精算學(xué)基礎(chǔ)ch4生命年金

孟生旺 張連增 劉樂平教材：精算學(xué)基礎(chǔ)，中國人民大學(xué)出版社，2016下載地址：12主要內(nèi)容生命年金生命年金的基本類型年內(nèi)給付多次的生命年金變額生命年金遞推公式3生命年金生命年金：受益人生存時得到的一系列給付生命年金可被視為期限為未來壽命T的年金現(xiàn)值為隨機變量，記為Y

;躉繳凈保費是E(Y

)。生命年金的基本類型考慮期初付年金終身年金：在受益人生存時提供1個單位的年給付額，給付發(fā)生在時點0,1,2…KK

+1現(xiàn)值：Y

=1+v

+v2

++vK=

a￥4躉繳凈保費：

ax

=

ak

+1

k

px

qx+kk

=05，其中IA

為事件A的示性函數(shù)對上式取期望得：上式相當(dāng)于將年金視為一系列生存保險一個常用的精算符號為精算貼現(xiàn)因子注：￥{K

?k}k

=0現(xiàn)值還可表示為Y

=vk

I￥x

k

xk

=0a=

vk

pnn

Ex

=

v

n

px躉繳凈保費也可以用終身壽險的躉繳凈保費來表示，務(wù)，在生存時每年初支付利息d，在死亡年末支付1個單位，考慮到現(xiàn)值，就可償還債務(wù)。Y的高階矩可通過Z得到，如注：K

+1Y

=

1-

v

=

1-

Zd

d對于式1

=dax

+Ax

，有如下解釋：對于1個單位的債=

1-

Axx，取期望得ad=

x

x

6Var(Z

)

2

A

-(

A

)2Var(Y

)

=d

2

d

2生命年金的基本類型考慮期初付年金n年定期年金K

=

n,

n

+1,

n

+

2,aK

+1

,

K

=

0,1,,

n

-1現(xiàn)值：

Y

=

a

,nn-1x:n

k

+1

k

x

x+k

n

n

x躉繳凈保費：

a

=

a

p

q

+

a

pk

=0n-1x:n7ak

xk

=0=

vk

p生命年金的基本類型期末付年金：給付發(fā)生在時點1,2…

K現(xiàn)值：

Y

=1+

v

+

v2

++

vK

=

aK躉繳凈保費：ax

=ax

-18生命年金的基本類型延期m年的期初付年金K

=

0,1,,

m

-1現(xiàn)值：Y

=0,vm

+

vm+1

++

vK

,

K

=

m,

m

+1,躉繳凈保費：mm|

ax

=

m

pxv

ax+mm|

ax

=

ax

-

ax:m

9例：證明以下等式（1）2

A

=1-(2d

-

d

2

)

2

ax

x（2）222)K

+1

2xxVar(v

)

=

2d

(ax-

ax)

-

d

(a-

a210K

+1（3）

Var(a

)

=2d

2

2xx(ax-

ax)

-(a-

a

)例：（2），再將（2）中的結(jié)論代入化簡。22x

x（1）

A

=1-d

￠a

，其中

對應(yīng)d

￠2d2d

=

-2

ln(1-

d

)

=

-ln(1-

d

)2

=

-ln(1-

2d

+

d

2

)d

￠=

2d

-

d

22

2

22

K

+1

2x

xxxVar(v

)

=

A-

A

=1-(2d

-

d

)

a-

(1-

da

)（3）

Var(a

)

=K

+1Var(vK

+1

)11d

2年內(nèi)給付多次的生命年金考慮一年給付m次，每次給付1/m的生命年金。只要受益人生存，就在時刻0,1/m,2/m,…有給付。躉繳凈保費滿足：1

=d

(m)a(m)+A(m)x

x對上式的理解：一年給付m次的生命年金可視為兩個永續(xù)年金之差，其中一個永續(xù)年金從時刻0開始，另一個從時刻K

+S

(m)開始。1

112-d

(m)

d

(m)xa(m)

=xA(m)為使用表示，和

Ax

的關(guān)系，以及那么

a(m)

=

a

(m)a

-

b(m)x

x實踐中常用的近似為a

(m)?1,b(m)?m

-1

，該近似僅在利息力較小時適用。注：xa(m)xax用到A(m)Ax

=1-

dax

，得到(m)xdii

-

i(m)=

a

-d

(m)i(m)

x

d

(m)i(m)ai

-

i(m)13b(m)

=d

(m)i(m)di引入a

(m)=d

(m)i(m),2m例：b(12)

=

1

=

0.468119514已知i

=0.06

，a65

=9.8969

，計算從65歲開始，每月初支付1000元的生存年金的精算現(xiàn)值。s(12)

-1d

(12)解：a

(12)

=s(12)a(12)=1.0002811

1A65

=1-

da65

=

0.43979612000a(12)

=12000[a

(12)a65

65-

b(12)]

=113179例：解：40:30已知i=0.06

，a40

=14.81661，a70

=8.56925，30

E40

=0.123689計算a(12)30

401540:30a(12)40:30=

a

(12)a

-

b(12)(1-

E

)=

a

(12)(a40

-

30

E40

a70

)

-

b(12)(1-

30

E40

)=13.35038例：解：T證明

Var(a

)可表示為22dx(a

-x2xa

)

-

a2162222d221ddxVar(vT

)

1Var(a

)

=T=

[

Ax-

A

]

=x[1-

2d

ax-

(1-da

)

]例：已知i

=

0.06

，A20

=

0.0652848

，A50

=

0.2490475

，計算解：d

=ln(1+0.06)

=0.0582689

，a20

。和a50i

/

d

=1.0297087dx

d

x

a

=

1

1-

i

A

a20

=16.00812a50

=12.760731718變額生命年金現(xiàn)值：考慮在時刻0,1,2…K給付r0

,r1

,r2

,

的生命年金。￥躉繳凈保費：連續(xù)給付的生命年金可通過令m趨于無窮而得到。記時刻t時的年金支付率為r(t)。現(xiàn)值：躉繳凈保費：E(Y

)=kk

{K

?k}k

=0Y

=v

r

I￥kk

k

xk

=0E(Y

)

=v

r

p考慮在時刻0,1

m

,2

m

,,K

+S

(m)-1

m給付z0

,z1

m

,z2

m

,的生命年金。躉繳凈保費的形式與上式類似。0Y

=Ttv

r(t)dt0t

x￥vt

r(t)

p

dt19生命年金的標(biāo)準(zhǔn)類型對于上一節(jié)的變額年金，令rk躉繳凈保費：(Ia)x與(IA)x

有關(guān)系：ax

=d

(Ia)x

+(IA)x現(xiàn)考慮一年給付m次，而給付額按年度遞增的情況=

k

+1k

+

j

mz

=

k

+1

,

j

=

0,1,,

m

-1m(m)x(Ia)躉繳凈保費：￥k

=0k

xx+kp

vk

ak

x

x

x￥k

=0=

p

vk

{a

(m)a

-

b(m)}k

x

x+k￥=

a

(m)k

=0￥k

=0-

b(m)

p

vk

=

a

(m)(Ia)

-

b(m)a=p

vk

a(m)k

x

x+k生命年金的標(biāo)準(zhǔn)類型=

a

(￥

)(Ia)x

-

b(￥

)ax或者通過對現(xiàn)值隨機變量取期望得到躉繳凈保費：0在上式中令m趨于無窮，就得到相應(yīng)的連續(xù)生命年金（支付率r(t)=[t

+1]）的躉繳凈保費￥txt

x(Ia)

=[t

+1]v p

dt0Ta

-

Tv=

TdTtTtv

dt

=

(

Ia

)