中考數(shù)學(xué)全程復(fù)習(xí)方略第二十二講圖形的相似與位似課件

第二十二講圖形的相似與位似考點(diǎn)一平行線分線段成比例[主干必備]1.平行線分線段成比例定理:兩條直線被一組平行線所截,所得_______________成比例.

對(duì)應(yīng)線段2.平行線分線段成比例定理的推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊<或兩邊的延長(zhǎng)線>,所得________________成比例.

對(duì)應(yīng)線段[微點(diǎn)警示]<1>注意對(duì)應(yīng)性:如圖,AB∥CD∥EF,則可得等多個(gè)比例式,其對(duì)應(yīng)關(guān)系可簡(jiǎn)述為:<2>注意輔助線:為了充分利用平行線分線段成比例定理及其推論,在已知線段比值的情況下往往過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)作某一線段的平行線.[核心突破]例1<2018·梧州中考>如圖,AG∶GD=4∶1,BD∶DC=2∶3,則AE∶EC的值是 <>A.3∶2 B.4∶3 C.6∶5 D.8∶5D[明·技法]應(yīng)用平行線分線段成比例解決問題的技巧<1>若已知條件中有平行線,求兩條線段的比,可直接應(yīng)用平行線分線段成比例定理求解.<2>若已知條件中無(wú)平行線,但告知線段的比,可先通過(guò)作平行線創(chuàng)造應(yīng)用定理的條件.[題組過(guò)關(guān)]1.<2019·杭州中考>如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別在AB和AC上,DE∥BC,M為BC邊上一點(diǎn)<不與點(diǎn)B,C重合>,連接AM交DE于點(diǎn)N,則 <>C2.<2019·淮安中考>如圖,l1∥l2∥l3,直線a,b與l1,l2,l3分別相交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)D,E,F.若AB=3,DE=2,BC=6,則EF=________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

4考點(diǎn)二相似三角形的判定與性質(zhì)[主干必備]判定判定1:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原_____________相似.

判定2:三邊_____________的兩個(gè)三角形相似.

判定3:兩邊_____________且_______________的兩個(gè)三角形相似.

判定4:兩角_______________的兩個(gè)三角形相似.

三角形成比例成比例夾角相等分別相等性質(zhì)性質(zhì)1:相似三角形的對(duì)應(yīng)角___________,對(duì)應(yīng)邊的比___________.

性質(zhì)2:相似三角形周長(zhǎng)的比等于______________.

性質(zhì)3:相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比等于_____________.

性質(zhì)4:相似三角形面積的比等于相似比的___________.

相等相等相似比相似比平方[微點(diǎn)警示]<1>根據(jù)條件快選判定:有平行線一般用判定1,網(wǎng)格中三角形相似一般用判定2或判定3,有公共角、對(duì)頂角或圓中的三角形一般用判定4.<2>注意面積特殊之處:相似三角形對(duì)應(yīng)線段比、周長(zhǎng)比都等于相似比,唯獨(dú)面積比等于相似比的平方.[核心突破]命題角度1:相似三角形的判定例2<2018·臨安中考>如圖,小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則以下圖中的三角形<陰影部分>與△ABC相似的是<>B命題角度2:相似三角形的性質(zhì)例3<2019·常德中考>如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,圖中所有三角形均相似,其中最小的三角形面積為1,△ABC的面積為42,則四邊形DBCE的面積是 <>A.20B.22C.24D.26D命題角度3:相似三角形的判定與性質(zhì)例4<2019·涼山州中考>如圖,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,過(guò)點(diǎn)B作BM∥CD交AD于M.連接CM交DB于N.<1>求證:BD2=AD·CD.<2>若CD=6,AD=8,求MN的長(zhǎng).[自主解答]<1>∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB,且∠ABD=∠BCD=90°,∴△ABD∽△BCD,∴,∴BD2=AD·CD.<2>略[明·技法]1.判定三角形相似的"五個(gè)基本思路"<1>條件中若有平行線,可采用相似三角形的預(yù)備定理.<2>條件中若有一對(duì)等角,可再找一對(duì)等角或再找夾這對(duì)等角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.<3>條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例,可找夾角相等.<4>條件中若有一對(duì)直角,可考慮再找一對(duì)等角或證明夾直角的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例.<5>條件中若有等腰三角形,可找頂角相等,或一對(duì)底角相等,或找底和腰對(duì)應(yīng)成比例.2.相似三角形性質(zhì)的三個(gè)應(yīng)用<1>利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等計(jì)算角的度數(shù).<2>利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例確定已知線段和未知線段的關(guān)系,建立方程求出未知線段的長(zhǎng)或解決與比例式<等積式>有關(guān)的證明問題.<3>利用相似三角形的面積比等于相似比的平方,周長(zhǎng)比等于相似比求三角形的面積或周長(zhǎng).[題組過(guò)關(guān)]1.<2019·上海崇明區(qū)模擬>如圖,如果∠BAD=∠CAE,那么添加以下一個(gè)條件后,仍不能確定△ABC∽△ADE的是 <>C2.<2019·巴中中考>如圖?ABCD,F為BC中點(diǎn),延長(zhǎng)AD至E,使DE∶AD=1∶3,連接EF交DC于點(diǎn)G,則S△DEG∶S△CFG= <>A.2∶3B.3∶2C.9∶4D.4∶9D3.<2019·自貢中考>如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,CD∥AB,∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)E,DE=

. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

4.<易錯(cuò)警示題>如圖,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.當(dāng)這兩個(gè)直角三角形相似時(shí),AB的長(zhǎng)為_________.

考點(diǎn)三相似三角形的實(shí)際應(yīng)用[主干必備]應(yīng)用相似三角形解決實(shí)際問題的一般步驟:<1>畫圖:根據(jù)實(shí)際問題情境,畫出幾何圖形.<2>判定:判定幾何圖形中有哪些三角形相似,必要時(shí)通過(guò)作輔助線構(gòu)造出相似三角形.<3>性質(zhì):運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)得到包含已知線段和未知線段的比例式.<4>結(jié)論:通過(guò)解方程得到未知線段<或圖形周長(zhǎng)、面積>,結(jié)合所求寫出實(shí)際問題答案.[核心突破]例5<2018·陜西中考>周末,小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量家門前小河的寬.測(cè)量時(shí),他們選擇了河對(duì)岸岸邊的一棵大樹,將其底部作為點(diǎn)A,在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B,使得AB與河岸垂直,并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC,再在AB的延長(zhǎng)線上選擇點(diǎn)D,豎起標(biāo)桿DE,使得點(diǎn)E與點(diǎn)C,A共線.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,測(cè)得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.測(cè)量示意圖如圖所示.請(qǐng)根據(jù)相關(guān)測(cè)量信息,求河寬AB.[思路點(diǎn)撥]由BC∥DE,可得,構(gòu)建方程即可解決問題.[自主解答]∵BC∥DE,∴△ABC∽△ADE,∴AB=17<m>,經(jīng)檢驗(yàn):AB=17是分式方程的解.答:河寬AB的長(zhǎng)為17m.[明·技法]運(yùn)用相似三角形解決實(shí)際問題的一般步驟1.由實(shí)際問題抽象出幾何圖形.2.根據(jù)幾何圖形判定得出相似三角形.3.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到方程.4.解方程求出有關(guān)線段長(zhǎng)度.5.寫出實(shí)際問題的答案.[題組過(guò)關(guān)]1.<2019·畢節(jié)中考>如圖,在一塊斜邊長(zhǎng)30cm的直角三角形木板<Rt△ACB>上截取一個(gè)正方形CDEF,點(diǎn)D在邊BC上,點(diǎn)E在斜邊AB上,點(diǎn)F在邊AC上,若AF∶AC=1∶3,則這塊木板截取正方形CDEF后,剩余部分的面積為 <>A.100cm2B.150cm2C.170cm2D.200cm2A2.<生活情境題>如圖,王明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB,他調(diào)整自己的位置,設(shè)法使斜邊DF保持水平,并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上,已知紙板的兩條邊DF=50cm,EF=30cm,測(cè)得邊DF離地面的高度AC=1.5m,CD=20m,則樹高AB為_____________.

16.5m3.<2019·西安蓮湖區(qū)模擬>如圖,陽(yáng)光通過(guò)窗口照到某個(gè)房間內(nèi),豎直窗框AB在地面上留下的影子長(zhǎng)度DE=1.8m,已知點(diǎn)E到窗下墻角的距離CE=3.9m,窗框底邊離地面的距離BC=1.4m,試求窗框AB的長(zhǎng). 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)[解析]連接AB,由于陽(yáng)光是平行光線,即AE∥BD,所以∠AEC=∠BDC.又因?yàn)椤螩是公共角,所以△AEC∽△BDC,從而有.又AC=AB+BC,DC=EC-ED,EC=3.9m,ED=1.8m,BC=1.4m,于是有,解得AB=1.2m.答:窗框AB的長(zhǎng)為1.2m.考點(diǎn)四位似[主干必備]定義兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)_____________,對(duì)應(yīng)邊_______________(或在同一直線上),這兩個(gè)圖形叫做位似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心

同一點(diǎn)互相平行性質(zhì)1.位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于_____________.

2.在平面直角坐標(biāo)系中,如果以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k,那么位似圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于_____________

相似比k或-k[微點(diǎn)警示]<1>注意位似和相似的關(guān)系:位似圖形一定是相似圖形,但相似圖形不一定是位似圖形.<2>注意位似中心的位置:位似中心可能在圖形外,也可能在圖形內(nèi)或圖形上.<3>注意關(guān)于原點(diǎn)的位似:在平面直角坐標(biāo)系中,一個(gè)圖形關(guān)于原點(diǎn)的位似圖形有兩個(gè),一個(gè)同象限,一個(gè)異象限.[核心突破]例6<2019·濱州中考>在平面直角坐標(biāo)系中,△ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A<-2,4>,B<-4,0>,O<0,0>.以原點(diǎn)O為位似中心,把這個(gè)三角形縮小為原來(lái)的,得到△CDO,則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是_____________________.

<-1,2>或<1,-2>[明·技法]根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)的位似變化求點(diǎn)的坐標(biāo)的要點(diǎn)<1>先明確已知點(diǎn)的坐標(biāo)及相似比.<2>區(qū)分原圖形與位似圖形是同側(cè)還是異側(cè).<3>分別把橫、縱坐標(biāo)與相似比<或相似比的相反數(shù)>相乘.[題組