元素，要圖中標(biāo)出（用直觀符號(hào)）已知元素和未知元素，并試著改變一下題目中（或圖中）各元素的位置，看看能否有重要發(fā)現(xiàn)。盡可能從整體上理解題目的條件，找出它的特點(diǎn)，聯(lián)想以前是否遇到過類似題目。仔細(xì)考慮題意是否有其他不同理解。題目的條件有無多余的、互相矛盾的內(nèi)容？是否還缺少條件？認(rèn)真研究題目提出的目標(biāo)。通過目標(biāo)找出哪些理論的法則同題目或其他元素有聯(lián)系。如果在解題中發(fā)現(xiàn)有你熟悉的一般數(shù)學(xué)方法，就盡可能用這種方法的語言表示題的元素，以利于解題思路的展開。以上途徑特別有利于開始解題者能迅速“登堂入室”，找到解題的起步點(diǎn)。在制定計(jì)劃尋求解法階段，最好利用下面這套探索方法：設(shè)法將題目與你會(huì)解的某一類題聯(lián)系起來?；蛘弑M可能找出你熟悉的、最符合已知條件的解題方法。記住：題的目標(biāo)是尋求解答的主要方向。在仔細(xì)分析目標(biāo)時(shí)即可嘗試能否用你熟悉的方法去解題。解了幾步后可將所得的局部結(jié)果與問題的條件、結(jié)論作比較。用這種辦法檢查解題途徑是否合理，以便及時(shí)進(jìn)行修正或調(diào)整。嘗試能否局部地改變題目，換種方法敘述條件，故意簡化題的條件（也就是編擬條件簡化了的同類題）再求其解。再試試能否擴(kuò)大題目條件（編一個(gè)更一般的題目），并將與題有關(guān)的概念用它的定義加以替代。分解條件，盡可能將分成部分重新組合，擴(kuò)大騍條件的理解。嘗試將題分解成一串輔助問題，依次解答這些輔助問題即可構(gòu)成所給題目的解。研究題的某些部分的極限情況，考察這樣會(huì)對(duì)基本目標(biāo)產(chǎn)生什么影響。改變題的一部分，看對(duì)其他部分有何影響；依據(jù)上面的“影響”改變題的某些部分所出現(xiàn)的結(jié)果，嘗試能否對(duì)題的目標(biāo)作出一個(gè)“展望”。萬一用盡方法還是解不出來，你就從課本中或科普數(shù)學(xué)小冊(cè)子中找一個(gè)同類題，研究分析其現(xiàn)成答案，從中找出解題的有益啟示。*************************************************************附錄：波利亞給出了詳細(xì)的“怎樣解題”表，在這張表中啟發(fā)你找到解題途徑的一連串問句與建議，來表示思維過程的正確搜索程序，其解題思想的核心在于不斷地變換問題，連續(xù)地簡化問題，把數(shù)學(xué)解題看成為問題化歸的過程，即最終歸結(jié)為熟悉的基本問題加以解決。怎樣解題G.波利亞第一：你必須弄清問題弄清問題：未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？把條件的各部分分開。你能否把它們寫下來？第二：找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系。如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題，你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃。擬訂計(jì)劃：你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？看著未知數(shù)！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個(gè)問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去。如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問題？一個(gè)更普遍的問題？一個(gè)更特殊的問題？一個(gè)類比的問題？你能否解決這個(gè)問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度？它會(huì)怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適于確定未知數(shù)的其它數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個(gè)條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？第三：實(shí)現(xiàn)你的計(jì)劃實(shí)現(xiàn)計(jì)劃：實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟。你能否清楚地看出這一步驟是否正確的？你能否證明這一步驟是正確的？第四：驗(yàn)證所得的解回顧：你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能不能一下子看出來？你能不能把這個(gè)結(jié)果或方法用于其它的問題？數(shù)學(xué)解題方法一、換元法“換元”的思想和方法，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，靈活運(yùn)用換元法解題，有助于數(shù)量關(guān)系明朗化，變繁為簡，化難為易，給出簡便、巧妙的解答。在解題過程中，把題中某一式子如f(x)，作為新的變量y或者把題中某一變量如x，用新變量t的式子如g(t)替換，即通過令f(x)=y或x=g(t)進(jìn)行變量代換，得到結(jié)構(gòu)簡單便于求解的新解題方法，通常稱為換元法或變量代換法。用換元法解題，關(guān)鍵在于根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特征，選擇能以簡馭繁，化難為易的代換f(x)=y或x=g(t)。就換元的具體形式而論，是多種多樣的，常用的有有理式代換，根式代換，指數(shù)式代換，對(duì)數(shù)式代換，三角式代換，反三角式代換，復(fù)變量代換等，宜在解題實(shí)踐中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，掌握有關(guān)的技巧。例如，用于求解代數(shù)問題的三角代換，在具體設(shè)計(jì)時(shí)，宜遵循以下原則：（1）全面考慮三角函數(shù)的定義域、值域和有關(guān)的公式、性質(zhì)；（2）力求減少變量的個(gè)數(shù)，使問題結(jié)構(gòu)簡單化；（3）便于借助已知三角公式，建立變量間的內(nèi)在聯(lián)系。只有全面考慮以上原則，才能謀取恰當(dāng)?shù)娜谴鷵Q。換元法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，在多項(xiàng)式的因式分解，代數(shù)式的化簡計(jì)算，恒等式、條件等式或不等式的證明，方程、方程組、不等式、不等式組或混合組的求解，函數(shù)表達(dá)式、定義域、值域或最值的推求，以及解析幾何中的坐標(biāo)替換，普通方程與參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的互化等問題中，都有著廣泛的應(yīng)用。二、消元法對(duì)于含有多個(gè)變數(shù)的問題，有時(shí)可以利用題設(shè)條件和某些已知恒等式（代數(shù)恒等式或三角恒等式），通過適當(dāng)?shù)淖冃?，消去一部分變?shù)，使問題得以解決，這種解題方法，通常稱為消元法，又稱消去法。消元法是解方程組的基本方法，在推證條件等式和把參數(shù)方程化成普通方程等問題中，也有著重要的應(yīng)用。用消元法解題，具有較強(qiáng)的技巧性，常常需要根據(jù)題目的特點(diǎn)，靈活選擇合適的消元方法。三、待定系數(shù)法按照一定規(guī)律，先寫出問題的解的形式（一般是指一個(gè)算式、表達(dá)式或方程），其中含有若干尚待確定的未知系數(shù)的值，從而得到問題的解。這種解題方法，通常稱為待定系數(shù)法；其中尚待確定的未知系數(shù)，稱為待定系數(shù)。確定待定系數(shù)的值，有兩種常用方法：比較系數(shù)法和特殊值法。（一）比較系數(shù)法比較系數(shù)法，是指通過比較恒等式兩邊多項(xiàng)式的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，得到關(guān)于待定系數(shù)的若干關(guān)系式（通常是多元方程組），由此求得待定系數(shù)的值。比較系數(shù)法的理論根據(jù)，是多項(xiàng)式的恒等定理：兩個(gè)多項(xiàng)式恒等的充分必要條件是對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，即a0xn+a1xn-1+…+an≡b0xn+b1xn-1+…+bn的充分必要條件是a0=b0,a1=b1,……an=bn。（二）特殊值法特殊值法，是指通過取字母的一些特定數(shù)據(jù)值代入恒等式，由左右兩邊數(shù)值相等得到關(guān)于待定系數(shù)的若干關(guān)系式，由此求得待定系數(shù)的值。特殊值法的理論根據(jù)，是表達(dá)式恒等的定義：兩個(gè)表達(dá)式恒等，是指用字母容許值集內(nèi)的任意值代替表達(dá)式中的字母，恒等式左右兩邊的值總是相等的。待定系數(shù)法是一種常用的數(shù)學(xué)方法，主要用于處理涉及多項(xiàng)式恒等變形問題，如分解因式、證明恒等式、解方程、將分式表示為部分分式、確定函數(shù)的解析式和圓錐曲線的方程等。四、判別式法實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)①的判別式△=b2-4ac具有以下性質(zhì)：＞0，當(dāng)且僅當(dāng)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根△＝0，當(dāng)且僅當(dāng)方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；＜0，當(dāng)且僅當(dāng)方程②沒有實(shí)數(shù)根。對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)②它的判別式△=b2-4ac具有以下性質(zhì)：＞0，當(dāng)且僅當(dāng)拋物線②與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；△＝0，當(dāng)且僅當(dāng)拋物線②與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)；＜0，當(dāng)且僅當(dāng)拋物線②與x軸沒有公共點(diǎn)。利用判別式是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要方法，在探求某些實(shí)變數(shù)之間的關(guān)系，研究方程的根和函數(shù)的性質(zhì)，證明不等式，以及研究圓錐曲線與直線的關(guān)系等方面，都有著廣泛的應(yīng)用。在具體運(yùn)用判別式時(shí)，①②中的系數(shù)都可以是含有參數(shù)的代數(shù)式。從總體上說，解答數(shù)學(xué)題，即需要富有普適性的策略作宏觀指導(dǎo)，也需要各種具體的方法和技巧進(jìn)行微觀處理，只有把策略、方法、技巧和諧地結(jié)合起來，創(chuàng)造性地加以運(yùn)用，才能成功地解決面臨的問題，獲取良好的效果。五、分析法與綜合法分析法和綜合法源于分析和綜合，是思維方向相反的兩種思考方法，在解題過程中具有十分重要的作用。在數(shù)學(xué)中，又把分析看作從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的一種思維方法，而綜合被看成是從原因推導(dǎo)到由原因產(chǎn)生的結(jié)果的另一種思維方法。通常把前者稱為分析法，后者稱為綜合法。具體的說，分析法是從題目的等證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步的探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件；綜合法則是從題目的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論或需求問題。六、數(shù)學(xué)模型法數(shù)學(xué)模型法，是指把所考察的實(shí)際問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究，使實(shí)際問題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法。利用數(shù)學(xué)模型法解答實(shí)際問題（包括數(shù)學(xué)應(yīng)用題），一般要做好三方面的工作：建模。根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。從總體上說，建模的基本手段，是數(shù)學(xué)抽象方法。建模的具體過程，大體包括以下幾個(gè)步驟：1o考察實(shí)際問題的基本情形。分析問題所及的量的關(guān)系，弄清哪些是常量，哪些是變量，哪些是已知量，哪些是未知量；了解其對(duì)象與關(guān)系結(jié)構(gòu)的本質(zhì)屬性，確定問題所及的具體系統(tǒng)。2o分析系統(tǒng)的矛盾關(guān)系。從實(shí)際問題的特定關(guān)系和具體要求出發(fā)，根據(jù)有關(guān)學(xué)科理論，抓住主要矛盾，考察主要因素和量的關(guān)系。3o進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象。對(duì)事物對(duì)象及諸對(duì)象間的關(guān)系進(jìn)行抽象，并用有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、符號(hào)和表達(dá)式去刻畫事物對(duì)象及其關(guān)系。如果現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具不夠用，可以根據(jù)實(shí)際情況，建立新的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法去表現(xiàn)數(shù)學(xué)模型。（2）推理、演算。在所得到的數(shù)學(xué)模型上，進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)演算，求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)果。評(píng)價(jià)、解釋。對(duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)和解釋，返回到原來的實(shí)際問題中去，形成最終的解答。七、試驗(yàn)法解答數(shù)學(xué)題，需要多方面的信息。數(shù)學(xué)中的各種試驗(yàn)，常常能給人以有益的信息，為分析問題和解決問題提供必要的依據(jù)。用試驗(yàn)法處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，必須從問題的實(shí)際情形出發(fā)，結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，恰當(dāng)選擇試驗(yàn)的對(duì)象和范圍；在制定試驗(yàn)方案時(shí)，要全面考慮試驗(yàn)的各種可能情形，不能有所遺漏；在實(shí)施試驗(yàn)方案時(shí)，要講究試驗(yàn)技巧，充分利用各次試驗(yàn)所提供的信息，以縮小試驗(yàn)范圍，減少試驗(yàn)次數(shù)，盡快找出原題的解答。任何試驗(yàn)都和觀察相聯(lián)系。觀察依賴于試驗(yàn)，試驗(yàn)離不開觀察。因此，要用好試驗(yàn)法，必須勤于觀察，善于觀察，有目的、有計(jì)劃、有條理地進(jìn)行觀察。八、分類法分類法是數(shù)學(xué)中的一種基本方法，對(duì)于提高解題能力，發(fā)展思維的縝密性，具有十分重要的意義。不少數(shù)學(xué)問題，在解題過程中，常常需要借助邏輯中的分類規(guī)則，把題設(shè)條件所確定的集合，分成若干個(gè)便于討論的非空真子集，然后在各個(gè)非空真子集內(nèi)進(jìn)行求解，直到獲得完滿的結(jié)果。這種把邏輯分類思想移植到數(shù)學(xué)中來，用以指導(dǎo)解題的方法，通常稱為分類或分域法。用分類法解題，大體包含以下幾個(gè)步驟：第一步：根據(jù)題設(shè)條件，明確分類的對(duì)象，確定需要分類的集合A；第二步：尋求恰當(dāng)?shù)姆诸惛鶕?jù)，按照分類的規(guī)則，把集合A分為若干個(gè)便于求解的非空真子集A1，A2，…An;第三步：在子集A1，A2，…An內(nèi)逐類討論；第四步：綜合子集內(nèi)的解答，歸納結(jié)論。以上四個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，尋求分類的根據(jù)，是其中的一項(xiàng)關(guān)鍵性的工作。從總體上說，分類的主要依據(jù)有：分類敘述的定義、定理、公式、法則，具有分類討論位置關(guān)系的幾何圖形，題目中含有某些特殊的或隱含的分類討論條件等。在實(shí)際解題時(shí)，僅憑這些還不夠，還需要有較強(qiáng)的分類意識(shí)，需要思維的靈活性和縝密性，特別要善于發(fā)掘題中隱含的分類條件。九、數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合，是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)基本觀點(diǎn)，對(duì)于溝通代數(shù)、三角與幾何的內(nèi)在聯(lián)系，具有重要的指導(dǎo)意義。理解并掌握數(shù)形結(jié)合法，有助于增強(qiáng)人們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高分析問題和解決問題的能力。數(shù)和形這兩個(gè)基本概念，是數(shù)學(xué)的兩塊基石。數(shù)學(xué)就是圍繞這兩個(gè)概念發(fā)展起來的。在數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中，數(shù)和形常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合的基本思想，是在研究問題的過程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案。中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合法包含兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是運(yùn)用代數(shù)、三角知識(shí)，通過對(duì)數(shù)量關(guān)系的討論，去處理幾何圖形問題；二是運(yùn)用幾何知識(shí)，通過對(duì)圖形性質(zhì)的研究，去解決數(shù)量關(guān)系的問題。就具體方法而論，前者常用的方法有解析法、三角法、復(fù)數(shù)法、向量法等；后者常用的方法主要是圖解法。十、反證法與同一法反證法和同一法是間接證明的兩種方法，在解題中有著廣泛的應(yīng)用。（一）反證法是一種重要的證明方法。這里主要研究反證法的邏輯原理、解題步驟和適用范圍。反證法的解題步驟：第一步：反設(shè)。假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真。第二步：歸謬。由反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果。這里所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理、公式矛盾，與已知條件矛盾，與臨時(shí)假設(shè)矛盾，以及自相矛盾等各種情形。第三步：存真。由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立。反證法的三個(gè)步驟是互相聯(lián)系的。反設(shè)是前提，歸謬是關(guān)鍵，存真是目的。只有正確地作出反設(shè)，合乎邏輯地進(jìn)行推導(dǎo)，才能間接地證出原題。十一、同一法互逆的兩個(gè)命題未必等效。但是，當(dāng)一個(gè)命題條件和結(jié)論都唯一存在，它們所指的概念是同一概念時(shí)，這個(gè)命題和它的逆命題等效。這個(gè)道理通常稱為同一原理。對(duì)于符合同一原理的命題，當(dāng)直接證明有困難時(shí)，可以改證和它等效的逆命題，只要它的逆命題正確，這個(gè)命題就成立。這種證明方法叫做同一法。同一法常用于證明符合同一原理的幾何命題。應(yīng)用同一法解題，一般包括下面幾個(gè)步驟：第一步：作出符合命題結(jié)論的圖形。第二步：證明所作圖形符合已知條件。第三步：根據(jù)唯一性，確定所作的圖形與已知圖形重合。第四步：斷定原命題的真實(shí)性。三、《高考數(shù)學(xué)解題專項(xiàng)訓(xùn)練》（選擇題）（一）數(shù)學(xué)選擇題的解題思路要想確保在有限的時(shí)間內(nèi)，對(duì)10多條選擇題作出有效的抉擇，明晰解題思路是十分必要的。一般說來，數(shù)學(xué)選擇題有著特定的解題思路，具體概括如下：1、仔細(xì)審題，吃透題意審題是正確解題的前題條件，通過審題，可以掌握用于解題的第一手資料——已知條件，弄清題目要求。審題的第一個(gè)關(guān)鍵在于：將有關(guān)概念、公式、定理等基礎(chǔ)知識(shí)加以集中整理。凡在題中出現(xiàn)的概念、公式、性質(zhì)等內(nèi)容都是平時(shí)理解、記憶、運(yùn)用的重點(diǎn)，也是我們?cè)诮膺x擇題時(shí)首先需要回憶的對(duì)象。審題的第二個(gè)關(guān)鍵在于：發(fā)現(xiàn)題材中的“機(jī)關(guān)”———題目中的一些隱含條件，往往是該題“價(jià)值”之所在，也是我們失分的“隱患”。除此而外，審題的過程還是一個(gè)解題方法的抉擇過程，開拓的解題思路能使我們心涌如潮，適宜的解題方法則幫助我們事半功倍。2、反復(fù)析題，去偽存真析題就是剖析題意。在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上，對(duì)全題進(jìn)行反復(fù)的分析和解剖，從而為正確解題尋得路徑。因此，析題的過程就是根據(jù)題意，聯(lián)系知識(shí)，形成思路的過程。由于選擇題具有相近、相關(guān)的特點(diǎn)，有時(shí)“真作假時(shí)假亦真”，對(duì)于一些似是而非的選項(xiàng)，我們可以結(jié)合題目，將選項(xiàng)逐一比較，用一些“虛擬式”的“如果”，加以分析與驗(yàn)證，從而提高解題的正確率。3、抓往關(guān)鍵，全面分析在解題過程中，通過審題、析題后找到題目的關(guān)鍵所在是十分重要的，從關(guān)鍵處入手，找突破口，聯(lián)系知識(shí)進(jìn)行全面的分析形成正確的解題思路，就可以化難為易，化繁為簡，從而解出正確的答案。4、反復(fù)檢查，認(rèn)真核對(duì)在審題、析題的過程中，由于思考問題不全面，往往會(huì)導(dǎo)致“失根”、“增根”等錯(cuò)誤，因而，反復(fù)地檢查，認(rèn)真地進(jìn)行核對(duì)，也是解選擇題必不可少的步驟之一。（二）數(shù)學(xué)選擇題的解題方法當(dāng)然，僅僅有思路還是不夠的，“解題思路”在某種程度上來說，屬于理論上的“定性”，要想解具體的題目，還得有科學(xué)、合理、簡便的方法。有關(guān)選擇題的解法的研究，可謂是仁者見仁，智者見智。其中不乏真知灼見，現(xiàn)選擇部分實(shí)用性較強(qiáng)的方法，供參考：直接法有些選擇題是由計(jì)算題、應(yīng)用題、證明題、判斷題改編而成的。這類題型可直接從題設(shè)的條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)公式、公理、定理、法則，通過準(zhǔn)確的運(yùn)算、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?、合理的?yàn)證得出正確的結(jié)論，從而確定選擇支的方法。篩選法數(shù)學(xué)選擇題的解題本質(zhì)就是去偽存真，舍棄不符合題目要求的錯(cuò)誤答案，找到符合題意的正確結(jié)論。可通過篩除一些較易判定的的、不合題意的結(jié)論，以縮小選擇的范圍，再從其余的結(jié)論中求得正確的答案。如篩去不合題意的以后，結(jié)論只有一個(gè)，則為應(yīng)選項(xiàng)。特殊值法有些選擇題，用常規(guī)方法直接求解比較困難，若根據(jù)答案中所提供的信息，選擇某些特殊情況進(jìn)行分析，或選擇某些特殊值進(jìn)行計(jì)算，或?qū)⒆帜竻?shù)換成具體數(shù)值代入，把一般形式變?yōu)樘厥庑问?，再進(jìn)行判斷往往十分簡單。驗(yàn)證法通過對(duì)試題的觀察、分析、確定，將各選擇支逐個(gè)代入題干中，進(jìn)行驗(yàn)證、或適當(dāng)選取特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)、或采取其他驗(yàn)證手段，以判斷選擇支正誤的方法。圖象法在解答選擇題的過程中，可先根椐題意，作出草圖，然后參照?qǐng)D形的作法、形狀、位置、性質(zhì)，綜合圖象的特征，得出結(jié)論。試探法對(duì)于綜合性較強(qiáng)、選擇對(duì)象比較多的試題，要想條理清楚，可以根據(jù)題意建立一個(gè)幾何模型、代數(shù)構(gòu)造，然后通過試探法來選擇，并注意靈活地運(yùn)用上述多種方法。2、函數(shù)y=f(x)是R上的增函數(shù)，則a+b>0是f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)的（C）條件。（A）充分不必要（B）必要不充分（C）充要（D）不充分不必要點(diǎn)評(píng)：由a+b>0可知，a>-b，b>-a，又y=f(x)在R上為增函數(shù)，故f(a)>f(b)，f(b)>f(-a)，反過來，由增函數(shù)的概念也可推出，a+b>（-a）+（-b）。3、函數(shù)g(x)=x2，若a≠0且a∈R,則下列點(diǎn)一定在函數(shù)y=g(x)的圖象上的是（D）。（A）(-a,-g(-a))（B）(a,g(-a))（C）(a,-g(a))（D）(-a,-g(a))點(diǎn)評(píng)：本題從函數(shù)的奇偶性入手，先看括號(hào)內(nèi)函數(shù)的奇偶性為奇函數(shù)，得到該復(fù)合函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)g(-x)=-g(x)，取x=a和x=-a加以驗(yàn)證。6、若=9，則實(shí)數(shù)a等于（B）。（A）（B）（C）-（D）-點(diǎn)評(píng)：通過觀察可知a<1（如a>1，則數(shù)值為負(fù)），且求和的各項(xiàng)成等比，因此可以運(yùn)用無窮遞縮等比數(shù)列求和公式（其中q=a，a1=4）。8、下列命題中，正確的是（D）。（A）y=arccosx是偶函數(shù)（B）arcsin(sinx)=x,x∈R（C）sin(arcsin)=（D）若-1<x<0,則-<arcsinx<0點(diǎn)評(píng)：反三角函數(shù)的概念、公式的理解與運(yùn)用。注意：arccos（-x）=Πx(當(dāng)-<x<-時(shí))-arccosx，arcsin(sinx)=x’且sinx=sinx’(當(dāng)-<x’<-時(shí))84、函數(shù)y=的值域是（B）。（A）{－2,4}（B）{－2,0,4}（C）{－2,0,2,4}（D）{－4,－2,0,4}點(diǎn)評(píng)：分象限討論。107、方程ax＋by＋c=0與方程2ax＋2by＋c＋1=0表示兩條平行直線的充要條件是（C）。（A）ab>0,c≠1（B）ab<0,c≠1（C）a2＋b2≠0,c≠1（D）a=b=c=2點(diǎn)評(píng)：兩直線平行的充要條件。139、lg9·lg11與1的大小關(guān)系是（C）。（A）lg9·lg11>1（B）lg9·lg11＝1（C）lg9·lg11<1（D）不能確定點(diǎn)評(píng)：lg10·lg10＝1144、如果xn=(1－)(1－)(1－)……(1－)，則xn等于（A）。（A）0（B）1（C）（D）不確定點(diǎn)評(píng)：交錯(cuò)項(xiàng)相約。145、數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝(1－2x)n，若an存在，則x的取值范圍是（C）。（A）[0,]（B）[0,-]（C）[0,1]（D）[0,-1]點(diǎn)評(píng)：極限的概念。150、已知f(n)＝in－i-n(i2＝－1,n∈N)，則集合{f(n)}的元素的個(gè)數(shù)是（B）。（A）2（B）3（C）無數(shù)個(gè)（D）以上答案都不對(duì)點(diǎn)評(píng)：分類討論。n=4k、4k+1、4k+2、4k+3。151、若ω是1的n次虛根，則ω＋ω2＋ω3＋……＋ωn-1的值是（C）。（A）n－1（B）n（C）－1（D）0點(diǎn)評(píng)：（ω＋ω2＋ω3＋…＋ωn-1+ωn）-（1+ω＋ω2＋ω3＋…＋ωn-1）152、不等式x2－x＋1>0的解集是（B）。（A）{x|x<或x>}（B）R（C）（D）以上都不對(duì)點(diǎn)評(píng)：。因?yàn)閤2－x＋1=（x-1/2）2+3/4，所以無論x取何值，不等式均成立215、某林場原有森林木材存量為a，木材以每年25%的增長率增長，而每年冬天需砍伐木材量為x，為了實(shí)現(xiàn)經(jīng)過20年達(dá)到木材存量至少翻兩番的目標(biāo)，且每年盡可能多提供木材，則x的最大值是（C）。(取lg2＝0.3)（A）a（B）a（C）a（D）a點(diǎn)評(píng)：找等量關(guān)系式，注意區(qū)分變量與定量。216、在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)z滿足arg(z＋3)＝，則的最大值是（B）。（A）（B）（C）（D）與z的輻角有關(guān)點(diǎn)評(píng)：化求最大值為考慮最小值。243、能使點(diǎn)P(m,n)與點(diǎn)Q(n＋1,m－1)成軸對(duì)稱的位置關(guān)系的對(duì)稱軸的方程是（C）。（A）x＋y＋1＝0（B）x＋y－1＝0（C）x－y－1＝0（D）x－y＋1＝0點(diǎn)評(píng)：垂直、中點(diǎn)代入驗(yàn)證。244、項(xiàng)數(shù)為2m的等比數(shù)列，中間兩項(xiàng)是方程x2＋px＋q＝0的兩根，那么這個(gè)數(shù)列的所有項(xiàng)的積為（B（A）－mp（B）qm（C）pq（D）不同于以上的答案點(diǎn)評(píng)：等比數(shù)列的性質(zhì)。249、設(shè)滿足下列條件的函數(shù)f(x)的集合為M，當(dāng)|x1|≤1，|x2|≤1時(shí)，|f(x1)－f(x2)|≤4|x1－x2|,若有函數(shù)g(x)＝x2＋2x－1，則函數(shù)g(x)與集合M的關(guān)系是（B）。（A）g(x)M（B）g(x)∈M（C）g(x)M（D）不能確定點(diǎn)評(píng)：當(dāng)|x1|≤1，|x2|≤1時(shí)，|g(x1)-g(x2)|≤4|x1－x2|，g(x)是元素。7、設(shè)求證：證：∵∴∴∴12、已知水渠在過水?dāng)嗝婷娣e為定值的情況下，過水濕周越小，其流量越大.現(xiàn)有以下兩種設(shè)計(jì)，如圖：圖①的過水?dāng)嗝鏋榈妊鰽BC，AB=BC，過水濕周圖②的過水?dāng)嗝鏋榈妊菪巍?，過水濕周.若與梯形ABCD的面積都為S，（I）分別求的最小值；（II）為使流量最大，給出最佳設(shè)計(jì)方案.解（Ⅰ）在圖①中，設(shè)，．則．由于、、皆為正值，可解得．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以．在圖②中，設(shè)，．可求得，解得．．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．（Ⅱ）由于，則的最小值小于的最小值．所以在方案②中當(dāng)取得最小值時(shí)的設(shè)計(jì)為最佳方案．13、已知：如圖，射線OA為y=2x(x>0)，射線OB為y=–2x(x>0)，動(dòng)點(diǎn)P（x,y）在的內(nèi)部，于N，四邊形ONPM的面積為2..（I）動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y是其橫坐標(biāo)x的函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)y=f(x)的解析式；（II）確定y=f(x)的定義域.解：（Ⅰ）設(shè)，．則，由動(dòng)點(diǎn)在的內(nèi)部，得．∴，∴∴①又，分別解得，代入①式消去、，并化簡得．∵，∴．（Ⅱ）由在內(nèi)部，得．又垂足必須在射線上，否則、、、四點(diǎn)不能構(gòu)成四邊形，所以還必須滿足條件∴所以的定義域?yàn)?4、解關(guān)于x的不等式：loga(x2－x－2)＞loga(x－)＋1(a＞0，a≠1)解：原不等式等價(jià)于……① 1°當(dāng)時(shí)，①式可化為 從而即∴ 2°當(dāng)時(shí)，①式可化為 從而即∴Φ 綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為Φ15、在三角形ABC中，三內(nèi)角滿足A＋C＝2B，，求cos的值解：∵A+C=2B，∴A+C=120°，B=60° 又∵，∴ ∴ 即 令，則上式為 ∴∵，∴ 16、已知復(fù)數(shù)z1＝2－x＋xi，z2＝y(tǒng)—1＋(－y)i，x、y屬于R，若|z1|＝|z2|且argz1/z2=90o，求的值解：∵∴∴ ∴ 解得 ∴， ∴ ∴ ABoCDD'D'A'B'C'17、如圖，平行六面體ABCD－A'B'C'D'中，AC＝2，BC＝AA'＝A'C＝2，∠ABC＝90ABoCDD'D'A'B'C'解：（I）連，則平面于 ……1分（文1分）∴就是側(cè)棱與底面所成的角