人教A版選擇性7.3.1離散型隨機變量的均值課件（18張）

第七章隨機變量及其分布離散型隨機變量的數(shù)字特征7.3.1離散型隨機變量的均值學(xué)習(xí)目標1.通過實例理解離散型隨機變量均值的概念，能計算簡單離散型隨機

變量的均值.2.理解離散型隨機變量均值的性質(zhì).(重點)3.掌握兩點分布的均值.(重點)4.會利用離散型隨機變量的均值，解決一些相關(guān)的實際問題.(重點)知識回顧1、概率分布列（分布列）設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為??1,??2,??3,?,????我們稱X取每一個值????(??=1,2,?)的概率??(??=????)=????,i=1,2,3?xn為隨機變量X的概率分布列，簡稱X的分布列.2、離散型隨機變量分布列的性質(zhì)：≥1概率之和

3、求隨機變量X的分布列的步驟如下:(1).確定X的可能取值xi;(2).求出相應(yīng)的概率P=(X=xi)=pi;(3).列成表格的形式.對于離散型隨機變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機變量相關(guān)事件的概率。但在實際問題中，有時我們更感興趣的是隨機變量的某些數(shù)字特征。例如，要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測驗中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績是否“兩極分化”則需要考察這個班數(shù)學(xué)成績的方差。

我們還常常希望直接通過數(shù)字來反映隨機變量的某個方面的特征，最常用的有期望與方差.問題導(dǎo)學(xué)問題導(dǎo)學(xué)1、某人射擊10次,所得環(huán)數(shù)分別是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？把環(huán)數(shù)看成隨機變量的概率分布列：X1234P權(quán)數(shù)加權(quán)平均問題導(dǎo)學(xué)2、某商場要將單價分別為18元/kg，24元/kg，36元/kg的3種糖果按3：2：1的比例混合銷售，如何對混合糖果定價才合理？把3種糖果的價格看成隨機變量的概率分布列：X182436P3.甲乙兩名射箭運動員射中目標靶的環(huán)數(shù)的分布列如下表所示：問題導(dǎo)學(xué)環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2類似兩組數(shù)據(jù)的比較,首先比較擊中的平均環(huán)數(shù),如果平均環(huán)數(shù)相等，再看穩(wěn)定性.假設(shè)甲射箭n次，射中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)的頻率分別為甲n次射箭射中的平均環(huán)數(shù)當n足夠大時，頻率穩(wěn)定于概率，所以x穩(wěn)定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值(理論平均值)為9,這個平均值的大小可以反映甲運動員的射箭水平.同理，乙射中環(huán)數(shù)的平均值為7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.如何比較他們射箭水平的高低呢？從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高.一、離散型隨機變量取值的平均值.1.離散型隨機變量的均值的概念一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝

＝

為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn2.離散型隨機變量的均值的意義均值是隨機變量可能取值關(guān)于取值概率的

，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的

.加權(quán)平均數(shù)平均水平知識概念典型例題例1.在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分,如果某運動員罰球命中的概率為0.8,那么他罰球1次的得分X的均值是多少?分析:罰球有命中和不中兩種可能結(jié)果,命中時X=1,不中時X=0,因此隨機變量X服從兩點分布,X的均值反映了該運動員罰球1次的平均得分水平.解：因為P(X，P(X，所以E(X)=1×P(X=1)+0×P(X

即該運動員罰球1次的得分X的均值是0.8.

3.一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么：

X10Pp1-p變式：在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運動員罰球命中的概率為，那么他罰球2次的得分X的均值是多少？

典型例題例2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)為X,求X的均值.分析:先求出X的分布列,再根據(jù)定義計算X的均值.

變式:隨機拋擲一個正四面體，正四面體每個面分別標號，求朝下一面標號X的均值.解：X的分布列為

求離散型隨機變量X的均值的步驟：

新知探究思考：如果X是一個離散型隨機變量，X加一個常數(shù)或乘以一個常數(shù)后，其均值會怎樣變化？即E(X+b)和E(aX)(其中a,b為常數(shù)）分別與E(X)有怎樣的關(guān)系？············設(shè)X的分布列為P(X=xi)=pi,i=1,2,...,n.··················3.離散型隨機變量的均值的性質(zhì)若Y＝aX＋b，其中a，b均是常數(shù)(X是隨機變量)，則Y也是隨機變量，且有E(aX＋b)＝

.aE(X)＋b知識概念練習(xí)1、隨機變量X的分布列是X135P0.50.30.2(1)則E(X)=.

(2)若Y=2X+1，則E(Y)=.2、隨機變量X的分布列是X47910P0.3ab0.2EX=7.5,則a=

b=

.例3:猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對時獲得相應(yīng)的公益基金如下表所示：規(guī)則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值.歌曲ABC猜對的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000典型例題

X0100030006000P0.20.320.2880.192??的均值為??(??)=0×0.2+1000×0.32+3000×0.288+6000×0.192=2336.思考：如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認為哪個順序獲得的公益基金均值最大？

X0100040006000P0.20.480.1280.192

典型例題猜歌順序E(X)/元猜歌順序E(X)/元ABC2336BCA2112ACB2144CAB1904BAC2256CBA1872按由易到難的順序來猜歌，獲得的公益基金的均值最大例4.根據(jù)氣象預(yù)報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為，有大洪水的概率為，該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元。為保護設(shè)備，有以下三種方案：方案1：運走設(shè)備，搬運費為3800元。方案2：建保護圍墻，建設(shè)費為2000元，但圍墻只能擋住小洪水。方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水。工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢?典型例題分析:決策目標為總損失(投入費用與設(shè)備損失之和)越小越好,根據(jù)題意,各種方案在不同狀態(tài)下的總損失如表所示：天氣狀況大洪水小洪水沒有洪水概率0.010.250.74總損失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000方案2和方案3的總損失都是隨機變量,可以采用期望總損失最小的方案.解:設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為X1,X2,X3.采用方案1,無論有無洪水,都損失3800元.因此,P(X1=3800)=1.采用方案2,遇到大洪水時,總損失為2000+6000=62000元;沒有大洪水時,總損失為2000元,因此,P(X2=62000)=0.01,P(X2=2000)=0.99.采用方案3,P(X3=60000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.于是,E(X1)=3800,E(X2)=62000×0.01+2000×0.99=2600,E(X3)=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100.因此,從期望損失最小的角度,應(yīng)采取方案2.值得注意的是,上述結(jié)論是通過比較“期望總損失”而得出的,一般地,我們可以這樣來理解“期望總損失”:如果問題中的天氣狀況多次發(fā)生,那么采用方案2將會使總損失減到最小,不過,因為洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機的,所以對于個別的一次決策,采用方案2也不一定是最好的.課堂小結(jié)——你學(xué)到了那些新知識呢？1.離散型隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望(1)定義：若離散型隨機變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝

隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．(2)意義：它反映了離散型隨機變量取值的

．(3)性質(zhì)：如果X為(離散型)隨機