因子分析數(shù)學模型

因子分析數(shù)學模型第1頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月因子分析數(shù)學模型計算步驟及實例因子旋轉因子得分第2頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月R型因子分析

Q型因子分析R型因子分析的數(shù)學模型用矩陣表示因子分析的數(shù)學模型R型因子分析

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Q型因子分析R型因子分析的數(shù)學模型第3頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月簡記為且滿足第4頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

為任一個m階的正交陣，上式仍滿足約束條件因子分析每個相應的系數(shù)不是唯一的，即因子載荷陣不是唯一的。通過模型以F代替X，由于m≤p,從而達到簡化變量維數(shù)目的。因子分析的目的第5頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月正交因子模型中各統(tǒng)計量的意義因子載荷的統(tǒng)計意義因子載荷aij的統(tǒng)計意義是第i個變量與第j個公共因子的相關系數(shù)。用統(tǒng)計學術語叫權重，表示Xi依賴Fj的份量（比重）。第6頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月因子載荷陣A中第i行元素的平方和，即稱為變量Xi的共同度。為了說明它的統(tǒng)計學意義，對Xi的表達式兩邊求方差，即公共因子方差剩余方差變量共同度的統(tǒng)計意義第7頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月因子載荷陣A中各列元素的平方和記為表示第j個公共因子對所有分量的總影響，稱為第j個公共因子對X的貢獻，它是衡量第j個因子相對重要性的指標公共因子Fj方差的統(tǒng)計意義第8頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月因子載荷陣的估計方法主成分法主因子法極大似然法設樣本的協(xié)差陣的特征值和對應的標準正交化特征向量分別為：則協(xié)差陣可分解為第9頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月當最后p-m個特征值較小時，協(xié)差陣可以近似的分解為A即為因子協(xié)方差陣。當X的協(xié)方差陣未知，可以用樣本協(xié)方差陣S去代替。第10頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月因子旋轉不管用何種方法確定因子載荷矩陣A，它們都不是唯一的，我們可以由任意一組初始公共因子做線性組合，得到新的一組公共因子，使得新的公共因子彼此之間相互獨立，同時也能很好的解釋原始變量之間的相關關系。這樣的線性組合可以找到無數(shù)組，這樣就引出了因子旋轉。因子旋轉的目的是為了找到意義更為明確，實際意義更明顯的公因子。因子旋轉不改變變量共同度，只改變公因子的方差貢獻。第11頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月因子旋轉分為兩種：正交旋轉和斜交旋轉特點：正交旋轉：由因子載荷矩陣A左乘一正交陣而得到，經(jīng)過旋轉后的新的公因子仍然保持彼此獨立的性質(zhì)。正交變化主要包括方差最大旋轉法、四次最大正交旋轉、平均正交旋轉。斜交旋轉：放棄了因子之間彼此獨立這個限制，可達到更簡潔的形式，實際意義也更容易解釋。不論是正交旋轉還是斜交旋轉，都應該在因子旋轉后，使每個因子上的載荷盡可能拉開距離，一部分趨近1，一部分趨近0，使各個因子的實際意義能更清楚地表現(xiàn)出來。第12頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月方差最大化正交旋轉假設前提：公因子的解釋能力能夠以其因子載荷平方的方差來度量先考慮兩個因子的平面正交旋轉：對A按行計算共同度，考慮到各個變量的共同度之間的差異所造成的不平衡，需對A中的元素進行規(guī)格化處理，即每行的元素用每行的共同度除之。規(guī)格化后的矩陣，為方便仍記為A，施行方差最大正交旋轉（C為正交陣）：假設前提：公因子的解釋能力能夠以其因子載荷平方的方差來度量先考慮兩個因子的平面正交旋轉：對A按行計算共同度，考慮到各個變量的共同度之間的差異所造成的不平衡，需對A中的元素進行規(guī)格化處理，即每行的元素用每行的共同度除之。規(guī)格化后的矩陣，為方便仍記為A，施行方差最大正交旋轉（C為正交陣）：假設前提：公因子的解釋能力能夠以其因子載荷平方的方差來度量先考慮兩個因子的平面正交旋轉：對A按行計算共同度，考慮到各個變量的共同度之間的差異所造成的不平衡，需對A中的元素進行規(guī)格化處理，即每行的元素用每行的共同度除之。規(guī)格化后的矩陣，為方便仍記為A，施行方差最大正交旋轉（C為正交陣）：假設前提：公因子的解釋能力能夠以其因子載荷平方的方差來度量先考慮兩個因子的平面正交旋轉：對A按行計算共同度，考慮到各個變量的共同度之間的差異所造成的不平衡，需對A中的元素進行規(guī)格化處理，即每行的元素用每行的共同度除之。規(guī)格化后的矩陣，為方便仍記為A，施行方差最大正交旋轉（C為正交陣）：假設前提：公因子的解釋能力能夠以其因子載荷平方的方差來度量先考慮兩個因子的平面正交旋轉：對A按行計算共同度，考慮到各個變量的共同度之間的差異所造成的不平衡，需對A中的元素進行規(guī)格化處理，即每行的元素用每行的共同度除之。規(guī)格化后的矩陣，為方便仍記為A，施行方差最大正交旋轉（C為正交陣）：第13頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月目的：希望所得結果能使載荷矩陣的每一列元素的絕對值盡可能向1和0兩極分化，即原始變量中一部分主要與第一因子有關，另一部分主要與第二因子有關，也就是要求（b112,…,bp12），（b122,…,bp22）這兩組的方差盡量大。為此，正交旋轉的角度必須滿足使旋轉后得到因子載荷陣的總方差V1+V2=G達到最大。第14頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)過計算，其旋轉角度可按下面公式求得：第15頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月推廣到多個公共因子的情況如果公共因子多于兩個，我們可以逐次對每兩個進行上述的旋轉，設公共因子數(shù)m>21.第一輪旋轉，每次取兩個，全部配對旋轉，變換共需進行m(m-1)/2次2.對第一輪旋轉所得結果用上述方法繼續(xù)進行旋轉，得到第二輪旋轉結果。每一次旋轉后，矩陣各列平方的相對方差之和總會比上一次有所增加。3.當總方差的改變不大時，就可以停止旋轉。第17頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月因子得分因子分析的數(shù)學模型是將變量表示為公共因子的線性組合。由于公共因子能反映原始變量的相關關系，用公共因子代表原始變量時，有時更有利于描述研究對象的特征，因而往往需要反過來將公共因子表示成為變量的線性組合，即稱上式為因子得分函數(shù)。第18頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月估計因子得分函數(shù)的方法加權最小二乘法回歸法回歸法是1939年由Thomson提出來的，所以又稱為湯姆森回歸法。第19頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月Thomson假設公共因子可以對p個變量做回歸，由于假設變量及公共因子都已經(jīng)標準化了，所以常數(shù)項為0.即回歸方程為：第20頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

則，我們有如下的方程組：我們現(xiàn)在僅知道由樣本值可得因子載荷陣A,由因子載荷的意義知：第21頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月j=1,2,…,m第22頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月于是F=BX,就是估計因子得分的計算公式。,記為B.第23頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月在估計出公因子得分后，可以利用因子得分進行進一步的分析，如樣本點之間的比較分析，對樣本點的聚類分析等，當因子數(shù)m較少時，還可以方便地把各樣本點在圖上表示出來，直觀地描述樣本的分布情況，從而便于把研究工作引向深入。第24頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月因子分析的步驟

計算所選原始變量的相關系數(shù)矩陣

相關系數(shù)矩陣描述了原始變量之間的相關關系?？梢詭椭袛嘣甲兞恐g是否存在相關關系，這對因子分析是非常重要的，因為如果所選變量之間無關系，做因子分析是不恰當?shù)?。并且相關系數(shù)矩陣是估計因子結構的基礎。選擇分析的變量用定性分析和定量分析的方法選擇變量，因子分析的前提條件是觀測變量間有較強的相關性，因為如果變量之間無相關性或相關性較小的話，他們不會有共享因子,所以原始變量間應該有較強的相關性。第25頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

提取公共因子這一步要確定因子求解的方法和因子的個數(shù)。需要根據(jù)研究者的設計方案或有關的經(jīng)驗或知識事先確定。因子個數(shù)的確定可以根據(jù)因子方差的大小。只取方差大于1(或特征值大于1)的那些因子，因為方差小于1的因子其貢獻可能很??；按照因子的累計方差貢獻率來確定，一般認為要達到60％才能符合要求。

因子旋轉通過坐標變換使每個原始變量在盡可能少的因子之間有密切的關系，這樣因子解的實際意義更容易解釋,并為每個潛在因子賦予有實際意義的名字。第26頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

計算因子得分

求出各樣本的因子得分，有了因子得分值，則可以在許多分析中使用這些因子，例如以因子的得分做聚類分析的變量，做回歸分析中的回歸因子。第27頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月因子分析計算步驟與實例分析對我國30個省市自治區(qū)的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)情況作因子分析。從農(nóng)業(yè)生產(chǎn)條件和生產(chǎn)結果及效益出發(fā)，選取六項指標分別為：X1—鄉(xiāng)村勞動力人口（萬人）、X2—人均經(jīng)營耕地面積（畝）、X3—戶均生產(chǎn)性固定資產(chǎn)原值（元）、X4—家庭基本純收入（元）、X5—人均農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值（千元/人）、X6—增加值占總產(chǎn)值比重（%）原始資料數(shù)據(jù)如下頁表:第28頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月序號地區(qū)X1X2X3X4X5X61北京66.90.932972.413290.732.52549.72天津80.21.644803.542871.621.77449.63河北1621.82.034803.542871.810.8004544山西635.42.762257.661499.140.55556.25內(nèi)蒙古514.110.175834.941550.150.905166.46遼寧605.12.963108.862059.351.475253.17吉林534.24.734767.511940.461.115463.18黑龍江494.88.245573.022075.421.628357.89上海661.021660.034571.813.044835.610江蘇1530.21.262826.862868.331.192150.611浙江1123.10.945494.233289.070.856563.312安徽1953.61.443573.621508.240.575659.213福建775.80.822410.052295.191.149662.814江西1103.21.32310.981804.930.664959.915山東2475.11.443109.111989.530.88095516河南2815.81.53782.261508.360.582358.517湖北1296.51.62291.61754.130.879962.818湖南2089.31.422348.721719.180.58764.719廣東1439.80.883249.612928.241.09659.720廣西1579.91.433090.171590.90.569464.521海南165.91.354454.771575.490.353565.222四川3903.71.082870.451340.610.444364.123貴州1376.61.182282.271206.250.289265.424云南1642.22.424025.061096.730.345664.225西藏88.62.5111559.831257.710.434970.426陜西1046.12.62228.551091.960.438359.727甘肅6725.862879.361037.120.488357.228青海137.12.626725.111133.060.409670.329寧夏139.14.015607.971346.890.497362.530新疆288.53.967438.131161.711.493957.8第29頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月第一步將原始數(shù)據(jù)標準化第二步建立指標間的相關系數(shù)陣R：第30頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月第三步求R的特征值和特征向量。序號特征值貢獻率累積貢獻率（%）12.776546.275646.275621.740929.016075.291730.711611.861287.152940.43347.224894.377850.23693.948498.326360.10041.6736100第31頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

由于前三個特征值累積貢獻率已達87.15%，所以取前三個特征值所對應的特征向量如下：u1u2u30.1460-0.6242-0.18540.16310.52700.75470.24210.52720.5369-0.54630.01530.2325-0.54550.2317-0.04220.54530.02250.2276第32頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

第四步列出因子載荷矩陣表。因子指標a1a2a3X10.2433-0.8236-0.15640.7621X20.27180.69540.63660.9629X30.40350.69570