簡明-第2章C課件

第2章信號和頻譜

學(xué)習(xí)目標(biāo)

信號的分類與特性。傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。能量（或功率）譜與相關(guān)函數(shù)。平穩(wěn)、高斯、窄帶隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性。高斯白噪聲和低通（或帶通）白噪聲。帶寬的概念與定義。2.1信號分類信號（signal）是指表示消息的某種電（物理）量，如電壓、電流或電磁波等。為方便研究不同問題，可將信號進(jìn)行如下分類：模擬信號與數(shù)字信號基帶信號與已調(diào)信號確知信號和隨機(jī)信號周期信號和非周期信號能量信號和功率信號2.1.1確知信號和隨機(jī)信號確知信號（確定信號）是可以預(yù)先確知其變化規(guī)律的信號?？捎妹鞔_的數(shù)學(xué)表達(dá)式或波形來表示。例如，

隨機(jī)信號（不確知信號），其在定義域內(nèi)的任意時刻都沒有確定的函數(shù)值。例如，通信系統(tǒng)中的接收信號、熱噪聲等。

2.1.2周期信號和非周期信號周期信號是定義在（）區(qū)間上，且每隔固定的時間按同樣規(guī)律重復(fù)變化的信號，即滿足：

T0為信號的周期。否則為非周期信號。

2.1.3能量信號和功率信號電壓v(t)或電流i(t)在電阻R上所產(chǎn)生的瞬時功率為 或

“歸一化”瞬時功率（取R=1歐姆）：

s(t)代表v(t)或i(t)s(t)的（歸一化）總能量為 （焦耳，J）

（歸一化）平均功率為：（瓦特，W） 若E有限，而P→0，則稱為能量（有限）信號。如單個矩形脈沖。若P有限，而E→∞，則稱為功率（有限）信號。如周期信號和隨機(jī)信號。

結(jié)論：能量信號:特征：信號的振幅和持續(xù)時間均有限。功率信號：特征：信號的持續(xù)時間無限。有些信號既非功率信號也非能量信號；周期信號是功率信號，并且其功率為該信號一個周期內(nèi)的功率；非周期信號一般是能量信號。注意：能量信號和功率信號的概念對于確知信號和隨機(jī)信號均適用。確知信號的分析方法是信號分析的基礎(chǔ)。信號的特性可從時域和頻域來描述。時域特性—反映信號隨時間變化的特性，可借助示波器觀察信號的波形。頻域特性—反映信號各個頻率分量的分布情況，可借助頻譜儀觀察信號的頻譜。各信號頻域特性有：功率信號的頻譜能量信號的頻譜密度功率信號的功率譜密度能量信號的能量譜密度在數(shù)學(xué)上，周期信號的頻譜可用傅里葉（Fourier）級數(shù)來分析；非周期信號的頻譜可用傅里葉變換來分析。2.2確知信號

2.2.1周期信號的頻譜----傅里葉級數(shù)周期信號s(t)可展成（指數(shù)型）傅里葉級數(shù)：其中，傅氏系數(shù)Cn為

（請熟記此公式）

式中，f0=

1/T0為信號的基頻，nf0為n次諧波頻率。由于Cn反映了信號中各次諧波的幅度值和相位值，故稱Cn為信號的頻譜（單位：V）。Cn可記為幅度隨頻率（nf0）變化的特性稱為信號的幅度譜，相位n隨頻率（nf0）變化的特性稱為信號的相位譜。

【例2-1】一個周期矩形脈沖信號的時域波形與幅度譜如圖2-2所示，簡述周期信號頻譜的特點(diǎn)，并確定該信號需要占用的頻帶寬度（即信號帶寬）。

計算Cn？傅里葉級數(shù)

結(jié)論：周期信號的頻譜具有“離散性（譜線）、諧波性和收斂性”的特點(diǎn)。幅度譜的主瓣寬度（指第一個零點(diǎn)頻率范圍）定義為信號帶寬(零點(diǎn)帶寬)：

可見，脈寬越窄，B越寬。

【例2-2】試求幅為A，寬為的單個矩形脈沖（門函數(shù)）的頻譜。解：對該信號進(jìn)行傅里葉變換可得其頻譜為頻譜的第1個零點(diǎn)頻率為

圖2-3矩形脈沖信號及其頻譜函數(shù)第一零點(diǎn)f=1/τ評注：（1）非周期矩形脈沖信號的頻譜是連續(xù)頻譜，其形狀與圖2-2所示的周期矩形脈沖信號的離散頻譜的包絡(luò)線相似。（2）信號帶寬與脈沖持續(xù)時間（脈寬）成反比，即。這意味著，若要壓縮信號的持續(xù)時間則以展寬頻帶為代價。2.2.3沖激函數(shù)和沖激序列1、單位沖激函數(shù)(t)

(t)是一個幅值無限大、寬度無窮小、面積為1的脈沖，可表示為

（1）篩選特性（采樣特性）或 （2）搬移特性

（3）傅里葉變換和反變換

2.2.3沖激函數(shù)和沖激序列

2、單位沖激序列

見教材P26-P28，表2-1，表2-2。熟悉沖激函數(shù)，門函數(shù)，三角函數(shù)等函數(shù)的傅里葉變換?！纠?-3】已知，求的頻譜（密度）。解：利用歐拉公式可得根據(jù)傅里葉變換的頻移特性可得另一解法：利用傅里葉變換的頻域卷積性質(zhì)求解。

評注：上式通常稱為調(diào)制定理，它在通信系統(tǒng)中的調(diào)制與解調(diào)過程中經(jīng)常用到。作業(yè)分析下列兩個信號是功率信號還是能量信號求下列6個信號的頻譜（密度）2.2.4能量譜密度和功率譜密度信號的譜密度是信號的能量或功率在頻域上的分布特性。在分析通信系統(tǒng)對信號或噪聲的濾波性能，以及確定信號帶寬問題時需要使用能量譜密度和功率譜密度。1．能量譜密度（ESD）

ESD是指信號的能量在頻域上的分布情況。由Parseval（帕塞瓦爾）能量守恒定理，可得：

|S(f)|2反映信號的能量分布，稱其為信號的能量譜密度，記為：

或

信號能量等于能量譜密度的積分面積：2．功率譜密度（PSD）PSD是指信號的功率在頻域上的分布情況。設(shè)是功率信號s(t)的截短信號，則功率信號s(t)的功率為利用Parseval定理，上式中的平均功率為

定義功率譜密度PSD為：

則信號的平均功率為：2．功率譜密度（PSD）PSD是指信號的功率在頻域上的分布情況。對于周期性功率信號來說，其平均功率為：

式中，=1/f0為信號周期；|Cn|2是第n次諧波的功率。|Cn|2隨nf0分布的特性稱為周期信號的（離散）功率譜密度，可表示為

3.能量（功率）帶寬對于能量信號，可利用能量譜E(f)，由下式求出帶寬B

：

式中，為百分比，可取90%、95%或99%等。對于功率信號，則可利用功率譜P(f)，由下式求出帶寬B

：

2.2.5互相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)用于研究信號波形之間的關(guān)聯(lián)程度或相似程度。

1．相關(guān)函數(shù)

表2-3不同類型信號相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式

其中，為時間差；T0為周期。2．互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，表示兩個信號互不相關(guān);

越大，說明無時差時的兩個信號越相似;

3．自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

能量信號的R(0)=E(能量)；功率信號的R(0)=P(功率)。

2.2.6相關(guān)函數(shù)與譜密度能量信號的自相關(guān)函數(shù)和其能量譜密度是一對傅里葉變換，即

功率信號的自相關(guān)函數(shù)和其功率譜密度是一對傅里葉變換，即

以上關(guān)系稱為維納-辛欽定理。該定理為譜密度的求解提供了另一條途徑，即通過自相關(guān)函數(shù)來求得信號的譜密度。【例2-5】求余弦信號的PSD和平均功率。

解：余弦（或正弦）信號都是周期性功率信號，它的自相關(guān)函數(shù)為

利用積化和差三角函數(shù)公式，可得

利用維納-辛欽定理，可得信號的PSD：

信號的平均功率為或

注：正弦信號與余弦信號具有相同的PSD、自相關(guān)函數(shù)和平均功率。

習(xí)慣把和統(tǒng)稱為正弦信號。作業(yè)求下列兩個信號的功率譜密度或能量譜密度試求出

的自相關(guān)函數(shù)，并從其自相關(guān)函數(shù)求出其功率。設(shè)信號

的傅里葉變換為

，試求此信號的自相關(guān)函數(shù)

。已知一信號的自相關(guān)函數(shù)為,k為常數(shù),試求其功率譜密度和功率.已知一信號

的自相關(guān)函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)：

，

試求功率譜密度

。2.3隨機(jī)過程

本節(jié)內(nèi)容是本課程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，因為通信中的信號與噪聲都具有一定的隨機(jī)性，需要用隨機(jī)過程的理論來描述。隨機(jī)過程的基本概念和數(shù)字特征；平穩(wěn)、高斯、窄帶過程的統(tǒng)計特性；隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)；高斯白噪聲的統(tǒng)計特性。2.3.1何謂隨機(jī)過程？隨機(jī)過程可定義為所有樣本函數(shù)的集合。其在任意時刻上的取值是一個隨機(jī)變量，因此又可定義為在時間進(jìn)程中處于不同時刻的隨機(jī)變量的集合。

圖2-4隨機(jī)過程的樣本2.3.2數(shù)字特征分布函數(shù)或概率密度函數(shù)可充分地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性。數(shù)字特征可描述隨機(jī)過程的基本特性。常用的數(shù)字特征有均值、方差和相關(guān)函數(shù)。1．均值或數(shù)學(xué)期望

含義：均值表示隨機(jī)過程n個樣本曲線的擺動中心（見圖2-4中虛線）。2．方差

含義：方差反映了隨機(jī)過程在任意時刻的取值偏離均值的程度。3．自相關(guān)函數(shù)

若并令，則相關(guān)函數(shù)可寫成

含義：描述隨機(jī)過程在不同時刻的取值之間的關(guān)聯(lián)程度。2.4平穩(wěn)隨機(jī)過程

2.4.1平穩(wěn)性

嚴(yán)（狹義）平穩(wěn)：隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而改變。寬（廣義）平穩(wěn)：

均值與t無關(guān)

自相關(guān)函數(shù)僅與時間間隔有關(guān)

嚴(yán)平穩(wěn)必然寬平穩(wěn)，反之不一定（高斯例外）。通信系統(tǒng)中的信號與噪聲大多可視為寬平穩(wěn)過程。2.4.2各態(tài)歷經(jīng)性如果平穩(wěn)過程的統(tǒng)計平均等于它的任意一個樣本的時間平均，即

則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。各態(tài)歷經(jīng)性的意義：可用一個樣本的“時間平均”替代隨機(jī)過程的“統(tǒng)計平均（需要對隨機(jī)過程的所有樣本求平均）”，使得測量和計算的問題大大簡化。2.4.3自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)只是時間差的函數(shù)，即

它具有如下性質(zhì)：（1）

[的平均功率]（2） [的直流功率]

（3）（方差）[的交流功率]

當(dāng)均值為0時，有（4） [的偶函數(shù)] （5）

[時有最大值]2.4.4功率譜密度平穩(wěn)過程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)是一對傅里葉變換關(guān)系，即 簡記為稱為維納-辛欽定理。它建立了平穩(wěn)過程頻域和時域的聯(lián)系。（1）當(dāng)時，有

即功率譜密度（PSD）的積分面積等于歸一化平均功率。（2）功率譜密度（PSD）具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即

2.5高斯隨機(jī)過程

2.5.1定義與特性高斯過程的n維（n=1，2，…）分布都服從正態(tài)分布。高斯過程的統(tǒng)計特性完全由它的數(shù)字特征決定。它的一維分布完全可由均值和方差來描述。（1）若高斯過程是寬平穩(wěn)的，則也是嚴(yán)平穩(wěn)的。（2）若高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，則它們也是統(tǒng)計獨(dú)立的。（3）高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后的過程仍是高斯過程。以上幾個性質(zhì)在對高斯過程進(jìn)行數(shù)學(xué)處理時十分有用。2.5.2一維高斯（或正態(tài)）分布

高斯過程在任意時刻上的取值是一個高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為

具有如下特性：曲線對稱于這條直線。

的圖形將隨的減小而變得尖銳，說明隨機(jī)變量X

落在a點(diǎn)附近的概率越大。

在分析數(shù)字通信系統(tǒng)的抗噪聲性能時，往往需要計算高斯隨機(jī)變量X小于或等于某一取值的概率，記為式中，稱為分布函數(shù)，是概率密度函數(shù)的積分，即 （2-5-3）

為了便于計算上式積分的結(jié)果，常引用一些在數(shù)學(xué)手冊上可查函數(shù)值的特殊函數(shù)來表示F(x)。例如，誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)，其公式與性質(zhì)如表2-4所示。表2-4 誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)誤差函數(shù)互補(bǔ)誤差函數(shù)公式，（2-5-4）

，（2-5-5）性質(zhì)自變量的遞增函數(shù)，且自變量的遞減函數(shù)，且關(guān)系式

（2-5-6）近似式

，（2-5-7）

若對式（2-5-3）的積分區(qū)間進(jìn)行處理（如），然后進(jìn)行變量代換，令，并與式（2-5-4）或式（2-5-5）聯(lián)系，則有 （2-5-8）利用函數(shù)或函數(shù)表示F(x)的好處是，其簡明的特性有助于今后分析通信系統(tǒng)的抗噪聲性能。2.6隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)

對于線性時不變系統(tǒng)，其輸出過程是輸入過程與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積，即

根據(jù)上式，若給定的統(tǒng)計特性，則可求得的統(tǒng)計特性，結(jié)果如表2-5所示。

表2-5 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)

表2-5中，為線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，且；H(0)是線性系統(tǒng)在處的頻率響應(yīng)，即直流增益；是線性系統(tǒng)的功率增益。2.7窄帶隨機(jī)過程

例子：調(diào)頻（FM）信號、數(shù)字調(diào)相（2PSK）信號、白噪聲通過帶通濾波器后的噪聲等。譜特征：頻帶寬度<<（中心頻率），且≥0。樣本波形：包絡(luò)隨機(jī)緩變的正弦波。表達(dá)式：

等價式： 式中，，

分別稱為的同相和正交分量。

兩個重要結(jié)論：結(jié)論1：對于均值為零、方差為的平穩(wěn)高斯窄帶過程，它的同相分量和正交分量同樣是平穩(wěn)高斯過程，且均值皆為零，方差都等于（相當(dāng)于平均功率相等）。結(jié)論2：對于均值為0、方差為的平穩(wěn)高斯窄帶過程，它的包絡(luò)的一維分布是瑞利分布，相位的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，與是統(tǒng)計獨(dú)立的。

以上兩個結(jié)論在帶通傳輸系統(tǒng)（如調(diào)制系統(tǒng)）的抗噪聲性能分析中將會用到。2.8通信系統(tǒng)中的噪聲

例子：電子設(shè)備中的電阻性器件所產(chǎn)生的熱噪聲，它是一種零均值的高斯白噪聲。常被用作信道中的噪聲模型。2.8.1白噪聲白噪聲是一種帶寬無限的平穩(wěn)過程，它具有恒定的功率譜密度和尖銳的自相關(guān)函數(shù)：

式中，是一個常數(shù)，表示單邊功率譜密度，單位是瓦/赫。

白噪聲僅在（同一時刻）時的取值才相關(guān)。若白噪聲的取值服從高斯分布，則稱之為高斯白噪聲。2.8.2帶限白噪聲這是白噪聲通過帶寬有限的信道或濾波器的情形。常見形式有：

設(shè)低通或帶通濾波器的頻率特性函數(shù)為，則白噪聲通過的輸出噪聲的功率譜為

（2-8-3）的積分面積等于輸出噪聲功率：