數(shù)學人教八年級上冊（2013年新編）11-3-2 多邊形的內(nèi)角和（教學課件）

多邊形的內(nèi)角和1.能通過不同方法探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式.（重點）2.學會運用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式解決問題.（難點）n-3n-2

0110222353494514三角形的內(nèi)角和等于180°，正方形、長方形的內(nèi)角和都等于_____，任意一個四邊形的內(nèi)角和是否也等于360°呢？360°在四邊形ABCD中，連接對角線AC，則四邊形ABCD被分為△ABC和△ACD兩個三角形.由此可得猜想：四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°.你能用以前學過的知識說明一下你的結(jié)論嗎？∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D),∵∠1+∠B+∠3=180°，∠2+∠4+∠D=180°,∴∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=180°+180°=360°,即四邊形的內(nèi)角和等于360°.還有其它的方法嗎？E證法2：如圖，在AB邊上任取一點E，連接CE,DE，所以該四邊形被分成三個三角形，所以四邊形ABCD的內(nèi)角和為180°×3-(∠AED+∠BEC+∠CED)=180°×3-180°=360°.E證法3：如圖，在四邊形ABCD內(nèi)部取一點E，連接AE,BE,CE,DE，把四邊形分成四個三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.所以四邊形ABCD的內(nèi)角和為：180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4-360°=360°.P證法4：如圖，在四邊形外任取一點P,連接PA、PB、PC、PD，將四邊形變成有一個公共頂點的四個三角形.由圖可以得到，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于△APD、△CPD、△BPC的內(nèi)角和相加再減去△APB的內(nèi)角和所以四邊形ABCD的內(nèi)角和為180°×3－180°=360°.【點睛】這四種方法都運用了轉(zhuǎn)化思想，把四邊形分割成三角形，轉(zhuǎn)化到已經(jīng)學過的三角形內(nèi)角和求解.【結(jié)論】四邊形的內(nèi)角和為360°.23180°×3=540°34180°×4=720°n-3n-2180°×(n-2)

一般地，從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以作(n-3)條對角線，它們將n邊形分為(n-2)個三角形，n邊形的內(nèi)角和等于180°×(n-2).

這樣就得出了多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°.【嘗試驗證】用把一個多邊形分成幾個三角形的其他分法來驗證是否能得出多邊形的內(nèi)角和公式？例1.如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關(guān)系？試說明理由.解：如圖，四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°.∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°，∴∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）=360°－180°=180°.如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角互補.求下列圖形中x的值：解：(1)x+x+140+90=360，解得x=65.(2)90+120+150+2x+x=(5-2)×180，解得x=60.(3)75+120+80+(180-x)=360，解得x=95.例2.如圖，在六邊形的每一個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和.六邊形的外角和等于多少？【分析】考慮以下問題:(1)任何一個外角同與它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系?(2)六邊形的6個外角加上與它們相鄰的內(nèi)角所得總和是多少?(3)上述總和與六邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系?例2.如圖，在六邊形的每一個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和.六邊形的外角和等于多少？解：六邊形的任何一個外角加上與它相鄰的內(nèi)角都等于180°,因此六邊形的6個外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得總和等于6×180°,這個總和就是六邊形的外角和加上內(nèi)角和,所以外角和等于總和減去內(nèi)角和，即外角和等于6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360°.例2中，六邊形的外角和=6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360°如果將例2中的六邊形換為n邊形(n是不小于3的任意整數(shù))，可以得到同樣的結(jié)果嗎？n邊形的外角和=n×180°-(n-2)×180°=n×180°-n×180°+2×180°=2×180°=360°【結(jié)論】n邊形的外角和等于360°.如圖，從多邊形的一個頂點A出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各頂點，再回到點A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)時的方向.在行程中所轉(zhuǎn)的各個角的和，就是多邊形的外角和.由于走了一周，所轉(zhuǎn)的各個角的和等于一個周角，所以多邊形的外角和等于360°.回想正多邊形的性質(zhì)，你知道正多邊形的每個內(nèi)角是多少度嗎？每個外角呢？為什么？每個內(nèi)角的度數(shù)是每個外角的度數(shù)是練一練：(1)若一個正多邊形的內(nèi)角是120°,那么這是正____邊形.(2)已知多邊形的每個外角都是45°,則這個多邊形是______邊形.六正八例3.已知一個多邊形，它的內(nèi)角和等于外角和的2倍，求這個多邊形的邊數(shù).解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n.∵它的內(nèi)角和等于(n－2)?180°，外角和等于360°，∴(n－2)?180°=2×360°.解得

n=6.∴這個多邊形的邊數(shù)為6.1.一個多邊形的各內(nèi)角都等于120°，它是幾邊形？2.一個多邊形的各內(nèi)角和與外角和相等，它是幾邊形？解法一：∵各內(nèi)角都等于120°,∴每個外角都是60°,∴邊數(shù)為：360°÷60°=6,即它是六邊形.解：設(shè)它是n邊形，依題意得，(n-2)×180=360,

解得，n=4,即它是四邊形.解法二：設(shè)它是n邊形.120n=(n-2)×180,解得，n=6,即它是六邊形.例4.一個多邊形除了一個內(nèi)角之外，其余內(nèi)角之和為2670°，求這個多邊形的邊數(shù)和少加的內(nèi)角的大小.

如圖是兩位小朋友在探究某多邊形的內(nèi)角和時的一段對話，請根據(jù)他們的對話內(nèi)容判斷他們是在求幾邊形？少加的內(nèi)角為多少度？解：1140°÷180°＝6…60°，則邊數(shù)是：6+1+2＝9；他們在求九邊形的內(nèi)角和；180°﹣60°＝120°，少加的那個內(nèi)角為120度．例5.一個多邊形剪去一個內(nèi)角后，得到一個內(nèi)角和為1980°的新多邊形，求原多邊形的邊數(shù)．解：設(shè)新的多邊形的邊數(shù)為n，∵新的多邊形的內(nèi)角和是1980°，∴180°×（n﹣2）＝1980°，解得：n＝13，∵一個多邊形從某一個頂點出發(fā)截去一個角后所形成的新的多邊形是十三邊形，①若截去一個角后邊數(shù)增加1，則原多邊形邊數(shù)為12，②若截去一個角后邊數(shù)不變，則原多邊形邊數(shù)為13，③若截去一個角后邊數(shù)減少1，則原多邊形邊數(shù)為14，∴原多邊形的邊數(shù)可能是：12或13或14．已知在一個多邊形中，除去一個內(nèi)角外，其余內(nèi)角和的度數(shù)是1125°，求這個多邊形的邊數(shù)．解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為x，這個內(nèi)角為α，根據(jù)題意，得(x-2)?180°=1125°+α，α=(x-2)?180°-1125°由0＜α＜180°，解得：8.25＜x＜9.25．則該多邊形邊數(shù)是9．1.一個多邊形的內(nèi)角和等于720°，這個多邊形的邊數(shù)為______;2.一個多邊形的每個內(nèi)角都等于140°,那么這個多邊形是_____邊形;3.如果一個多邊形的邊數(shù)增加1，那么這個多邊形的內(nèi)角和增加______度;4.若一個多邊形的各邊都相等，它的周長是63，且它的內(nèi)角和為900°，則它的邊長是_______;5.若一個十邊形的每個外角都相等，則它的每個外角的度數(shù)為_____,內(nèi)角和為__________.6九180936°1440°6.若一個n邊形的內(nèi)角都相等，且內(nèi)角的度數(shù)與和它相鄰的外角的度數(shù)比為3:1,那么，這個多邊形的邊數(shù)為_____;7.一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的4倍，那么這個多邊形是____邊形;8.小華從A點出發(fā)向前直走50m后,向左轉(zhuǎn)18°，繼續(xù)向前走50m，再左轉(zhuǎn)18°,他以同樣走法回到A點時，共走_______m;9.如果一個多邊形的每一個外角都相等，并且它的內(nèi)角和為2880°，那么它的內(nèi)角為_______.8十100016010.當一個多邊形的邊數(shù)增加時，其外角和()A.增加B.減少C.不變D.不能確定11.某學生在計算四個多邊形的內(nèi)角和時，得到下列四個答案,其中錯誤的是()A.180B.540C.1080D.1900CD12.一個多邊形截去一個角(不過頂點)后,形成的多邊形的內(nèi)角和是2520°，那么原多邊形的邊數(shù)是()A.13B.14C.15D.13或1513.一個多邊形的外角中，鈍角的個數(shù)不可能是()A.1個B.2個C.3個D.4個14.不能作為正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)的是()A.120B.130C.135°D.144CDB15．一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，這個多邊形的邊數(shù)是多少？解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得（n-2）×180°=3×360°-180°，解得n=7．答：這個多邊形的邊數(shù)為7．16.如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù).解:連接BE，構(gòu)造出四邊形ABEF.∵∠1=∠C+∠D，∠1=∠CBE+∠DEB,∴∠C+∠D=∠CBE+∠DEB,∴∠A+∠ABC+∠C+D+∠DEF+∠F=∠A+∠ABC+∠CB