《數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的概念》（11） 市賽獲獎

數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念

引言：在人和社會的發(fā)展過程中，常常需要立足今天，回顧昨天，展望明天。符合客觀發(fā)展規(guī)律的要發(fā)揚和完善，不符合的要否定和拋棄。那么，在實數(shù)集向復(fù)數(shù)集發(fā)展的過程中，我們應(yīng)該如何發(fā)揚和完善，否定和拋棄呢？數(shù)系的擴充自然數(shù)整數(shù)有理數(shù)實數(shù)？NZQR用圖形表示包含關(guān)系：復(fù)習(xí)回顧知識引入對于一元二次方程沒有實數(shù)根．我們已知知道：

我們能否將實數(shù)集進行擴充，使得在新的數(shù)集中，該問題能得到圓滿解決呢？思考？引入一個新數(shù)：滿足

現(xiàn)在我們就引入這樣一個數(shù)

i

，把

i

叫做虛數(shù)單位，并且規(guī)定：

（1）i21；

（2）實數(shù)可以與

i

進行四則運算，在進行四則運算時，原有的加法與乘法的運算率(包括交換率、結(jié)合率和分配率)仍然成立。形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù).

全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做復(fù)數(shù)集，一般用字母C表示.實部復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：通常用字母

z

表示，即虛部其中稱為虛數(shù)單位。復(fù)數(shù)集C和實數(shù)集R之間有什么關(guān)系？討論？復(fù)數(shù)a+bi復(fù)數(shù)集，虛數(shù)集，實數(shù)集，純虛數(shù)集之間的關(guān)系？思考？復(fù)數(shù)集虛數(shù)集實數(shù)集純虛數(shù)集例1實數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)是（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？解:（1）當，即時，復(fù)數(shù)z是實數(shù)（2）當，即時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)．（3）當即時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)．練習(xí):當m為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)是（1）實數(shù)（2）虛數(shù)（3）純虛數(shù)思考：則我們知道若如何定義兩個復(fù)數(shù)的相等？注意：一般對兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等；不能比較大小。00

如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等．例2已知，其中求解題思考：復(fù)數(shù)相等的問題轉(zhuǎn)化求方程組的解的問題一種重要的數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)=0，求x的值.1、若x，y為實數(shù)，且

求x，y練習(xí)：小結(jié):1.虛數(shù)單位i的引入；2.復(fù)數(shù)有關(guān)概念：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:復(fù)數(shù)的實部、虛部復(fù)數(shù)相等虛數(shù)、純虛數(shù)計算：1-1B練習(xí)（2005湖南卷)復(fù)數(shù)的值是（）A.-1B.0C.1D.I

你能否找到用來表示復(fù)數(shù)的幾何模型呢？xo1實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示。一一對應(yīng)規(guī)定了正方向，直線數(shù)軸原點，單位長度實數(shù)數(shù)軸上的點(形)(數(shù))(幾何模型)復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(a,b)直角坐標系中的點Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面x軸------實軸y軸------虛軸（數(shù)）（形）------復(fù)數(shù)平面(簡稱復(fù)平面)一一對應(yīng)z=a+bi平面向量實數(shù)絕對值的幾何意義:能否把絕對值概念推廣到復(fù)數(shù)范圍呢？XOAa|a|=|OA|實數(shù)a在數(shù)軸上所對應(yīng)的點A到原點O的距離。xOz=a+biy|z|=|OZ|復(fù)數(shù)的絕對值(復(fù)數(shù)的模)Z

(a,b)

復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面上對應(yīng)的點Z(a,b)到原點的距離。(A)在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于實數(shù)的點都在實軸上；(B)在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于純虛數(shù)的點都在虛軸上；(C)在復(fù)平面內(nèi)，實軸上的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是實數(shù)；(D)在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)辨析：1．下列命題中的假命題是（）D2．“a=0”是“復(fù)數(shù)a+b