華師大版七年級數學下冊知識點整理

華師大版七年級數學下冊知識點整理

華師大版七年級數學下冊知識點整理第六章一元一次方程一、基本概念（一）方程的變形法則法則1：方程兩邊都加上或減去同一個數，方程的解不變。例如：在方程7-3x=4左右兩邊都加上7，得到新方程：-3x+14=11。在方程6x=-2x-6左右兩邊都加上2x，得到新方程：8x=-6。移項：將方程中的某些項改變符號后，從方程的一邊移動到另一邊，這樣的變形叫做移項，注意移項要變號。例如：(1)將方程x－5＝7移項得：x＝7+5即x＝12。(2)將方程4x＝3x－4移項得：4x－3x＝－4即x＝－4。法則2：方程兩邊都乘以或除以同一個數，方程的解不變。例如：(1)將方程－5x＝2兩邊都除以-5得：x=2/5。(2)將方程x＝3/5兩邊都乘以5得：x=3。這里的變形通常稱為“將未知數的系數化為1”。注意：（1）如遇未知數的系數為整數，“系數化為1”時，就要除以這個整數；如遇到未知數的系數為分數，“系數化為1”時，就要乘以這個分數的倒數。（2）不論上一乘以或除以數時，都要注意結果的符號。方程的解的概念：能夠使方程左右兩邊都相等的未知數的值，叫做方程的解。求解方程的過程，叫做解方程。（二）一元一次方程的概念及其解法1.定義：只含有一個未知數，并且未知數的次數是1，這樣的方程叫做一元一次方程。例如：方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一元一次方程。而這些方程5x－3x+1=2、2x+y=l－3y、x-1=2/5就不是一元一次方程。2.一元一次方程的一般式為：ax+b=0（其中a、b為常數，且a≠0）。一元一次方程的一般式為：ax=b（其中a、b為常數，且a≠0）。3.解一元一次方程的一般步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，將未知數的系數化為1。注意：（1）方程中有多重括號時，一般應按先去小括號，再去中括號，最后去大括號的方法去括號，每去一層括號合并同類項一次，以簡便運算。（2）“去分母”指去掉方程兩邊各項系數的分母；去分母時，要求各分母的最小公倍數，去掉分母后，注意添括號。去分母時，不要忘記不等式兩邊的每一項都乘以最小公倍數（即公分母）。（三）一元一次方程的應用1.純數學上的應用：（1）一元一次方程定義的應用；（2）方程解的概念的應用；（3）代數中的應用；（4）公式變形等。二元一次方程組是指包含兩個未知數和兩個一次項的方程組。一般形式為ax+by=c，其中a、b、c為常數，且a、b均不為0。與一元一次方程類似，二元一次方程組也有解，解是指能夠使方程組中的兩個方程同時成立的未知數的值。二元一次方程組在實際生活中有很多應用，例如調配問題、行程問題、工程問題、利息問題、面積問題等。此外，還有一類問題是探索性應用，這些問題與前面提到的應用有聯系，但也有區(qū)別，有時是一種沒有結論的問題，需要你給出結論并解答。解決二元一次方程組的基本思想是“消元”，即將方程組中的一個未知數消去，轉化為一元一次方程，然后通過解一元一次方程得出未知數的值，再代入到另一個方程中求出另一個未知數的值。常用的解法包括代入消元法和加減消元法。在解二元一次方程組時，我們需要注意方程組的標準形式，即ax+by=c。同時，在寫出方程組的解時，要使用“聯立”符號“{}”將方程中兩個未知數的值連接起來寫。代入法是一種解二元一次方程組的方法，它通過“代人”消去一個未知數，將方程組轉化為一元一次方程來解。具體步驟為：首先選取一個方程，將它寫成用一個未知數表示另一個未知數，記作方程③；然后把③代入另一個方程，得到一個一元一次方程；接著解這個一元一次方程，得到一個未知數的值；最后將這個未知數的值代入③，求出另一個未知數的值，從而得到方程組的解。加減消元法是另一種解二元一次方程組的方法，它通過將兩個方程相加或相減，消去一個未知數，將方程組轉化為一元一次方程來解。具體步驟為：首先將兩個方程同一個未知數的系數乘以適當的倍數，使得這兩個未知數的絕對值相同；然后將未知數的絕對值相同的兩個方程相加或相減，得到一個一元一次方程；接著解這個一元一次方程，得到一個未知數的值；最后將這個未知數的值代入原方程組中系數較簡單的一個方程，求出另一個未知數的值，從而得到方程組的解。需要注意的是，在解二元一次方程組時，應正確選用代入法或加減消元法，具體選擇方法見下文。在解二元一次方程組時，有兩種基本的解法，即代入法和加減消元法。對于第一種解法，適宜用于方程組中有一個未知數系數的絕對值為1的情況；而對于第二種解法，如果兩個方程中有一個未知數系數的絕對值相等，則可直接用加減法消元；如果同一未知數的系數絕對值不等，則應選一個或兩個方程變形，使一個未知數的系數的絕對值相等，然后再用加減法求解；如果方程組比較復雜，應先化簡整理。一元一次不等式是指未知數的次數為1，且不等式中含有不等關系的式子。常見的不等號有大于、小于、大于等于、小于等于和不等于。需要注意的是，大于和小于不僅表示左右兩邊不等關系，還明確表示左右兩邊的大?。欢笥诘扔诤托∮诘扔趧t表示不等，前者表示“不大于”(小于或等于)，后者表示“不小于”(大于或等于)，“不等于”表示左右兩邊不相等。解一元一次不等式的過程就是求出能使不等式成立的未知數的值，這些值組成的集合稱為不等式的解集。在數軸上，可以用不等式的解集來表示不等式的解。不等式的基本性質：1.如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c；如果a<b，那么a+c<b+c，a-c<b-c。2.如果a<b，c>0，那么ac<bc，a/c<b/c。3.如果a>b，c<0，那么ac<bc，a/c<b/c。解一元一次不等式：一元一次不等式是只含有一個未知數，且含未知數的式子是整式，未知數的次數是1的不等式。解一元一次不等式的一般步驟是：去分母，去括號，移項，合并同類項，未知數的系數化為1。注意，不等式中有多重括號時，一般應按先去小括號，再去中括號，最后去大括號的方法去括號，每去一層括號合并同類項一次，以簡便運算。同時，“去分母”指去掉不等式兩邊各項系數的分母；去分母時，要求各分母的最小公倍數，去掉分母后，注意添括號。去分母時，不要忘記不等式兩邊的每一項都乘以最小公倍數（即公分母）。一元一次不等式組：一元一次不等式組是幾個一元一次不等式合起來組成的不等式組。與二元一次方程組不同的是，這里的“幾個”可以是兩個，也可以是三個，或更多個。一元一次不等式組的解集是不等式組中幾個不等式的解集的公共部分。解一元一次不等式組的步驟是：分別解不等式組中的每個不等式，把每個不等式組的解集在數軸上表示出來，找出各個不等式解集的公共部分，再結合不等式組解集的確定規(guī)律，寫出不等式組的解集。一元一次不等式組的解集的確定規(guī)律是：同“大”取大，同“小”取小，“大”小“小”大中間找，“大”大“小”小無解。第九章多邊形一、基本概念（一）三角形的相關概念1.三角形的定義：三角形是由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連接組成的平面圖形，這三條線段就是三角形的邊。三角形專用符號為“△”。2.三角形的頂點、邊：組成三角形的線段如圖中的AB、BC、AC是這個三角形的三邊，兩邊的公共點叫做三角形的頂點（如點A等）。三角形頂點只能用大寫字母表示，整個三角形表示為△ABC。3.三角形的內角、外角的概念：（1）內角：每兩條邊所組成的角叫做三角形的內角，如∠BAC等。每個三角形有三個內角。（2）外角：三角形中內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做三角形的外角。例如，右圖中∠ACD是∠ABC的一個外角，它與內角∠ACB相鄰。一個三角形共有三個外角。4.三角形的分類：（1）三角形按角分類可分為：銳角三角形（三個角都是銳角）、直角三角形（有一個角是直角）、鈍角三角形（有一個角是鈍角）。（2）三角形按邊分類可分為：不等邊三角形（三條邊都不相等，又稱斜三角形）、等腰三角形（只兩邊等）、等邊三角形（腰和底不相等的等腰三角形、腰和底相等的等腰三角形）。5.三角形的中線、角平分線、高：三角形的中線：三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線。三角形的角平分線：三角形內角的平分線與對邊的交點和這個內角頂點之間的線段叫三角形的角平分線。三角形的高：過三角形頂點作對邊的垂線，垂足與頂點間的線段叫三角形的高。注意：(1)一個三角形中三條中線(高、角平分線)之間的位置關系是交于一點。(2)一個三角形的三條中線(角平分線)的交點與三角形有位置關系，這一點在三角形內部。(3)直角三角形的三條高，它們有位置關系，其中一條高在三角形內部，另外兩條就是直角三角形的兩條直角邊，三條高的交點就是直角三角形的直角頂點。鈍角三角形有一條高在形內，兩條高在形外，三條高所在的直線的交點在形外。(4)以上三線都是線段。二、三角形外角的性質及其和三角形外角有以下兩個性質：(1)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；(2)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。如圖：在△ABC中，D是邊BC上一點，則有∠ADC＝∠DAB+∠ABD，且∠ADC>∠DAB，∠ADC>∠ABDB。問題：∠ADB＝∠()+∠()。三角形的外角和定義為與三角形的每個內角相鄰的外角分別有兩個，這兩個外角是對頂角。從與每個內角相等的兩個外角中分別取一個相加，得到的和稱為三角形的外角和。根據三角形外角和定理，三角形的外角和是360°。三、三角形的三邊關系三角形三邊不等關系定理為：三角形的任何兩邊的和大于第三邊，任何兩邊的差小于第三邊。也就是說，三角形第三邊的取值范圍是：|任何兩邊的差|＜第三邊＜任何兩邊的和。這個定理主要用于判斷給出一定長度的線段能否構成三角形以及求第三邊的取值范圍。三角形具有穩(wěn)定性，也就是說，三角形的三條邊固定，那么三角形的形狀和大小就完全確定了。而四邊形則不具有這個性質。四、多邊形的內角和與外角和多邊形是由n條不在同一直線上的線段首尾順次連結組成的平面圖形，也稱為n邊形。一個n邊形有n個內角和2n個外角。如果多邊形的各邊都相等，各內角也都相等，則稱為正多邊形，如正三角形、正四邊形(正方形)、正五邊形等等。多邊形的內角和公式為n邊形的內角和＝(n-2)·180°。而多邊形的外角和定義為從與每個內角相鄰的兩個外角中分別取一個相加，得到的和稱為多邊形的外角和。根據多邊形的外角和定理，多邊形的外角和等于360°，且與多邊形的邊數無關。五、用正多邊形拼地板用相同的正多邊形拼地板，能拼成既不留空隙，又不重疊的平面圖形的關鍵是圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角相加恰好等于360°。在正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形中，能夠拼出完整地面的內角和為(n－2)·180°。也就是說，當360°能夠整除n×2時，用正n邊形就可以鋪滿地面。設正多邊形的個數為n，每個內角為α，則要鋪滿地面，它們滿足下列關系：αn=360°。用多種正多邊形拼地板的標志是：圍繞一點的這幾個正多邊形的一個內角的和等于360°。設正多邊形甲的個數為n，每個內角為α，正多邊形乙的個數為m，每個內角為β，則它們滿足下列關系：αn+βm=360°。一、軸對稱：1.軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線對折后能重合，那么這個圖形就是軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。2.兩個圖形成軸對稱：如果一個圖形沿一條直線折疊后，它能與另一個圖形重合，那么這兩個圖形成軸對稱圖形，這條直線就是它們的對稱軸，折疊時重合的對應點就是對稱點。3.軸對稱的性質：軸對稱圖形的對應線段、對應角相等。4.垂直平分線的定義：垂直平分線是指一條直線既垂直于另一條直線，又平分這條直線。5.對稱軸的畫法：先連結一對點，再作所連線段的垂直平分線，即為對稱軸。6.對稱點的畫法：過已知點作對稱軸的垂線，交對稱軸于一點，該點即為對稱點。二、平移：圖形的平移是指一個圖形沿著一定的方向平行移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移，它是由移動的向量和所決定。平移的特征是：經過平移后的圖形與原圖形對應線段（或在同一直線上）相等，對應角相等，圖形的形狀和大小都沒有發(fā)生變化，即平移前后的兩個圖形連結每對對應點所得的線段（或在同一直線上）相等。三、旋轉：圖形的旋轉是指把一個圖形繞一個沿某個定點旋轉一定的角度，叫做圖形的旋轉，這個定點叫做旋轉中心。圖形的旋轉由旋轉角度、旋轉方向和旋轉中心所決定。注意：①旋轉中心在旋轉過程中保持不動。②旋轉分為順時針和逆時針。③旋轉一般小于360°。旋轉的特征是：圖形中每一點都繞著旋轉了的角度旋轉，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等，圖形的形狀和大小都沒有發(fā)生變化，也就是旋轉前后的兩個圖形連結每對對應點所得的線段相等。旋轉對稱圖形是指，若一個圖形繞一定點旋轉一定角度（不超過180°）后，能與原圖形重合，這種圖形就叫旋轉對稱圖形。四、中心對稱：中心對稱圖形是指，把一個圖形繞著某一個點旋轉180°后，如果能夠與原圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的中心。成中心對稱的兩個圖形關于這個點成中心對稱，這個點叫做中心點。中心對稱的性質是：關于中心對稱的圖形，對應點所連線段都經過中心點。5.對稱性質圖形的對稱性質是幾何學中的重要概念，對于圖形的分類和判定有著重要的作用。對稱性質主要包括軸對稱和中心對稱兩種形