2023年新高考數(shù)學(xué)規(guī)范解答：解析幾何

2023年新高考數(shù)學(xué)規(guī)范解答：解析幾何

1.已知曲線C上的任意一點(diǎn)到直線/：%=一!的距離與到點(diǎn)/已’°)的距離

2

相等.

(1)求曲線C的方程；

(2)若過尸(1,0)的直線與曲線C相交于43兩點(diǎn)，。(一1,0)為定點(diǎn)，設(shè)直線

的斜率為左I,直線8。的斜率為左2,直線Z8的斜率為左，證明：5+5一1為

K\K2K

定值.

[解](1)由條件可知，此曲線是焦點(diǎn)為尸的拋物線，§=3，?

.?.拋物線的方程為V=2x.

(2)根據(jù)已知，設(shè)直線48的方程為歹=的一1)(女/0),

1),

由，可得4一2廣-2左=0.

y^=2x

設(shè)/Q'則"+72=3,2.

k

..._2y._2y

1-^+r^+2],Q—貨+1一只+22.

22

.11]=5+2)2?5+2)2=5+2)2鳧+5+2)2比

??林R4#4K4y正

MK+y財(cái)+&吸2+45+H)

=8(v?+j曰)+32=(yi+/>二2yly2+4

16-2

=itM+4.

2m

2.已知橢圓C5+(=13>6>0)的右焦點(diǎn)網(wǎng)3,0),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)

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的比值為2.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)8(0,1)的直線/與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)/，N,若點(diǎn)8在

以線段為直徑的圓上，證明直線/過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

［解］⑴由題意得，c=0-=2,a2=b2+c2,

b

，Q=2,6=1,

...橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:+產(chǎn)=1.

(2)證明：當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為歹=Ax+〃z(mWl),

yi),Ng玖).

y=kx+m,,

由，消去y可得(4乃+l)x2+8hnx+4w2—4=0.

爐+4y=4,

?，今、加之一

??/=16(4M?-+l—〃/2)C＞0,X,l+x2=-—8k7-m-,X\X2=—4；-----4.

4標(biāo)+14廬+1

?.?點(diǎn)8在以線段為直徑的圓上，：.BMBN=0.

VBMBN=(x\,kx\+m-1),(X2,履2+加—1)=(F+1)x1X2+4(加—l)(xi+x2)

+(加一1)2=0,

.?.啰+1)蚓jg1)二駟+(〃I)2=0,

4^2+14A2+1

整理，得5加2—2m一3=0,

解得加=—;或m=1(舍去).

，直線/的方程為^="一：.

易知當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，不符合題意.故直線/過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)的

坐標(biāo)為I5).

3.(2019?洛陽一模)已知橢圓5+匕=15＞加＞0)右頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離為#一

az爐

2,短軸長(zhǎng)為2/，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓的方程；

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⑵過點(diǎn)尸(0,-4)的直線/與橢圓分別交于/,8兩點(diǎn)，求△ON8的面積的

最大值.

［角馴(1)由題意知。一。=#一2,26=2/，：.b=y12.

聯(lián)立解得：c=2,a=瓜

橢圓的方程為看+(=1.

(2)由題意知直線/的斜率k存在，設(shè)直線方程為y=kx-4,

*=1，

聯(lián)立62消去夕得(1+3/)/-24丘+42=0.

y=kx~4

設(shè)點(diǎn)/(xi,y\),8(x2,y2),

24k42

.">0即3F—7>0,xi+x2=xrx2=

1+3層1+3公

4

'：0到AB的距離d=\AB\=\ll+k2\x\—X2I，

所以S^0AB=^AB\d=2-\x\—x^

當(dāng)且僅當(dāng)/=8,即左=±仍時(shí)，△CM8的面積的最大值為由.

4.(2019?沈陽高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)三)已知拋物線C：x2=2/"g〉0)的焦點(diǎn)為R

M—2,次)是。上一點(diǎn)，且也仆1=2.

(1)求。的方程；

(2)過點(diǎn)E的直線與拋物線C相交于48兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)48兩點(diǎn)作拋物

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線C的切線八，/2,兩條切線相交于點(diǎn)P，點(diǎn)P關(guān)于直線48的對(duì)稱點(diǎn)0,判斷

四邊形玄。8是否存在外接圓，如果存在，求出外接圓面積的最小值；如果不存

在，請(qǐng)說明理由.

［解］(1)根據(jù)題意知，4=2pyo,①

因?yàn)閨即=2,所以次+彳=2,②

聯(lián)■①②解得yo=1,p=2.

所以拋物線C的方程為x2=4y.

(2)四邊形PAQB存在外接圓.

設(shè)直線方程為y=b+l,代入x2=4夕中，得/一4履一4=0,

設(shè)點(diǎn)/(X1,川)，8(x2,竺)則/=16心+16>0,

且Xl+x2=4左，X|X2=-4,

所以\AB\=11+F|xi-X2|=4(F+1),

因?yàn)镃:x2=4y,即尸區(qū)所以_/=|.

因此，切線/1的斜率為心=坐，切線/2的斜率為依=拉，

22

由于左曲=般也=一1,所以B4LPB,即△R1B是直角三角形，

4

所以△F48的外接圓的圓心為線段Z8的中點(diǎn)，線