第四節(jié)三重積分引入質(zhì)量問題

例：空間物體3，有界，閉；質(zhì)量密度ρ(xyz（1）分割T：將3分成n個小區(qū) i(i1,2,,n)，diam(i) XX為小區(qū)域i maxdiam(1),diam(2),,diam(n求Riemann和：小區(qū)域i的質(zhì)量可以近似表示為ρ(ξi,ηi,?i)Vi稱為Riemann

ρ(ξi,ηi,?i

T0驗證上述Riemann和的極限值與分割的任意性和取點的任意性無關(guān)。nT0設(shè)函數(shù)fxyz在有界閉區(qū)域3任意分割區(qū)域,記λi X

XY,λmaxλi任取(ξi,ηi,?i)i n作和式Snf(ξi,ηi,?i)Vi,其中Vi為ilimSlim

f(ξ,η,?

n ni

極限值與區(qū)域分割的任意性和點(ξi,ηi,?i)i, i1,,n,選值的任意性無關(guān) 則稱函 f(x,y,z)在區(qū)域上可積 該極限lim

lim

f(ξ,η,?)V稱為函數(shù)fxyz在區(qū)間上的三重積分,記n作

ni

f(x,y,z)dVlim

f(ξ,η,? n

稱為積分區(qū)域, f(x,y,z)稱為被積函數(shù),x,y,z稱為積分中間變量,體積元素dV又記作dxdydz.三重積分的值與積分中間變量的符號無關(guān)：f(x,y,z)dxdydzf(u,v, fxyz在區(qū)域1和2上可積,點,則fx,yz在12上可積,且

f(x,y,z)dxdydzf(x,y,z)dxdydzf(x,y,1 [Af(x,y,z)Bg(x,y,z)]dxdydzAf(x,y,z)dxdydzBg(x,y, 保序性:若可積函數(shù)f(x,y,z)g(x,y, (x,y,z), f(x,y,z)dxdydzg(x,y, 若可積函數(shù)f(x,y,z) (x,y,z),則f(x,y,z)dxdydz0若fx,yz在上可積,則fxyz)在f(x,y,z)dxdydzf(x,y,z) 估值定理:若可積函數(shù)fx,yz在上滿足mfx,yzM,則mVf(x,y,z)dxdydz其中V為gxyz在 mg(x,y,z)dxdydzf(x,y,z)g(x,y,z)dxdydzMg(x,y, 中值定理:若函數(shù)fx,yz在上連續(xù),則(ξ,η,?),使

gx,yz在f(x,y,z)g(x,y,z)dxdydzf(ξ,η,?)g(x,y, 特別地,gx,yz)1時,(ξ,η,?f(x,y,z)dxdydzf(ξ,η,?)dxdydzf(ξ,η,? 其中Vdxdydz為（7）若區(qū)域關(guān)于xfx,yz)fx,yz,則

平面對稱 可積函數(shù)f(x,y,z)滿f(x,y,z)dxdydz若區(qū)域關(guān)于xy平面對稱 可積函 f(x,y,z)滿fx,yz)fx,yz,則 f(x,y,z)dxdydz2f(x,y, 上定理：有界閉 3, 如 其中z(x,y),z(x,y)為 f(x,y,

z2(x,y

f(x,y, 如

(x,y,z)(x, D

2, 其中 c, ,Dz的邊界Dz為零面積集，f(x,y,

Cc

f(x,y, dxdydz，其中（如上圖）為(1xyz)(x,y,z)xyz1,x0,y0,z (x,y,z)0z1xy,0y1x,0x(xy)dxdydz1dx1xdy1x dx1x

(1xy z1xy 2(1xyz)2 11dx1x 21424

(1x

11 y1x1x

2 111

dx

ln2201 4

例：計算xyzdxdydz，其中（如上圖）(x,y,z)x2y2z21,x0,y0,z (x,y,z)0z1x2y2,(x,y) Dxy(x,y)x2y21,x0,y故11x2 1x1x2010111

1(1x2y2)

11 y4y 2 x(1x)y dy2 y(x,y,z)(x,y)Dz,0zDz(x,y)x2y21z2,x0,y11xyzdxdydz0dz 1 ydz 1x21x2對于(xyzx2y2z21,x0y1x21x2100100

f(x,y,z)dz1

f(x,y,00000000例：計算yz)dxdydz (x,y, b2c21,z0 解：由于（上半橢球體）關(guān)于Oxz坐標(biāo)平面對稱，而函數(shù)f(xyz關(guān)于Oxz坐標(biāo)平 稱，所以ydxdydz0，于1x2y2a21x2y2a2(yz)dxdydzzdxdydz zdz c12

D b2 Dxy是Oxya2b21所包圍的平面區(qū)域（3.4.3(yz)dxdydz412

y2

2c

a2

22

1π(yz)dxdydz

dφ(1ρ)abρdρ2abc

2

40 2 0 對于三重積分f(xyz)dxdydzxx(r,s,yy(r,s, (r,s,t)zz(r,s,

那么它將Oxyz中的空間域一一對應(yīng)地映射為Orst中的空間域，體積元素dxdydz變?yōu)閐xdydz

D(D(x,y,f(x,y,z)dxdydzf(x(r,s,t),y(r,s,t),z(r,s,t))D(x,y,z) 柱坐標(biāo)系可以說是由Oxy平面中的極坐標(biāo)系與z坐標(biāo)相結(jié)合而成的坐標(biāo)系，空間點P的柱坐標(biāo)(ρ,φ,z)與其直角(x,y,z)的關(guān)系為xρyρsinz點P在xy平面上投影。x2y20φ2π,zx2y2 x2y20φπ,zx2y2z2ρ R2za2z2x2y2(aρa0φ2π,zzz0φ2π,ρ變換的JacobiD(x,y,D(r,D(x,y,D(r,s,sin ρ 0 例：三重積分f(x,yz)dxdydz化為柱坐標(biāo)系下的累次積分，其中（

(x,y,z)(xR)2y2R2,0z解：域(ρ,φ,z)0zH,0ρ2Rcosφ, π φ 2ρ2Rcosφ是Oxy平面上的圓(xR)2y2R2 f(x,y,z)dxdydz

2dφ2

ρdρ

f(ρcosφ,ρsinφ, x2y2dxdydz其中為平面曲

y22

x *ρ φ ρ ρ2 (,,z) 2, 故

x2y2dxdydz2π dρ2ρ φ φ

022 43 ρ

2π0ρ82dρ xrsinθyrsinθsinzr rOP，φ是OPx軸正方向的夾角，θ是OPzx2y2z2r0φ2π,0θx2y2z2r2R2a2z2x2y2(atanθ0φ2π,zzr 0φ2π,0θDx,y,zDr,φ,θ

sinθcosφ

rsinθcosφ

rcosθrcosθsin

r2fx,y,zfrsinθcosφ,rsinθsinφ,rcosθr2例：計算x2z2dxdydz，其中x2y2zR2R2x2y2zR2R2r2R