微正則分布熱力學(xué)

微正則分布熱力學(xué)第1頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月一、相空間若系統(tǒng)包含多種粒子，第i種粒子的自由度為ri

，粒子數(shù)為Ni

，則系統(tǒng)的自由度為：以共2f個(gè)變量為坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)2f維空間,稱為相空間(?？臻g)系統(tǒng)在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：可用相空間中的一點(diǎn)表示，稱為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)。（2）系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間的演化

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間而變，遵從哈密頓正則方程（9.1.1）（1）相空間（Γ

空間）當(dāng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間變化時(shí)，代表點(diǎn)相應(yīng)地在相空間中移動(dòng)，其軌道由式(9.1.1)確定．知識(shí)回顧：§9.1相空間劉維爾定理第2頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月劉維爾定理(Liouville’stheorem)

設(shè)想大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)，各自從其初態(tài)出發(fā)獨(dú)立地沿著正則方程(9.1.1)所規(guī)定的軌道運(yùn)動(dòng).（9.1.1）這些系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)將在相空間中形成一個(gè)分布．2、劉維爾定理如果一個(gè)代表點(diǎn)沿著正則方程所確定的軌道在相空間中運(yùn)動(dòng)，其鄰域的代表點(diǎn)密度是不隨時(shí)間改變的常數(shù)。ρdΩ表示時(shí)刻t，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在dΩ內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù)知識(shí)回顧：§9.1相空間劉維爾定理第3頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布§9.2微正則分布宏觀系統(tǒng)，表面分子數(shù)遠(yuǎn)小于總分子數(shù)，系統(tǒng)與外界的相互作用很弱。統(tǒng)計(jì)物理學(xué):研究系統(tǒng)在給定宏觀條件下的宏觀性質(zhì)。例如:如果研究的是一個(gè)孤立系統(tǒng)，給定的宏觀條件就是具有確定的粒子數(shù)N、體積V和能量E。1統(tǒng)計(jì)系綜1)關(guān)于孤立系統(tǒng)能量的討論：實(shí)際上系統(tǒng)通過其表面分子不可避免地與外界發(fā)生作用，使孤立系統(tǒng)的能量不具有確定的數(shù)值E而是在E附近的一個(gè)狹窄的范圍內(nèi)，或者說在E到E+ΔE之間．ΔE/E<<1第4頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月這微弱的相互作用ΔE

對(duì)系統(tǒng)微觀狀態(tài)的變化卻產(chǎn)生巨大的影響：在給定的宏觀條件下，宏觀量是相應(yīng)微觀量在一切可能的滿足給定宏觀條件的微觀狀態(tài)上的平均值。系統(tǒng)從某一初態(tài)出發(fā)沿正則方程確定的軌道運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一定的時(shí)間后，外界的作用使系統(tǒng)躍遷到E到E＋ΔE內(nèi)的另一狀態(tài)而沿正則方程確定的另一軌道運(yùn)動(dòng)。這樣的過程不斷發(fā)生，使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)發(fā)生極其復(fù)雜的變化。2)宏觀量與微觀量的關(guān)系§9.2微正則分布第5頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月表示(一個(gè)系統(tǒng))微觀狀態(tài)處在相空間各區(qū)域的概率總和為1。經(jīng)典理論中，取相空間中體積元將簡記為：t

時(shí)刻系統(tǒng)微觀狀態(tài)處在dΩ內(nèi)的概率為……分布函數(shù)已經(jīng)歸一化！根據(jù)統(tǒng)計(jì)物理的觀點(diǎn)，與微觀量B(q,p)相應(yīng)的宏觀物理量§9.2微正則分布第6頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月Gibbs提出：“原來我們討論的只是一個(gè)系統(tǒng)隨時(shí)間

的演化過程，現(xiàn)在我們改為同時(shí)討論大量的結(jié)構(gòu)

相同的N

個(gè)系統(tǒng)，這N個(gè)系統(tǒng)雖然相似，但卻處

在各個(gè)不同的微觀狀態(tài)之中，我們把這N個(gè)系統(tǒng)

的集合叫作統(tǒng)計(jì)系綜”。3)統(tǒng)計(jì)系綜[定義]統(tǒng)計(jì)系綜是指與原來的系統(tǒng)處在完全相同宏觀條件下的，想象的大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)的集合．這些系統(tǒng)具有完全相同的哈密頓，但處在各自不同的微觀狀態(tài)之中。上式中，追蹤一個(gè)系統(tǒng)從時(shí)間上求平均十分困難。§9.2微正則分布第7頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布吉布斯(JosiahWillardGibbs，1839-1903)，美國物理學(xué)家。1858年畢業(yè)于耶魯大學(xué)，接著攻讀該大學(xué)的研究生課程。1863年取得美國首批博士學(xué)位，留校講授拉丁文和自然哲學(xué)。1866年至1869年去歐洲進(jìn)修，回國后一直在耶魯(Yale)

大學(xué)任教。1871年被任命為數(shù)理教授。第8頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布1902年吉布斯發(fā)表了巨著《統(tǒng)計(jì)力學(xué)的基本原理》，創(chuàng)立了統(tǒng)計(jì)系綜的方法，建立起經(jīng)典平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)力學(xué)的系統(tǒng)理論，對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)給出了適用任何宏觀物體的最徹底、最完整的形式。吉布斯在光學(xué)和電磁理論的研究上也有建樹，并為此建立了矢量分析的方法。吉布斯被美國科學(xué)院以及歐洲14個(gè)科學(xué)機(jī)構(gòu)選為院士或通訊院士，并接受過一些名譽(yù)學(xué)銜和獎(jiǎng)賞。1880年他榮獲美國最高科學(xué)獎(jiǎng)--冉福特獎(jiǎng)(RumfordPrize)。Gibbs'scientificcareercanbedividedintofourphases.Upuntil1879,heworkedonthetheoryofthermodynamics.From1880to1884,heworkedonthefieldofvectoranalysis.From1882to1889,heworkedonOpticsandthetheoryoflight.After1889,heworkedontextbooksonstatisticalmechanics.第9頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布統(tǒng)計(jì)系綜所包含的大量的系統(tǒng)中，在時(shí)刻t運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處在dΩ范圍內(nèi)的系統(tǒng)數(shù)將與成正比。如果在時(shí)刻t，從統(tǒng)計(jì)系綜中任意選取一個(gè)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)處在dΩ范圍的概率為的系綜理解：微觀量B在統(tǒng)計(jì)系綜上的平均值---系綜平均值。相應(yīng)地，對(duì)于量子系統(tǒng)，有：第10頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布系綜平均值B(t)根本問題是確定系綜分布函數(shù)ρ第11頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布二、統(tǒng)計(jì)系綜研究孤立系統(tǒng)的討論1研究對(duì)象:孤立系統(tǒng)(N,V,E)為參量的系統(tǒng)。2系綜的分布函數(shù)ρ平衡狀態(tài)下系統(tǒng)的宏觀量不隨時(shí)間改變?chǔ)驯夭伙@含時(shí)間第12頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布劉維爾定理系統(tǒng)從初態(tài)出發(fā)沿正則方程確定的軌道運(yùn)動(dòng)，概率密度是不隨時(shí)間改變的常數(shù)．受外界作用發(fā)生躍遷后,系統(tǒng)沿E到E+ΔE內(nèi)的另一軌道運(yùn)動(dòng)，概率密度仍然是不隨時(shí)間改變的常數(shù)．不同軌道的常數(shù)概率密度是否相同?-----劉維爾定理不能回答!第13頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布3微正則分布

假設(shè)E

到E+ΔE

內(nèi)一切軌道的常數(shù)概率密度都相等，則在E到E+ΔE能量范圍的所有可能的微觀狀態(tài)上概率密度就都相等，是不隨時(shí)間改變的常數(shù)。這就是等概率原理，也稱為微正則分布。等概率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基本假設(shè)經(jīng)典表達(dá)式量子表達(dá)式第14頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布三、微正則分布的微觀態(tài)數(shù)1把經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理解為量子統(tǒng)計(jì)的經(jīng)典極限,那么對(duì)于N

個(gè)自由度為r的全同粒子組成的系統(tǒng)，在能量范圍E~E+ΔE范圍內(nèi)的系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)2

對(duì)于多種粒子的系統(tǒng)i種粒子:自由度為ri;粒子數(shù)Ni第15頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.2微正則分布3系綜理論的宏觀量計(jì)算與以前方法的區(qū)別以前方法：

最概然分布下的統(tǒng)計(jì)結(jié)果系綜理論：

所有可能的微觀狀態(tài)上的平均值說明：二者差別很小!當(dāng)相對(duì)漲落很小時(shí)，即概率分布必然是具有非常陡的極大值的分布函數(shù)，微觀量的最概然值和平均值是相等的。第16頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.1&§9.2小結(jié)§9.1相空間劉維爾定理§9.2微正則分布小結(jié)Chap.9系綜理論研究互作用粒子組成的系統(tǒng)．統(tǒng)計(jì)系綜:是指與原來的系統(tǒng)處在完全相同宏觀條件下的，想象的大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)的集合．這些系統(tǒng)具有完全相同的哈密頓，但處在各自不同的微觀狀態(tài)之中。第17頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月劉維爾定理(Liouville’stheorem)

設(shè)想大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)，各自從其初態(tài)出發(fā)獨(dú)立地沿著正則方程(9.1.1)所規(guī)定的軌道運(yùn)動(dòng).（9.1.1）這些系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)將在相空間中形成一個(gè)分布．§9.1&§9.2小結(jié)2、劉維爾定理如果一個(gè)代表點(diǎn)沿著正則方程所確定的軌道在相空間中運(yùn)動(dòng)，其鄰域的代表點(diǎn)密度是不隨時(shí)間改變的常數(shù)。ρdΩ表示時(shí)刻t，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在dΩ內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù)第18頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023