2022-2023學(xué)年黑龍江省大慶市紅崗區(qū)鐵人中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為A． B． C． D．2．設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)的最小正周期為，且，有成立，則圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)是（）A． B．C． D．4．命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C． D．5．轉(zhuǎn)化為弧度數(shù)為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，若且對(duì)任意的恒成立，則的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知一袋中有標(biāo)有號(hào)碼、、的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號(hào)碼后放回，當(dāng)三種號(hào)碼的卡片全部取出時(shí)即停止，則恰好取次卡片時(shí)停止的概率為（）A． B． C． D．8．設(shè)隨機(jī)變量，若，則等于（）A． B． C． D．9．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且，則A． B．2 C．4 D．810．若直線(xiàn)l：過(guò)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)直線(xiàn)l的斜率為（）A．2 B． C． D．211．設(shè)，，集合（）A． B． C． D．12．在的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為，則的系數(shù)為（）A．21 B．63 C．189 D．729二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則的解集是______.14．從字母中選出個(gè)字母排成一排，其中一定要選出和，并且它們必須相鄰(在前面)，共有排列方法__________種.15．的展開(kāi)式中的系數(shù)為.16．若某圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）大型綜藝節(jié)目《最強(qiáng)大腦》中，有一個(gè)游戲叫做盲擰魔方，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方，盲擰在外人看來(lái)很神奇，其實(shí)原理是十分簡(jiǎn)單的，要學(xué)會(huì)盲擰也是很容易的.根據(jù)調(diào)查顯示，是否喜歡盲擰魔方與性別有關(guān).為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，某興趣小組隨機(jī)抽取了50名魔方愛(ài)好者進(jìn)行調(diào)查，得到的情況如下表所示：喜歡盲擰不喜歡盲擰總計(jì)男22▲30女▲12▲總計(jì)▲▲50表1并邀請(qǐng)這30名男生參加盲擰三階魔方比賽，其完成情況如下表所示：成功完成時(shí)間（分鐘）[0，10)[10，20)[20，30)[30，40]人數(shù)101055表2（1）將表1補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)？（2）根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)，求這30名男生成功完成盲擰的平均時(shí)間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（3）現(xiàn)從表2中成功完成時(shí)間在[0，10)內(nèi)的10名男生中任意抽取3人對(duì)他們的盲擰情況進(jìn)行視頻記錄，記成功完成時(shí)間在[0，10)內(nèi)的甲、乙、丙3人中被抽到的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）已知橢圓C:的左,右焦點(diǎn)分別為且橢圓上的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為4(1)求橢圓的方程;(2)若直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)直線(xiàn)的斜率之積等于，試探求△OMN的面積是否為定值，并說(shuō)明理由19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位．曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)是曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值.20．（12分）已知函數(shù)（1）試討論在極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，且，為的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）已知知x為正實(shí)數(shù)，n為正偶數(shù)，在的展開(kāi)式中，（1）若前3項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，求n的值及展開(kāi)式中的有理項(xiàng)；（2）求奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，并比較它們的大小.22．（10分）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足．(Ⅰ)求，，，的值；(Ⅱ)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】因?yàn)榍€(xiàn)，所以切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（4，e2）

∴f′（x）|x=4=e2，

∴切線(xiàn)方程為：y-e2=e2（x-4），

令y=0，得x=2，與x軸的交點(diǎn)為：（2，0），

令x=0，y=-e2，與y軸的交點(diǎn)為：（0，-e2），

∴曲線(xiàn)在點(diǎn)（4，e2）處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積s=×2×|-e2|=e2.

故選D．2、A【解析】分析：的定義域?yàn)?，由得所以能求出的取值范圍．詳解：的定義域?yàn)椋傻?/p>

所以．

①若，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減．所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)．

滿(mǎn)足題意，所以成立．

②若，由，得，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減．所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)．

滿(mǎn)足題意，所以成立．．

如果函數(shù)取得極小值，不成立；

②若，由，得．

因?yàn)槭莊（x）的極大值點(diǎn)，成立；

綜合①②：的取值范圍是．

故選：A．點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．3、A【解析】

首先根據(jù)函數(shù)的最小正周期和最值確定函數(shù)的解析式，進(jìn)一步利用整體思想求出函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心.【詳解】由的最小正周期為，得，因?yàn)楹愠闪?，所以，即，由，得，故，令，得，故圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，當(dāng)時(shí)，圖象的對(duì)稱(chēng)中心為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦型函數(shù)的性質(zhì)、周期性和對(duì)稱(chēng)中心的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)，成立，求得，再根據(jù)集合法，選其子集即可.【詳解】因?yàn)?，成立，所以，成立，所以，命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式恒成立及邏輯關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】已知180°對(duì)應(yīng)弧度，則轉(zhuǎn)化為弧度數(shù)為.本題選擇D選項(xiàng).6、B【解析】分析：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，求正整數(shù)的值．設(shè)函數(shù)，求其導(dǎo)函數(shù)，得到其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)位于內(nèi)，且知此零點(diǎn)為函數(shù)的最小值點(diǎn)，經(jīng)求解知，從而得到0，則正整數(shù)的最大值可求．．詳解：因?yàn)?，所以?duì)任意恒成立，

即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立．

令，則令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

因?yàn)?/p>

所以方程在上存在唯一實(shí)根，且滿(mǎn)足．

當(dāng)時(shí)，，

即，當(dāng)時(shí)，，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增．

所以所以

因?yàn)椋?/p>

故整數(shù)的最大值是3，

故選：B．點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是，如何求解函數(shù)的最小值，屬難題．7、B【解析】分析：由題意結(jié)合排列組合知識(shí)和古典概型計(jì)算公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：根據(jù)題意可知，取5次卡片可能出現(xiàn)的情況有種；由于第5次停止抽取，所以前四次抽卡片中有且只有兩種編號(hào)，所以總的可能有種；所以恰好第5次停止取卡片的概率為.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹(shù)狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.8、C【解析】由于,則由正態(tài)分布圖形可知圖形關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故，則，故選C.9、D【解析】

由，可得，從而得，解出的值即可得結(jié)果．【詳解】實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，故，又由得：，解得：，或舍去，故，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)的運(yùn)算與對(duì)數(shù)的運(yùn)算，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于中檔題．10、A【解析】

將點(diǎn)帶入直線(xiàn)可得，利用均值不等式“1”的活用即可求解．【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)所以斜率，故選A【點(diǎn)睛】本題考查均值不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬基礎(chǔ)題．11、C【解析】分析：由題意首先求得集合B，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.詳解：求解二次不等式可得，結(jié)合交集的定義可知：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查集合的表示方法，交集的定義及其運(yùn)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.12、C【解析】分析：令得各項(xiàng)系數(shù)和，由已知比值求得指數(shù)，寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)，再令的指數(shù)為4求得項(xiàng)數(shù)，然后可得系數(shù)．詳解：由題意，解得，∴，令，解得，∴的系數(shù)為．故選C．點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)式的性質(zhì)．在的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為，而展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和是在展開(kāi)式中令變量值為1可得，二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式為．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

討論的值，去掉絕對(duì)值，作出函數(shù)圖像，由圖象可得原不等式或，分別求出它們，再求并集即可.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的圖象可得在上遞增，不等式即為或，化簡(jiǎn)得或，解得或，即，故解集為?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性以及一元二次不等式的解法，利用圖像來(lái)分析不等式的解是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.14、36【解析】

從剩余的4個(gè)字母中選取2個(gè)，再將這2個(gè)字母和整體進(jìn)行排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果．【詳解】由于已經(jīng)選出，故再?gòu)氖Ｓ嗟?個(gè)字母中選取2個(gè)，方法有種，再將這2個(gè)字母和整體進(jìn)行排列，方法有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得所有的排列方法共有種，故答案為36.【點(diǎn)睛】本題主要考查排列與組合及兩個(gè)基本原理的應(yīng)用，屬于中檔題．15、70.【解析】試題分析：設(shè)的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為第項(xiàng)，則由通項(xiàng)知．令，解得，∴的展開(kāi)式中的系數(shù)為．考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理．16、【解析】

由軸截面面積求得軸截面邊長(zhǎng)，從而得圓錐的底面半徑和母線(xiàn)長(zhǎng)．【詳解】設(shè)軸截面等邊三角形邊長(zhǎng)為，則，，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積，掌握側(cè)面積計(jì)算公式是解題基礎(chǔ)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)能(2)（3）見(jiàn)解析【解析】分析：根據(jù)題意完善表格，由卡方公式得出結(jié)論。（2）根據(jù)題意，平均時(shí)間為計(jì)算即可（3）由題意，滿(mǎn)足超幾何分布，由超幾何分布計(jì)算概率，數(shù)學(xué)期望詳解：（1）依題意，補(bǔ)充完整的表1如下：喜歡盲擰不喜歡盲擰總計(jì)男22830女81220總計(jì)302050由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得的觀測(cè)值為所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)。（2）依題意，所求平均時(shí)間為（分鐘）（3）依題意，X的可能取值為0，1，2，3，故故X的分布列為X0123P故點(diǎn)睛：計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率，要融入題目的情景中去，對(duì)于文字描述題，題目亢長(zhǎng)，要逐句的分析。超幾何分布的特征：1.樣本總體分為兩大類(lèi)型，要么類(lèi)，要么類(lèi)。2.超幾何分布是組合問(wèn)題，分組或分類(lèi)，有明顯的選次品的意思。3.超幾何分布是將隨機(jī)變量分類(lèi)，每一類(lèi)之間是互斥事件。4.超幾何分布的隨機(jī)變量的確定我們只需搞清楚最少和最多兩種情況，其他的在最少和最多之間。18、（1）；（2）定值1【解析】

（1）由已知求得，又點(diǎn)在橢圓上，代入求得，即可得到橢圓的方程；（2）設(shè)，聯(lián)立方程組，求得，又由直線(xiàn)的斜率之積等于，化簡(jiǎn)求得，再由弦長(zhǎng)公式和面積公式，即可求解.【詳解】（1）由已知，即，又點(diǎn)在橢圓上，所以，所以，故橢圓方程為.（2）設(shè)，由，得，則，即，且，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率之積等于，，所以，即，又到直線(xiàn)MN的距離為，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題,解答此類(lèi)題目，通常聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓（圓錐曲線(xiàn)）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類(lèi)問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等.19、（1）；;（2）【解析】

（1）消參數(shù)得的普通方程，根據(jù)得的直角坐標(biāo)方程（2）根據(jù)直線(xiàn)與圓位置關(guān)系得最值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即?）因?yàn)閳A心到直線(xiàn)距離為，所以點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程、極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程以及直線(xiàn)與圓位置關(guān)系，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.20、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出極值的個(gè)數(shù)；（2）先求出函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而可得到極值點(diǎn)的關(guān)系，可用來(lái)表示及，代入的表達(dá)式，然后構(gòu)造函數(shù)關(guān)于的函數(shù)，求出值域即可.【詳解】解：（1）易知定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，恒成立，在為增函數(shù)，沒(méi)有極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，恒成立，在為增函數(shù)，沒(méi)有極值點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，由，令得，令得，則在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故只有一個(gè)極大值點(diǎn)，沒(méi)有極小值點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，由，令得，令得,則在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故只有一個(gè)極小值點(diǎn)，沒(méi)有極大值點(diǎn).（2）由條件得且有兩個(gè)根，滿(mǎn)足，或，因?yàn)椋?，故符合題意.因