數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-for-靜力學(xué)-矢量(I)課件

理論力學(xué)CAI版權(quán)所有,2000(c)上海交通大學(xué)工程力學(xué)系理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)For靜力學(xué)2023/7/221理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論力學(xué)CAI版權(quán)所有,2000(c)上海交通大學(xué)工程力學(xué)系數(shù)學(xué)基礎(chǔ)For靜力學(xué)矩陣矢量2023/7/222理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量矢量、矢量基與基矢量

矢量的代數(shù)描述平面矢量矢量2023/7/223理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量矢量、矢量基與基矢量

矢量的代數(shù)描述平面矢量矢量2023/7/224理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量、矢量基與基矢量幾何矢量的定義幾何矢量的運(yùn)算矢量基與基矢量矢量/矢量、矢量基與基矢量2023/7/225理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)幾何矢量的定義具有方向與大小的量稱為幾何矢量(矢量)用上面加一箭頭的白斜體字母表示它的大小稱為模矢量/矢量、矢量基與基矢量/幾何矢量的定義模為1的矢量：?jiǎn)挝皇噶磕榱愕氖噶浚毫闶噶繋缀伪硎荆河邢蚓€段線段長(zhǎng)度為矢量的模指向?yàn)槭噶康姆较?023/7/226理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/矢量、矢量基與基矢量/幾何矢量的運(yùn)算幾何矢量的運(yùn)算

矢量相等：兩矢量的模相等、方向一致2023/7/227理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/矢量、矢量基與基矢量/幾何矢量的運(yùn)算標(biāo)量a與矢量的積方向與該矢量一致，模是它的a倍特殊情況矢量模概念的拓展單位矢量模為拓展為含方向與單位矢量方向一致與單位矢量方向相反2023/7/228理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/矢量、矢量基與基矢量/幾何矢量的運(yùn)算交換律結(jié)合律矢量和：平行四變形法則2023/7/229理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/矢量、矢量基與基矢量/幾何矢量的運(yùn)算矢量點(diǎn)(標(biāo))積：為一個(gè)標(biāo)量，其大小為單位矢量矢量在上的投影（廣義）2023/7/2210理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/矢量、矢量基與基矢量/幾何矢量的運(yùn)算矢量點(diǎn)(標(biāo))積：為一個(gè)標(biāo)量，其大小為交換律分配律兩矢量正交兩矢量并行矢量模的平方2023/7/2211理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/矢量、矢量基與基矢量/幾何矢量運(yùn)算矢量叉(矢)積：為一個(gè)矢量

大小構(gòu)成的平行四邊形的面積無交換律分配律方向垂直于兩矢量構(gòu)成的平面(右手法則)兩矢量并行2023/7/2212理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/矢量、矢量基與基矢量/幾何矢量運(yùn)算矢量積的混合運(yùn)算

混合積兩重叉積V為四棱柱的體積底面積高2023/7/2213理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/矢量、矢量基與基矢量/矢量基與基矢量矢量基：三個(gè)相互正交的矢量構(gòu)成的三維空間矢量基與基矢量基矢量：構(gòu)成矢量基的三個(gè)單位矢量基點(diǎn)：原點(diǎn)OO2023/7/2214理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/矢量、矢量基與基矢量/矢量基與基矢量基矢量單位矢量O右旋正交2023/7/2215理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/矢量、矢量基與基矢量/矢量基與基矢量矢量基的數(shù)學(xué)描述:三階矢量列陣O2023/7/2216理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/矢量、矢量基與基矢量/矢量基與基矢量矢量基b矢量基r不同的矢量基的數(shù)學(xué)描述2023/7/2217理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/矢量、矢量基與基矢量/矢量基與基矢量矢量陣的運(yùn)算類同標(biāo)量陣的運(yùn)算(將矢量作為元素處理)2023/7/2218理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量矢量、矢量基與基矢量

矢量的代數(shù)描述平面矢量矢量2023/7/2219理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量的代數(shù)描述矢量與矢徑矢量的運(yùn)算與坐標(biāo)陣運(yùn)算的關(guān)系矢量/代數(shù)描述2023/7/2220理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/代數(shù)描述/矢量與矢徑矢量的代數(shù)表達(dá)式：矢量與矢徑矢量的分(矢)量：在基下任意矢量可表示如下矢量和各分量的模(廣義)稱為矢量在該基下的坐標(biāo)2023/7/2221理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/代數(shù)描述/矢量與矢徑矢量的分解與合成在基下任意矢量分解合成相互正交2023/7/2222理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/代數(shù)描述/矢量與矢徑矢量在基下的坐標(biāo)陣坐標(biāo)陣又稱“代數(shù)矢量”在給定的矢量基下，矢量與其的坐標(biāo)陣一一對(duì)應(yīng)2023/7/2223理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/代數(shù)描述/矢量與矢徑矢量在基下的坐標(biāo)陣坐標(biāo)陣又稱“代數(shù)矢量”在給定的矢量基下，矢量與其的坐標(biāo)陣一一對(duì)應(yīng)矢量的坐標(biāo)方陣反對(duì)稱陣2023/7/2224理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[例]一長(zhǎng)方體， AB=1，BC=1.2,BQ=0.8 對(duì)于圖中給定的基， 寫出矢量在該基上的 坐標(biāo)陣與坐標(biāo)方陣矢量/代數(shù)描述/矢量與矢徑ADCBPQ2023/7/2225理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：矢量/代數(shù)描述/矢量與矢徑定義坐標(biāo)陣坐標(biāo)方陣ADCBPQ2023/7/2226理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)點(diǎn)的矢徑起點(diǎn)為基點(diǎn)O指向P的矢量，稱為點(diǎn)P的矢徑點(diǎn)P的矢徑的坐標(biāo)陣矢量/代數(shù)描述/矢量與矢徑點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)于空間點(diǎn)P點(diǎn)P的坐標(biāo)點(diǎn)P矢徑的坐標(biāo)陣的三個(gè)坐標(biāo)與該點(diǎn)的三個(gè)空間坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)Or3r2r1Or1，r2

，r32023/7/2227理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)O矢量/代數(shù)描述/矢量與矢徑基矢量的坐標(biāo)陣2023/7/2228理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/代數(shù)描述/矢量與矢徑矢量代數(shù)表達(dá)的矩陣式1*11*33*11*13*11*32023/7/2229理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/代數(shù)描述/矢量與矢徑矢量表達(dá)陣的矩陣式2023/7/2230理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/代數(shù)描述/矢量與矢徑同一矢量在不同基下的坐標(biāo)陣2023/7/2231理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/代數(shù)描述/矢量與矢徑同一矢量在不同基下的坐標(biāo)陣2023/7/2232理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/代數(shù)描述/矢量與矢徑矢量本身與基無關(guān)，矢量的坐標(biāo)陣與相關(guān)的基有關(guān)2023/7/2233理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/代數(shù)描述/矢量運(yùn)算與坐標(biāo)陣運(yùn)算的關(guān)系矢量的運(yùn)算與坐標(biāo)陣運(yùn)算的關(guān)系矢量運(yùn)算式坐標(biāo)陣運(yùn)算式

同一個(gè)基下兩種運(yùn)算的關(guān)系：2023/7/2234理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/代數(shù)描述/矢量運(yùn)算與坐標(biāo)陣運(yùn)算的關(guān)系矢量與矢徑的關(guān)系任意矢量等于矢端矢徑減去矢尾矢徑矢量坐標(biāo)陣與矢端矢尾坐標(biāo)的關(guān)系矢量坐標(biāo)陣等于與矢端坐標(biāo)陣減矢尾坐標(biāo)陣2023/7/2235理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/代數(shù)描述/矢量運(yùn)算與坐標(biāo)陣運(yùn)算的關(guān)系[例]已知矢量與在某基下的坐標(biāo)陣分別為求矢量在該基下的坐標(biāo)陣2023/7/2236理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/代數(shù)描述/矢量運(yùn)算與坐標(biāo)陣運(yùn)算的關(guān)系[解]解析法根據(jù)坐標(biāo)陣直接得到矢徑對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)運(yùn)算式2023/7/2237理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/代數(shù)描述/矢量運(yùn)算與坐標(biāo)陣運(yùn)算的關(guān)系[解]解析法根據(jù)坐標(biāo)陣直接得到矢徑幾何法根據(jù)平行四邊形法則對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)運(yùn)算式2023/7/2238理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/矢量的坐標(biāo)陣/矢量的運(yùn)算與坐標(biāo)陣運(yùn)算的關(guān)系[例]已知矢量與在某基下的坐標(biāo)陣分別為求矢量在該基下的坐標(biāo)陣2023/7/2239理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/矢量的坐標(biāo)陣/矢量的運(yùn)算與坐標(biāo)陣運(yùn)算的關(guān)系[解]解析法根據(jù)坐標(biāo)陣直接得到矢徑對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)運(yùn)算式2023/7/2240理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量/矢量的坐標(biāo)陣/矢量的運(yùn)算與坐標(biāo)陣運(yùn)算的關(guān)系[解]解析法幾何法模為構(gòu)成的平行四邊形的面積比較兩種方法的繁易垂直于平面，即平行于平面，垂直于得到矢徑根據(jù)坐標(biāo)陣直接得到矢徑對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)運(yùn)算式2023/7/2241理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量矢量、矢量基與基矢量

矢量的代數(shù)描述平面矢量矢量2023/7/2242理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)平面矢量平面矢量/定義與運(yùn)算問題的提出當(dāng)所有的矢量的變化與運(yùn)算均發(fā)生在同一平面內(nèi)或這些矢量?jī)H可能與垂直于該平面的矢量發(fā)生運(yùn)算這些矢量的代數(shù)描述可在一個(gè)二維空間中進(jìn)行這類矢量稱為平面矢量2023/7/2243理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)平面矢量/定義與運(yùn)算平面矢量基基矢量與構(gòu)成一平面矢量基垂直于該平面的單位矢量記為且單位矢量稱為法矢量2023/7/2244理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)平面矢量/定義與運(yùn)算平面矢量的代數(shù)描述矢量在平面矢量基下的坐標(biāo)陣為二階列陣矢量的代數(shù)表達(dá)平面矢量的代數(shù)描述是一般矢量代數(shù)描述的特殊情況：向的坐標(biāo)恒為零無坐標(biāo)方陣2023/7/2245理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)平面矢量/定義與運(yùn)算平面矢徑的代數(shù)描述基矢量的坐標(biāo)陣：點(diǎn)P矢徑的坐標(biāo)陣的2個(gè)坐標(biāo)與該點(diǎn)的2個(gè)平面坐標(biāo)（xP，yP）一一對(duì)應(yīng)2023/7/2246理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)平面矢量/定義與運(yùn)算平面矢量的運(yùn)算符合一般矢量運(yùn)算的定義特點(diǎn)：平面矢量與標(biāo)量的積任意兩平面矢量的和平面矢量2023/7/2247理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)平面矢量/定義與運(yùn)算平面矢量運(yùn)算與坐標(biāo)陣運(yùn)算的關(guān)系同一個(gè)基下兩種運(yùn)算的關(guān)系矢量運(yùn)算式坐標(biāo)陣運(yùn)算式（二階）2023/7/2248理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)定義叉積矢量的正向與法矢量一致平面矢量/定義與運(yùn)算平面矢量的叉積按三維空間處理矢量的模2023/7/2249理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)平面矢量/定義與運(yùn)算/平面矢量叉積三維對(duì)照按二維空間處理無坐標(biāo)方陣引入反對(duì)稱陣2023/7/2250理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)平面矢量/定義與運(yùn)算法矢量與平面矢量的叉積矢量與的坐標(biāo)陣的關(guān)系矢量為矢量繞法矢量旋轉(zhuǎn)90度矢量運(yùn)算的坐標(biāo)陣2023/7/2251理