專題八思想方法3講第一

專題八 思想方法專題第一講 函數(shù)與方程思想第一部分 知識復(fù)習(xí)專題函數(shù)思想一般地，函數(shù)思想就是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等．在解題中，善于挖掘題目的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵，它廣泛地應(yīng)用于方程、不等式、數(shù)列等問題．方程思想方程的思想就是將所求的量(或與所求的量相關(guān)的量)設(shè)成未知數(shù)，用它表示問題中的其他各量，根據(jù)題中的已知條件，列出方程(組)，通過解方程或?qū)Ψ匠踢M(jìn)行研究，使問題得到解

決．方程的思想與函數(shù)的思想密切相關(guān)：方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通過方程進(jìn)行研究，方程f(x)＝a有解，當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域．函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要．函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用函數(shù)與方程思想解決的相關(guān)問題．1.函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；在研究問題中通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把研究的問題化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡的目的．2.方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在四個(gè)方面：解方程或解不等式；帶參變數(shù)的方程或不等式的討論，常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識應(yīng)用；需要轉(zhuǎn)化為方程的討論，如曲線的位置關(guān)系等；

(4)構(gòu)造方程或不等式求解問題．A．1C．－1D．－21．方程m＋

1－x

＝x有解，則m的最大值為(

A

)B．02．把長為12cm的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是(

)A.3

3

cm22C．3

2

cm2B．4

cm2D．2

3

cm2解析：設(shè)截成兩段分別為x，y，則x＋y＝12，x

y即y＝12－x(0＜x＜12)，兩個(gè)正三角形的邊長分別為3，3，4

3

4

336

36

3x2

3y2

3

3∴S＝

＋

＝

(x2＋y2)＝

[x2＋12－x2]

3＝

[(x－6)2＋36]．18∴當(dāng)

x＝6

時(shí)，Smin＝2

3.答案：D1＋ax

a3．設(shè)a為非零實(shí)數(shù)，函數(shù)y＝

1－ax

x∈R，且x≠－1

的反函數(shù)是(

)1＋axA．y＝1－axx∈R，且x≠－1a1－axB．y＝1＋axx∈R，且x≠－1aa1－xC．y＝

1＋x

(x∈R，且x≠1)a1＋xD．y＝

1－x

(x∈R，且x≠－1)1＋axa解析：由原函數(shù)y＝1－axx∈R，且x≠－1，解得a1＋yx＝

1－y

(y∈R，且y≠－1)，

1－x

即原函數(shù)的反函數(shù)是y＝a1＋x(x∈R，且x≠－1)，故選擇D.答案：D突破點(diǎn)1運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決字母(或式子)的求值或取值范圍問題已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，a＋bc－1＝0，求a的取值范圍．思路點(diǎn)撥：本題可以根據(jù)題設(shè)條件將b，c的和與積用a表示，構(gòu)造一元二次方程，然后利用一元二次方程有解，其判別式Δ≥0，再構(gòu)建a的不等式求解．或根據(jù)題設(shè)條件將a表示成c的函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題求解．解析：解法一(方程思想)：因?yàn)閎＋c＝－a，bc＝1－a.所以b，c是方程x2＋ax＋1－a＝0的兩根．所以Δ＝a2－4(1－a)≥0，即Δ＝a2＋4a－4≥0.解得{a|a≥－2＋2 2或a≤－2－2

2}．解法二(函數(shù)思想)：由已知a＋b＋c＝0，a＋bc－1＝0，得b＋c－bc＋1＝0，如果c＝1，則b＋1－b＋1＝0，即2＝0，1c＋1

1＋c1不成立，因此c≠1，所以b＝c－，a＝

－c－c.－c2＋2c＋11－c2.1＋c

c2＋1令f(c)＝1－c－c＝

1－c

，所以f′(c)＝令f′(c)＝0，則c＝1±

2.當(dāng)c＜1－2時(shí)，f′(c)＜0，2

，＋∞)函數(shù)f(c)在區(qū)間(－∞，1－2)上是減函數(shù)；當(dāng)1－2＜c＜1時(shí)，f′(c)＞0，函數(shù)f(c)在區(qū)間(1－2，1)上是增函數(shù)；當(dāng)1＜c＜1＋2時(shí)，f′(c)＞0，函數(shù)f(c)在區(qū)間(1,1＋2)上是增函數(shù)，當(dāng)c＞1＋

2

，f′(c)＜0，函數(shù)f(c)在區(qū)間(1＋上是減函數(shù)．c2＋1函數(shù)f(c)＝

1－c

的圖象如圖所示．所以f(c)≥f(1－≤f(1＋2)＝－2＋22)＝－2－2所以a的范圍是{a|a≥－2＋22或f(c)2.2或a≤－2－2

2}．解法三(函數(shù)思想)：同解法二，1－c

2

c＝－2＋(1－c)＋

，1＋c可令f(c)＝1－－c當(dāng)1－c＞0時(shí)，f(c)≥－2＋2

1－c21－c＝－2＋2

2；當(dāng)1－c＜0時(shí)，f(c)≤－2－2

c－12c－1＝－2－2

2.所以a的范圍是{a|a≥－2＋2 2或a≤－2－2

2}．規(guī)律方法：1求字母或式子的值問題往往要根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建以待求字母或式子為元的方程組，然后由方程組求得.2求參數(shù)的取值范圍是函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、解析

幾何等問題中的重要問題.解決這類問題一般有兩條途徑，其一，充分挖掘題設(shè)條件中的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求字母為元的不等式組求解；其二，充分應(yīng)用題設(shè)中的等量關(guān)系，將待求參數(shù)表示成其他變量的函數(shù)，然后應(yīng)用函數(shù)知識求值域.3當(dāng)問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時(shí)，是構(gòu)建一元二次方程的明顯信號，構(gòu)造方程后再利用方程知識可使問題巧妙解決.4當(dāng)問題中出現(xiàn)多個(gè)變量時(shí)，往往要利用等量關(guān)系去減少變量的個(gè)數(shù)，如最后能把其中一個(gè)變量表示成關(guān)于另一個(gè)變量的表達(dá)式，那么就可用研究函數(shù)的方法將問題解決.跟蹤訓(xùn)練1．若a，b是正數(shù)，且滿足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范圍．解析：解法一(看成函數(shù)的值域)：∵ab＝a＋b＋3，∴a≠1.a＋3

a＋31∴b＝a－1

而b＞0，∴a－＞0，即a＞1

或a＜－3..又a＞0，∴a＞1.故a－1＞0.a＋3

a－12＋5a－1＋4∴ab＝a·

＝

＝(a－1)＋

4

a－1

a－1

a－1＋5≥9a－1

4

當(dāng)且僅當(dāng)

a－1＝ ，即

a＝3

時(shí)取等號．又

a＞3

時(shí)，(a－1)＋

4

＋5

是關(guān)于

a

的增函數(shù)，a－1∴ab

的取值范圍是[9，＋∞)．解法二(看成不等式的解集)：∵a，b

為正數(shù)，∴a＋b≥2

ab.又

ab＝a＋b＋3，∴ab≥2

ab＋3，即(

ab)2－2

ab－3≥0.解得ab≥3

或ab≤－1(舍去)．∴ab≥9.解法三：若ab＝t，則a＋b＝t－3，∴a，b

可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0

的兩個(gè)正根．Δ＝t－32－4t≥0，

t≤1或t≥9，即t＞3，t＞0.從而有a＋b＝t－3＞0，ab＝t＞0，解得t≥9，即ab≥9.突破點(diǎn)2

運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決方程問題如果方程cos2x－sin

x＋a＝0在0

π

上有解，求a

，2的取值范圍．思路點(diǎn)撥：可分離變量為a＝－cos2x＋sinx，轉(zhuǎn)化為確定的相關(guān)函數(shù)的值域．解析：解法一：把方程變形為a＝－cos2x＋sin

x.設(shè)f(x)＝－cos2x＋sin

xx

2

∈0，π.顯然當(dāng)且僅當(dāng)a屬于f(x)的值域時(shí)，a＝f(x)有解．∵f(x)＝－(1－sin2x)＋sin

x＝sin

x＋12

52

－4，

2由x∈0，π知sin

x∈(0,1]．

易求得f(x)的值域?yàn)?－1,1]．故a的取值范圍是(－1,1]．

解法二：令t＝sin

x，由x∈0，π，可得t∈(0,1]．

2將方程變?yōu)椋簍2＋t－1－a＝0.依題意，該方程在(0,1]上有解．設(shè)f(t)＝t2＋t－1－a，其圖象是開口向上的拋物線，1對稱軸t＝－2，如圖所示．因此f(t)＝0在(0,1]上有解等價(jià)于f0＜0，f1≥0，即－1－a＜0，1－a≥0，∴－1＜a≤1.故a的取值范圍是(－1,1]．誤區(qū)警示：本題易忽視x∈0，π2，而將sinx誤為

54屬于[－1,1]，而得a∈－，1.規(guī)律方法：研究此類含參數(shù)的三角、指數(shù)、對數(shù)等復(fù)雜方程解的問題，通常有兩種處理思路：一是分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；二是換元，將復(fù)雜方程問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次方程，進(jìn)而利用二次方程解的分布情況構(gòu)建不等式或構(gòu)造函數(shù)加以解決.跟蹤訓(xùn)練2．如果方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)(a∈R)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．x－1>0，

①3－x>0，

②解析：由原方程可得a－x>0，③x－13－x＝a－x，

④由①②得1<x<3，∴原方程等價(jià)于(x－1)(3－x)＝a－x(1<x<3)，即a＝－x2＋5x－3(1<x<3)＝－

x－225

13＋

4

(1<x<3)，

4

4

易求得值域?yàn)?，13，故a的取值范圍是1，13.突破點(diǎn)3

運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決不等式問題)(1)已知x，y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，那么(A．x＋y<0

B．x＋y>0C．xy<0

D．xy>0思路點(diǎn)撥：(1)先把它變成等價(jià)形式2x－3－x>2－y－3y，再構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)＝2x－3－x，利用函數(shù)單調(diào)性比較．解析：(1)設(shè)f(x)＝2x－3－x.因?yàn)閥＝2x，y＝－3－x均為R上的增函數(shù)，所以f(x)＝2x－3－x是R上的增函數(shù)．又由2x－3－x>2－y－3y＝2－y－3－(－y)，即f(x)>f(－y)，∴x>－y，即x＋y>0.(2)設(shè)不等式2x－1>m(x2－1)對滿足m∈[－2,2]的一切實(shí)數(shù)m都成立，求x的取值范圍．思路點(diǎn)撥：此問題由于是常見的思維定勢，易把它看成關(guān)于x的不等式討論，若變換一個(gè)角度，以m為變量，使f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)(或常函數(shù))f(x)的值在[－2,2]內(nèi)恒負(fù)時(shí)，參數(shù)x應(yīng)滿足的條件．(2)設(shè)f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，f(m)<0?2則不等式2x－1>m(x2－1)恒成立?f(m)<0恒成立．∴在－2≤m≤2時(shí)，f2＝2x2－1－2x－1<0，f－2＝－2x

－1－2x－1<0，解得

7－1

3＋12

2<x<

.答案：(1)B

(2)

7－1，

3＋12

2誤區(qū)警示：本題易誤為關(guān)于x的不等式在[－2,2]上恒成立，求m的取值范圍．規(guī)律方法：1在解決值的大小比較問題時(shí)，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性或圖象解決是一種重要思想方法.2在解決不等式恒成立問題時(shí)，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題.同時(shí)要注意在一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化，一般地，已知存在范圍的量為變量，而待求范圍的量為參數(shù).3在解決不等式證明問題時(shí)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)方法解題是近幾年各省市高考的一個(gè)熱點(diǎn).用導(dǎo)數(shù)來解決不等式問題時(shí)，一般都要先根據(jù)欲證的不等式構(gòu)造函數(shù)，然后借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性情況，再結(jié)合在一些特殊點(diǎn)處的函數(shù)值得到欲證的不等式.跟蹤訓(xùn)練3．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2時(shí)取到極值．求a，b的值；若對于任意的x∈[0,3]都有f(x)<c2成立，求c的取值范圍；

(3)若方程f(x)＝c2有三個(gè)根，求c的取值范圍．解析：(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b＝3(2x2＋2ax＋b)．當(dāng)a＝－3，b＝4時(shí)，f

’(x)＝3(2x2－6x＋4)＝6(x－2)(x－1).當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)1<x<2時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)>0，所以此時(shí)1與2都是極值點(diǎn)，因此a＝－3，b＝4，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c

在x＝1

及x＝2

時(shí)取到極值，所以f′1＝0，f′2＝0.解得a＝－3，b＝4.(2)由(1)知函數(shù)y＝f(x)在x＝1處取到極大值f(1)＝5＋8c，在x＝2處取到極小值f(2)＝4＋8c.因?yàn)閒(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，所以當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的最大值是f(3)＝9＋8c，所以要使對于于任意的x∈[0,3]都有f(x)<c2成立，需要f(3)＝9＋8c<c2，c2－8c－9>0，解得c<－1或c>9.(3)由(1)(2)知函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，1)上是增函數(shù)，=在(1,2)上是減函數(shù)，在(2，＋∞)上是增函數(shù)，y＝f(x)在x＝1處取到極大值f(1)＝5＋8c，在x＝2處取到極小值f(2)＝4＋8c，f(1)>f(2)．所以要使方程f(x)＝c2有三個(gè)根，需要f(2)<c2<f(1)，即4＋8c<c2<5＋8c，解得

4＋2 5<c<4＋

21或

4－

21<c<4－2

5.突破點(diǎn)4

運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決最優(yōu)化問題平面內(nèi)邊長為a的正三角形ABC，直線DE∥BC，交AB，AC于D，E，現(xiàn)將△ABC沿ED折成60°的二面角，求DE在何位置時(shí)，折起后A到BC的距離最短，最短距離是多少？思路點(diǎn)撥：本題首先借助于幾何作圖找出折起來后A到BC的距離，然后選定合理變量建立距離的目標(biāo)函數(shù)．解析：如圖所示，A沿DE折起到A′，過A作AG⊥BC于G，交DE于F，連接A′F，A′G，∵△ABC為正三角形，DE∥BC，∴AF⊥DE，A′F⊥DE.同時(shí)，G，F(xiàn)分別為BC，DE的中點(diǎn)，∴DE⊥平面A′FG，BC⊥平面A′FG.∴∠A′FG是二面角A′EDB的平面角．由題知∠A′FG＝60°，∴A′G為所求．由題知∠A′FG＝60°，∴A′G為所求．

3在△A′FG中，設(shè)FG＝x，則A′F＝

a－x.2由余弦定理得A′G2＝A′F2＋FG2－2A′F·FG·cos

60°

3

＝

a－x2＋x2－

2

32·

2

a－x·x·cos

60°＝3x2－32

4

163ax＋3a2＝3x－

a2＋

a2