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文檔簡介
例:空間物體3,有界,閉;質量密度ρ(xyz(1)分割T:將3分成n個小區(qū) i(i1,2,,n),diam(i) XX為小區(qū)域i maxdiam(1),diam(2),,diam(n求Riemann和:小區(qū)域i的質量可以近似表示為ρ(ξi,ηi,?i)Vi稱為Riemann
ρ(ξi,ηi,?i
T0驗證上述Riemann和的極限值與分割的任意性和取點的任意性無關。nT0設函數(shù)fxyz在有界閉區(qū)域3任意分割區(qū)域,記λi X
XY,λmaxλi任取(ξi,ηi,?i)i n作和式Snf(ξi,ηi,?i)Vi,其中Vi為ilimSlim
f(ξ,η,?
n ni
極限值與區(qū)域分割的任意性和點(ξi,ηi,?i)i, i1,,n,選值的任意性無關 則稱函 f(x,y,z)在區(qū)域上可積 該極限lim
lim
f(ξ,η,?)V稱為函數(shù)fxyz在區(qū)間上的三重積分,記n作
ni
f(x,y,z)dVlim
f(ξ,η,? n
稱為積分區(qū)域, f(x,y,z)稱為被積函數(shù),x,y,z稱為積分中間變量,體積元素dV又記作dxdydz.三重積分的值與積分中間變量的符號無關:f(x,y,z)dxdydzf(u,v, fxyz在區(qū)域1和2上可積,點,則fx,yz在12上可積,且
f(x,y,z)dxdydzf(x,y,z)dxdydzf(x,y,1 [Af(x,y,z)Bg(x,y,z)]dxdydzAf(x,y,z)dxdydzBg(x,y, 保序性:若可積函數(shù)f(x,y,z)g(x,y, (x,y,z), f(x,y,z)dxdydzg(x,y, 若可積函數(shù)f(x,y,z) (x,y,z),則f(x,y,z)dxdydz0若fx,yz在上可積,則fxyz)在f(x,y,z)dxdydzf(x,y,z) 估值定理:若可積函數(shù)fx,yz在上滿足mfx,yzM,則mVf(x,y,z)dxdydz其中V為gxyz在 mg(x,y,z)dxdydzf(x,y,z)g(x,y,z)dxdydzMg(x,y, 中值定理:若函數(shù)fx,yz在上連續(xù),則(ξ,η,?),使
gx,yz在f(x,y,z)g(x,y,z)dxdydzf(ξ,η,?)g(x,y, 特別地,gx,yz)1時,(ξ,η,?f(x,y,z)dxdydzf(ξ,η,?)dxdydzf(ξ,η,? 其中Vdxdydz為(7)若區(qū)域關于xfx,yz)fx,yz,則
平面對稱 可積函數(shù)f(x,y,z)滿f(x,y,z)dxdydz若區(qū)域關于xy平面對稱 可積函 f(x,y,z)滿fx,yz)fx,yz,則 f(x,y,z)dxdydz2f(x,y, 上定理:有界閉 3, 如 其中z(x,y),z(x,y)為 f(x,y,
z2(x,y
f(x,y, 如
(x,y,z)(x, D
2, 其中 c, ,Dz的邊界Dz為零面積集,f(x,y,
Cc
f(x,y, dxdydz,其中(如上圖)為(1xyz)(x,y,z)xyz1,x0,y0,z (x,y,z)0z1xy,0y1x,0x(xy)dxdydz1dx1xdy1x dx1x
(1xy z1xy 2(1xyz)2 11dx1x 21424
(1x
11 y1x1x
2 111
dx
ln2201 4
例:計算xyzdxdydz,其中(如上圖)(x,y,z)x2y2z21,x0,y0,z (x,y,z)0z1x2y2,(x,y) Dxy(x,y)x2y21,x0,y故11x2 1x1x2010111
1(1x2y2)
11 y4y 2 x(1x)y dy2 y(x,y,z)(x,y)Dz,0zDz(x,y)x2y21z2,x0,y11xyzdxdydz0dz 1 ydz 1x21x2對于(xyzx2y2z21,x0y1x21x2100100
f(x,y,z)dz1
f(x,y,00000000例:計算yz)dxdydz (x,y, b2c21,z0 解:由于(上半橢球體)關于Oxz坐標平面對稱,而函數(shù)f(xyz關于Oxz坐標平 稱,所以ydxdydz0,于1x2y2a21x2y2a2(yz)dxdydzzdxdydz zdz c12
D b2 Dxy是Oxya2b21所包圍的平面區(qū)域(3.4.3(yz)dxdydz412
y2
2c
a2
22
1π(yz)dxdydz
dφ(1ρ)abρdρ2abc
2
40 2 0 對于三重積分f(xyz)dxdydzxx(r,s,yy(r,s, (r,s,t)zz(r,s,
那么它將Oxyz中的空間域一一對應地映射為Orst中的空間域,體積元素dxdydz變?yōu)閐xdydz
D(D(x,y,f(x,y,z)dxdydzf(x(r,s,t),y(r,s,t),z(r,s,t))D(x,y,z) 柱坐標系可以說是由Oxy平面中的極坐標系與z坐標相結合而成的坐標系,空間點P的柱坐標(ρ,φ,z)與其直角(x,y,z)的關系為xρyρsinz點P在xy平面上投影。x2y20φ2π,zx2y2 x2y20φπ,zx2y2z2ρ R2za2z2x2y2(aρa0φ2π,zzz0φ2π,ρ變換的JacobiD(x,y,D(r,D(x,y,D(r,s,sin ρ 0 例:三重積分f(x,yz)dxdydz化為柱坐標系下的累次積分,其中(
(x,y,z)(xR)2y2R2,0z解:域(ρ,φ,z)0zH,0ρ2Rcosφ, π φ 2ρ2Rcosφ是Oxy平面上的圓(xR)2y2R2 f(x,y,z)dxdydz
2dφ2
ρdρ
f(ρcosφ,ρsinφ, x2y2dxdydz其中為平面曲
y22
x *ρ φ ρ ρ2 (,,z) 2, 故
x2y2dxdydz2π dρ2ρ φ φ
022 43 ρ
2π0ρ82dρ xrsinθyrsinθsinzr rOP,φ是OPx軸正方向的夾角,θ是OPzx2y2z2r0φ2π,0θx2y2z2r2R2a2z2x2y2(atanθ0φ2π,zzr 0φ2π,0θDx,y,zDr,φ,θ
sinθcosφ
rsinθcosφ
rcosθrcosθsin
r2fx,y,zfrsinθcosφ,rsinθsinφ,rcosθr2例:計算x2z2dxdydz,其中x2y2zR2R2x2y2zR2R2r2R
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