水文學(xué)第三章

水文學(xué)第三章第1頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2第三章水文統(tǒng)計(jì)研究?jī)?nèi)容頻率計(jì)算相關(guān)分析包括隨機(jī)變量及其概率分布、水文頻率曲線(xiàn)、水文頻率計(jì)算適線(xiàn)法。包括兩變量直線(xiàn)相關(guān)、兩變量曲線(xiàn)相關(guān)、復(fù)相關(guān)第2頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3第一節(jié)水文統(tǒng)計(jì)的意義及基本概念

第二節(jié)頻率計(jì)算

第三節(jié)相關(guān)分析

第3頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4第一節(jié)水文統(tǒng)計(jì)的意義及基本概念第4頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5一、水文統(tǒng)計(jì)及其意義（一）水文現(xiàn)象的特性

水文現(xiàn)象是一種自然現(xiàn)象，它具有必然性的一面，也具有偶然性的一面。

1.必然現(xiàn)象是指事物在發(fā)展、變化中必然會(huì)出現(xiàn)的現(xiàn)象；水文學(xué)中稱(chēng)水文現(xiàn)象的這種必然性為確定性。

2.偶然現(xiàn)象是指事物在發(fā)展、變化中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，偶然現(xiàn)象也稱(chēng)隨機(jī)現(xiàn)象；偶然現(xiàn)象仍然是有規(guī)律的，一般稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)規(guī)律。第5頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月必然：一盒中有十個(gè)完全相同的白球,攪勻后從中摸出一白球在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,純水加熱到100攝氏度時(shí)必然沸騰.地球上向上拋一塊石頭必然下落偶然（隨機(jī)）：在相同的條件下,向上拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣,其結(jié)果可能是正面朝上,也可能是反面朝上,不論如何控制拋擲條件,在每次拋擲之前無(wú)法肯定拋擲的結(jié)果是什么,這個(gè)試驗(yàn)多于一種可能結(jié)果,但是在試驗(yàn)之前不能肯定試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.第6頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月布萊士·帕斯卡（1623年6月19日－1662年8月19日），法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、思想家，散文大師，神學(xué)家。第7頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月費(fèi)馬是法國(guó)數(shù)學(xué)家，議會(huì)議員，真正的事業(yè)是學(xué)術(shù)，尤其是數(shù)學(xué)，他生前極少發(fā)表自己的論著，連一部完整的著作也沒(méi)有出版。他發(fā)表的一些文章，也總是隱姓埋名。他是解析幾何的發(fā)明者之一；對(duì)于微積分誕生的貢獻(xiàn)僅次于牛頓、萊布尼茨，概率論的主要?jiǎng)?chuàng)始人，以及獨(dú)承17世紀(jì)數(shù)論天地的人，業(yè)余數(shù)學(xué)家之王。第8頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月9（二）水文統(tǒng)計(jì)

數(shù)學(xué)中研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的學(xué)科稱(chēng)為概率論。由隨機(jī)現(xiàn)象的一部分試驗(yàn)資料去研究總體現(xiàn)象的數(shù)學(xué)特征和規(guī)律的學(xué)科稱(chēng)為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用到水文分析與計(jì)算上，稱(chēng)為水文統(tǒng)計(jì)。

第9頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月10（三）水文統(tǒng)計(jì)的任務(wù)

水文統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是研究和分析水文隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)變化特性。并以此為基礎(chǔ)對(duì)水文現(xiàn)象未來(lái)可能的長(zhǎng)期變化作出在概率意義下的定量預(yù)估，以滿(mǎn)足工程規(guī)劃、設(shè)計(jì)、施工以及運(yùn)營(yíng)期間的需要。第10頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月11水文統(tǒng)計(jì)的基本方法和內(nèi)容具體有以下三點(diǎn)：

1、根據(jù)已有的資料（樣本），進(jìn)行頻率計(jì)算，推求指定頻率的水文特征值；

2、研究水文現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系，應(yīng)用這種關(guān)系延長(zhǎng)、插補(bǔ)水文特征值和作水文預(yù)報(bào)；

3、根據(jù)誤差理論，估計(jì)水文計(jì)算中的隨機(jī)誤差范圍。第11頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月12二、基本概念1.事件：對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象觀測(cè)（隨機(jī)試驗(yàn)）的結(jié)果，即：在一定的組合條件下，在試驗(yàn)的結(jié)果中，所有可能發(fā)生（或可能不發(fā)生）的事情。（必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件）第12頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月132.隨機(jī)變量：受隨機(jī)因素的影響，遵循統(tǒng)計(jì)規(guī)律的變量。

3.總體、樣本、樣本容量

：總體：隨機(jī)變量所能取值的全體;樣本：從總體中抽取的一部分;樣本容量：樣本包括的項(xiàng)數(shù)，樣本大小。第13頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月14三、數(shù)理統(tǒng)計(jì)法對(duì)水文資料的要求1.資料的可靠性2.資料的一致性3.資料的代表性4.資料的隨機(jī)性5.資料的獨(dú)立性第14頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月15第二節(jié)頻率計(jì)算一、頻率和概率

二、隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

三、經(jīng)驗(yàn)頻率曲線(xiàn)

四、理論頻率曲線(xiàn)

五、水文頻率計(jì)算適線(xiàn)法第15頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月16一、頻率和概率

(一)頻率和概率1.頻率

隨機(jī)事件A在重復(fù)n次試驗(yàn)中出現(xiàn)了m次，則稱(chēng)

為事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率。第16頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月172.概率

在同等可能的條件下，隨機(jī)事件在試驗(yàn)的結(jié)果中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，其出現(xiàn)或不出現(xiàn)的可能性大小稱(chēng)為概率。事先概率事后概率第17頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月18概率的基本特性是：第18頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月19

當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，隨機(jī)事件的頻率穩(wěn)定在某一個(gè)數(shù)附近，此時(shí)頻率趨于概率。

頻率是實(shí)測(cè)值，概率是理論值，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，可以通過(guò)實(shí)測(cè)樣本的頻率分析來(lái)推論事件總體概率特性。第19頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月20(二)概率運(yùn)算定律1、概率相加定理：互斥的各個(gè)事件中，至少一個(gè)事件出現(xiàn)的概率等于各個(gè)事件出現(xiàn)的概率之和。互斥事件：在一次試驗(yàn)中，只有一個(gè)事件發(fā)生，其他事件均不能發(fā)生。

第20頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月212、概率相乘定理：幾個(gè)獨(dú)立事件一并（先后）出現(xiàn)的概率等于各事件出現(xiàn)的概率之積，即:

P(A1?A2?…?An)=P(A1)?P(A2)?…?P(An)獨(dú)立事件：多個(gè)事件中某一事件的出現(xiàn)并不影響其他事件的出現(xiàn)。第21頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月223、條件概率：兩個(gè)事件A、B，在事件B發(fā)生的前提下，事件A發(fā)生的概率為事件A在條件B下的條件概率,記為:P（A︱B）第22頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月23

兩事件積的概率，等于其中一事件的概率乘以另一事件在已知前一事件發(fā)生的條件下的條件概率，即

P（AB）=P（A）×P（B︱A），P（A）≠0P（AB）=P（B）×P（A︱B），P（B）≠0

P（A︱B）=P（AB）/P（B）P（B︱A）=P（AB）/P（A）第23頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月241.隨機(jī)變量:若隨機(jī)事件的試驗(yàn)結(jié)果可用一個(gè)數(shù)X來(lái)表示，X隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取得不同的數(shù)值，它是帶有隨機(jī)性的，則將這種隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果X稱(chēng)為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量可分為兩類(lèi)：即離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。

(三)隨機(jī)變量的概率分布2.概率分布:隨機(jī)變量可以取所有可能值中的任何一個(gè)值，但是取某一可能值的機(jī)會(huì)是不同的，有的機(jī)會(huì)大，有的機(jī)會(huì)小，隨機(jī)變量的取值與其概率有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。一般將這種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱(chēng)為概率分布。

第24頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月25通常隨機(jī)變量用大寫(xiě)字母X表示，它的種種可能取值用相應(yīng)的小寫(xiě)字母x表示。若取n個(gè)，則X＝x1，X=x2

，……，X＝xn。一般將x1，x2

，……，xn稱(chēng)為系列。而可能取值出現(xiàn)的概率用P表示。1、離散型隨機(jī)變量的概率分布一般以分布列表示，如表Xx1x2……xi

……P(X=xi)p1p2……pi……第25頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月262、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，無(wú)法研究個(gè)別值的概率，只能研究某個(gè)區(qū)間的概率，或是研究事件X≥x的概率，以及事件X≤x的概率，后面二者可以相互轉(zhuǎn)換，水文統(tǒng)計(jì)中常用X≥x的概率及其分布第26頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月273.密度函數(shù)對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，通常以區(qū)間的概率來(lái)分析其分布規(guī)律。水文中習(xí)慣以縱坐標(biāo)表示變量x,橫坐標(biāo)表示概率密度函數(shù)值f(x)，這樣繪制的幾何曲線(xiàn)稱(chēng)密度曲線(xiàn)。對(duì)于連續(xù)型變量的任一分組區(qū)間，都有一個(gè)確定的概率密度相對(duì)應(yīng)，取其極限值有：第27頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月28第28頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月294.分布函數(shù)

設(shè)事件X≥xi

的概率用P（X≥xi）來(lái)表示，它是隨隨機(jī)變量取值xi而變化的，所以p（X≥xi）是xi的函數(shù)，稱(chēng)為隨機(jī)變量xi的分布函數(shù)，記為F（x），即:它代表隨機(jī)變量X大于等于某一取值x的概率。其幾何圖形如下圖（b）所示，圖中縱坐標(biāo)表示變量x，橫坐標(biāo)表示概率分布函數(shù)值F（x），在數(shù)學(xué)上稱(chēng)此曲線(xiàn)為分布曲線(xiàn)，水文統(tǒng)計(jì)中稱(chēng)為隨機(jī)變量的累積頻率曲線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)頻率曲線(xiàn)。第29頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月30第30頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月31

實(shí)際上，分布函數(shù)與密度函數(shù)是微分與積分的關(guān)系。因此，已知f(x)，則:【例3.6】第31頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月32(四)累積頻率和重現(xiàn)期1.累積頻率:水文特征值屬于連續(xù)型隨機(jī)變量，累積頻率是指等于及大于（或等于及小于）某水文要素出現(xiàn)可能性的量度。第32頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月33----不及制累積概率當(dāng)研究事件X≤xi

的概率時(shí)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用分布函數(shù)G（xi）表示：

稱(chēng)不及制累積概率形式，----超過(guò)制累積概率相應(yīng)的水文統(tǒng)計(jì)用的分布函數(shù)F（x）稱(chēng)為超過(guò)制累積概率形式，兩者之間有如下關(guān)系：第33頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月342.重現(xiàn)期（T）：指隨機(jī)事件平均的重現(xiàn)時(shí)間間隔。在水文學(xué)上指等于及大于（或等于及小于）一定量級(jí)的水文要素值出現(xiàn)一次的平均間隔年數(shù)，以該量級(jí)頻率的倒數(shù)計(jì)。

頻率P與重現(xiàn)期T的關(guān)系有兩種表示方法：

（1）當(dāng)為了防洪研究暴雨洪水問(wèn)題時(shí)，一般設(shè)計(jì)頻率P＜50％，則:

例如，當(dāng)某一洪水的頻率為p=1%時(shí)，則T=100年，稱(chēng)此洪水為百年一遇洪水，表示大于等于這樣的洪水平均100年會(huì)遇到一次，并非每隔100年一定遇到1次。第34頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月35

（2）當(dāng)考慮水庫(kù)興利調(diào)節(jié)研究枯水問(wèn)題時(shí)，設(shè)計(jì)頻率P＞50％，則:例如，對(duì)于p=90%的枯水流量，則T=10年，稱(chēng)此為十年一遇枯水流量，表示小于等于這樣的流量平均10年會(huì)遇到一次。設(shè)計(jì)保證率：P>50%的設(shè)計(jì)頻率，即來(lái)水的可靠程度。第35頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月36(五)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)水文現(xiàn)象具有明顯的地區(qū)性和隨機(jī)性，因而無(wú)法用水文特征值的具體量值作為工程設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)。在各行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)或工程設(shè)計(jì)規(guī)范中規(guī)定各種水文特征值的設(shè)計(jì)頻率（或重現(xiàn)期）作為工程設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)。第36頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月37二、隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

說(shuō)明隨機(jī)變量數(shù)值大小、變化幅度、對(duì)稱(chēng)程度等統(tǒng)計(jì)規(guī)律的數(shù)量特征值，稱(chēng)為隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。

統(tǒng)計(jì)參數(shù)有總體統(tǒng)計(jì)參數(shù)與樣本統(tǒng)計(jì)參數(shù)之分。水文計(jì)算中常用的樣本統(tǒng)計(jì)參數(shù)有均值、均方差、變差系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)。第37頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月38(一)均值（）表示系列中隨機(jī)變量的平均情況。1.加權(quán)平均法：第38頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月39令為模比系數(shù)或變率，則2.算術(shù)平均法：第39頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月40均值是隨機(jī)變量最基本的特征值，它的位置在頻率密度曲線(xiàn)與x軸所包圍面積的形心處，說(shuō)明隨機(jī)變量所有可能取值是圍繞此中心分布的，故稱(chēng)為分布中心；它能代表整個(gè)隨機(jī)變量的水平高低，故也稱(chēng)為數(shù)學(xué)期望。第40頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月41根據(jù)均值的數(shù)學(xué)特性，可利用均值推求設(shè)計(jì)頻率的水文特征值；也可以用均值表示各水文特征值的空間分布情況，繪制各種等值線(xiàn)圖。第41頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月42對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量系列，反映其分布中心的特征數(shù)字還有眾數(shù)和中位數(shù)。眾數(shù)：具有最大概率的隨機(jī)變量值，反映隨機(jī)系列中經(jīng)常出現(xiàn)的數(shù)值；中位數(shù)（中值）：滿(mǎn)足F(x)=1/2的隨機(jī)變量值，即該系列P=50%時(shí)隨機(jī)變量值。第42頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月43(二)均方差（s）和變差系數(shù)(Cv)反映整個(gè)系列的變化幅度，或系列在均值兩側(cè)分布的離散程度。離差：均方差：第43頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月44反映系列中各隨機(jī)變量離均差的平均情況，均方差大，說(shuō)明系列在均值兩旁的分布比較分散，均方差小表示系列的離散長(zhǎng)度小。均方差可反映兩個(gè)均值相同系列的離散程度。第44頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月45對(duì)于兩個(gè)均值不同的系列，用均方差比較離散程度的大小是無(wú)效的，例如甲51015=10s甲=4.08

乙99510001005=1000s乙=4.08

顯見(jiàn)甲系列比乙系列離散程度大的多。第45頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月46變差系數(shù)，又稱(chēng)離差系數(shù)或離勢(shì)系數(shù)，它是均方差與均值之比，是衡量系列的相對(duì)離散程度的一個(gè)參數(shù)，稱(chēng)為用Cv表示，其計(jì)算式為:

其用模比系數(shù)Ki代入上式，得第46頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月47說(shuō)明甲系列離散程度遠(yuǎn)比乙系列的離散程度大【例3.8】第47頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月48各種水文現(xiàn)象的Cv具有一定的的空間分布規(guī)律，我國(guó)降雨量和徑流量的Cv分布，大致是南方小，北方大；沿海小，內(nèi)陸大；平原小，山區(qū)大。第48頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月49(三)偏態(tài)系數(shù)（Cs）反映系列在均值兩邊的對(duì)稱(chēng)程度。第49頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月50當(dāng)Cs＝0時(shí)，系列在均值旁呈對(duì)稱(chēng)分布；Cs>0，屬正偏分布；Cs<0，屬負(fù)偏分布。Cs對(duì)密度曲線(xiàn)的影響第50頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月51(四)矩（1）原點(diǎn)矩隨機(jī)變量X對(duì)原點(diǎn)離差的r次冪的數(shù)學(xué)期望，稱(chēng)為隨機(jī)變量X的r階原點(diǎn)矩。r=1時(shí)，就是算術(shù)平均數(shù)第51頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月52（2）中心矩隨機(jī)變量X對(duì)分布中心E(X)離差的r次冪的數(shù)學(xué)期望，稱(chēng)為隨機(jī)變量X的r階中心矩。r=1時(shí)，一階中心矩為0；第52頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月53三、經(jīng)驗(yàn)頻率曲線(xiàn)

水文分析計(jì)算中使用的概率分布曲線(xiàn)俗稱(chēng)水文頻率曲線(xiàn)，習(xí)慣上把由實(shí)測(cè)資料（樣本）繪制的頻率曲線(xiàn)稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)頻率曲線(xiàn)，對(duì)水文樣本資料，由大→小排列（超過(guò)制）,如:x1，x2，…，xnp1，p2，…，pn(x1,p1)……(xi,pi)第53頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月54（一）經(jīng)驗(yàn)頻率公式1.純經(jīng)驗(yàn)頻率公式P——≥xm的經(jīng)驗(yàn)頻率；m–Xm的序號(hào)，即等于和大于Xm的項(xiàng)數(shù)；n——觀測(cè)資料的總項(xiàng)數(shù)第54頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月552.數(shù)學(xué)期望公式:對(duì)于純經(jīng)驗(yàn)頻率公式，當(dāng)m=n時(shí)，p=100%，即樣本的末項(xiàng)就是總體的最小值，顯然不合理。為了由樣本比較好的估計(jì)總體概率，我國(guó)采用數(shù)學(xué)期望公式:第55頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月56(二)經(jīng)驗(yàn)頻率曲線(xiàn)的繪制設(shè)某一隨機(jī)變量實(shí)測(cè)系列X，則其經(jīng)驗(yàn)頻率曲線(xiàn)繪制步驟如下：（1）xi由大→小排列，排列序號(hào)m表示大小次序，即表示x≥xi的累積次數(shù)；（2）用經(jīng)驗(yàn)頻率公式計(jì)算系列中x≥xi各項(xiàng)的頻率，稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)頻率；（3）以水文變量X為縱坐標(biāo)，以經(jīng)驗(yàn)頻率P為橫坐標(biāo)，點(diǎn)繪經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)；（4）根據(jù)點(diǎn)群趨勢(shì)繪出一條平滑的曲線(xiàn)，稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)頻率曲線(xiàn)。第56頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月57第57頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月58正態(tài)頻率曲線(xiàn)在普通格紙上是一條規(guī)則的S形曲線(xiàn)，它在P=50%前后的曲線(xiàn)方向雖然相反，但形狀完全一樣，如下圖中的①線(xiàn)。水文計(jì)算中常用的一種"頻率格紙"，其橫坐標(biāo)的分劃就是按把標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)頻率曲線(xiàn)拉成一條直線(xiàn)的原理計(jì)算出來(lái)的，正態(tài)分布與頻率格紙第58頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月59第59頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月60第60頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月61有了經(jīng)驗(yàn)頻率曲線(xiàn)，即可在曲線(xiàn)上求得指定頻率P的水文變量。

（三）經(jīng)驗(yàn)頻率曲線(xiàn)存在的問(wèn)題

經(jīng)驗(yàn)頻率曲線(xiàn)計(jì)算工作量小，繪制簡(jiǎn)單，查用方便，但受實(shí)測(cè)資料所限,往往難以滿(mǎn)足設(shè)計(jì)上的需要。為此，提出用理論頻率曲線(xiàn)來(lái)配合經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)，這就是水文頻率計(jì)算適線(xiàn)（配線(xiàn)）法。第61頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月62四、理論頻率曲線(xiàn)

（一）理論頻率曲線(xiàn)及線(xiàn)型由數(shù)學(xué)方程式所表示的、符合經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)分布規(guī)律的頻率曲線(xiàn)稱(chēng)為理論頻率曲線(xiàn)?！袄碚摗钡暮x第62頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月63通常在實(shí)測(cè)資料中選取或計(jì)算處2～3個(gè)有代表性的特征值作參數(shù)，并據(jù)此選配一些數(shù)學(xué)方程作為總體系列頻率曲線(xiàn)的假想數(shù)學(xué)模型，再按照一定的方法確定累計(jì)頻率曲線(xiàn)。第63頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月64

水文頻率分布線(xiàn)型是指所采用的理論頻率曲線(xiàn)(頻率函數(shù))的型式（水文中常用線(xiàn)型為正態(tài)分布型、極值分布型、皮爾遜Ⅲ型分布型等），它的選擇主要取決于與大多數(shù)水文資料的經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)的配合情況。第64頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月65

分布線(xiàn)型的選擇與統(tǒng)計(jì)參數(shù)的估算，一起構(gòu)成了頻率計(jì)算的兩大內(nèi)容。

第65頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月66（二）皮爾遜Ⅲ型分布——P－Ⅲ型英生物學(xué)家皮爾遜，研究了13種概率曲線(xiàn)形式，第Ⅲ型曲線(xiàn)引入水文，與大多數(shù)的實(shí)際資料擬合比較好。第66頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月67d皮爾遜Ⅲ型曲線(xiàn)是一條一端有限一端無(wú)限的不對(duì)稱(chēng)單峰、正偏曲線(xiàn)，數(shù)學(xué)上常稱(chēng)伽瑪分布。皮爾遜Ⅲ型概率密度曲線(xiàn)第67頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月681.P－Ⅲ概率密度函數(shù)為:

式中：Γ（α）―α的伽瑪函數(shù)；

α、β、a0―分別為皮爾遜Ⅲ型分布的形狀尺度和位置未知參數(shù)，α﹥0，β﹥0。第68頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月69第69頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月702.皮爾遜Ⅲ型頻率曲線(xiàn)及其繪制

水文計(jì)算中，一般需要求出指定頻率P所相應(yīng)的隨機(jī)變量取值Xp，也就是通過(guò)對(duì)密度曲線(xiàn)進(jìn)行積分，即:

求出等于及大于Xp的累積頻率P值。

直接由上式計(jì)算P值非常麻煩，實(shí)際做法是通過(guò)變量轉(zhuǎn)換，根據(jù)擬定的Cs值進(jìn)行積分，并將成果制成專(zhuān)用表格，從而使計(jì)算工作大大簡(jiǎn)化。

第70頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月71令Ф

是標(biāo)準(zhǔn)化變量，稱(chēng)為離均系數(shù)，其均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。

則有：第71頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月72

式中被積函數(shù)只含有一個(gè)待定參數(shù)CS，其它兩個(gè)參數(shù)

、Cv都包含在Ф

中。因此，只需要假定一個(gè)CS值，便可通過(guò)積分求出P與Ф

之間的關(guān)系。

對(duì)于若干個(gè)給定的CS值，

P與Ф

的對(duì)應(yīng)數(shù)值表，已先后由美國(guó)福斯特和前蘇聯(lián)雷布京制作出來(lái)——“皮爾遜Ⅲ型頻率曲線(xiàn)的離均系數(shù)Ф

值表”（見(jiàn)附錄3）。第72頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月73給定參數(shù)后，由

Ф就可以求出相應(yīng)頻率P的x值：

第73頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月74第74頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月75以頻率為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，點(diǎn)繪理論頻率曲線(xiàn)。下圖為其示意圖。頻率曲線(xiàn)繪制后，就可在頻率曲線(xiàn)上求出指定頻率p的設(shè)計(jì)值xp第75頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月76例：已知某站年最大洪峰流量系列的=825m3/s，Cv=0.4，Cs=1.0，求p=1%的設(shè)計(jì)值。=825×(0.4×3.02+1)=1822m3/s解：由Cs=1.0，查附錄3，得p=1%的Фp=3.02，則：第76頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月77例：某站年徑流深系列符合pⅢ型分布，已知該系列的平均徑流深R=650mm，s=162.5mm，Cs=2Cv，試結(jié)合下表計(jì)算設(shè)計(jì)保證率p=90%的設(shè)計(jì)年徑流深。解：Cv=s/R=162.5/650=0.25，∴Cs=2Cv=0.5查表得Ф=-1.22，代入R90%=650×(1-0.25×1.22)=650×0.695=541.8mm第77頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月783．統(tǒng)計(jì)參數(shù)對(duì)頻率曲線(xiàn)的影響(1)均值的影響隨著均值的增大，整個(gè)概率密度曲線(xiàn)成比例地向右移動(dòng)，曲線(xiàn)的形狀發(fā)生了變化。

理論頻率曲線(xiàn)的縱坐標(biāo)和呈正比，均值不同的理論頻率曲線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)。第78頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月79(2)變差系數(shù)的影響隨著Cv的增大，概率密度曲線(xiàn)變得矮而寬（離散度大）。隨著Cv的增大，整個(gè)理論頻率曲線(xiàn)變陡，不同Cv的理論頻率曲線(xiàn)在Kp＝1處有一交點(diǎn)。第79頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月80(3)偏態(tài)系數(shù)的影響隨著Cs的增大，眾值位置左移，眾值左側(cè)曲線(xiàn)變陡，右側(cè)曲線(xiàn)急劇下跌，概率密度曲線(xiàn)的形狀變得高而窄。隨著Cs的增大，理論頻率曲線(xiàn)的上段變陡；中段曲率變大，下段曲線(xiàn)變平緩，不同Cs的理論頻率曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)。第80頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月81(三)頻率曲線(xiàn)參數(shù)估計(jì)方法

用有限的樣本觀測(cè)資料估計(jì)總體分布線(xiàn)型中的參數(shù)，如P—Ⅲ型的

隨機(jī)抽樣思路：總體→很多個(gè)同容量的樣本→計(jì)算各樣本統(tǒng)計(jì)參數(shù)→各樣本同名參數(shù)的平均值→該同名參數(shù)的總體平均值=該統(tǒng)計(jì)參數(shù)的不偏估計(jì)量統(tǒng)計(jì)參數(shù)的不偏估計(jì)量—由樣本估計(jì)總體參數(shù)第81頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月821.矩法用樣本矩估計(jì)總體矩，并通過(guò)矩與參數(shù)之間的關(guān)系，來(lái)估計(jì)頻率曲線(xiàn)的參數(shù)。Cv的無(wú)偏估計(jì)：均值的無(wú)偏估計(jì)：第82頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月83Cs的無(wú)偏估計(jì)：*注意：用不偏估計(jì)值算出的參數(shù)，仍不完全等于總體的參數(shù)，只是比較接近;當(dāng)樣本容量較小時(shí)，用矩法估計(jì)的參數(shù)將產(chǎn)生誤差，其中尤以Cs的計(jì)算誤差最大。

第83頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月842．三點(diǎn)法3．權(quán)函數(shù)法第84頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月85(四)抽樣誤差

1.抽樣誤差

(1)用樣本參數(shù)代替總體參數(shù)，存在誤差，稱(chēng)抽樣誤差.誤差是由總體中隨機(jī)抽取的樣本與總體有差異引起的.

(2)抽樣的類(lèi)型：

(3)均方誤差：抽樣誤差的大小由均方誤差(又稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)誤差)來(lái)衡量:由各個(gè)樣本（這里為某個(gè)統(tǒng)計(jì)參數(shù)值）誤差的平方和的平均數(shù)再開(kāi)方來(lái)表示。第85頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月862.抽樣誤差的分布抽樣誤差的分布近似看作正態(tài)分布.3.抽樣誤差的計(jì)算第86頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月87五、水文頻率計(jì)算——適線(xiàn)法

適線(xiàn)法是先在概率格紙上按經(jīng)驗(yàn)頻率公式點(diǎn)繪出水文系列的經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)，然后選定理論頻率曲線(xiàn)線(xiàn)型，取與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合最佳的那條曲線(xiàn)和相應(yīng)參數(shù)作為最終的計(jì)算結(jié)果。如何判斷是否最佳？第87頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月88（一）目估適線(xiàn)法

目估適線(xiàn)法又稱(chēng)目估配線(xiàn)法，是以經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)為基礎(chǔ)，給它們選配一條符合較好的理論頻率曲線(xiàn)，并以此來(lái)估計(jì)水文要素總體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。具體步驟如下：第88頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月89----將實(shí)測(cè)資料由大到小排列，計(jì)算各項(xiàng)的經(jīng)驗(yàn)頻率，在頻率格紙上點(diǎn)繪經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)（縱坐標(biāo)為變量的取值，橫坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)頻率）----選定水文頻率分布線(xiàn)型（一般選用皮爾遜Ⅲ型）。----估計(jì)出頻率曲線(xiàn)參數(shù)的初估值和Cv，而Cs憑經(jīng)驗(yàn)初選為Cv的倍數(shù)。第89頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月90----根據(jù)擬定的Cv和Cs，查附錄3或附錄4，計(jì)算xp值。以xp

為縱坐標(biāo)，p為橫坐標(biāo)，即可得到頻率曲線(xiàn)。將此線(xiàn)畫(huà)在繪有經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)的圖上，看與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)配合的情況。若不理想，可通過(guò)調(diào)整、Cv和Cs點(diǎn)繪頻率曲線(xiàn)。

----最后根據(jù)頻率曲線(xiàn)與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)的配合情況，從中選出一條與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)配合較好的曲線(xiàn)作為采用曲線(xiàn)，相應(yīng)于該曲線(xiàn)的參數(shù)便看作是總體參數(shù)的估值。----求指定頻率的水文變量設(shè)計(jì)值。第90頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月91【例3.10】第91頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月92（二）優(yōu)化適線(xiàn)法

優(yōu)化適線(xiàn)法是在一定的適線(xiàn)準(zhǔn)則（即目標(biāo)函數(shù)）下，求解與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線(xiàn)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)的方法。優(yōu)化適線(xiàn)法按不同的適線(xiàn)準(zhǔn)則分為三種，即離差平方和最小準(zhǔn)則（OLS）、離差絕對(duì)值和最小準(zhǔn)則（ABS）、相對(duì)離差平方和最小準(zhǔn)則（WLS），其中以離差平方和最小準(zhǔn)則（OLS）最為常用。第92頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月93第三節(jié)相關(guān)分析一、相關(guān)關(guān)系的概念

二、簡(jiǎn)單直線(xiàn)相關(guān)（一元線(xiàn)性回歸）

三、曲線(xiàn)相關(guān)

四、復(fù)相關(guān)第93頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月94一、相關(guān)關(guān)系的概念

1．相關(guān)分析

按數(shù)理統(tǒng)計(jì)法建立兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量之間的聯(lián)系，稱(chēng)之為近似關(guān)系或相關(guān)關(guān)系。把對(duì)這種關(guān)系的分析和建立稱(chēng)為相關(guān)分析。第94頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月95

2．相關(guān)的種類(lèi)（1）根據(jù)變量之間相互關(guān)系的密切程度，變量之間的關(guān)系有三種情況：完全相關(guān)、零相關(guān)、統(tǒng)計(jì)相關(guān)。第95頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月96---完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系）

兩變量x與y之間，如果每給定一個(gè)x值，就有一個(gè)完全確定的y值與之對(duì)應(yīng)。完全相關(guān)的形式有直線(xiàn)關(guān)系和曲線(xiàn)關(guān)系兩種。第96頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月97

----零相關(guān)（沒(méi)有關(guān)系）

兩變量之間毫無(wú)聯(lián)系，或某一現(xiàn)象（變量）的變化不影響另一現(xiàn)象（變量）的變化，這種關(guān)系則稱(chēng)為零相關(guān)或沒(méi)有關(guān)系。第97頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月98----統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系

若兩個(gè)變量之間的關(guān)系界于完全相關(guān)和零相關(guān)之間，則稱(chēng)為相關(guān)關(guān)系或統(tǒng)計(jì)相關(guān)。當(dāng)只研究?jī)蓚€(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，稱(chēng)為簡(jiǎn)相關(guān)；當(dāng)研究3個(gè)或3個(gè)以上變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，則稱(chēng)為復(fù)相關(guān)。在相關(guān)的形式上，又可分為直線(xiàn)相關(guān)和非直線(xiàn)相關(guān)。第98頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月993．水文相關(guān)分析的依據(jù)

1）水文要素形成機(jī)制上的關(guān)聯(lián)性；

2）水文現(xiàn)象地區(qū)分布的相似性。4．水文相關(guān)分析的作用

1）相關(guān)分析可以用來(lái)延長(zhǎng)和插補(bǔ)短系列；

2）直接用于水文預(yù)測(cè)。第99頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1005．水文相關(guān)分析的內(nèi)容

相關(guān)分析（或回歸分析）的內(nèi)容一般包括三個(gè)方面：

（1）判定變量間是否存在相關(guān)關(guān)系，若存在，計(jì)算其相關(guān)系數(shù)，以判斷相關(guān)的密切程度；

（2）確定變量間的數(shù)量關(guān)系――回歸方程或相關(guān)線(xiàn)；

（3）根據(jù)自變量的值，預(yù)報(bào)或延長(zhǎng)、插補(bǔ)倚變量的值，并對(duì)該估值進(jìn)行誤差分析。第100頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月101二、簡(jiǎn)直線(xiàn)相關(guān)（一元線(xiàn)性回歸）（一）相關(guān)圖解法

x、y同期（同步）觀測(cè)資料，點(diǎn)繪在圖上，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)的分布趨勢(shì)，繪出相關(guān)線(xiàn)，使相關(guān)點(diǎn)均勻分布在相關(guān)線(xiàn)的兩旁?？山瓶闯鱿嚓P(guān)類(lèi)型及程度。設(shè)xi

和yi

代表兩系列的觀測(cè)值共有n對(duì)：xi，yi——表示相關(guān)變量x（自變量）、y（倚變量）的實(shí)測(cè)值第101頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月102步驟：1.點(diǎn)繪出實(shí)測(cè)點(diǎn)群（xi,yi）；2.目估通過(guò)點(diǎn)群中間和均值點(diǎn)(,)繪出一條直線(xiàn)；3.從該圖中量得直線(xiàn)得斜率a，直線(xiàn)與縱軸的截距b,則直線(xiàn)方程y=ax+b即為所求的相關(guān)的直線(xiàn)方程。第102頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月103（二）相關(guān)分析法如果相關(guān)點(diǎn)據(jù)分布較散，目估定線(xiàn)存在一定的任意性。為此，最好采用分析法來(lái)確定相關(guān)線(xiàn)的方程。1．建立回歸方程第一步：確定線(xiàn)型——直線(xiàn)，設(shè)直線(xiàn)方程的形式為：第103頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月104第二步：確定參數(shù)a、b

。離差Δyi的平方和為:根據(jù)最小二乘法原理，要使點(diǎn)群與直線(xiàn)配合最佳，應(yīng)有每個(gè)相關(guān)點(diǎn)（xi，yi）與相關(guān)線(xiàn)上的點(diǎn)（x,y）都有一個(gè)縱向離差第104頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月105為此，對(duì)a,b求一階偏導(dǎo)數(shù)，并等于零另外，該最佳擬合曲線(xiàn)應(yīng)通過(guò)（）點(diǎn)，并有：第105頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月106聯(lián)解，得:其中r為相關(guān)系數(shù):第106頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月107聯(lián)解，得:其中sy和sx為y、x兩個(gè)系列的均方差:第107頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月108將a、b代回式,得y倚x的回歸方程:（回歸直線(xiàn)的斜率）——y倚x的回歸系數(shù)

另外，x倚y的回歸方程為：第108頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月109如下圖，兩回歸線(xiàn)在處相交：sx第109頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1102．回歸線(xiàn)的誤差分析回歸線(xiàn)僅是觀測(cè)點(diǎn)據(jù)的最佳配合線(xiàn)，通常觀測(cè)點(diǎn)據(jù)并不完全落在回歸線(xiàn)上，觀測(cè)值與回歸值之間就存在著誤差，如右圖，用均方誤來(lái)表示y倚x回歸線(xiàn)的均方誤：

yi

、y——分別為觀測(cè)值和回歸線(xiàn)上的對(duì)應(yīng)值；n——系列項(xiàng)數(shù)；n－2——自由度第110頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月111

由統(tǒng)計(jì)推理可以證明，回歸線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)誤差Sy和樣本系列均方差sy之間有下列關(guān)系：回歸線(xiàn)與觀測(cè)點(diǎn)的誤差（Sy

）一般近似服從正態(tài)分布：yi落在：概率：68.3％95.4％99.7％第111頁(yè)，課件共123頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月112相關(guān)系數(shù)r的隨機(jī)誤