第四節(jié)函數(shù)的微分課件

第四節(jié)函數(shù)的微分

2.4.1引例假設(shè)某正方形金屬薄片受熱后邊長(zhǎng)由變到如圖2-4所示，問(wèn)金屬片面積的改變量是多少？解金屬薄片的原面積為當(dāng)金屬薄片受熱后邊長(zhǎng)從變到時(shí)，面積增量為二、微分的定義定義2

設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則稱為函數(shù)在點(diǎn)的微分，記為，即規(guī)定：自變量的微分是自變量的增量。即從而函數(shù)在點(diǎn)處的微分為所以即函數(shù)的微分與自變量的微分之商就是導(dǎo)數(shù)。根據(jù)微分定義可知，引例中即例1求函數(shù)在時(shí)的改變量及微分。解將代入，得因?yàn)椋怨曙@然三、微分的幾何意義設(shè)函數(shù)的圖形如圖2-5所示，MP是曲線上點(diǎn)處的切線，設(shè)MP的傾斜角為當(dāng)自變量有改變量時(shí)，得到曲線上另一點(diǎn)由得即由此可知，微分是當(dāng)自變量有

改變量時(shí)，曲線在點(diǎn)處的縱坐標(biāo)的改變量。用近似代替，就是用點(diǎn)處的切線的縱坐標(biāo)的改變量來(lái)近似代替曲線的縱坐標(biāo)的改變量。并且有：當(dāng)時(shí)，微分的幾何意義：四、微分的運(yùn)算因?yàn)楹瘮?shù)的微分為，所以根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則就能得到相應(yīng)的微分公式和微分運(yùn)算法則。1、微分基本公式2、函數(shù)的和、差、積、商的微分運(yùn)算法則

記則3、復(fù)合函數(shù)的微分法則

設(shè)函數(shù)根據(jù)微分的定義，有(1)當(dāng)為自變量時(shí)：(2)當(dāng)不是自變量，而是的可導(dǎo)函數(shù)時(shí)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為于是，復(fù)合函數(shù)的微分為由此可知，不論是自變量還是中間變量，函數(shù)

的微分總是保持同一形式這一性質(zhì)稱為一階微分的形式不變性。利用一階微分的開(kāi)式形不變性求復(fù)合函數(shù)的微分有時(shí)比較方便。例2設(shè)求解法一用公式得解法二由一階微分的開(kāi)式形不變性，得例3

設(shè)求解法一用公式得解法二由一階微分的形式不變性，得例4

求方程確定的隱函數(shù)的微分及導(dǎo)數(shù)解對(duì)方程兩邊求微分，得應(yīng)用微分的運(yùn)算法則，得故有即于是所求微分為所求導(dǎo)數(shù)為五、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1、近似計(jì)算在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常利用微分作近似計(jì)算。當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，且很小時(shí)，我們有近似公式或若，令當(dāng)很小時(shí)，當(dāng)很小時(shí)，由上式可推得五、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1、近似計(jì)算在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常利用微分作近似計(jì)算。當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，且很小時(shí)，我們有近似公式3)近似公式：五、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1、近似計(jì)算在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常利用微分作近似計(jì)算。當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，且很小時(shí)，我們有近似公式2)求函數(shù)值：證由得由得其它幾個(gè)公式也可用類(lèi)似的方法證明。例5

計(jì)算的近似值。解設(shè)

由得則例6

某球體的體積從增加到，試求其半徑改變量的近似值。解設(shè)球的半徑為，體積，則由所以例7

計(jì)算的近似值。解2、誤差估計(jì)設(shè)量可以直接度量，而依賴于的量由函數(shù)確定，若的度量誤差為，則有相應(yīng)的誤差為----稱為量的絕對(duì)誤差----稱為相對(duì)誤差在計(jì)算誤差時(shí)常用代替，用代替，這樣求出的誤差稱為誤差的估計(jì)值。例8

測(cè)得一圓柱的直徑為43cm,并已知在測(cè)量中絕對(duì)誤差不超過(guò)0.02cm,試求用此數(shù)據(jù)計(jì)算圓柱的橫載面積時(shí)所引起的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差。解圓柱橫截面的面積為由D的測(cè)量誤差所引起的面積的計(jì)算誤差，可用微分來(lái)近似代替，即所以絕對(duì)誤差為相對(duì)誤差為第五節(jié)導(dǎo)數(shù)的一些實(shí)例在實(shí)際問(wèn)題中，常把導(dǎo)數(shù)稱為變化率，因?yàn)閷?duì)函數(shù)表示自變量每改變一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)的平均變化率。當(dāng)時(shí)，若可導(dǎo)，則----稱為函數(shù)的變化率。例1

設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)通過(guò)導(dǎo)線橫載面的電荷為，求時(shí)刻的電流。解在時(shí)間內(nèi)平均電流當(dāng)很小時(shí)，平均電流可以作為時(shí)刻電流的近似值。令平均電流強(qiáng)度的極限（如果極限存在）就稱為時(shí)刻的電流。即例2在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際成本定義為產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的總成本，設(shè)產(chǎn)量為時(shí)，成本為求產(chǎn)量為時(shí)的邊際成本。解設(shè)產(chǎn)量由變?yōu)?，則總成本函數(shù)的改變量為這時(shí)總成本函數(shù)的平均變化率為成本。上式表示產(chǎn)量由變到時(shí)，在平均意義下的邊際當(dāng)總成本函數(shù)可導(dǎo)時(shí)，其變化率關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)。表示該產(chǎn)品為時(shí)的邊際成本，即邊際成本是總成本函數(shù)例3

從一個(gè)銅礦中開(kāi)采Tt銅礦的花費(fèi)為元，意味著有2000t銅礦從礦中被開(kāi)采出來(lái)時(shí)，再開(kāi)采1t銅礦需花費(fèi)100元。類(lèi)似地，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際收入定義為多銷(xiāo)售一個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)收入。所增加的銷(xiāo)售收入，即，這里為銷(xiāo)售量為時(shí)的例4

現(xiàn)將一氣體注入某一球狀氣球，假定氣體的壓力不變，問(wèn)當(dāng)半徑為1cm時(shí)，氣球的體積關(guān)于半徑的變化率是多少？解氣體的體積V與半徑r之間的函數(shù)關(guān)系為氣體的體積關(guān)于半徑的變化率即氣體的體積關(guān)于半徑的導(dǎo)數(shù)所以當(dāng)時(shí)，氣體的體積關(guān)于半徑的變化率為例5

電路中某點(diǎn)處的電流i是通過(guò)該點(diǎn)處的電量Q關(guān)于時(shí)間t的瞬時(shí)變化率，如果一電路中的電量為，求：（1）電流函數(shù)；（2）時(shí)的電流是多少？（3）什么時(shí)候電流為30？解（1）（2）（3）解方程得（舍去）即當(dāng)時(shí)，電流為30.例6

已知某物體作直線運(yùn)動(dòng)，路程s(單位：m）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系為求時(shí)物體的速度和加速度。解物體運(yùn)動(dòng)的速度和加速度分別為所以例7

放射性元素碳－14的衰減由下式給出：其中是年后碳－14存余的數(shù)量（單位：），問(wèn)碳－14的衰減速度（單位：g/a，即克/年）是多少？解碳－14的衰減速度為（g/a）例8

假設(shè)某鋼棒的長(zhǎng)度L（單位：cm)取決于氣溫H（單位：），而氣溫H又取決于時(shí)間t(單位：h).如果氣溫每升高1，鋼棒長(zhǎng)度增加2cm，而每隔1h,氣溫上升3，問(wèn)鋼棒長(zhǎng)度關(guān)于時(shí)間的增加有多快？解已知長(zhǎng)度對(duì)氣溫的變化率為

氣溫對(duì)時(shí)間的變化率為將L看作H的函數(shù)，H看作t的函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，得因此，長(zhǎng)度關(guān)于時(shí)間的增長(zhǎng)率為6（cm/h).例9

設(shè)有一電阻負(fù)載，現(xiàn)負(fù)載功率從900W變到901W求負(fù)載兩端電壓約改變了多少？解由電學(xué)知即則因?yàn)樽宰兞縋由900W變到901W，變化量相對(duì)很小，所以即負(fù)載兩端電壓U約改變了0.1V。例10某一負(fù)反饋放大電路，記其開(kāi)環(huán)電路的放大倍數(shù)為A，閉環(huán)電路的放大倍數(shù)為，則它們二者有函數(shù)關(guān)系當(dāng)時(shí)，由于受環(huán)境溫度變化的影響，A變化了10％求的變化量是多少？的相對(duì)變化量又是多少？解由于時(shí)，，用近似計(jì)算，得其中的變化量約為的相對(duì)變化量約為例11某公司生產(chǎn)一種新型的游戲程序，假如能全部出售，收入函數(shù)為，其中為公司一天的產(chǎn)量。如果公司某天的產(chǎn)量從250增加到260，請(qǐng)估計(jì)公司當(dāng)天收入的增加量。解公司產(chǎn)量的增加量用估計(jì)收入的增加量為例12

一機(jī)械掛鐘的鐘擺的周期為1s,在冬季擺長(zhǎng)因熱脹冷縮而縮短了0.01cm,已知單擺的周期為，其中問(wèn)這只鐘每天約快還是慢了多少？解因?yàn)殓姅[的周期為1s,所以由解得擺長(zhǎng)為又?jǐn)[長(zhǎng)的改變量，用近似計(jì)算得將，代入上式，得這就是說(shuō)，由于擺長(zhǎng)縮短了0.01cm，鐘擺的周期相應(yīng)的縮短了約0.0002s小結(jié)（1）在實(shí)際問(wèn)題中，與變化率有關(guān)的問(wèn)題都可歸納為導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，求變化率就是求導(dǎo)數(shù)。（2）當(dāng)自變量變化很小時(shí)，可以函數(shù)的微分來(lái)近似代替函數(shù)的增量。（3）若，當(dāng)變化很小時(shí)，的相對(duì)改變量為拓展與延伸1.導(dǎo)數(shù)的定義(1)導(dǎo)數(shù)定義的兩種等價(jià)形式設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則或例1

已知在處連續(xù)，且，求。解因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，即因?yàn)樵谔庍B續(xù)，所以故例2

已知求。解此題若用求導(dǎo)法則先求導(dǎo)函數(shù)，再代入值，會(huì)比較繁瑣。（2）

利用導(dǎo)數(shù)定義可能求某些極限例3已知，，求。解例4

已知在點(diǎn)處可導(dǎo)，且，求。解由第二重要極限及導(dǎo)數(shù)定義，得2.分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例5討論函數(shù)

的導(dǎo)數(shù).

解因?yàn)楣屎瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)不存在,因此3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義例6

設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為,求解因?yàn)樗郧芯€為令得則截距之各和等于1.例7

證明曲線上任一點(diǎn)的切線截兩坐標(biāo)軸的證設(shè)曲線上任一點(diǎn)為,則曲線兩邊對(duì)求導(dǎo),得即所以曲線在點(diǎn)處的切線為整理即得顯然切線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為故切線截兩坐標(biāo)軸的截距之和為4.求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)例8

已知，求。解將等式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得將