無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第1頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

6.1數(shù)字濾波器的基本概念

1.數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：第2頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性第3頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2數(shù)字濾波器的技術(shù)要求我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(ejω)用下式表示：第4頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如圖所示。濾波器的主要性能指標(biāo)（以低通濾波器為例）如下：（1）頻帶：包括通帶、過(guò)渡帶、阻帶。（2）誤差：通帶和阻帶誤差過(guò)渡帶通帶阻帶第5頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述

IIR濾波器和FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法是很不相同的。IIR濾波器設(shè)計(jì)方法有兩類，經(jīng)常用的一類設(shè)計(jì)方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的。其設(shè)計(jì)步驟是：先設(shè)計(jì)模擬濾波器得到傳輸函數(shù)Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。第6頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)

模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。第7頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2用下式表示：(6.2.6)第8頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第9頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器有兩種類型：切比雪夫Ⅰ型濾波器的特點(diǎn)是在通帶內(nèi)有等波紋變化，阻帶內(nèi)單調(diào)下降。切比雪夫Ⅱ?yàn)V波器的特點(diǎn)是在通帶內(nèi)單調(diào)下降，阻帶內(nèi)有等波紋變化。第10頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月波紋系數(shù)為0.5dB的切比雪夫Ⅰ低通濾波器的幅頻響應(yīng)平方函數(shù)第11頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月阻帶衰減10dB的切比雪夫Ⅱ低通濾波器的幅頻響應(yīng)平方函數(shù)第12頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月切比雪夫Ⅰ濾波器與巴特沃茲濾波器過(guò)渡帶的比較第13頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在具有相同階數(shù)

的情況下，切比雪夫?yàn)V波器與巴特沃茲濾波器相比，具有較窄的過(guò)渡帶第14頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、橢圓濾波器橢圓濾波器的特點(diǎn)是幅度頻率響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)均為等波紋的。且與上述兩種濾波器相比，過(guò)渡帶的下降斜度更大。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于指定的濾波器指標(biāo)（階數(shù)與波紋），橢圓濾波器能以最低的階數(shù)實(shí)現(xiàn)。橢圓濾波器的幅頻響應(yīng)平方函數(shù)如下：Jacobian橢圓函數(shù)第15頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月通帶波紋0.3dB、阻帶波紋10dB的橢圓低通濾波器幅頻響應(yīng)平方函數(shù)第16頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR

數(shù)字低通濾波器

為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求：

(1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。

(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。第17頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t)

設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：(6.3.1)

式中si為Ha(s)的單階極點(diǎn)。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：(6.3.2)一、由Ha(s)求相應(yīng)的H(z)第18頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對(duì)ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T(mén)，得到：(6.3.3)對(duì)上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：(6.3.4)第19頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、S平面和Z平面之間的映射第20頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

上式表示采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：(6.3.6)第21頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(6.3.6)式可稱為標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系。下面進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系。設(shè)按照(6.3.6)式，得到:因此得到:(6.3.10)第22頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月我們由三方面說(shuō)明這個(gè)關(guān)系

σ=0,r=1σ<0,r<1σ>0,r>1

另外，注意到z=esT是一個(gè)周期函數(shù)，可寫(xiě)成為任意整數(shù)第23頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系第24頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖6.3.2脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象第25頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例若模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試用脈沖響應(yīng)不變法求相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。（設(shè)采樣周期為

）第26頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將系統(tǒng)函數(shù)用部分分式法展開(kāi)模擬濾波器的極點(diǎn)S1=-0.5,S2=-2因此，相應(yīng)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為第27頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

6.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字

低通濾波器

正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：(6.4.1)

式中T仍是采樣間隔，當(dāng)Ω1從π/T經(jīng)過(guò)0變化到π/T時(shí)，Ω則由∞經(jīng)過(guò)0變化到+∞，實(shí)現(xiàn)了s平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的±π/T之間的轉(zhuǎn)換。這樣便有(6.4.2)第28頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

再通過(guò)轉(zhuǎn)換到z平面上，得到：(6.4.3)(6.4.4)第29頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

下面分析模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間的關(guān)系。圖6.4.1雙線性變換法的映射關(guān)系第30頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

令s=jΩ,z=ejω，并代入(6.4.3)式中，有(6.4.5)圖6.4.2雙線性變換法的頻率變換關(guān)系第31頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖6.4.3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射第32頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)第33頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

表6.4.1系數(shù)關(guān)系表第34頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第35頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例6.4.1試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將圖6.4.4所示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。解首先按照?qǐng)D6.4.4寫(xiě)出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為

利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為第36頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖6.4.5(a),(b)所示。圖6.4.5例6.4.1圖——H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

(a)H1(z);(b)H2(z)第37頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

下面我們總結(jié)利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。

(1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率ωp、通帶衰減αp、阻帶截止頻率ωs、阻帶衰減αs。

(2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。

如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為第38頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖6.4.6例6.4.1圖——數(shù)字濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性第39頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。

(4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。例6.4.2設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2πrad時(shí)，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3π到π之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器。第40頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

解

(1)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為

ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為

T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB第41頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。先計(jì)算階數(shù)N及3dB截止頻率Ωc。第42頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

取N=6。為求3dB截止頻率Ωc,將Ωp和αp代入(6.2.17)式，得到Ωc=0.7032rad/s，顯然此值滿足通帶技術(shù)要求，同時(shí)給阻帶衰減留一定余量，這對(duì)防止頻率混疊有一定好處。根據(jù)階數(shù)N=6，查表6.2.1，得到歸一化傳輸函數(shù)為

為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)中，得到實(shí)際的傳輸函數(shù)Ha(s),第43頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月④用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將Ha(s)進(jìn)行部分分式，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或者(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：第44頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖6.4.7例6.4.2圖——用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的幅度特性第45頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為

ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為第46頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計(jì)算如下：

取N=6。為求Ωc,將Ωs和αs代入(6.2.18)式中，得到Ωc=0.7662rad/s。這樣阻帶技術(shù)指標(biāo)滿足要求，通帶指標(biāo)已經(jīng)超過(guò)。第47頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

根據(jù)N=6，查表6.2.1得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)，得實(shí)際的Ha(s)，④用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)：第48頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖6.4.8例6.4.2圖——用雙線性變換法設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的幅度特性第49頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

6.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

例如高通數(shù)字濾波器等。具體設(shè)計(jì)步驟如下：

(1)確定所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。

(2)將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成所需類型模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，轉(zhuǎn)換公式為

第50頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(3)將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)(具體轉(zhuǎn)換公式參考本章6.2節(jié))。

(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。

(5)將模擬低通通過(guò)頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。

(6)采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。第51頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例6.5.1設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率ωp=0.8πrad，通帶衰減不大于3

dB，阻帶截止頻率ωs=0.44πrad,阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。解

(1)數(shù)字高通的技術(shù)指標(biāo)為

ωp=0.8πrad,αp=3dB;ωs=0.44πrad,αs=15dB第52頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)模擬高通的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下：令T=1，則有(3)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下：第53頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

將Ωp和Ωs對(duì)3dB截止頻率Ωc歸一化，這里Ωc=Ωp,(4)設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器G(p)。模擬低通濾波器的階數(shù)N計(jì)算如下：第54頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

查表6.2.1，得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G(p)為

為去歸一化，將p=s/Ωc代入上式得到：(5)將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通。將上式中G(s)的變量換成1/s，得到模擬高通Ha(s)：第55頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(6)用雙線性變換法將模擬高通H

(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H(z)：實(shí)際上(5)、(6)兩步可合并成一步，即第56頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例6.5.2設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為0.3πrad到0.4πrad，通帶內(nèi)最大衰減為3dB，0.2πrad以下和0.5πrad以上為阻帶，阻帶內(nèi)最小衰減為18dB。采用巴特沃斯型模擬低通濾波器。解

(1)數(shù)字帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)為通帶上截止頻率

ωu=0.4πrad

通帶下截止頻率

ωl=0.3πrad第57頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

阻帶上截止頻率

ωs2=0.5πrad

阻帶下截止頻率

ωs1=0.2πrad

通帶內(nèi)最大衰減αp=3dB，阻帶內(nèi)最小衰減αs=18dB。第58頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)模擬帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)如下：設(shè)T=1，則有(通帶中心頻率)(帶寬)第59頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

將以上邊界頻率對(duì)帶寬B歸一化，得到

ηu=3.348,ηl=2.348;ηs2=4.608,ηs1=1.498;η0=2.804(3)模擬歸一化低通濾波器技術(shù)指標(biāo)：歸一化阻帶截止頻率歸一化通帶截止頻率λp=1αp=3dB,αs=18dB第60頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：查表6.2.1，得到歸一化低通傳輸函數(shù)G(p),第61頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(5)將歸一化模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬帶通：

(6)通過(guò)雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H(z)。下面將(5)、(6)兩步合成一步計(jì)算：第62頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

將上式代入(5)中的轉(zhuǎn)換公式，得將上面的p等式代入G(p)中，得第63頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例6.5.3設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶阻濾波器，通帶下限頻率ωl=0.19π,阻帶下截止頻率ωs1=0.198π，阻帶上截止頻率ωs2=0.202π，通帶上限頻率ωu=0.21π，阻帶最小衰減αs=13dB，ωl和ωu處衰減αp=3dB。采用巴特沃斯型。解

(1)數(shù)字帶阻濾波器技術(shù)指標(biāo)：

ωl=0.19πrad,ωu=0.21πrad,αp=3dB;ωs1=0.198πrad,ωs2=0.202πrad,αs=13dB第64頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)模擬帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)：設(shè)T=1，則有阻帶中心頻率平方為

Ω20=ΩlΩu=0.421阻帶帶寬為

B=Ωu-Ωl=0.07rad/s第65頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

將以上邊界頻率對(duì)B歸一化：

ηl=8.786,ηu=9.786,ηs1=9.186,ηs2=9.386;η20=ηlηu=85.98(3)模擬歸一化低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：按照(6.2.48)式，有

λp=1,αp=3dB第66頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：(5)將G(p)轉(zhuǎn)換成模擬阻帶濾波器Ha(s)：第67頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(6)將Ha(s)通過(guò)雙線性變換，得到數(shù)字阻帶濾波器H(z)。第68頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.6IIR數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法1.零極點(diǎn)累試法稱為零極點(diǎn)累試法。在確定零極點(diǎn)位置時(shí)要注意：

(1)極點(diǎn)必須位于z平面單位圓內(nèi)，保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定；

(2)復(fù)數(shù)零極點(diǎn)必須共軛成對(duì)，保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的系數(shù)是實(shí)的。第69頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

圖6.6.1例6.6.1圖(a)零極點(diǎn)分布；(b)幅度特性第70頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.在頻域利用幅度平方誤差最小法直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器設(shè)IIR濾波器由K個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)而成，系統(tǒng)函數(shù)用H(z)表示，(6.6.1)

式中，A是常數(shù)；ai,bi,ci,di是待求的系數(shù)；Hd(ejω)是希望設(shè)計(jì)的濾波器頻響。如果在(0，π)區(qū)間取N點(diǎn)數(shù)字頻率ωi,i=1,2,:,N，在這N點(diǎn)頻率上，比較|Hd(ejω)|和|H(ejω)|，寫(xiě)出兩者的幅度平方誤差E為(6.6.2)第71頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

而在(6.6.1)式中共有(4K+1)個(gè)待定的系數(shù)，求它們的原則是使E最小。下面我們研究采用(6.6.1)式網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如何求出(4K+1)系數(shù)。按照(6.6.2)式，E是(4K+1)個(gè)未知數(shù)的函數(shù)，用下式表示：

上式θ表示4K個(gè)系數(shù)組成的系數(shù)向量。為推導(dǎo)公式方便，令(6.6.3)第72頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

為選擇A使E最小，令(6.6.4)

設(shè)θk是θ的第k個(gè)分量(ak或bk或ck或dk)，(6.6.5)

因?yàn)?式中H*i表示對(duì)Hi函數(shù)共軛。(6.6.6)第73頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

將上式具體寫(xiě)成對(duì)ak,bk,ck,dk的偏導(dǎo)，得到：(6.6.7)式中，k=1,2,3,:,K；i=1,2,3,:,N。同理求得(6.6.8)(6.6.9)(6.6.10)第74頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

由于系統(tǒng)函數(shù)是一個(gè)有理函數(shù)，極、零點(diǎn)均以共軛成對(duì)的形式存在，對(duì)于極點(diǎn)z1,一定有下面關(guān)系：(6.6.11)第75頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

圖6.6.2例6.6.2圖(a)要求的幅度特性；(b)k=1，2時(shí)的幅度特性

例6.6.2設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，其幅度特性如圖6.6.2(a)所示。截止頻率ωs=0.1πrad。第76頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

解考慮到通帶和過(guò)渡帶的重要，在0~0.2π區(qū)間，每隔0.01π取一點(diǎn)ωi值，在0.2π~π區(qū)間每隔0.1π取一點(diǎn)ωi值，并增加一點(diǎn)過(guò)渡帶，在ω=0.1π處

|Hd(ejω)|=0.5。

1.0,ω=0,0.01π,0.02π,:,0.09π0.5,ω=0.1π0.0,ω=0.11π,0.12π,:,0.19π0.0,ω=0.2π,0.3π,:,πN=29，取k=1，系統(tǒng)函數(shù)為第77頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

待求的參數(shù)是A，a1,b1,c1,d1。設(shè)初始值θ=(0000.25)T經(jīng)過(guò)90

次迭代，求得E=1.2611，系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)位置為零點(diǎn)0.67834430±j0.73474418;

極點(diǎn)0.75677793±j1.3213916

為使濾波器因果穩(wěn)定，將極點(diǎn)按其倒數(shù)搬入單位圓內(nèi)，再進(jìn)行62次優(yōu)化迭代，求得結(jié)果為

零點(diǎn)0.82191163±j0.56961501;

極點(diǎn)0.89176390±j0.19181084;Ag=0.11733978,E=0.56731第78頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

誤差函數(shù)用下式表示：(6.6.12)3.在時(shí)域直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器設(shè)我們希望設(shè)計(jì)的IIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)為hd(n)，要求設(shè)計(jì)一個(gè)單位脈沖響應(yīng)h(n)充分逼近hd(n)。下面我們介紹這種設(shè)計(jì)方法。設(shè)濾波器是因果性的，系統(tǒng)函數(shù)為(6.6.13)第79頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

式中a0=1，未知系數(shù)ai和bi共有N+M+1個(gè)，取h(n)的一段，0≤n≤p-1，使其充分逼近hd(n)，用此原則求解M+N+1個(gè)系數(shù)。將(6.6.13)式改寫(xiě)為令p=M+N+1,則(6.6.14)第80頁(yè)，課件共86頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

令上面等式兩邊z的同冪次項(xiàng)的系數(shù)相等，可得到N+M+1個(gè)方程：

h(