2022-2023學(xué)年安徽合肥壽春中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)，則（）A．1 B． C．27 D．2．雙曲線的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為，則橢圓C的離心率為()A． B． C． D．3．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則()A． B． C． D．4．復(fù)數(shù)（）A． B． C．0 D．25．袋中有6個(gè)不同紅球、4個(gè)不同白球，從袋中任取3個(gè)球，則至少有兩個(gè)白球的概率是（）．A． B． C． D．6．若對(duì)任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．若函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則實(shí)數(shù)的值為（）A．和 B．和 C． D．8．函數(shù)(,則()A． B． C． D．大小關(guān)系不能確定9．假設(shè)如圖所示的三角形數(shù)表的第行的第二個(gè)數(shù)為，則（）A．2046 B．2416 C．2347 D．248610．設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，，，，，則（）A． B．C． D．11．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．312．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部是（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量與的夾角為，且，，則向量在向量方向上的投影為________．14．若圓柱的軸截面面積為2，則其側(cè)面積為___；15．設(shè)函數(shù)是定義在上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，，則____．16．在的展開式中,第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是______（用數(shù)字作答）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí),若對(duì)任意,存在使,求實(shí)數(shù)取值.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的普通方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(Ⅰ)求直線的參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程；(Ⅱ)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值.19．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在原點(diǎn)處的切線方程.（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);20．（12分）觀察下列等式：；；；；……（1）照此規(guī)律，歸納猜想第個(gè)等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想.21．（12分）某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率；（3）從評(píng)分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在的概率.22．（10分）已知函數(shù)（1）求的最小值（2）若不等式的解集為M，且，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

求導(dǎo)后代入可構(gòu)造方程求得，從而得到，代入可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：，，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)值的求解問題，關(guān)鍵是能夠明確為實(shí)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為零.2、B【解析】

求出直線方程,利用過過點(diǎn)作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為列出方程求解即可.【詳解】雙曲線的左焦點(diǎn)過點(diǎn)作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為,可得：,可得:則雙曲線的離心率為:故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查離心率的求法,考查計(jì)算能力.3、C【解析】由，得，則，故選C.4、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法法則求解即可.【詳解】由題,,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

事件“至少有兩個(gè)白球”包含“兩個(gè)白球一個(gè)紅球”和“三個(gè)都是白球”，然后利用古典概型的概率的計(jì)算公式可求出所求事件的概率．【詳解】事件“至少有兩個(gè)白球”包含“兩個(gè)白球一個(gè)紅球”和“三個(gè)都是白球”，由古典概型的概率公式知，事件“兩個(gè)白球一個(gè)紅球”的概率為，事件“三個(gè)都是白球”的概率為，因此，事件“至少有兩個(gè)球是白球”的概率為，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式以及概率的加法公式，解題時(shí)要弄清楚事件所包含的基本情況，結(jié)合概率的加法公式進(jìn)行計(jì)算，考查分類討論數(shù)學(xué)思想，屬于中等題．6、A【解析】

由已知可得對(duì)任意的恒成立，設(shè)則當(dāng)時(shí)在上恒成立，在上單調(diào)遞增，又在上不合題意；當(dāng)時(shí)，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，要使，在上恒成立，只要，令可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故選A.7、A【解析】由得函數(shù)一條對(duì)稱軸為,因此,由得,選A.點(diǎn)睛：求函數(shù)解析式方法：(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求.（4）由求對(duì)稱軸8、C【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而得到原函數(shù)的單調(diào)性，從而得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)(,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到當(dāng)x>1時(shí)，導(dǎo)函數(shù)大于0，函數(shù)單調(diào)增，當(dāng)x<1時(shí)，導(dǎo)函數(shù)小于0，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)椋实玫?故答案為C.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了導(dǎo)函數(shù)對(duì)于研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性可以通過常見函數(shù)的性質(zhì)得到，也可以通過定義法證明得到函數(shù)的單調(diào)性，或者通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性．9、B【解析】

由三角形數(shù)表特點(diǎn)可得，利用累加法可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由三角形數(shù)表可知：，，，…，，，整理得：，則.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中的項(xiàng)的求解問題，關(guān)鍵是能夠采用累加法準(zhǔn)確求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.10、B【解析】分析：易得到fn（x）表達(dá)式以8為周期，呈周期性變化，由于2018÷8余2，故f2008（x）=f2（x），進(jìn)而得到答案詳解：∵f0（x）=ex（cosx+sinx），∴f0′（x）=ex（cosx+sinx）+ex（﹣sinx+cosx）=2excosx，∴f1（x）==excosx，∴f1′（x）=ex（cosx﹣sinx），∴f2（x）==ex（cosx﹣sinx），∴f2′（x）=ex（cosx﹣sinx）+ex（﹣sinx﹣cosx）=﹣2exsinx，∴f3（x）=﹣exsinx，∴f3′（x）=﹣ex（sinx+cosx），∴f4（x）=﹣ex（cosx+sinx），∴f4′（x）=﹣2excosx，∴f5（x）=﹣excosx，∴f6（x）=﹣ex（cosx﹣sinx），∴f7（x）=exsinx，∴f8（x）=ex（cosx+sinx），…，∴=f2（x）=，故選：B．點(diǎn)睛：本題通過觀察幾個(gè)函數(shù)解析式，歸納出一般規(guī)律來考查歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.11、C【解析】，如圖，由圖可知，兩個(gè)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以原函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選C．12、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，可得出復(fù)數(shù)的虛部．【詳解】，因此，該復(fù)數(shù)的虛部為，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法，考查復(fù)數(shù)的虛部，對(duì)于復(fù)數(shù)問題的求解，一般利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，明確復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部進(jìn)行求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題知，，再根據(jù)投影的概念代入計(jì)算即可.【詳解】，，所以向量在向量方向上的投影為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的坐標(biāo)計(jì)算，投影的概念與計(jì)算.14、【解析】

根據(jù)題意得圓柱的軸截面為底邊為，高為的矩形，根據(jù)幾何性質(zhì)即可求解?！驹斀狻吭O(shè)圓柱的底面圓半徑為，高為，由題意知，圓柱的軸截面為底邊為，高為的矩形，所以，即。所以側(cè)面積?！军c(diǎn)睛】本題考查圓柱的幾何性質(zhì)，表面積的求法，屬基礎(chǔ)題15、【解析】

依題意能得到f（）＝f（），代入解析式即可求解.【詳解】依題意得f（﹣x）＝f（x）且f（x+2）＝f（x），∴f（）＝f（）＝f（2）＝f（）2，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16、20【解析】

利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式即可求出.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：.令,所以第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是故答案為：20【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),解決本題要注意與二項(xiàng)式某項(xiàng)的展開式系數(shù)的不同.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增;函數(shù)在上單調(diào)遞減；（2）．【解析】分析：（1）先求定義域，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，，令，分，，，，四種情況考慮h(x)零點(diǎn)情況及正負(fù)情況，得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。（2）因?yàn)?由于(I)知,在上的最小值為，由題意可知“對(duì)任意,存在,使”等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”，由一元二次函數(shù)的“三點(diǎn)一軸”分類討論求得g(x)的最小值，再求得b范圍。詳解：(1)定義域因?yàn)樗粤?i)當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增(ii)當(dāng)時(shí),由,即,解得①當(dāng)時(shí),，恒成立,此時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減;②當(dāng)時(shí),時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí),由于時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增；綜上所述:當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增;函數(shù)在上單調(diào)遞減(2)因?yàn)?由于(I)知,,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減:當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,所以在上的最小值為由于“對(duì)任意,存在,使”等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”又,,所以①當(dāng)時(shí),因?yàn)?此時(shí)與矛盾②當(dāng)時(shí),因?yàn)?同樣與矛盾③當(dāng)時(shí),因?yàn)?，解不等式可得綜上,的取值范圍是．點(diǎn)睛：本題綜合考查用導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類討論思想求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，及恒成立問題與存在性問題的理解，即轉(zhuǎn)化為最值問題，同時(shí)也考查了一元二次函數(shù)“三點(diǎn)一軸”求最值問題，題目綜合性較強(qiáng)，分類較多，對(duì)學(xué)生的能力要求較高。18、(Ⅰ)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))極坐標(biāo)方程為()(Ⅱ)5【解析】

(Ⅰ)直線的普通方程為，可以確定直線過原點(diǎn)，且傾斜角為，這樣可以直接寫出參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程；(Ⅱ)利用，把曲線的參數(shù)方程化為普通方程，然后把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程中，利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的意義，可以求出的值.【詳解】解:(Ⅰ)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))極坐標(biāo)方程為()(Ⅱ)曲線的普通方程為將直線的參數(shù)方程代入曲線中，得，設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是，則，【點(diǎn)睛】本題考查了直線的參數(shù)方程化為普通方程和極坐標(biāo)方程問題，同時(shí)也考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及直線參數(shù)方程的幾何意義.19、（1）（2）函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為兩個(gè)【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解曲線在原點(diǎn)處的切線方程；（2）由（1），求得函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，即可求解函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】（1）由題意，函數(shù)，則，則，從而曲線在原點(diǎn)處的切線方程為．（2）由（1）知，令得或，從而函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且，存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，且，存在唯一零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為兩個(gè).【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，著重考查了分類討論思想，推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）；（2）證明見解析.【解析】分析：（1）第個(gè)等式為.(2)利用個(gè)數(shù)學(xué)歸納法證明猜想.詳解：（1）第個(gè)等式為；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊,所以當(dāng)時(shí)，原等式成立.②假設(shè)當(dāng)時(shí)原等式成立，即,則當(dāng)時(shí)，,所以當(dāng)時(shí)，原等式也成立.由①②知，（1）中的猜想對(duì)任何都成立.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查歸納猜想和數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是證明n=k+1時(shí)，=.21、（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】

試題分析：（Ⅰ）在頻率分布直方圖中，由頻率總和即所有矩形面積之和為，可求；（Ⅱ）在頻率分布直方圖中先求出50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為，由頻率與概率關(guān)系可得該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為;（Ⅲ）受訪職工評(píng)分在[50,60)的有3人，記為，受訪職工評(píng)分在[40,50)的有2人，記為，列出從這5人中選出兩人所有基本事件，即可求相應(yīng)的概率.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)椋浴?.4分)（Ⅱ）由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為，所以該企業(yè)職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為………8分（Ⅲ）受訪職工評(píng)分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即為;受訪職工評(píng)分在[40,50)的有：50×0.004×40＝2（人），即為.從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是又因?yàn)樗槿?人的評(píng)分都在[40,50)的結(jié)果有1種，即，故所求的概率為考點(diǎn)：1.頻率分布直方圖；2.概率和頻率的關(guān)系；3.古典概型.【名師點(diǎn)睛