高中數(shù)學(xué)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù).2指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì)學(xué)案（含解析）北師大版必修1

/11/11/§2指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念、性質(zhì)及其運(yùn)算法則[填一填]1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)給定正實(shí)數(shù)a，對(duì)于任意給定的整數(shù)m，n，存在唯一的正實(shí)數(shù)b，使得bn＝am，我們把b叫作a的eq\f(m,n)次冪，記作b＝aeq\s\up15(eq\f(m,n)).它就是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．(2)整數(shù)指數(shù)冪與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的聯(lián)系與區(qū)別一般地，當(dāng)a>0，α為任意實(shí)數(shù)值時(shí)，實(shí)數(shù)指數(shù)冪aα都有意義．2．n次方根的性質(zhì)3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則a>0，b>0，m，n∈R，則(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝amn；(3)(ab)n＝anbn.[答一答]怎樣進(jìn)行有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算？提示：(1)在引入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念后，指數(shù)概念就實(shí)現(xiàn)了由整數(shù)冪向有理數(shù)指數(shù)冪的擴(kuò)展，在進(jìn)行有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算時(shí)要注意運(yùn)用整體的觀點(diǎn)，方程的觀點(diǎn)處理問題，或利用已知的公式，換元等簡(jiǎn)化運(yùn)算過程．(2)有關(guān)指數(shù)冪的常用結(jié)論：1．對(duì)有理數(shù)指數(shù)冪的四點(diǎn)說明(1)與根式的關(guān)系．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪只是根式的一種新的寫法，且根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可以相互轉(zhuǎn)化．(2)底數(shù)的取值．由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義知a≤0，aeq\f(m,n)可能會(huì)沒有意義，有意義時(shí)可借助定義將底數(shù)化為正數(shù)，再進(jìn)行運(yùn)算．(3)運(yùn)算性質(zhì)．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)形式上與整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)完全一樣．記憶有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)的口訣是：乘相加，除相減，冪相乘．(4)指數(shù)冪運(yùn)算的順序．先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，仍符合以前的四則運(yùn)算順序．2．對(duì)無理數(shù)指數(shù)冪的三點(diǎn)說明(1)我們只討論底數(shù)大于0的無理數(shù)指數(shù)冪．(2)0的正無理數(shù)指數(shù)冪為0，負(fù)無理數(shù)指數(shù)冪無意義．(3)對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)a，我們都定義了一個(gè)實(shí)數(shù)aα(a>0)與它對(duì)應(yīng)，這樣就可以把有理數(shù)指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪.類型一整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算【例1】化簡(jiǎn)eq\f(a2＋b2－a－2－b－2,a2b2－a－2b－2)＋eq\f(?a－a－1??b－b－1?,ab＋a－1b－1).【思路探究】化簡(jiǎn)這類式子，一般有兩種方法．一是首先用負(fù)指數(shù)冪的定義把負(fù)指數(shù)化為正整數(shù)指數(shù)；二是運(yùn)用整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)把負(fù)指數(shù)化為正整數(shù)指數(shù)．【解】解法1：原式＝eq\f(a2b2?a2＋b2－a－2－b－2?,a2b2?a2b2－a－2b－2?)＋＝eq\f(a4b2＋a2b4－b2－a2,a4b4－1)＋eq\f(?a2－1??b2－1?,a2b2＋1)＝eq\f(a2b2?a2＋b2?－?a2＋b2?,a4b4－1)＋eq\f(a2b2－a2－b2＋1,a2b2＋1)＝eq\f(?a2＋b2??a2b2－1?,?a2b2＋1??a2b2－1?)＋eq\f(a2b2－a2－b2＋1,a2b2＋1)＝eq\f(a2b2＋1,a2b2＋1)＝1.解法2：原式＝eq\f(a2＋b2－\f(1,a2)－\f(1,b2),a2b2－\f(1,a2b2))＋eq\f(?a－\f(1,a)??b－\f(1,b)?,ab＋\f(1,ab))＝eq\f(a4b2＋a2b4－b2－a2,a4b4－1)＋eq\f(?a2－1??b2－1?,a2b2＋1).(以下同解法1)規(guī)律方法對(duì)于這類問題，如果采用解法2把負(fù)指數(shù)化為正指數(shù)的方法，則式子將變?yōu)榉狈质?，這樣化簡(jiǎn)起來比較復(fù)雜．所以一般運(yùn)用分式的基本性質(zhì)的方法把負(fù)指數(shù)化為正指數(shù)，即解法1，用這種解法相對(duì)簡(jiǎn)單一些．計(jì)算下列各式，并把結(jié)果化為只含正整數(shù)指數(shù)冪的形式(a，b均不等于0)．(1)a3b2(2ab－1)3；(2)eq\f(a－3b－2?－3a2b－1?,9a－2b－3)；(3)[eq\f(?a＋b?－3?a－b?4,?a－b?－2?a＋b?0)]3(a＋b≠0，a－b≠0)．解：(1)a3b2(2ab－1)3＝a3b2[23a3b(－1)×＝8a3＋3b2－3＝8a6b－1＝eq\f(8a6,b)；(2)eq\f(a－3b－2?－3a2b－1?,9a－2b－3)＝－eq\f(3,9)·a－3＋2－(－2)b－2＋(－1)－(－3)＝－eq\f(1,3)ab0＝－eq\f(a,3)；(3)[eq\f(?a＋b?－3?a－b?4,?a－b?－2?a＋b?0)]3＝[(a＋b)－3(a－b)4－(－2)]3＝[(a＋b)－3(a－b)6]3＝(a＋b)－9(a－b)18＝eq\f(?a－b?18,?a＋b?9).類型二分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算【例2】計(jì)算下列各式：【思路探究】①先進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，在進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算時(shí)可將底數(shù)化成冪的形式，再利用冪的乘方進(jìn)行運(yùn)算；②對(duì)于零次冪，直接運(yùn)用a0＝1(a≠0)得出結(jié)論；③底數(shù)為帶分?jǐn)?shù)的化成假分?jǐn)?shù)，進(jìn)而將底數(shù)化成冪的形式；④底數(shù)為小數(shù)的一般化成分?jǐn)?shù)來運(yùn)算；⑤先算乘方(開方)，再算乘除，最后算加減．計(jì)算：解：(1)原式＝－4－1＋eq\f(1,2)×(eq\r(2))4＋2＝－5＋2＋2＝－1.(2)原式＝2－1＋8＋8×9＝81.類型三根式的化簡(jiǎn)與求值【例3】求下列各式的值．規(guī)律方法對(duì)于含有根式的式子化簡(jiǎn)問題，常把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式；熟練掌握指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)并靈活應(yīng)用．類型四指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用——易錯(cuò)誤區(qū)——根式化簡(jiǎn)時(shí)忽略隱含條件而致誤【例5】化簡(jiǎn)eq\r(?1－a?2)·eq\r(4,\f(1,?a－1?3))＝()A．－eq\r(4,a－1) B.eq\r(4,a－1)C．(a－1)4 D.eq\f(1,\r(4,a－1))【錯(cuò)解】A【正解】B要使原式有意義，則a－1>0①.eq\r(?1－a?2)·eq\r(4,\f(1,?a－1?3))＝|1－a|·(a－1)－eq\f(3,4)＝(a－1)·(a－1)－eq\f(3,4)＝(a－1)eq\f(1,4)＝eq\r(4,a－1).【錯(cuò)因分析】忽略了偶次方根中被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，即漏掉①處而導(dǎo)致錯(cuò)誤．【防范措施】注意隱含條件的挖掘要關(guān)注條件中有無隱含條件，在出現(xiàn)根式時(shí)，要注意是否是偶次方根，被開方數(shù)是否符合要求，如本例中是四次方根，則必須(a－1)3>0，即a－1>0.使等式eq\r(?x－2??x2－4?)＝(2－x)eq\r(x＋2)成立的x的取值范圍是[－2,2]．解析：∵eq\r(?x－2??x2－4?)＝eq\r(?x－2?2?x＋2?)＝(2－x)eq\r(x＋2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x≥0,x＋2≥0))，∴－2≤x≤2.一、選擇題1．2eq\s\up15(eq\f(1,2))寫成根式形式是(A)A.eq\r(2) B.eq\r(22)C.eq\r(4,2) D.eqD.eq\r(1)解析：若bn＝am(m，n∈N＋，a>0，b>0)，則b＝aeq\s\up15(eq\f(m,n)).3．下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是(A)二、填空題5.eq\r(?m－n?2)＝eq\b\lc\{\rc\(