傳熱學29321第二章穩(wěn)態(tài)熱傳導

第二章穩(wěn)態(tài)熱傳導§2.1導熱基本定律一、傅立葉定律定義：在導熱現(xiàn)象中，單位時間內通過給定面積的熱量，正比例于垂直于該截面上的溫度變化率和截面積。數(shù)學表達式：熱流量形式：x?xF =

-lA

?t

[W

]熱流密度形式：?x=

-l

?t

[W

/

m2

]Aq=

F

xx向量表達式：q

=

-lgradt?z?t

?t

?x

?y?t

i

-

l

j

-

l

k=

-l

=

qxi

+

qy

j

+

qz

k二、導熱系數(shù)由傅立葉定律：[W

m K

]gradtql

=

-介質銅鋼水空氣導熱系數(shù)(W/m.K）400400.60.026導熱系數(shù)是物性參數(shù)；導熱系數(shù)由實驗確定；常用材料的導熱系數(shù)值見教材附錄2、3。關于導熱系數(shù)應了解：1.

lmetal

>

lliquid

>

lgas2.常溫下下列常用介質的導熱系數(shù)圖2-1常用材料導熱系數(shù)工程中常把λ＜0.2W/mK的材料稱為絕熱或保溫材料。保溫材料一般呈蜂窩狀多孔結構，以充分利用空氣導熱系數(shù)低的特點。3.導熱系數(shù)一般與溫度有關。三、溫度場及其有關術語溫度場：每一時刻物體中各點溫度的集合。等溫線及熱流線：等溫線是指在同一時刻下物體中溫度相同的各點所構成的線或面。用圖解法來表示溫度場時常采用等溫線。熱流線是表示熱量傳遞方向的曲線，熱流線上任一點處熱流密度的流向都與熱流線相切，換句話說，熱流線與等溫線處處垂直相交。如圖2-2所示。圖2-2熱流線與等溫線關系§2.2導熱問題的數(shù)學描寫求解導熱問題的實質是要求解導熱物體的溫度場，而要求解導熱物體的溫度場就要求解滿足一定定解條件的溫度場微分方程式，即導熱微分方程。所以導熱問題的數(shù)學描寫就是指導熱微分方程及其定解條件，這些方程又叫控制方程。一、建立導熱微分方程的依據(jù)及方法依據(jù)：1）熱力學第一定律；2）傅立葉定律。方法：對從物體中分割出來的微元平行六面體進行熱量平衡的方法。二、導熱微分方程的建立1）直角坐標中微分方程的推導圖2-3 微元平行六面體的導熱分析在各向同性的導熱物體中取出一微元體如圖2-3所示，具有均勻的內熱源Φ（W/m3）。根據(jù)熱力學第一定律對微元體做能量平衡，則：單位時間內微元體內熱能的增量（1）=同一時間間隔導入該元體的熱量（2）—同一時間間隔導出該元體的熱量（3）+該元體內熱源的生成熱（4）(1)=

rc

?t

dxdydz?t(2)=

F

x

+

F

y

+

F

z在x方向：x?xF =

-l

?t

dydz(3)=

F

x+dx

+

F

y

+dy

+

F

z

+dz在x方向：x

x

?x

?x?x

?xx+dxF =

F +

?

(F

)dx

=

-l

?t

dydz

+

?

-

l

?t

dxdydz(4)=

F

dxdydz將以上各式代入熱平衡方程式并進行適當化簡，得直角坐標系下的三維非穩(wěn)態(tài)具有源項的導熱微分方程式：

?t

?

?t

?

?t

?

?t

rc

=

l

+

l

+

l

+

F?t

?x

?x

?y

?y

?z

?z當導熱系數(shù)為常數(shù)時方程成為：rcF

+++=?t

rc?t

l

?2t2?x

?y

2

?z?2t

?2t

22）導熱微分方程的通用形式將直角坐標系下的微分方程用算子來表示，則分別成為：變物性：?trc

?t

=

div(lgradt

)+

F常物性：rc2t

+

F?t

=

a?t非穩(wěn)態(tài)項（周期、非周期）導熱項（一維/多維；直角/圓柱/球）源項（常數(shù)/非常數(shù)）z?A+x

+?Ay?x

?y

?z?AdivA

=?

?

?

=

i

+

j+

k?x

?y

?z對圓柱坐標系，如圖2-4，則拉普拉斯算子（LaplaceOperator）為：圖2-4圓柱坐標系22r

+r

?rt

=

1

?

?t

1

?2

t

?2

t?r

r

?f

2

+

?z

2對球坐標系，如圖2-5，則拉普拉斯算子（LaplaceOperator）為：21

?2

t2

2222r

sin

q

?fsinqr

sinq

?q?q+?t

1

?

+1

?

?t

t

=r

2?r

r

?r圖2-5球坐標系在求解微分方程時應根據(jù)求解對象的形狀選用相應的坐標系，以簡化計算。3）兩個重要的特例常物性穩(wěn)態(tài)導熱問題（Poisson方程）：l

2t

+F

=0常物性穩(wěn)態(tài)無內熱源導熱問題（Laplace方程）：2t

=

0三、導熱微分方程的定解條件導熱微分方程式是描寫導熱過程共性的數(shù)學表達式。為了獲得滿足某一具體導熱問題的溫度分布還必須給出用以表征該特定問題的一些附加條件（即確定通解中各常數(shù)的公式），這些使微分方程獲得適合某一特定問題的解的附加條件，在數(shù)學上稱為定解條件。定解條件包含對于非穩(wěn)態(tài)問題的初始條件及邊界條件。1.初始條件—規(guī)定初始時刻導熱物體中的溫度分布。(t

r

,0

)=

f

(

)r2.邊界條件—規(guī)定導熱物體邊界上的溫度、熱流或換熱條件。常規(guī)的分析解所用的邊界條件可以分為三類：（1）規(guī)定邊界上的溫度值，叫第一類邊界條件t>0tw

=

f

(t)（2）規(guī)定了邊界上的熱流密度，叫第二類邊界條件t>0=

f

(t

)

?

n

wl

?

t

（3）規(guī)定了物體邊界與周圍流體間的表面換熱系數(shù)h及流體溫度tf，叫第三類邊界條件=

h(tw

-

t

f

)

t>0

?n

w-

l

?t

§2.3典型一維導熱問題的分析解一、通過平壁的導熱無限大平壁：平板的寬度和高度遠大于其厚度，板中各點的溫度可以認為僅是厚度的函數(shù)數(shù)學模型（單層平壁）：=

022

tdxdt

=

t1t

=

t2x

=

0x

=d計算結果：1t

=

t2

-

t1

x

+

tddxdF

=

-lA

dt

=

lA

t1

-

t2

[W

]0

<

x

<

d[W

](d

lA)t

-

tF

=

1

2A

d

lq

=

F

=

Dt

[W

m2

]B.C.熱阻形式圖2-6單層壁導熱物理模型多層平壁：圖2-7復合壁導熱物理模型應用熱阻的概念：[W

m2

]nq

=

t1

-

tn+1dii=1li數(shù)學模型（單層）：22=

0+?z

2?rr

+1

?

?t

1

?

2

t

?

2

tr

?rr

?jr1

<

r

<

r2B.C.r

=

r1r

=

r2t

=

t1t

=

t2計算結果：積分一次1drr

dt

=

C溫度分布12

1ln(r

r

)ln(r r

)t2

-

t11t

=

t

+換熱量2

1DtF

=ln(d d

)2pll圖2-8單層圓筒壁導熱物理模型二、通過圓筒壁的導熱多層圓筒壁：圖2-9復合圓筒壁導熱物理模型應用熱阻的概念：[W

]nt1

-

tn+1ln(di+1

di

)

2plili=1F

=三、變截面或變導熱系數(shù)的一維問題以直角坐標一維問題為例，傅立葉定律的數(shù)學表達式為：dxF

=

-

A

l

(t

)dtF2tt1t

)dt=

-

l(xx12

dx

A則l(t

)dt(t2

-

t1

)t2

-

t12tt1=

-當導熱系數(shù)為溫度的函數(shù)時，只要把所求解溫度范圍內導熱系數(shù)的積分平均值代入即可按一般公式進行計算。xx12

dxF

=

l

(t1

-

t2

)A分離變量，并對控制體積分圖2-10變截面物體導熱物理模型四、帶第二、三類邊界條件的一維導熱問題數(shù)學模型：=

0dx

2d

2

tdtB.C.

-

l

=

q0

,

x

=

0dx￥dx-

l

dt

=

h(t

-

t

),

x

=

d解之得：t

=

t￥+

q0

+

l

h

d

-

x

1

圖2-11電熨斗底面導熱物理模型例：一電熨斗，電功率為1200W，底面豎直置

于環(huán)境溫度為25℃的房間中。金屬底板厚為

5mm，導熱系數(shù)λ＝15W/(mK)，面積A=300cm2，考慮輻射作用在內的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h=80W/m2K，試確定穩(wěn)態(tài)條件下底板兩表面的溫度。00.03m

2q

=

1200W

=

40000W m

2t

x=0

0.005 1

+

=

53815

80=

25

+

40000

·

=

t￥

+

q0

+

l

h

d

1

1=

25

+

40000

·

=

5258001

t

x=dh=

t￥

+

q

0

+§2.4通過肋片的導熱一、肋片及其作用肋片是依附在基礎表面上的擴展換熱面。肋片的作用：1.增強換熱;改善換熱表面的溫度工況。二、等截面直肋的分析解圖2-12環(huán)肋示意圖簡化假設問題是一維的;過程是穩(wěn)定的;常物性;忽略表面與環(huán)境之間的輻射換熱;肋頂是絕熱的.圖2-13通過肋片的導熱物理模型2.肋片導熱微分方程及邊界條件由穩(wěn)態(tài)導熱微分方程：+F

=

02d

2tdxl將肋片側面的對流換熱考慮為肋片的一種負的內熱源F

=

-

hPdx(t

-

t￥

)=

-

hP(t

-

t￥

)Ac

dx

Ac故直角坐標系下一維肋片的導熱微分方程為：2dx

2d

2t￥-

m

(t

-

t

)=

0其中：m2lAc=

hP￥為將該非齊次方程齊次化，引入過余溫度變量：q

=

(t

-

t

)則肋片導熱微分方程及邊界條件為：d

2q2-

m

q

=

0dx

20

<

x

<

Hq0

=

t0

-

t￥x

=

0dq

=

0dxx

=

H該導熱微分方程的通解為：mx-mx+

c

e1

2q

=

c

e將邊界條件代入整理后得肋片溫度分布解析式：(

)em(x-H

)

+

e-m(x-H

)emH

-

e-mHch[m(x

-

H

)]

ch(mH

)=

q0q

x

=

q0通過肋片的總導熱量可以用兩種方法來求：即肋片表面對流散熱量或通過肋基的導熱量。采用后一種方法mdxc

0

0=

lA

q

mth(mH

)=

hP

q

th(mH

)c

F

=

-lA

dq

x=0圖2-14肋片溫度分布曲線附：雙曲函數(shù)特性chx

=shx

=2ex

+

e-xex

-

e-

xshxthx

=

chx(shx

)￠=

chx(chx

)￠=

shxch(0)=

12三、分析解的應用—溫度計套管測溫誤差的分析1、物理模型如何與簡化模型掛鉤將溫度計套筒按等截面直肋問題進行處理2.按照簡化模型獲得的分析解圖2-15溫度計套筒測溫誤差分析模型q0ch(mH

)Hq

=即:ch(mH

)fHt0

-

tt

-

t

=

f其中:ldhm

=如何降低測溫誤差減小t0-tf,管道絕熱;增大ch(mH)?？稍黾犹坠荛L度H,減小壁厚δ,采用低導熱系數(shù)λ的材料,及增加流體表面換熱系數(shù)

h等四、肋片的效率肋效率的定義肋效率=肋片的實際散熱量/整個肋片處于肋基溫度下的散熱量等截面直肋肋效率的計算mHf0hPHq=

lAcq0th(mH

)=

th(mH

)h3.有關其它截面形狀肋片效率曲線可查閱傳熱手冊五、簡化模型分析解的改進圖2-16等截面直肋肋效率曲線端面絕熱的邊界條件;表面換熱系數(shù)為變數(shù)的影響§2.5具有內熱源的一維導熱問題一、具有內熱源的平板導熱已知如圖，求溫度分布曲線解：簡化一維穩(wěn)態(tài)導熱微分方程圖2－17具有均勻內熱源的平壁Fdx2

+

l

=

0d

2t0

<

x

<

dB.C.dxdt

=

0,

x

=

0dxf-

l

dt

=

h(t

-

t

),

x

=

d方程齊次化，引入過余溫度θ＝t-tf，則：Fd

2qdx

2

+

l

=

0

0

<

x

<

dB.C.dxdq

=

0,

x

=

0dx-

l

dq

=

hq,

x

=

d求解齊次方程得：hF

d+Fq

=

(d

-

x

)2

22l討論：1）有內熱源時溫度分布呈二次曲線；非對稱加熱時溫度分布曲線的極值點會偏移；熱阻分析方法不能隨便使用。二、具有內熱源的圓柱體導熱圖

2-18 具有內熱源的圓柱體導熱數(shù)學模型：1

d

r

dt

+

F

=

0r

dr

dr

l

B.C.drdt

=

0,

r

=

0t

=

t1

,

r

=

r1求解：方程變形

Fdr

r

dr

+

r

l

=

0d

dt

積分一次：2dtr

+

r

=

C1dr

2lFdr

dt

=

0,

r

=

0\

C1

=

0三、計算導熱量的形狀因子法對于較復雜幾何形狀物體的導熱，我們引入形狀因子S(m)，它的值取決于等溫面面積沿熱流途徑的改變方式。任意兩等溫面的導熱量：F=lSDt[W

]24l再積分一次：t

+

F

r

2=

C1r

2124

l\

C

=

t

+

t

=

t1

,

r

=

r11

F221(r

-

r

)1則：t

-

t

=4lF則柱體中的最高溫度出現(xiàn)在圓心處：

tmax

=21r

+

t14lF圖2-19偏心圓形狀因子Baron

Jean

Baptiste

JosephFourier

(1768-1830)This

French

Mathematician

and

Physicist,

famous

for

his

pioneerwork

on

the

representation

of

functions

by

trigonometric

series,was

born

at

Auxere,

France

on

March

21,

1768.

He

was

the

son

ofa

tailor

who

became

a

teacher

of

mathematics

at

age

sixteen

at

the

military

school

in

Auxere.

He

laterjoined

the

faculty

at

theEcole

Normale

at

Paris

in

the

year

of

its

founding

(1795)

when

hewas

twenty-seven.

His

teaching

success

soon

led

to

the

offerof

theChair

of

Analysis

at

the

Ecole

Polytechnique

and

in

1807,

he

wasmade

a

member

of

the

Academy

of

Sciences.Fourier's

masterpiece

was

his

mathematical

theory

of

heat

conduction

stated

in

TheorieAnalytique

de

la

Chaleur(1822).

As

one

of

t