數(shù)學(xué)建模課程建設(shè)與競(jìng)賽輔導(dǎo)(天津)-楊啟帆教學(xué)課件

數(shù)學(xué)建模課程建設(shè)與競(jìng)賽輔導(dǎo)(天津)-楊啟帆1、不要輕言放棄，否則對(duì)不起自己。2、要冒一次險(xiǎn)!整個(gè)生命就是一場(chǎng)冒險(xiǎn)。走得最遠(yuǎn)的人，常是愿意去做，并愿意去冒險(xiǎn)的人。“穩(wěn)妥”之船，從未能從岸邊走遠(yuǎn)。--戴爾．卡耐基。3、人生就像一杯沒(méi)有加糖的咖啡，喝起來(lái)是苦澀的，回味起來(lái)卻有久久不會(huì)退去的余香。4、守業(yè)的最好辦法就是不斷的發(fā)展。5、當(dāng)愛(ài)不能完美，我寧愿選擇無(wú)悔，不管來(lái)生多么美麗，我不愿失去今生對(duì)你的記憶，我不求天長(zhǎng)地久的美景，我只要生生世世的輪回里有你。數(shù)學(xué)建模課程建設(shè)與競(jìng)賽輔導(dǎo)(天津)-楊啟帆數(shù)學(xué)建模課程建設(shè)與競(jìng)賽輔導(dǎo)(天津)-楊啟帆1、不要輕言放棄，否則對(duì)不起自己。2、要冒一次險(xiǎn)!整個(gè)生命就是一場(chǎng)冒險(xiǎn)。走得最遠(yuǎn)的人，常是愿意去做，并愿意去冒險(xiǎn)的人?！胺€(wěn)妥”之船，從未能從岸邊走遠(yuǎn)。--戴爾．卡耐基。3、人生就像一杯沒(méi)有加糖的咖啡，喝起來(lái)是苦澀的，回味起來(lái)卻有久久不會(huì)退去的余香。4、守業(yè)的最好辦法就是不斷的發(fā)展。5、當(dāng)愛(ài)不能完美，我寧愿選擇無(wú)悔，不管來(lái)生多么美麗，我不愿失去今生對(duì)你的記憶，我不求天長(zhǎng)地久的美景，我只要生生世世的輪回里有你。數(shù)學(xué)建模課程建設(shè)

與競(jìng)賽輔導(dǎo)

浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系楊啟帆

2011.7.2

（一）浙江大學(xué)開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)和組織參加各種競(jìng)賽的情況簡(jiǎn)介1982-1995課程開(kāi)設(shè)，數(shù)學(xué)系限定性選修課，教材建設(shè)，1990年出版“數(shù)學(xué)模型”1995-1999擴(kuò)大受教育面，開(kāi)設(shè)各種必修課、選修課：（1）竺可楨學(xué)院混合班必修課（今年起改為榮譽(yù)課程）（2）竺可楨學(xué)院工程高級(jí)班（3）理科基地班必修課修課（4）全校性選修課（5）數(shù)學(xué)系必修課（6）研究生學(xué)位課

教學(xué)效果與教改收獲學(xué)生綜合素質(zhì)與科研能力得到了有效提高（每年有上千名學(xué)生聽(tīng)課、提交科研論文或研究報(bào)告數(shù)十篇，300多個(gè)隊(duì)參加學(xué)校數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，大約25-30個(gè)隊(duì)參加全國(guó)競(jìng)賽、10個(gè)隊(duì)參加美國(guó)競(jìng)賽，學(xué)生參與的積極性十分高漲，這些學(xué)生的素質(zhì)與能力在科研實(shí)踐中迅速提高）增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和專(zhuān)業(yè)知識(shí)的興趣（培養(yǎng)興趣、提高能力、增長(zhǎng)知識(shí)是大學(xué)教育的主要任務(wù)）為更高層次的人才培養(yǎng)輸送了大批尖子學(xué)生（為國(guó)內(nèi)外著名高校和科研機(jī)構(gòu)提供了優(yōu)秀生源，其中不少原先只是中等生）培養(yǎng)了學(xué)生合作研究的習(xí)慣學(xué)生參賽獲獎(jiǎng)（1999年以來(lái)）

美國(guó)競(jìng)賽：特等獎(jiǎng)4項(xiàng)（99、03、10、11）其中INFORMS（美國(guó)運(yùn)籌與管理學(xué)會(huì)）3項(xiàng)，國(guó)際一等獎(jiǎng)52項(xiàng)（2000、2001全部一等獎(jiǎng)），二等獎(jiǎng)30項(xiàng)全國(guó)競(jìng)賽：一等獎(jiǎng)34項(xiàng)（含高教社杯），二等獎(jiǎng)46項(xiàng)出版教材：

除較早期和邊馥萍老師合作編寫(xiě)的“數(shù)學(xué)模型”外還有：

（1）數(shù)學(xué)建模，1999（省重點(diǎn)建設(shè)教材），國(guó)家十五規(guī)劃教材，2006年6月出版，浙江大學(xué)出版社（2）數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽-浙江大學(xué)學(xué)生獲獎(jiǎng)?wù)撐狞c(diǎn)評(píng)，2005年7月出版，浙江大學(xué)出版社（3）數(shù)學(xué)建模，教育科學(xué)十五規(guī)劃研究成果，2005年5月出版，高等教育出版社（4）數(shù)學(xué)建模案例集，2006年7月出版，高等教育出版社另有幾本正在編寫(xiě)中（二）教學(xué)中注意對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)在介紹經(jīng)典模型的同時(shí)，講解基本技巧：經(jīng)驗(yàn)方法、量綱分析、比例關(guān)系的利用、參數(shù)選取、房室系統(tǒng)、集中參數(shù)法與分布參數(shù)法、工程師原則、統(tǒng)計(jì)籌算率等等基本技巧的靈活應(yīng)用與經(jīng)典模型的推廣：從人口模型到多種群生態(tài)系統(tǒng)模型從P-P模型到大魚(yú)吃小魚(yú)、小魚(yú)吃蝦米將課堂教學(xué)、課外實(shí)踐、SRTP（畢業(yè)設(shè)計(jì)）等項(xiàng)目指導(dǎo)、研討班、競(jìng)賽培訓(xùn)及組織競(jìng)賽有機(jī)結(jié)合起來(lái)，形成系列化教學(xué)體系。（春節(jié)后開(kāi)課、5月初校競(jìng)賽、暑假后舉辦1次研討班、暑假自行準(zhǔn)備競(jìng)賽、美賽前舉辦1次研討）

加強(qiáng)學(xué)生實(shí)踐環(huán)節(jié)的指導(dǎo)（鼓勵(lì)學(xué)生研究自己感興趣的問(wèn)題，如：蟬的共鳴、紫金港校區(qū)路燈優(yōu)化設(shè)計(jì)、杭州黃金周旅游接待等）注意對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)（冰凍三尺，非一日之寒，功夫在平時(shí)）

（觀察與發(fā)現(xiàn)能力），如：（例）數(shù)字的黑洞現(xiàn)象任取一個(gè)能被3整除的數(shù)，如213按如下運(yùn)算：

猜測(cè)自然也有可能猜錯(cuò)，例如歐拉方，費(fèi)馬數(shù)（3，5，17，257,65537）等被猜錯(cuò)-猜測(cè)須證明（例1）

某人平時(shí)下班總是按預(yù)定時(shí)間到達(dá)某處，然然后他妻子開(kāi)車(chē)接他回家。有一天，他比平時(shí)提早了三十分鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來(lái)接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時(shí)提前了十分鐘到家，問(wèn)此人共步行了多長(zhǎng)時(shí)間？發(fā)散性思維能力的培養(yǎng)

似乎條件不夠哦。。

換一種想法，問(wèn)題就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍載著他開(kāi)往會(huì)合地點(diǎn)，那么這一天他就不會(huì)提前回家了。提前的十分鐘時(shí)間從何而來(lái)？

顯然是由于節(jié)省了從相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)，又從會(huì)合點(diǎn)返回相遇點(diǎn)這一段路的緣故，故由相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)需開(kāi)5分鐘。而此人提前了三十分鐘到達(dá)會(huì)合點(diǎn)，故相遇時(shí)他已步行了二十五分鐘。

請(qǐng)思考一下，本題解答中隱含了哪些假設(shè)？例2

交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時(shí)，有一個(gè)過(guò)渡狀態(tài)——亮一段時(shí)間的黃燈。請(qǐng)分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久。設(shè)想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請(qǐng)立即停車(chē)。停車(chē)是需要時(shí)間的，在這段時(shí)間內(nèi)，車(chē)輛仍將向前行駛一段距離L。這就是說(shuō)，在離街口距離為L(zhǎng)處存在著一條停車(chē)線（盡管它沒(méi)被畫(huà)在地上），見(jiàn)圖1-4。對(duì)于那些黃燈亮?xí)r已過(guò)線的車(chē)輛，則應(yīng)當(dāng)保證它們?nèi)阅艽┻^(guò)馬路。

馬路的寬度D是容易測(cè)得的，問(wèn)題的關(guān)鍵在于L的確定。為確定L，還應(yīng)當(dāng)將L劃分為兩段：L1和L2，其中L1是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)剎車(chē)的反應(yīng)時(shí)間內(nèi)駛過(guò)的路程，L2為剎車(chē)制動(dòng)后車(chē)輛駛過(guò)的路程。L1較容易計(jì)算，交通部門(mén)對(duì)司機(jī)的平均反應(yīng)時(shí)間t1早有測(cè)算，反應(yīng)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)將考不出駕照），而此街道的行駛速度v也是交管部門(mén)早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而L1=v*t1。剎車(chē)距離L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計(jì)算出來(lái)（留作習(xí)題）。黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計(jì)算出L應(yīng)多大才能使看見(jiàn)黃燈的司機(jī)停得住車(chē)。第二步，黃燈亮的時(shí)間應(yīng)當(dāng)讓已過(guò)線的車(chē)順利穿過(guò)馬路，即T至少應(yīng)當(dāng)達(dá)到（L+D）/v。

DL例3將形狀質(zhì)量相同的磚塊一一向右往外疊放，欲盡可能地延伸到遠(yuǎn)方，問(wèn)最遠(yuǎn)可以延伸多大距離。設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長(zhǎng)度與重量均為1，其重心在中點(diǎn)1/2磚長(zhǎng)處，現(xiàn)用歸納法推導(dǎo)。

Zn(n－1)n(n＋1)由第n塊磚受到的兩個(gè)力的力矩相等，有：

1/2-Zn=(n－1)Zn故Zn=1/(2n)，從而上面n塊磚向右推出的總距離為，故磚塊向右可疊至任意遠(yuǎn)

，這一結(jié)果多少有點(diǎn)出人意料。

發(fā)散性思維要有意義，科研要有目的，要盡量應(yīng)用已有的學(xué)科知識(shí)，但學(xué)科知識(shí)的應(yīng)用有時(shí)是意想不到的。（例）循環(huán)圖的連通性與gcd(a,n)=1之間的關(guān)系）。舉例gcd(2,7)=1，gcd(2,6)=2———希爾密碼設(shè)計(jì)古典密碼不能改變字母出現(xiàn)的頻率利用矩陣與向量相乘運(yùn)算困難：逆矩陣不能用于解密想辦法克服困難。

（實(shí)例）取A=則(具體求法見(jiàn)后),用A加密THANKYOU,再用對(duì)密文解密

用矩陣A左乘各向量加密（關(guān)于26取余）得

得到密文JXCPIWEK解:(希爾密碼加密)用相應(yīng)數(shù)字代替字符，劃分為兩個(gè)元素一組并表示為向量：（希爾密碼解密）用A-1左乘求得的向量，即可還原為原來(lái)的向量。(自行驗(yàn)證)希爾密碼是以矩陣法為基礎(chǔ)的，明文與密文的對(duì)應(yīng)由n階矩陣A確定。矩陣A的階數(shù)是事先約定的，與明文分組時(shí)每組字母的字母數(shù)量相同，如果明文所含字?jǐn)?shù)與n不匹配，則最后幾個(gè)分量可任意補(bǔ)足。

A-1的求法方法1

利用公式，例如，若取，則,,(mod26)，即方法2

利用高斯消去法。將矩陣(A,E)中的矩陣A消為E，則原先的E即被消成了A-1，觀察——猜測(cè)——證明，科學(xué)研究的重要途徑之一（例1）設(shè)有一個(gè)半徑為r的圓形湖，圓心為O。A、B

位于湖的兩側(cè)，AB連線過(guò)O，見(jiàn)圖。現(xiàn)擬從A點(diǎn)步行到B點(diǎn)，在不得進(jìn)入湖中的限制下，問(wèn)怎樣的路徑最近。

ABOrEFE′F′邏輯推理與證明能力猜測(cè)證明如下：（方法一）顯然，由AE、EF、FB及AE′，E′F′，F(xiàn)′B圍成的區(qū)域R是一凸集。利用分離定理易證最短徑不可能經(jīng)過(guò)R外的點(diǎn)，若不然，設(shè)Γ為最短路徑，Γ過(guò)R外的一點(diǎn)M，則必存在直線l分離M與R，由于路徑Γ是連續(xù)曲線，由A沿Γ到M，必交l于M1，由M沿Γ到B又必交l于M2。這樣，直線段M1M2的長(zhǎng)度必小于路徑M1MM2的長(zhǎng)度，與Γ是A到B的最短路徑矛盾，至此，我們已證明最短路徑必在凸集R內(nèi)。不妨設(shè)路徑經(jīng)湖的上方到達(dá)B點(diǎn)，則弧EF必在路徑F上，又直線段AE是由A至E的最短路徑，直線FB是由F到B的最短路徑，猜測(cè)得證。ABOrEFE′F′M1M2MΓl（例2）（交換座位——奇偶數(shù)校驗(yàn)）

（問(wèn)題的提出）一位老師正在上英語(yǔ)課，教室里共有九排座位，每排有7把椅子，座位上坐滿了學(xué)生。為了增加口語(yǔ)練習(xí)機(jī)會(huì)，老師要求學(xué)生變換一下座位，但該老師要求每位同學(xué)在交換以后必須坐在原先座位的前后左右4個(gè)座位之一上，問(wèn)學(xué)生應(yīng)當(dāng)怎樣交換座位？（解答）這一問(wèn)題是無(wú)解的，教室里共有63個(gè)座位，如果你給座位編一下號(hào)（要連續(xù)編號(hào)），你會(huì)發(fā)現(xiàn)原先坐在奇數(shù)號(hào)上的學(xué)生交換以后必定坐在偶數(shù)位上，反之，原先坐在偶數(shù)位的同學(xué)交換后必定坐在奇數(shù)位上，，但奇數(shù)位椅子和偶數(shù)位椅子數(shù)量不一樣，所以無(wú)法交換。

（例3）

擬將一批尺寸為1×2×4的的商品裝入尺寸為6×6×6的正方體包裝箱中，問(wèn)是否存在一種裝法，使裝入的該商品正好充滿包裝箱。解

將正方體剖分成27個(gè)2×2×2的小正方體，并按下圖所示黑白相間地染色。再將每一2×2×2的小正方體剖分成1×1×1的小正方體。易見(jiàn)，27個(gè)2×2×2的正方體中，有14個(gè)是黑的，13個(gè)是白的（或13黑14白），故經(jīng)兩次剖分，共計(jì)有112個(gè)1×1×1的黑色小正方體和104個(gè)1×1×1的白色小正方體。雖然包裝箱的體積恰好是商品體積的27倍，但容易看到，不論將商品放置在何處，它都將占據(jù)4個(gè)黑色和4個(gè)白色的1×1×1小正方體的位置，故商品不可能充滿包裝箱。例如圓周率的計(jì)算（可以有多種方法：古典方法、分析方法、其他方法—算法設(shè)計(jì)、計(jì)算速度，有效數(shù)字的概念等等，具體從略）（計(jì)算能力）要求學(xué)生會(huì)建模必須讓他們掌握建模基本技巧在介紹經(jīng)典模型的同時(shí)，講解基本技巧：經(jīng)驗(yàn)方法（數(shù)據(jù)處理）、量綱分析、比例關(guān)系的利用、參數(shù)選取、房室系統(tǒng)、集中參數(shù)法與分布參數(shù)法、工程師原則、統(tǒng)計(jì)籌算率等基本技巧的靈活應(yīng)用與經(jīng)典模型的推廣：從人口模型到多種群生態(tài)系統(tǒng)模型

建模基本技巧的掌握（三種基本的雙種群模型說(shuō)明）從P-P模型到大魚(yú)吃小魚(yú)、小魚(yú)吃蝦米（三）競(jìng)賽準(zhǔn)備及注意事項(xiàng)（供參考）組隊(duì)?wèi)?yīng)體現(xiàn)取長(zhǎng)補(bǔ)短，準(zhǔn)備應(yīng)有分工

（數(shù)學(xué)、算法、編程、軟件使用等）。

做題不在多而在精（我校一般要求每類(lèi)至少各做2題）。不同基礎(chǔ)的學(xué)生應(yīng)當(dāng)用不同方法培訓(xùn)

在做題過(guò)程中培養(yǎng)快速掌握未學(xué)過(guò)的知識(shí)的能力（MCM99C)分析對(duì)比獲獎(jiǎng)?wù)撐牡母鞣N做法：

（1）找出每一篇的閃光點(diǎn)

（2）學(xué)習(xí)論文寫(xiě)作方法（各隊(duì)可養(yǎng)成自己的寫(xiě)作習(xí)慣）善于隨時(shí)總結(jié)，找出出本隊(duì)弱點(diǎn)，及時(shí)彌補(bǔ)盲點(diǎn)。（四）指導(dǎo)競(jìng)賽的幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)1.

認(rèn)真選題

（例1）CMCM97(零件參數(shù)設(shè)計(jì)與截?cái)嗲懈睿ɡ?）MCM2004（quickpass與校園網(wǎng))

（例3）MCM2010（A棒球桿、B系列犯罪預(yù)測(cè)、C太平洋污染）*有時(shí)題目本身有一定的局限性：登機(jī)問(wèn)題，SARS的預(yù)防等，基礎(chǔ)較好的隊(duì)?wèi)?yīng)盡量避免做這種題目。2.充分查閱資料（例1）MCM2000A題（自行車(chē)競(jìng)賽資料、自行車(chē)資料及賽場(chǎng)資料等）（例2）MCM2004A題（指紋鑒定與DNA鑒定)指紋鑒定的原理、指紋的收集等（例3）小行星撞擊地球隕石坑形狀、南極的地貌與環(huán)境、地震與海嘯、南極附近海域的生態(tài)狀況等，在此基礎(chǔ)上找出解決問(wèn)題的主攻方向3.解答要符合題意，要有清晰的思路，要有總體安排

（例1）MCM2004B(quickpass)（例2）上海世博會(huì)的影響力（1.如何采集數(shù)據(jù)，2.如何通過(guò)對(duì)比加強(qiáng)說(shuō)服力）

4.要找準(zhǔn)突破口，使研究步步深入

例1：MCM99C題（污染物傳播方式——地下水水平面方程——數(shù)值解，關(guān)于打井方法的建議）例2：小行星撞擊地球：隕石坑形狀、南極的地貌與環(huán)境、地震與海嘯、南極附近海域的生態(tài)狀況等，在此基礎(chǔ)上找出解決問(wèn)題的主攻方向例3：蟬的共鳴

怎樣步步深入

（一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例）崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功能的計(jì)算器，你也許會(huì)出于好奇心想用扔下一塊石頭聽(tīng)回聲的方法來(lái)估計(jì)山崖的高度，假定你能準(zhǔn)確地測(cè)定時(shí)間，你又怎樣來(lái)推算山崖的高度呢，請(qǐng)你分析一下這一問(wèn)題。我有一只具有跑表功能的計(jì)算器。方法一假定空氣阻力不計(jì)，可以直接利用自由落體運(yùn)動(dòng)的公式來(lái)計(jì)算。例如，設(shè)t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h≈78.5米。

我學(xué)過(guò)微積分，我可以做得更好，呵呵。

除去地球吸引力外，對(duì)石塊下落影響最大的當(dāng)屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知識(shí)，此時(shí)可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得：

令k=K/m，解得

代入初始條件v(0)=0，得c=－g/k，故有

再積分一次，得：

若設(shè)k=0.05并仍設(shè)t=4秒，則可求得h≈73.6米。

聽(tīng)到回聲再按跑表，計(jì)算得到的時(shí)間中包含了反應(yīng)時(shí)間

進(jìn)一步深入考慮不妨設(shè)平均反應(yīng)時(shí)間為0.1秒，假如仍設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時(shí)間后應(yīng)為3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。

①多測(cè)幾次，取平均值再一步深入考慮代入初始條件h(0)=0，得到計(jì)算山崖高度的公式：

將e-kt用泰勒公式展開(kāi)并令k→0+

，即可得出前面不考慮空氣阻力時(shí)的結(jié)果。還應(yīng)考慮回聲傳回來(lái)所需要的時(shí)間。為此，令石塊下落的真正時(shí)間為t1，聲音傳回來(lái)的時(shí)間記為t2，還得解一個(gè)方程組：這一方程組是非線性的，求解不太容易，為了估算崖高竟要去解一個(gè)非線性主程組似乎不合情理

相對(duì)于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可用方法二先求一次

h，令t2=h/340，校正t，求石塊下落時(shí)間t1≈t-t2將t1代入式①再算一次，得出崖高的近似值。例如，若h=69.9米，則t2≈0.21秒，故t1≈3.69秒，求得h≈62.3米。所謂的魔方是指由1~n2這n2個(gè)正整數(shù)按一定規(guī)則排列成的一個(gè)n行n列的正方形。n稱(chēng)為此魔方的階。Dürer魔方：4階，每一行之和為34，每一列之和為34，對(duì)角線（或反對(duì)角線）之和是34，每個(gè)小方塊中的數(shù)字之和是34，四個(gè)角上的數(shù)字加起來(lái)也是34一個(gè)數(shù)學(xué)游戲的研究

（一）Dürer魔方多么奇妙的魔方！銅幣鑄造時(shí)間：1514年

構(gòu)造魔方是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)游戲，起初它還和神靈聯(lián)系在一起，帶有深厚的迷信色彩。傳說(shuō)四千二百多年前（公元前2200年），因治水出名皇帝大禹就構(gòu)造了三階魔方（被人們稱(chēng)“洛書(shū)”），至今還有人把它當(dāng)作符咒用于某些迷信活動(dòng)，大約在十五世紀(jì)時(shí)，魔方傳到了西方，著名的科尼利厄斯·阿格里帕（1486-1535）先后構(gòu)造出了3~9階的魔方。如何構(gòu)造魔方奇數(shù)（不妨n=5）階的情況Step1:在第一行中間寫(xiě)1Step2:每次向右上方移一格依次填按由小到大排列的下一個(gè)數(shù)，向上移出界時(shí)填下一列最后一行的小方格；向右移出界時(shí)填第一列上一行的小方格。若下面想填的格已填過(guò)數(shù)或已達(dá)到魔方的右上角時(shí)，改填剛才填的格子正下方的小方格，繼續(xù)Step2直到填完12345678910111213141516171819202122232425偶數(shù)階的情況

偶數(shù)階的魔方可以利用奇數(shù)階魔方拼接而成，拉爾夫·斯特雷奇給出了一種拼接的方法，這里不作詳細(xì)介紹五階沒(méi)人知道有多少個(gè)?。?！三階1個(gè)反射和中心旋轉(zhuǎn)生成8個(gè)四階880個(gè)反射和中心旋轉(zhuǎn)生成7040個(gè)魔方數(shù)量隨階數(shù)n增長(zhǎng)的速度實(shí)在是太驚人了！同階魔方的個(gè)數(shù)允許構(gòu)成魔方的數(shù)取任意實(shí)數(shù)允許取實(shí)數(shù)

n階魔方A、B，任意實(shí)數(shù)α、βαA+βB是n階魔方具有指定性質(zhì)的魔方全體構(gòu)成一個(gè)線性空間問(wèn)題已發(fā)生了實(shí)質(zhì)性變化注：刻畫(huà)一個(gè)線性空間只需指出它的維數(shù)并求出此線性空間的一組基底松馳問(wèn)題的討論

顯然，Dürer空間（簡(jiǎn)稱(chēng)D空間）中任何一個(gè)元素都可以用Q1，Q2，…，Q8來(lái)線性表示，但它們能否構(gòu)成D空間的一組基呢？容易看出：Q1，…，Q8這8個(gè)基本方是線性相關(guān)的，即至少存在一個(gè)Qj，可以通過(guò)其它7個(gè)基本方的線性組合得到。這8個(gè)基本方的地位是等同的，故可不妨設(shè)j=8。下面驗(yàn)證Q1，Q2，…，Q7是否線性相關(guān)。

令：，即=5.要區(qū)分問(wèn)題與實(shí)例（例）災(zāi)情巡視（Multi-TSP——近似算法？）6.算法要好例（整理問(wèn)題）給定n個(gè)實(shí)數(shù)a1,a2,…,an，要求將它整理成由小到大排列（或由大到小排列）的順序：b1,b2，…，bn，b1≤b2≤…≤bn。（算法比較）多項(xiàng)式算法與指數(shù)算法，P問(wèn)題與NP難題，（計(jì)算量的估計(jì)）。7.算法思想的敘述應(yīng)注意簡(jiǎn)單清晰（例）CMCM99A（自動(dòng)化機(jī)床管理）

8.論文是研究成果，要反復(fù)修改寫(xiě)論文要早開(kāi)始論文要寫(xiě)得像論文論文的各部分都要注意到9.賽后要反思，認(rèn)真總結(jié)本隊(duì)參賽的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)。

（閱卷中常見(jiàn)的一些問(wèn)題）

（1）假設(shè)提得不好（CMCM96B洗衣機(jī)節(jié)水的閱卷，餐館洗碗）