平行線的性質(zhì)（第1課時(shí)）（分層作業(yè)）

第五章相交線與平行線5.3.1平行線的性質(zhì)（第1課時(shí)）1．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線、分別截的兩邊，且．根據(jù)圖中標(biāo)示的角，判斷下列各角的度數(shù)關(guān)系，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可【詳解】A.的兩邊不平行，，不符合題意；B.，，而，，不符合題意；C.與是對(duì)頂角，，不符合題意；D.，，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵2．（2022秋·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，直線交于，，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行性質(zhì)，兩直線平行同位角相等得到，再根據(jù)互補(bǔ)、互余的定義即可得到的度數(shù)，從而得到答案．【詳解】解：，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線性質(zhì)、互余、互補(bǔ)定義求角度，熟記相關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023秋·重慶大渡口·八年級(jí)重慶市第九十五初級(jí)中學(xué)校?？计谀┤鐖D，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出，然后整理即可得解.【詳解】過點(diǎn)作，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），，（已知），（平行于同一直線的兩直線平行），（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），，.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出平行線是解題的關(guān)鍵.4．（2023秋·甘肅天水·七年級(jí)校考期末）如圖，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)對(duì)頂角相等可得，再根據(jù)平行線的判定可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得．【詳解】解：如圖，，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角相等、平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知直線，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，可得，由得，進(jìn)而可求出的度數(shù)．【詳解】解：如下圖所示，∵，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出圖中角度之間的關(guān)系．6．（2022秋·重慶江北·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，直線，被直線所截，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可求得的度數(shù)，又由鄰補(bǔ)角的定義即可求得的度數(shù)．【詳解】解：如圖：∵，，∴，∵，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的定義．解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，正確運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．7．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，生活中，將一個(gè)寬度相等的紙條按圖所示折疊一下，如果，那么的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；【詳解】如圖，將一個(gè)寬度相等的紙條按右圖所示折疊，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確結(jié)合已知條件進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，將一直角三角板與兩邊平行的紙條，如圖所示放置，下列結(jié)論（1）；（2）；（3）；（4），其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可判斷（1）（2），根據(jù)平角的定義即可判斷（3），根據(jù)等量代換即可判斷（4）．【詳解】解：∵，∴，故（1）（2）正確∵，∴，故（3）正確，∴，故（4）正確；∴正確的有4個(gè)，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，，，，則的度數(shù)是______．【答案】##70度【分析】過點(diǎn)C作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解【詳解】解：過點(diǎn)C作，∵∴∴，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)；做輔助線并掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·吉林長春·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，C島在A島的北偏東45°方向，在B島的北偏西25°方向，則________．【答案】##70度【分析】根據(jù)方位角的概念，過點(diǎn)C作輔助線，構(gòu)造兩組平行線，利用平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，作，則．∵，∴．∵，∴．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了方位角的概念，解答題目的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造平行線．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．11．（2021春·河南洛陽·七年級(jí)?？计谥校┤绻粋€(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊平行，那么這兩個(gè)角__________．【答案】相等或互補(bǔ)【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行分析即可．【詳解】解：（1）如圖所示：，，，，；（2）如圖所示：，，，，；綜上可得：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．故答案為：相等或互補(bǔ)．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．12．（2022秋·吉林長春·七年級(jí)長春市解放大路學(xué)校?？计谀┤鐖D，直線，，為直角，則___________．【答案】【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)作，如下圖：則，∴，∴，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．13．（2022秋·河南南陽·七年級(jí)校考期末）如圖，，，則=___________．【答案】##70度【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解．【詳解】∵，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟悉兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的知識(shí)點(diǎn)．14．（2023春·七年級(jí)單元測試）如圖，已知，，則______．【答案】##180度【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等與兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得到，，等量代換即可求得的值．【詳解】解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)H，∵，，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是注意兩直線平行，同位角相等與兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．15．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，，求證；【答案】證明見解析【分析】先證明，再證明，得到，利用等式的性質(zhì)即可求解．【詳解】證明：∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是牢記平行線的判定與性質(zhì)．16．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，直線被所截．若分別平分和，判斷與之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；【答案】；證明見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定證明即可．【詳解】解：；證明：∵，∴．∵分別平分和，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行找出相等的角是關(guān)鍵．17．（2023秋·山東濰坊·八年級(jí)?？计谀┱?qǐng)?jiān)谙铝袡M線上注明理由．如圖，已知，垂足為M，，，求證：．證明：∵，（已知）∴．（______）∴．（______）又∵，（已知）∴．（______）∴．（______）∴．（______）∵，（已知）∴．（垂直的定義）∴．（______）∴．（______）【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)定理解答即可．【詳解】證明：∵，（已知）∴．（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵，（已知）∴．（等量代換）∴．（同位角相等，兩直線平行）∴．（兩直線平行，同位角相等）∵，（已知）∴．（垂直的定義）∴．（等量代換）∴．（垂直定義）【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理并進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋·四川內(nèi)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，分別與交于點(diǎn)G、H，分別與交于點(diǎn)B、C，分別與交于點(diǎn)D、E，．若，，求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·廣東江門·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)、在直線上，，平分，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由已知條件得出，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，即可得證；（2）根據(jù)已知條件得出，根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．20．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，點(diǎn)B在直線之間，．(1)如圖1，請(qǐng)直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系：_________．(2)如圖2，和滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．(3)如圖3，平分，平分，與交于點(diǎn)G，則的度數(shù)為_________．【答案】(1)(2)，見解析(3)【分析】（1）過點(diǎn)B作，利用平行線的性質(zhì)即可求得結(jié)論；（2）過點(diǎn)B作，利用平行線的性質(zhì)即可求得結(jié)論；（3）利用（2）的結(jié)論和三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可求得結(jié)論．【詳解】（1）解：過點(diǎn)B作，如圖，∴．∵，，∴．∴．∵．∴．故答案為：；（2）解：和滿足：．理由：過點(diǎn)B作，如圖，∴．∵，，∴．∴．∴．∵．∴．∴．∴；（3）解：設(shè)與交于點(diǎn)F，如圖，∵平分，平分，∴，，∵，∴．∵，∴．∵，∴．由（2）知：，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．1．（2022秋·河北滄州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，B處在A處的南偏西方向，C處在A處的南偏東方向，C處在B處的北偏東方向，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件得出，再求出的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，∵B處在A處的南偏西的方向，C處在A處的南偏東方向，C處在B處的北偏東方向，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了方向角，用到的知識(shí)點(diǎn)是方向角、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)方向角求出有關(guān)角的度數(shù)．2．（2023春·七年級(jí)單元測試）如圖，，設(shè)，，正確的選項(xiàng)是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】如圖，利用平行線的判定和性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖：的頂點(diǎn)分別為，延長交直線與點(diǎn)，當(dāng)，則，∴，∵，∴，∴，即：，解得：，∴；A、無法求出∠2的度數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、無法求出∠3的度數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、，選項(xiàng)正確，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·河北廊坊·七年級(jí)校考階段練習(xí)）閱讀下列解答過程：如圖，，點(diǎn)E在AB，CD兩平行線之間，連接AE，DE．若，．求的度數(shù)是多少？解：過點(diǎn)E作，∵∴（⊙），∴（#）∵，，∴（*）∴（S）∴①⊙代表AEF；②#代表；③*代表平行于同一條直線的兩條直線平行；④S代表同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，上述補(bǔ)充的解答過程和依據(jù)中，正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，則，再根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得．【詳解】解：過點(diǎn)作，∵，∴，∴，∵，，∴（平行于同一條直線的兩條直線平行），∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴．由此可知，⊙代表，則①正確；#代表，則②正確；*代表平行于同一條直線的兩條直線平行，則③正確；代表兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則④錯(cuò)誤；綜上，正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行公理推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，若AB∥CD，則α、β、γ之間的關(guān)系為（

）A．α+β+γ=360° B．α﹣β+γ=180° C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=180°【答案】C【分析】過E作EFABCD，由平行線的質(zhì)可得∠α+∠AEF=180°，∠ECD=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系．【詳解】解：過點(diǎn)E作EFAB，∴∠α+∠AEF=180°，∵ABCD，∴EFCD，∴∠FEC=∠ECD，∵∠β=∠AEF+∠FED，又∠γ=∠ECD，∴∠α+∠β-∠γ=180°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·廣東江門·七年級(jí)江門市福泉奧林匹克學(xué)校?？茧A段練習(xí)）①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C=180°；②如圖2，ABCD，則∠E=∠A+∠C;③如圖3，ABCD，則∠A+∠E－∠1=180°；④如圖4，ABCD，則∠A=∠C+∠P．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(

)

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①過點(diǎn)E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；③過點(diǎn)E作直線，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠E-∠1=180°；④先過點(diǎn)P作直線，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和同位角相等即可作出判斷．【詳解】解：①過點(diǎn)E作直線，∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①錯(cuò)誤；②過點(diǎn)E作直線，∵，∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正確；③過點(diǎn)E作直線，∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正確；④如圖，過點(diǎn)P作直線，∵，∴，∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，∴∠1＝∠C＋∠CPA，∵ABCD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正確．綜上所述，正確的小題有②③④．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及平行公理的推論，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．6．（2022春·江蘇南通·七年級(jí)校考階段練習(xí)）一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行前進(jìn)，那么兩次拐彎的角度是（

）A．第一次右拐30°，第二次左拐150°B．第一次左拐30°，第二次右拐30°C．第一次左拐30°，第二次左拐150°D．第一次右拐30°，第二次右拐30°【答案】B【分析】根據(jù)兩條直線平行的性質(zhì)：兩條直線平行，同位角相等．再根據(jù)題意得：兩次拐的方向不相同，但角度相等．【詳解】解：如圖，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于平行前進(jìn)，可以得到∠1＝∠2．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)．注意要想兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行前進(jìn)，則拐的方向應(yīng)相反，角度應(yīng)相等．7．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，則∠BED的度數(shù)為（

）A．45° B．55° C．65° D．75°【答案】B【分析】由AB∥CD，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得出∠ABC和∠ADC的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可求出∠ABE和∠CDE的度數(shù)，過點(diǎn)E作EF∥AB，則EF∥CD，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得出∠BEF和∠DEF的度數(shù)，再結(jié)合∠BED=∠BEF+∠DEF，即可求出∠BED的度數(shù)．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD=40°，∠ADC=∠BAD=70°．∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴，過點(diǎn)E作EF∥AB，則EF∥CD，如圖所示．∵EF∥AB，EF∥CD，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的有關(guān)證明．利用平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，求出∠BEF和∠DEF的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·陜西渭南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，平分交于，，，、分別是，延長線上的點(diǎn)，點(diǎn)在上，下列結(jié)論：①；②；③；④平分，其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)AB⊥BC得出∠B=90°，進(jìn)而得到∠1+∠AEB=90°，因?yàn)锳E⊥DE，證得∠AEB+∠CED=90°，等量代換得到∠1=∠CED，已知∠1+∠2=90°，則∠CED+∠2=90°，從而得出∠C=90°，證得ABCD，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)進(jìn)一步分析其它結(jié)論即可．【詳解】解：∵AB⊥BC，∴∠B=90°，∴∠1+∠AEB=90°，∵AE⊥DE，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠1=∠DEC，∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴ABCD，故①正確；∵AE平分∠BAD交BC于E，∴∠1=∠EAD，又∵∠1=∠DEC，∵∠DEC=∠EAD，故②正確；∵∠AEB=∠2，∠2+∠EDN=180°，∴∠AEB+∠EDN=180°，∵∠EDN≠∠ADC，∴∠AEB+∠ADC≠180°，故③錯(cuò)誤；∵AE⊥DE，∴∠EAD+∠ADE=90°，∵∠2+∠DEC=90°，∠DEC=∠EAD，∴∠2+∠EAD=90°，∴∠2=∠ADE，∴DE平分∠ADC，故④正確．故正確的結(jié)論有①②④．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，熟練應(yīng)用判定定理是解題的關(guān)鍵．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．9．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線，，，則__度，__度．【答案】

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360【分析】過的頂點(diǎn)作已知直線的平行線，充分運(yùn)用平行線的性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)：，【詳解】解：如圖，過的頂點(diǎn)作，，，，，又，；又，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，注意此類題中常見的輔助線：構(gòu)造已知直線的平行線．根據(jù)平行線的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)并證明：；．10．（2022秋·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，平分，平分，，，則的度數(shù)為___________．（用含n的式子表示）【答案】【分析】首先過點(diǎn)E作，由平行線的傳遞性得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出，，由角平分線的定義得出，，再由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出，由即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作，則，，∴，，又∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線，掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義．11．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，和的平分線相交于F，，___________°．【答案】111【分析】過點(diǎn)E作，然后由，可得，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得，，然后根據(jù)周角的定義可求的度數(shù)；再根據(jù)角平分線的定義求出的度數(shù)，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求的度數(shù)．【詳解】解：過點(diǎn)E作，如圖所示，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵和的平分線相交于F，∴，∵，∴．故答案為：111．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟記兩直線平行同位角相等；兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)．另外過點(diǎn)E作，也是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，則___________．【答案】【分析】如圖，過作過作證明可得再證明從而可得答案．【詳解】解：如圖，過作過作∵∴∴∴而∴∵∴∴∴∵∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，利用平行公理作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．13．（2022春·遼寧丹東·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，，與相交于點(diǎn)，且，，若，則______．【答案】3【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，依此即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，∵，∴，∴，，，∴，∵，，∴，∴．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．14．（2022春·安徽安慶·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)M位于AB與CD之間且在EF的右側(cè)．（1）若，則______°；（2）若，與的角平分線交于點(diǎn)N，則的度數(shù)為______．（用含n的式子表示）【答案】

270

【分析】（1）過點(diǎn)M作MPAB，則ABCDMP，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得答案；（2）過點(diǎn)N作NQAB，則ABCDNQ，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等和角平分線的定義可得答案．【詳解】解：（1）過點(diǎn)M作MPAB，∵ABCD，∴ABCDMP，∴∠1=∠MEB，∠2=∠MFD，∵∠M=∠1+∠2=90°，∴∠MEB+∠MFD=90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD=180°+180°=360°，∴∠AEM+∠CFM=360°-90°=270°．故答案為：270；（2）過點(diǎn)N作NQAB，∵ABCD，∴ABCDNQ，∴∠3=∠NEB，∠4=∠NFD，∴∠NEB+∠NFD=∠3+∠4=∠ENF，∵∠BEM與∠DFM的角平分找交于點(diǎn)N，∵∠NEB=∠MEB，∠DFN=∠MFD，∴∠3+∠4=∠BEN+∠DFN=（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD=∠EMF，∴∠ENF=∠EMF=n°．故答案為：n°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理和角平分線的定義是解題關(guān)鍵．15．（2022秋·吉林長春·七年級(jí)校考期末）如圖，，點(diǎn)、分別在線段、上，、分別與交于點(diǎn)、，若，求證：．請(qǐng)完善解答過程，并在括號(hào)內(nèi)填寫相應(yīng)的依據(jù)．證明：∵，（已知），（

）∴_________．（

）∴．（

）∴_________．（兩直線平行，同位角相等）∵，（已知）∴_________．（等量代換）∴（

）∴．（

）∵，（已知）∴∴∴．（

）【答案】對(duì)頂角相等；；等量代換；同位角相等，兩直線平行；；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；垂直的定義．【分析】證明，可得，再證明，可得，再證明即可．【詳解】證明：∵，（已知），（對(duì)頂角相等）∴．（等量代換）∴．（同位角相等，兩直線平行）∴．（兩直線平行，同位角相等）∵，（已知）∴．（等量代換）∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∴．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵，（已知）∴，∴，∴．（垂直的定義）【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，垂直的定義，掌握“簡單的邏輯推理”是解本題的關(guān)鍵．16．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)B，C在線段的異側(cè)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段，上的點(diǎn)，已知，．(1)求證：；(2)若，求證：；(3)在（2）的條件下，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角相等結(jié)合已知條件得出，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)對(duì)頂角相等結(jié)合已知得出，證得，即可得解；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知得出，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∴；（2）證明：∵，，∴，∴，∴；（3）解：∵，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”、“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·吉林長春·七年級(jí)?？计谀?）已知：如圖1，，求證：；（2）已知：如圖2，，試探求、與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．拓展提升：（3）如圖3，已知，，分別平分與，若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2），理由見解析；（3）．【分析】（1）根據(jù)平行線性質(zhì)得出，，即可得出答案；（2）根據(jù)平行線性質(zhì)求出，，即可得出答案；（3）由，，推出，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過E點(diǎn)作，則，又∵，∴，∴，∴，即；（2）解：，理由：如圖，過E點(diǎn)作，則，又∵，∴，∴，又∵，∴；（3）解：∵，分別平分與，∴，∴，由（1），可得，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)．18．（2022秋·吉林長春·七年級(jí)校考期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線，連結(jié)，可以發(fā)現(xiàn)請(qǐng)把下面的證明過程補(bǔ)充完整：證明：過點(diǎn)作，∴（______）．∵（已知），．∴（______）．∴．∵（______）．∴．（等量代換）．（2）拓展探究：如果點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖②所示的位置，其他條件不變，說明：．（3）解決問題：如圖③，，是與之間的點(diǎn)，直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一條直線的兩條直線互相平行；（2）見解析（3）見解析【分析】（1）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可；（2）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可；（3）過點(diǎn)作，過作，過作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)作，∴（_兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等_____）．∵（已知），．∴（__平行于同一條直線的兩條直線互相平行____）．∴．∵（______）．∴．（等量代換）（2）證明：∵過做∴∵∴∴∴∴∵∴(3)解：理由如下：過點(diǎn)作，過作，過作∴，，，∴，，∴，，，∴【點(diǎn)睛】本題考查了平行