七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題《三角形全等的常見輔助線》考點(diǎn)突破試題（解析版）

PAGEPAGE1專題04三角形全等的常見輔助線1)全等中常見輔助線總結(jié)方法1截長(zhǎng)補(bǔ)短法(往往需證2次全等)截長(zhǎng)補(bǔ)短法使用范圍：線段和差的證明(1)截長(zhǎng)：在較長(zhǎng)線段上截取一段等于某一短線段,再證剩下的那一段等于另一短線段.例：如圖,求證BE+DC=AD方法：①在AD上取一點(diǎn)F,使得AF=BE,證DF=DC;②在AD上取一點(diǎn)F,使DF=DC,證AF=BE(2)補(bǔ)短：將短線段延長(zhǎng),證與長(zhǎng)線段相等例：如圖,求證BE+DC=AD方法：①延長(zhǎng)DC至點(diǎn)M處,使CM=BE,證DM=AD;②延長(zhǎng)DC至點(diǎn)M處,使DM=AD,證CM=BE(3)旋轉(zhuǎn)：將包含一條短邊的圖形旋轉(zhuǎn),使兩短邊構(gòu)成一條邊,證與長(zhǎng)邊相等.注：旋轉(zhuǎn)需要特定條件(兩個(gè)圖形的短邊共線)例：如圖,已知AB=AC,∠ABM=∠CAN=90°,求證BM+CN=MN方法：旋轉(zhuǎn)△ABM至△ACF處,證NE=MN1．(2021·湖北八年級(jí)期末)如圖,△ABC中,∠B=2∠A,∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D,已知AC=16,BC=9,則BD的長(zhǎng)為()A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】如圖,在上截取連接證明利用全等三角形的性質(zhì)證明求解再證明從而可得答案．【詳解】解：如圖,在上截取連接平分故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定,掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．(2022·四川南充·八年級(jí)期末)(1)閱讀理解：?jiǎn)栴}：如圖1,在四邊形中,對(duì)角線平分,．求證：．思考：”角平分線+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過(guò)”截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問(wèn)題．方法1：在上截取,連接,得到全等三角形,進(jìn)而解決問(wèn)題;方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn),使得,連接,得到全等三角形,進(jìn)而解決問(wèn)題．結(jié)合圖1,在方法1和方法2中任選一種,添加輔助線并完成證明．(2)問(wèn)題解決：如圖2,在(1)的條件下,連接,當(dāng)時(shí),探究線段,,之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;(3)問(wèn)題拓展：如圖3,在四邊形中,,,過(guò)點(diǎn)D作,垂足為點(diǎn)E,請(qǐng)直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)證明見解析;(2);理由見解析;(3)．【分析】(1)方法1：在上截取,連接,得到全等三角形,進(jìn)而解決問(wèn)題;方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn),使得,連接,得到全等三角形,進(jìn)而解決問(wèn)題;(2)延長(zhǎng)到點(diǎn),使,連接,證明,可得,即(3)連接,過(guò)點(diǎn)作于,證明,,進(jìn)而根據(jù)即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)方法1：在上截,連接,如圖．平分,．在和中,,,,．,．．,．方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn),使得,連接,如圖．平分,．在和中,,．,．,．,,．(2)、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．(或者：,)．延長(zhǎng)到點(diǎn),使,連接,如圖2所示．由(1)可知,．為等邊三角形．,．,．．,為等邊三角形．,．,,即．在和中,,．,,．(3),,之間的數(shù)量關(guān)系為：．(或者：,)解：連接,過(guò)點(diǎn)作于,如圖3所示．,．．在和中,,,,．在和中,,．,,．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定,正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．3．(2021·湖北)如圖,△ABC為等邊三角形,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,在l上位于C點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)D滿足∠BDC＝60°．(1)如圖1,在l上位于C點(diǎn)左側(cè)取一點(diǎn)E,使∠AEC＝60°,求證：△AEC≌△CDB;(2)如圖2,點(diǎn)F、G在直線l上,連AF,在l上方作∠AFH＝120°,且AF＝HF,∠HGF＝120°,求證：HG＋BD＝CF;(3)在(2)的條件下,當(dāng)A、B位于直線l兩側(cè),其余條件不變時(shí)(如圖3),線段HG、CF、BD的數(shù)量關(guān)系為．【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)HG=CF+BD．【分析】(1)先利用角的和差證明∠BCD=∠EAC,然后利用AAS即可證明△AEC≌△CDB;(2)在l上C點(diǎn)左側(cè)取一點(diǎn)E,使∠AEC=60°,連接AE,依次證明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出結(jié)論;(3)在l上位于C點(diǎn)右側(cè)取一點(diǎn)E,使∠AED=60°,連接AE,在l上取一點(diǎn)M,使BM=BD,依次證明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)證明：∵△ABC是等邊三角形,∴AC=BC,∠ACB=60°,∴∠BCD+∠ACE=120°,∵∠AEC=60°,∴∠ACE+∠EAC=120°,∴∠BCD=∠EAC,在△AEC和△CDB中∵,∴△AEC≌△CDB(AAS);(2)證明：如圖2,在l上C點(diǎn)左側(cè)取一點(diǎn)E,使∠AEC=60°,連接AE,由(1)知：△AEC≌△CDB,∴BD=CE,∵∠AEC=60°,∴∠AEF=120°,∵∠AFH＝120°,∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°,∴∠FAE=∠GFH,∵∠HGF=∠AEF=120°,AF=FH,∴△HGF≌△FEA(AAS),∴GH=EF,∴CF=EF+CE=HG+BD;(3)解：HG=CF+BD,理由是：如圖3,在l上位于C點(diǎn)右側(cè)取一點(diǎn)E,使∠AED=60°,連接AE,在l上取一點(diǎn)M,使BM=BD,∵∠BDC=60°,∴△BDM是等邊三角形,∴∠BMD=60°,∵∠AED=60°,∴∠AEC=∠CMB=120°,∵∠ACB=60°,∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°,∴∠CAE=∠BCE,∵AC=BC,∴△ACE≌△CBM(AAS),∴CE=BM=BD,由(2)可證△HGF≌△FEA(AAS),∴GH=FE,∵EF=CF+CE∴HG=CF+BD．故答案為：HG=CF+BD．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定,全等三角形的性質(zhì)和判斷,三角形外角的性質(zhì)等．掌握一線三等角的模型,能借助一線三等角證明對(duì)應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．4．(2021·四川東辰國(guó)際學(xué)校八年級(jí)期末)已知在四邊形ABCD中,∠ABC＋∠ADC＝180°,∠BAD＋∠BCD＝180°,AB＝BC(1)如圖1,連接BD,若∠BAD＝90°,AD＝7,求DC的長(zhǎng)度．(2)如圖2,點(diǎn)P、Q分別在線段AD、DC上,滿足PQ＝AP＋CQ,求證：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC(3)若點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上,如圖3所示,仍然滿足PQ＝AP＋CQ,請(qǐng)寫出∠PBQ與∠ADC的數(shù)量關(guān)系,并給出證明過(guò)程．【答案】(1);(2)見解析;(3),證明見解析【分析】(1)根據(jù)已知條件得出為直角三角形,再根據(jù)證出,從而證出即可得出結(jié)論;(2)如圖2,延長(zhǎng)DC到K,使得CK=AP,連接BK,通過(guò)證△BPA≌△BCK(SAS)得到：∠1=∠2,BP=BK．然后根據(jù)證明得,從而得出,然后得出結(jié)論;(3)如圖3,在CD延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)K,使得KC=AP,連接BK,構(gòu)建全等三角形：△BPA≌△BCK(SAS),由該全等三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理SSS證得：△PBQ≌△BKQ,則其對(duì)應(yīng)角相等：∠PBQ=∠KBQ,結(jié)合四邊形的內(nèi)角和是360°可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC．【詳解】(1)證明：如圖1,．∵,,∴,在和中,∴,∴,∴;(2)如圖2,延長(zhǎng)至點(diǎn),使得,連接∵,∴,∵,∴,∵,,∴,∴,,∵,,∴,∵,,∴,∴,∴;(3);如圖3,在延長(zhǎng)線上找一點(diǎn),使得,連接,∵,∴,∵,∴,在和中,∴,∴,,∴,∵,∴,在和中,∴,∴,∴,∴,∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí),要注意三角形間的公共邊和公共角,必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．5．(2021·廣西玉林市·八年級(jí)期末)在中,,點(diǎn)D、E分別在、上,連接、和;并且有,．(1)求的度數(shù);(2)求證：．【答案】(1);(2)見解析【分析】(1)由,,可得為等邊三角形,由,,,可證(2)延長(zhǎng)至F,使,連接,由,,且,可證由,可證為等邊三角形,可得,可推出結(jié)論,【詳解】解：(1)∵,,∴為等邊三角形,∴,∵,,∵,∴(2)如圖,延長(zhǎng)至F,使,連接,由(1)得為等邊三角形,∴,∵,又∵,且,∴,在與中,∴∴,∴,∴又∵,∴為等邊三角形∴,又∵,且,∴,【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì),三角形全等判定與性質(zhì),線段和差,三角形外角性質(zhì),關(guān)鍵是引輔助線構(gòu)造三角形全等證明等邊三角形．6．(2021·陜西西安·七年級(jí)期末)問(wèn)題情境：已知,在等邊△ABC中,∠BAC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O,點(diǎn)M、N分別在直線AC,AB上,且∠MON＝60°,猜想CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系．方法感悟：小芳的思考過(guò)程是在CM上取一點(diǎn),構(gòu)造全等三角形,從而解決問(wèn)題;小麗的思考過(guò)程是在AB取一點(diǎn),構(gòu)造全等三角形,從而解決問(wèn)題;問(wèn)題解決：(1)如圖1,M、N分別在邊AC,AB上時(shí),探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;(2)如圖2,M在邊AC上,點(diǎn)N在BA的延長(zhǎng)線上時(shí),請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形,標(biāo)出相應(yīng)字母,探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系,并證明．【答案】(1)CM＝AN+MN,詳見解析;(2)CM＝MN﹣AN,詳見解析【分析】(1)在AC上截取CD＝AN,連接OD,證明△CDO≌△ANO,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OD＝ON,∠COD＝∠AON,證明△DMO≌△NMO,得到DM＝MN,結(jié)合圖形證明結(jié)論;(2)在AC延長(zhǎng)線上截取CD＝AN,連接OD,仿照(1)的方法解答．【詳解】解：(1)CM＝AN+MN,理由如下：在AC上截取CD＝AN,連接OD,∵△ABC為等邊三角形,∠BAC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O,∴∠OAC＝∠OCA＝30°,∴OA＝OC,在△CDO和△ANO中,,∴△CDO≌△ANO(SAS)∴OD＝ON,∠COD＝∠AON,∵∠MON＝60°,∴∠COD+∠AOM＝60°,∵∠AOC＝120°,∴∠DOM＝60°,在△DMO和△NMO中,,∴△DMO≌△NMO,∴DM＝MN,∴CM＝CD+DM＝AN+MN;(2)補(bǔ)全圖形如圖2所示：CM＝MN﹣AN,理由如下：在AC延長(zhǎng)線上截取CD＝AN,連接OD,在△CDO和△ANO中,,∴△CDO≌△ANO(SAS)∴OD＝ON,∠COD＝∠AON,∴∠DOM＝∠NOM,在△DMO和△NMO中,,∴△DMO≌△NMO(SAS)∴MN＝DM,∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理．7．(2021·四川八年級(jí)期末)如圖1,在等邊三角形中,于于與相交于點(diǎn)．(1)求證：;(2)如圖2,若點(diǎn)是線段上一點(diǎn),平分交所在直線于點(diǎn)．求證：．(3)如圖3,若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)(不與點(diǎn)重合),連接,在下方作邊交所在直線于．猜想：三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,并證明．【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)OF=OG+OA,理由見解析【分析】(1)由等邊三角形的可求得∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°,理由含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得OC=2OD,進(jìn)而可證明結(jié)論;(2)理由ASA證明△CGB≌△CGF即可證明結(jié)論;(3)連接OB,在OF上截取OM=OG,連接GM,可證得△OMG是等邊三角形,進(jìn)而可利用ASA證明△GMF≌△GOB,得到MF=OB=OA,由OF=OM+MF可說(shuō)明猜想的正確性．【詳解】解：(1)證明：∵△ABC為等邊三角形,∴AB=BC=AC,∠BAC=∠ACB=60°,∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴AD平分∠BAC,CE平分∠ACB,∴∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°,∴OA=OC,在Rt△OCD中,∠ODC=90°,∠OCD=30°,∴OC=2OD,∴OA=2OD;(2)證明：∵AB=AC=BC,AD⊥BC,∴BD=CD,∴BG=CG,∴∠GCB=∠GBC,∵CG平分∠BCE,∴∠FCG=∠BCG=∠BCF=15°,∴∠BGC=150°,∵∠BGF=60°,∴∠FGC=360°-∠BGC-∠BGF=150°,∴∠BGC=∠FGC,在△CGB和△CGF中,,∴△CGB≌△CGF(ASA),∴GB=GF;(3)解：OF=OG+OA．理由如下：連接OB,在OF上截取OM=OG,連接GM,∵CA=CB,CE⊥AB,∴AE=BE,∴OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=30°,∴∠AOB=120°,∠AOM=∠BOM=60°,∵OM=OG,∴△OMG是等邊三角形,∴GM=GO=OM,∠MGO=∠OMG=60°,∵∠BGF=60°,∴∠BGF=∠MGO,∴∠MGF=∠OGB,∵∠GMF=120°,∴∠GMF=∠GOB,在△GMF和△GOB中,,∴△GMF≌△GOB(ASA),∴MF=OB,∴MF=OA,∵OF=OM+MF,∴OF=OG+OA．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定的與性質(zhì),含30°角的直角三角形,角平分線的定義等知識(shí)的綜合運(yùn)用,屬于三角形的綜合題,證明相關(guān)三角形全等是解題的關(guān)鍵．方法2.與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線1).已知中點(diǎn)(1)中線倍長(zhǎng)法：將中點(diǎn)處的線段延長(zhǎng)一倍.目的：①構(gòu)造出一組全等三角形;②構(gòu)造出一組平行線.將分散的條件集中到一個(gè)三角形中去.1．(2021·四川七年級(jí)期末)在△ABC中,AB＝AC,點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),連接AE,作EF⊥AE,若點(diǎn)F在BD的垂直平分線上,∠BAC＝α,則∠BFD＝_________．(用α含的式子表示)【答案】180°﹣α．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EAC＝∠EMD,AC＝DM,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AF＝FM,FB＝FD,推出△MDF≌△ABF(SSS),得到∠AFB＝∠MFD,∠DMF＝∠BAF,根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長(zhǎng)AE至M,使EM＝AE,連接AF,FM,DM,∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),∴DE＝CE,在△AEC與△MED中,,∴△AEC≌△MED(SAS),∴∠EAC＝∠EMD,AC＝DM,∵EF⊥AE,∴AF＝FM,∵點(diǎn)F在BD的垂直平分線上,∴FB＝FD,在△MDF與△ABF中,,∴△MDF≌△ABF(SSS),∴∠AFB＝∠MFD,∠DMF＝∠BAF,∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM,∴∠BFD＝∠AFM＝180°﹣2(∠DMF+∠EMD)＝180°﹣(∠FAM+∠BAF+∠EAC)＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α,故答案為：180°﹣α．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．(2021·河北邢臺(tái)·八年級(jí)期中)某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng),請(qǐng)你來(lái)加入．【探究與發(fā)現(xiàn)】如圖1,延長(zhǎng)△ABC的邊BC到D,使DC＝BC,過(guò)D作DE∥AB交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,求證：△ABC≌△EDC．【理解與應(yīng)用】如圖2,已知在△ABC中,點(diǎn)E在邊BC上且∠CAE＝∠B,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),若AD平分∠BAE．(1)求證：AC＝BD;(2)若BD＝3,AD＝5,AE＝x,求x的取值范圍．【答案】[探究與發(fā)現(xiàn)]見解析;[理解與應(yīng)用](1)見解析;(2)1＜x＜4【分析】[探究與發(fā)現(xiàn)]由ASA證明△ABC≌△EDC即可;[理解與應(yīng)用](1)延長(zhǎng)AE到F,使EF=EA,連接DF,證△DEF≌△CEA(SAS),得AC=FD,再證△ABD≌△AFD(AAS),得BD=FD,即可得出結(jié)論;(2)由全等三角形的性質(zhì)得AB=AF=2x,再由三角形的三邊關(guān)系得AD-BD＜AB＜AD+BD,即5-3＜2x＜5+3,即可求解．【詳解】解：[探究與發(fā)現(xiàn)]證明：∵DE∥AB,∴∠B=∠D,又∵BC=DC,∠ACB=∠ECD,∴△ABC≌△EDC(ASA);[理解與應(yīng)用](1)證明：如圖2中,延長(zhǎng)AE到F,使EF=EA,連接DF,∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),∴ED=EC,在△DEF與△CEA中,,∴△DEF≌△CEA(SAS),∴AC=FD,∴∠AFD=∠CAE,∵∠CAE=∠B,∴∠AFD=∠B,∵AD平分∠BAE,∴∠BAD=∠FAD,在△ABD與△AFD中,,∴△ABD≌△AFD(AAS),∴BD=FD,∴AC=BD;(2)解：由(1)得：AF=2AE=2x,△ABD≌△AFD,∴AB=AF=2x,∵BD=3,AD=5,在△ABD中,由三角形的三邊關(guān)系得：AD-BD＜AB＜AD+BD,即5-3＜2x＜5+3,解得：1＜x＜4,即x的取值范圍是1＜x＜4．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目,考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線定義以及三角形的三邊關(guān)系等知識(shí),本題綜合性強(qiáng),熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．(2021·廣東東莞·八年級(jí)期中)如圖1,在△ABC中,若AB＝10,BC＝8,求AC邊上的中線BD的取值范圍．(1)小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)BD至E,使DE＝BD,連接CE,可證得△CED≌△ABD．①請(qǐng)證明△CED≌△ABD;②中線BD的取值范圍是．(2)問(wèn)題拓展：如圖2,在△ABC中,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),分別以AB,BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中,AB＝BM,BC＝BN,∠ABM＝∠NBC＝∠90°,連接MN．請(qǐng)寫出BD與MN的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由．【答案】(1)①見解析;②;(3)MN=2BD,理由見解析【分析】(1)①只需要利用SAS證明△CED≌△ABD即可;②根據(jù)△CED≌△ABD可得AB=CE,由三角形三邊的關(guān)系可得即則,再由,可得;(2),延長(zhǎng)BD到E使得DE=BD,同(1)原理可證△ADE≌△CDB,得到∠DAE=∠DCB,AE=CB,然后證明∠BAE=∠MBN,則可證△BAE≌△MBN得到MN=BE,再由BE=BD+ED=2BD,可得MN=2BD．【詳解】解：(1)①∵BD是三角形ABC的中線,∴AD=CD,又∵∠ABD=∠CDE,BD=ED,∴△CED≌△ABD(SAS);②∵△CED≌△ABD,∴AB=CE,∵,∴即,又∵,∴;答案為：;(2)MN=2BD,理由如下：如圖所示,延長(zhǎng)BD到E使得DE=BD,同(1)原理可證△ADE≌△CDB(SAS),∴∠DAE=∠DCB,AE=CB,∵BC=BN,∴AE=BN,∵∠ABM=∠NBC=90°,∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°,∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°,∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°,∴∠BAE+∠ABC=180°,∴∠BAE=∠MBN,又∵AB=BM,∴△BAE≌△MBN(SAS),∴MN=BE,∵BE=BD+ED=2BD,∴MN=2BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系,全等三角形的性質(zhì)與判定,三角形內(nèi)角和定理,解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握倍長(zhǎng)中線法證明兩個(gè)三角形全等．4．(2021·山東八年級(jí)期末)(1)方法呈現(xiàn)：如圖①：在中,若,,點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn),求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使,再連接BE,可證,從而把AB、AC,集中在中,利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________,這種解決問(wèn)題的方法我們稱為倍長(zhǎng)中線法;(2)探究應(yīng)用：如圖②,在中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF,判斷與EF的大小關(guān)系并證明;(3)問(wèn)題拓展：如圖③,在四邊形ABCD中,,AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),若AE是的角平分線．試探究線段AB,AF,CF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明．【答案】(1)1＜AD＜5,(2)BE+CF＞EF,證明見解析;(3)AF+CF＝AB,證明見解析．【分析】(1)由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE,即5﹣4＜AE＜5+3,據(jù)此可得答案;(2)延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M,使DM＝DF,連接BM、EM,同(1)得△BMD≌△CFD,得出BM＝CF,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM＝EF,在△BME中,由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論;(3)如圖③,延長(zhǎng)AE,DF交于點(diǎn)G,根據(jù)平行和角平分線可證AF＝FG,易證△ABE≌△GEC,據(jù)此知AB＝CG,繼而得出答案．【詳解】解：(1)延長(zhǎng)AD至E,使DE＝AD,連接BE,如圖①所示,∵AD是BC邊上的中線,∴BD＝CD,在△BDE和△CDA中,,∴△BDE≌△CDA(SAS),∴BE＝AC＝4,在△ABE中,由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE,∴6﹣4＜AE＜6+4,即2＜AE＜10,∴1＜AD＜5;故答案為：1＜AD＜5,(2)BE+CF＞EF;證明：延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M,使DM＝DF,連接BM、EM,如圖②所示．同(1)得：△BMD≌△CFD(SAS),∴BM＝CF,∵DE⊥DF,DM＝DF,∴EM＝EF,在△BME中,由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM,∴BE+CF＞EF;(3)AF+CF＝AB．如圖③,延長(zhǎng)AE,DF交于點(diǎn)G,∵AB∥CD,∴∠BAG＝∠G,在△ABE和△GCE中CE＝BE,∠BAG＝∠G,∠AEB＝∠GEC,∴△ABE≌△GEC(AAS),∴CG＝AB,∵AE是∠BAF的平分線,∴∠BAG＝∠GAF,∴∠FAG＝∠G,∴AF＝GF,∵FG+CF＝CG,∴AF+CF＝AB．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題,主要考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、角的關(guān)系等知識(shí);本題綜合性強(qiáng),有一定難度,通過(guò)作輔助線證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．(2021·上海九年級(jí)專題練習(xí))已知,在中,,點(diǎn)為邊的中點(diǎn),分別交,于點(diǎn),．(1)如圖1,①若,請(qǐng)直接寫出______;②連接,若,求證：;(2)如圖2,連接,若,試探究線段和之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由．【答案】(1)①45°;②見解析;(2),理由見解析【分析】(1)①利用直角三角形兩個(gè)銳角相加得和三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和的性質(zhì)結(jié)合題干已知即可解題．②延長(zhǎng)至點(diǎn),使得,連接,從而可證明≌(SAS),再利用全等的性質(zhì),可知,即可知道,所以,根據(jù)題干又可得到,所以,從而得出結(jié)論．(2)延長(zhǎng)至點(diǎn),使得,連接,從而可證明≌(SAS),再利用全等的性質(zhì),可知,,根據(jù)題干即可證明≌(HL),即得出結(jié)論．【詳解】(1)①∵,∴∵∴又∵∴∴故答案為．②如圖,延長(zhǎng)至點(diǎn),使得,連接,∵點(diǎn)為的中點(diǎn),∴,又∵,∴≌,∴,∴,∴,又∵,∴,∴,∴．(2)．如圖,延長(zhǎng)至點(diǎn),使得,連接,∵,,∴≌,∴,,∵．∴≌,∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的角的性質(zhì),三角形外角的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)．綜合性較強(qiáng),作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．6．(2021·江蘇八年級(jí)期末)如圖,在△ABC中,AD是高,E、F分別是AB、AC的中點(diǎn),AB＝8,AC＝6．(1)求四邊形AEDF的周長(zhǎng);(2)若∠BAC＝90°,求四邊形AEDF的面積．【答案】(1)14;(2)12．【分析】(1)延長(zhǎng)DE到G,使GE＝DE,連接BG,根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出AE＝4,AF＝3,并利用SAS證明△AED≌△BEG,由全等三角形的性質(zhì)并再次利用全等三角形的判定得出△GBD≌△ABD,可證得DE＝AB＝4,同理DF＝AC＝3,即可計(jì)算出四邊形的周長(zhǎng);(2)利用SSS可證△AEF≌△DEF,根據(jù)直角三角形的面積計(jì)算方法求出△AEF的面積,則四邊形的面積即可求解．【詳解】解：(1)延長(zhǎng)DE到G,使GE＝DE,連接BG,∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn),AB＝8,AC＝6,∴AE＝BE＝AB＝4,AF＝CF＝AC＝3．在△AED和△BEG中,,∴△AED≌△BEG(SAS)．∴AD＝BG,∠DAE＝∠GBE．∵AD⊥BC,∴∠DAE＋∠ABD＝90°．∴∠GBE＋∠ABD＝90°．即∠GBD＝∠ADB＝90°．在△GBD和△ABD中,,∴△GBD≌△ABD(SAS)．∴GD＝AB．∵DE＝GD,∴DE＝AB＝4．同理可證：DF＝AC＝3．∴四邊形AEDF的周長(zhǎng)＝AE＋ED＋DF＋FA＝14．(2)由(1)得AE＝DE＝AB＝4,AF＝DF＝AC＝3,在△AEF和△DEF中,,∴△AEF≌△DEF(SSS)．∵∠BAC＝90°,∴S△AEF＝AE?AF＝×4×3＝6．∴S四邊形AEDF＝2S△AEF＝12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì),掌握全等三角形的判定與性質(zhì)并能利用倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．(2)向中線作垂線：過(guò)線段兩端點(diǎn)向中點(diǎn)處的線段作垂線.目的：構(gòu)造出一組全等三角形輔助線技巧：銳角三角形的垂線在中線線段上;鈍角三角形的垂線在中線線段的延長(zhǎng)線上.1．(2021·全國(guó)初三專題練習(xí))如圖,是延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且,是上一點(diǎn),,求證：.【答案】詳見解析【分析】分別過(guò)點(diǎn)D、C作AB的垂線,構(gòu)建與,證其全等即可求得答案.【解析】如圖,過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)D作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°,又∵∠DBF=∠CBG,BD=BC,∴,∴DF=CG,.又,∴≌,.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),正確添加輔助線,熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵.2．(2021·全國(guó)初三專題練習(xí))如圖,已知AD為△ABC的中線,點(diǎn)E為AC上一點(diǎn),連接BE交AD于點(diǎn)F,且AE＝FE.求證：BF＝AC．【答案】證明見解析【分析】向中線作垂線,證明,得到,再根據(jù)AE＝FE,得到角的關(guān)系,從而證明,最終得到結(jié)論.【解析】如圖,分別過(guò)點(diǎn)、作,,垂足為、,則.,,,.,,,,又,,.【點(diǎn)睛】本題是較為典型的題型,至少可以用到兩種方法來(lái)解題,此題的特點(diǎn)就是必須有中線這個(gè)條件才能構(gòu)造平行四邊形或雙垂線.3．(2020.廣東省七年級(jí)期中)如圖,△ABC中,D為BC的中點(diǎn),(1)在圖中作出CM⊥AD,BN⊥AD,垂足分別為M、N;(2)求證：DM＝DN;(3)求AD＝3,求AM+AN的值．【分析】(1)根據(jù)條件作出圖形,即可解答;(2)證明△BND≌△CMD,即可得到DN＝DM．(3)由△BND≌△CMD,得到DM＝DN,利用線段的和與差得到AM＝AD+DM,AN＝AD﹣ND,所以AM+AN＝AD+DM+AD﹣ND＝2AD＝6．【詳解】解：(1)如圖,(2)∵D為BC的中點(diǎn),∴BD＝CD,∵CM⊥AD,BN⊥AD,∴∠BND＝∠CMD＝90°,在△BND和△CMD中,∠BND=∠CMD∠BDN=∠CDMBD=CD(3)∵△BND≌△CMD,∴DM＝DN,∵AM＝AD+DM,AN＝AD﹣ND,∴AM+AN＝AD+DM+AD﹣ND,∵DM＝DN,∴AM+AN＝2AD＝6．4．(2020·遼寧鞍山市·八年級(jí)期中)閱讀下面的題目及分析過(guò)程,并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)A在DE上,且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等,常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì),觀察本題中要證明的兩條線段,它們不在同一個(gè)三角形中,且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等,因此,要證AB＝CD,必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線,構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．(1)現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法,請(qǐng)任意選出其中一種,對(duì)原題進(jìn)行證明．①如圖1,延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F,使EF＝DE,連接BF;②如圖2,分別過(guò)點(diǎn)B、C作BF⊥DE,CG⊥DE,垂足分別為點(diǎn)F,G．(2)請(qǐng)你在圖3中添加不同于上述的輔助線,并對(duì)原題進(jìn)行證明．【答案】(1)①見解析;②見解析;(2)見解析;【分析】(1)①如圖1,延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F,使EF＝DE,連接BF,△BEF≌△CED,∠BAE＝∠F,AB＝CD;②如圖2,分別過(guò)點(diǎn)B、C作BF⊥DE,CG⊥DE,垂足分別為點(diǎn)F,G,△BEF≌△CEG△BAF≌△CDG,AB＝CD;(2)如圖3,過(guò)C點(diǎn)作CM∥AB,交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,則∠BAE＝∠EMC,△BAE≌△CFE(AAS),∠F＝∠EDC,CF＝CD,AB＝CD;【詳解】(1)①如圖1,延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F,使EF＝DE,連接BF,∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),∴BE＝CE,在△BEF和△CED中,,∴△BEF≌△CED(SAS),∴BF＝CD,∠F＝∠CDE,∵∠BAE＝∠CDE,∴∠BAE＝∠F,∴AB＝BF,∴AB＝CD;②如圖2,分別過(guò)點(diǎn)B、C作BF⊥DE,CG⊥DE,垂足分別為點(diǎn)F,G,∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°,∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),∴BE＝CE,在△BEF和△CEG中,,∴△BEF≌△CEG(AAS),∴BF＝CG,在△BAF和△CDG中,,∴△BAF≌△CDG(AAS),∴AB＝CD;(2)如圖3,過(guò)C點(diǎn)作CM∥AB,交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,則∠BAE＝∠EMC,∵E是BC中點(diǎn),∴BE＝CE,在△BAE和△CME中,,∴△BAE≌△CFE(AAS),∴CF＝AB,∠BAE＝∠F,∵∠BAE＝∠EDC,∴∠F＝∠EDC,∴CF＝CD,∴AB＝CD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì),對(duì)頂角相等,平行線的性質(zhì),構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．5．(2021·江蘇八年級(jí)期中)通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí),解決下列問(wèn)題：(模型呈現(xiàn))(1)如圖,,,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．由,得．又,可以推理得到．進(jìn)而得到__________,．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為”字”模型或”一線三等角”模型;(模型應(yīng)用)(2)如圖,,,,連接,,且于點(diǎn),與直線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)是的中點(diǎn);(深入探究)(3)如圖,已知四邊形和為正方形,的面積為,的面積為,則有__________(填”＞、=、＜”)(4)如圖,分別以的三條邊為邊,向外作正方形,連接、、．當(dāng),,時(shí),圖中的三個(gè)陰影三角形的面積和為__________;(5)如圖,點(diǎn)、、、、都在同一條直線上,四邊形、、都是正方形,若該圖形總面積是16,正方形的面積是4,則的面積是__________．【答案】(1)DE;(2)見解析;(3)＝;(4)6;(5)2【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到答案;(2)分別過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)作于點(diǎn),于點(diǎn),由(1)中結(jié)論可得到AF=DM,AF=EN,然后只需要證明即可得到答案;(3)過(guò)點(diǎn)D作DO⊥AF交AF于O,過(guò)點(diǎn)E錯(cuò)EN⊥OD交OD延長(zhǎng)線于N,過(guò)點(diǎn)C作CM⊥OD交OD延長(zhǎng)線于M,然后同(2)中證明,,即可得到答案;(4)同(3)中證明方法可以得到,只需要求出即可得到答案;(5)同(3)中的方法可以證明,然后利用勾股定理得到即可得到答案.【詳解】解：(1)∵∴(2)分別過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)作于點(diǎn),于點(diǎn),∴,∵,∴,∴∵,∴,在和中,,,,∴,∴同理∴,∵,,∴,在和中,,,,∴∴,即點(diǎn)是的中點(diǎn);(3)如圖所示,過(guò)點(diǎn)D作DO⊥AF交AF于O,過(guò)點(diǎn)E作EN⊥OD交OD延長(zhǎng)線于N,過(guò)點(diǎn)C作CM⊥OD交OD延長(zhǎng)線于M∵四邊形ABCD與四邊形DEGF都是正方形∴∠ADC=∠90°,AD=DC,DF=DE∵DO⊥AF,CM⊥OD∴∠AOD=∠CMD=90°,∠OAD+∠ODA=90°,∠CDM+∠DCM=90°,又∵∠ODA+∠DCM=90°∴∠ADO=∠DCM∴∴,OD=MC同理可以證明∴,OD=NE∴MC=NE∵EN⊥OD,CM⊥OD,∠EPN=∠CMP∴∴∵,∴∴即;(4)如圖所示,過(guò)點(diǎn)E作EO⊥CD交CD于O同(3)中的證明方法可以得到∵EO⊥CD∴∠EOD=90°又∵∠CDE=45°,DE=∴OD=OE=1∵AB=CD=4∴∴(5)同(3)中的方法可以證明,且即由勾股定理得：∴∴∵圖形總面積是16,正方形KCMG的面積是4∴∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定,正方形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定.6．(2021·黑龍江八年級(jí)期中)在中,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),于,于,于．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)如圖①,求證：;(提示：過(guò)點(diǎn)作于)(2)如圖②、圖③,線段,,之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想,不需要證明;(3)在(1)(2)的條件下,若,,,則______．【答案】(1)證明見解析;(2)圖②：,圖③：;(3)9或7．【分析】(1)如圖①過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),先利用垂直和平行求得,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到,根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論;(2)同理可得,,根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論;(3)先利用勾股定理求出BE,根據(jù)(1)(2)的結(jié)論代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．【詳解】(1)證明：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),則．,,∵,∴,∵,即,,又∵在中,,,,．四邊形為矩形,,;(2)圖②：,圖③：;理由：如圖②,過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于,則同理可得：,,;如圖③,過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于,同理可得：,,;(3)解：如圖①,,,,∴∵,由(1)得;如圖②同理;圖③不存在,綜上所述,或,故答案為：9或7．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合題,矩形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、證中點(diǎn)(需證2次全等)(1)過(guò)端點(diǎn)作另一邊的平行線：目的：構(gòu)造出一組全等三角形特點(diǎn)：中線倍長(zhǎng)的反向應(yīng)用1．(2020·安徽八年級(jí)期末)如圖,△ABC是等腰三角形,D,E分別是腰AB及AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且BD＝CE,連接DE交底BC于G.求證：GD＝GE.【答案】證明見解析【分析】過(guò)E作EF∥AB交BC延長(zhǎng)線于F,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可推出∠F=∠FCE,從而可得到BD=CE=EF,再根據(jù)AAS判定△DGB≌△EGF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論．【詳解】證明：過(guò)E作EF∥AB交BC延長(zhǎng)線于F．∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∵EF∥AB,∴∠F=∠B,∵∠ACB=∠FCE,∴∠F=∠FCE,∴CE=EF,∵BD=CE,∴BD=EF,在△DBG與△GEF中,,∴△DGB≌△EGF(AAS),∴GD=GE．2．(2020·華中科技大學(xué)同濟(jì)醫(yī)學(xué)院附屬中學(xué)八年級(jí)月考)如圖1,△ABC中,AB＝AC,點(diǎn)D在AB邊上,點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上,且CE＝BD,連接DE交BC于點(diǎn)F．⑴求證：EF＝DF;⑵如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC,垂足為G,求證：BC＝2FG.【答案】(1)答案見詳解;(2)答案見詳解.【分析】(1)過(guò)點(diǎn)D作DM∥AC,如圖1,則∠ACB=∠DMB,∠DMF=∠ECF,進(jìn)而可得：CE=MD,易證：?DMF??ECF,即可得到結(jié)論;(2)過(guò)點(diǎn)D作DM∥AC,如圖2,易證：?DMF??ECF,可得：MF=CF,根據(jù)等腰三角形三線合一,可得：BG=MG,進(jìn)而可得到結(jié)論.【詳解】(1)過(guò)點(diǎn)D作DM∥AC,如圖1,則∠ACB=∠DMB,∠DMF=∠ECF,∵AB＝AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠DMB,∴BD=MD,∵CE＝BD,∴CE=MD,在?DMF和?ECF中,∵∴?DMF??ECF(AAS),∴EF＝DF;(2)過(guò)點(diǎn)D作DM∥AC,如圖2,由第(1)小題,可知：BD=MD,?DMF??ECF,∴MF=CF,∵DG⊥BC,∴BG=MG(等腰三角形三線合一),∴BC=BM+CM=2(GM+FM)=2FG,圖1圖2【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)定理以及等腰三角形的性質(zhì)定理,添加合適的輔助線,構(gòu)造等腰三角形是解題的關(guān)鍵.3．(2021·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)期末)如圖所示：是等邊三角形,、分別是及延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且,連接交于點(diǎn)．求讓：【答案】見詳解【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC,交BC于點(diǎn)E,根據(jù)等邊三角形和平行線的性質(zhì)得∠MDE=∠MEC,DE=CE,從而證明?EMD??CME,進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC,交BC于點(diǎn)E,∵是等邊三角形,∴∠B=∠ACB=60°,∵DE∥AC,∴∠DEB=∠ACB=60°,∠MDE=∠MEC,∴是等邊三角形,∴BD=DE,∵,∴DE=CE,又∵∠EMD=∠CME,∴?EMD??CME,∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)定理,添加輔助線,構(gòu)造等邊三角形和全等三角形,是解題的關(guān)鍵．4．(2021·湖北·八年級(jí)期中)P為等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn),Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且PA＝CQ,連PQ交AC邊于D．(1)證明：PD＝DQ．(2)如圖2,過(guò)P作PE⊥AC于E,若AB＝6,求DE的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析;(2)DE＝3．【分析】(1)過(guò)點(diǎn)P作PF∥BC交AC于點(diǎn)F;證出△APF也是等邊三角形,得出AP=PF=AF=CQ,由AAS證明△PDF≌△QDC,得出對(duì)應(yīng)邊相等即可;(2)過(guò)P作PF∥BC交AC于F．同(1)由AAS證明△PFD≌△QCD,得出對(duì)應(yīng)邊相等FD=CD,證出AE+CD=DEAC,即可得出結(jié)果．【詳解】(1)如圖1所示,點(diǎn)P作PF∥BC交AC于點(diǎn)F．∵△ABC是等邊三角形,∴△APF也是等邊三角形,AP=PF=AF=CQ．∵PF∥BC,∴∠PFD=∠DCQ．在△PDF和△QDC中,,∴△PDF≌△QDC(AAS),∴PD=DQ;(2)如圖2所示,過(guò)P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC,△ABC是等邊三角形,∴∠PFD=∠QCD,△APF是等邊三角形,∴AP=PF=AF．∵PE⊥AC,∴AE=EF．∵AP=PF,AP=CQ,∴PF=CQ．在△PFD和△QCD中,,∴△PFD≌△QCD(AAS),∴FD=CD．∵AE=EF,∴EF+FD=AE+CD,∴AE+CD=DEAC．∵AC=6,∴DE=3．

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定(AAS)與性質(zhì)、平行線的性質(zhì),熟練掌握等邊三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定(AAS)與性質(zhì)、平行線的性質(zhì),熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)．5．(2021·江蘇鹽城·八年級(jí)階段練習(xí))已知在等腰△ABC中,AB=AC,在射線CA上截取線段CE,在射線AB上截取線段BD,連接DE,DE所在直線交直線BC與點(diǎn)M．請(qǐng)?zhí)骄浚?1)如圖(1),當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上,點(diǎn)D在AB延長(zhǎng)線上時(shí),若BD=CE,請(qǐng)判斷線段MD和線段ME的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論．(2)如圖(2),當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí),若BD=CE,則(1)中的結(jié)論還成立嗎?如果成立,請(qǐng)證明;如果不成立,說(shuō)明理由;(3)如圖(3),當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)D在線段AB上(點(diǎn)D不與A,B重合),DE所在直線與直線BC交于點(diǎn)M,若CE＝2BD,請(qǐng)直接寫出線段MD與線段ME的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)DM=EM．理由見詳解;(2)成立,理由見詳解;(3)MD=ME．【分析】(1)DM=EM;過(guò)點(diǎn)E作EF//AB交BC于點(diǎn)F,然后利用平行線的性質(zhì)和已知條件可以證明△DBM≌△EFM,接著利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論;(2)成立;過(guò)點(diǎn)E作EF//AB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,然后利用平行線的性質(zhì)與已知條件可以證明△DBM△EFM,接著利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論;(3)MD=ME．過(guò)點(diǎn)E作EF//AB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,然后利用平行線的性質(zhì)和已知條件得到△DBM∽△EFM,接著利用相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;(1)解：DM=EM;證明：過(guò)點(diǎn)E作EF//AB交BC于點(diǎn)F,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C;又∵EF//AB,∴∠ABC=∠EFC,∴∠EFC=∠C,∴EF=EC．又∵BD=EC,∴EF=BD．又∵EF//AB,∴∠ADM=∠MEF．在△DBM和△EFM中,∴△DBM≌△EFM,∴DM=EM．(2)解：成立;證明：過(guò)點(diǎn)E作EF//AB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C;又∵EF//AB,∴∠ABC=∠EFC,∴∠EFC=∠C,∴EF=EC．又∵BD=EC,∴EF=BD．又∵EF//AB,∴∠ADM=∠MEF．在△DBM和△EFM中∴△DBM≌△EFM;∴DM=EM;(3)解：過(guò)點(diǎn)E作EF//AB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,∵∠DBM=∠EFM,∠DMB=∠EMF∴△DBM∽△EFM,∴BD：EF=DM：ME,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵∠F=∠ABC,∴∠F=∠C,∴EF=EC,∴BD：EC=DM：ME=1：2,∴MD=ME．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形綜合,涉及了等腰三角形性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì),利用平行構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．(2)兩端點(diǎn)向中線作垂線：目的：構(gòu)造出一組全等三角形特點(diǎn)：與已知中點(diǎn)時(shí)向中線作垂線方法一致1．(2021·全國(guó)初三專題練習(xí))如圖,在中,,,,,延長(zhǎng)交于.求證：.【答案】詳見解析【分析】如圖,過(guò)點(diǎn)D作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,易證,再證即可得答案.【解析】如圖,過(guò)點(diǎn)D作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,,,,又∵∠ACB=∠BGD=90°,BA=BD,∴,,又∵BC=BE,,又∵∠EBF=∠DGF=90°,∠EFB=∠DFG,∴,∴EF=DF.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),學(xué)會(huì)添加常用輔助線,熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.2．(2020.河北省期中)如圖．∠C＝90°,BE⊥AB且BE＝AB,BD⊥BC且BD＝BC,CB的延長(zhǎng)線交DE于F.(1)求證：點(diǎn)F是ED的中點(diǎn);(2)求證：S△ABC＝2S△BEF．【分析】(1)過(guò)點(diǎn)E作EM⊥CF交CF的延長(zhǎng)線于M,根據(jù)同角的余角相等求出∠EBM＝∠A,然后利用”角角邊”證明△ABC和△BEM全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BC＝EM,再求出BD＝EM,然后利用”角角邊”證明△EMF和△DBF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF＝DF,從而得證;(2)根據(jù)全等三角形的面積相等和等底等高的三角形的面積相等進(jìn)行證明．【詳解】證明：(1)如圖,過(guò)點(diǎn)E作EM⊥CF交CF的延長(zhǎng)線于M,∵BE⊥AB,∴∠EBM+∠ABC＝180°﹣90°＝90°,∵∠C＝90°,∴∠A+∠ABC＝180°﹣90°＝90°,在△ABC和△BEM中,∠EBM=∠A∠C=∠M=90°BE=AB,∴△∵BD＝BC,∴BD＝EM,在△EMF和△DBF中,∠M∴△EMF≌△DBF(AAS),∴EF＝DF,∴點(diǎn)F是ED的中點(diǎn);(2)∵△ABC≌△BEM,△EMF≌△DBF,∴S△ABC＝S△BEM,S△EMF＝S△DBF,∵點(diǎn)F是ED的中點(diǎn),∴S△BEF＝S△DBF=12S△BEM=12S△ABC,∴S△ABC＝23．(2021·吉林八年級(jí)期末)如圖①,∠BAD=90°,AB=AD,過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CA的延長(zhǎng)線點(diǎn)E,由∠1+∠2=∠D+∠2=90°,得∠1=∠D,又∠ACB=∠AED=90°,AB=AD,得△ABC≌△DAE進(jìn)而得到AC=DE,BC=AE,我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為”K字”模型或”一線三等角”模型．請(qǐng)應(yīng)用上述”一線三等角”模型,解決下列問(wèn)題：(1)如圖②,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接BC、DE,且BC⊥AH于點(diǎn)H,DE與直線AH交于點(diǎn)G,求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)．(2)如圖③,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A為平面內(nèi)任意一點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,1),若△AOB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)．【答案】(1)見解析;(2)A(,)或(,-)．【分析】(1)過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AM交AG于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AG于點(diǎn)N．根據(jù)”K字模型”即可證明AH=DM和AH=EN,即EN=DM,再根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明DG=EG,即點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)．(2)分情況討論①當(dāng)A點(diǎn)在OB的上方時(shí),作AC垂直于y軸,BE垂直于x軸,CA和EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．根據(jù)”K字模型”即可證明,再利用B點(diǎn)坐標(biāo)即可求出A點(diǎn)坐標(biāo)．②當(dāng)A點(diǎn)在OB的下方時(shí),作AP垂直于y軸,BM垂直于x軸,PA和BM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q