第一講數(shù)學建模初步課件

第一講數(shù)學模型初步主講人：曾傳華１．全國大學生數(shù)學建模競賽概況全國大學生數(shù)學建模競賽是教育部高等教育司和中國工業(yè)與應用數(shù)學學會共同主辦的面向全國大學生的群眾性科技活動，目的在于激勵學生學習數(shù)學的積極性，提高學生建立數(shù)學模型和運用計算機技術解決實際問題的綜合能力，鼓勵廣大學生踴躍參加課外科技活動，開拓知識面，培養(yǎng)創(chuàng)造精神及合作意識，推動大學數(shù)學教學體系、教學內(nèi)容和方法的改革。

1.1全國大學生數(shù)學建模競賽的由來

1985年在美國出現(xiàn)了一種叫做MCM的一年一度大大學生數(shù)學模型(1987年全稱為MathematicalCompetitioninModeling,1988年改全稱為MathematicalContestinModeling,其所寫均為MCM)。這并不是偶然的。在1985年以前美國只有一種大學生數(shù)學競賽(TheWilliamLowellPutnammathematicalCompetition,簡稱Putman(普特南)數(shù)學競賽)，這是由美國數(shù)學協(xié)會(MAA--即MathematicalAssociationofAmerica的縮寫)主持，于每年12月的第一個星期六分兩試進行，每年一次。在國際上產(chǎn)生很大影響，現(xiàn)已成為國際性的大學生的一項著名賽事。該競賽每年2月或3月進行。我國自1989年首次參加這一競賽，歷屆均取得優(yōu)異成績。經(jīng)過數(shù)年參加美國賽表明，中國大學生在數(shù)學建模方面是有競爭力和創(chuàng)新聯(lián)想能力的。為使這一賽事更廣泛地展開，1990年先由中國工業(yè)與應用數(shù)學學會后與國家教委聯(lián)合主辦全國大學生數(shù)學建模競賽(簡稱CMCM)，該項賽事每年9月進行。數(shù)學模型競賽與通常的數(shù)學競賽不同，它來自實際問題或有明確的實際背景。它的宗旨是培養(yǎng)大學生用數(shù)學方法解決實際問題的意識和能力，整個賽事是完成一篇包括問題的闡述分析，模型的假設和建立，計算結果及討論的論文。通過訓練和比賽，同學們不僅用數(shù)學方法解決實際問題的意識和能力有很大提高，而且在團結合作發(fā)揮集體力量攻關，以及撰寫科技論文等方面將都會得到十分有益的鍛煉。

1.2競賽內(nèi)容競賽題目一般來源于工程技術和管理科學等方面經(jīng)過適當簡化加工的實際問題，不要求參賽者預先掌握深入的專門知識，只需要學過高等學校的數(shù)學課程。題目有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造能力。參賽者應根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型的假設、建立和求解、計算方法的設計和計算機實現(xiàn)、結果的分析和檢驗、模型的改進等方面的論文（即答卷）。競賽評獎以假設的合理性、建模的創(chuàng)造性、結果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標準。

1.3競賽形式和規(guī)則

(2)競賽每年舉辦一次，一般在某個周末前后的三天內(nèi)舉行。今年應該是9月開學第一周的星期五上午8時至下一個星期一上午8時，估計2010年競賽時間為9月10日（周五）8時至9月13日（周一）8時。

(1)全國統(tǒng)一競賽題目，采取通訊競賽方式，以相對集中的形式進行。

(3)參賽者以3名大學生組成一隊，通過學校教務部門向重慶賽區(qū)組委會報名，再由賽區(qū)組委會向全國組委會報名。競賽分為甲組和乙組進行。本科學生參加甲組競賽，?？疲ǜ呗毟邔＃W生參加乙組競賽（也可參加甲組競賽）。無論參加哪組競賽，均必須在報名時確定，報名截止后不能再更改報名組別。

重慶賽區(qū)的報名費與去年相同，即每隊交納260元。

(4)競賽期間參賽隊員可以使用各種圖書資料、計算機和軟件，在國際互聯(lián)網(wǎng)上瀏覽，但不得與隊外任何人（包括在網(wǎng)上）討論。重慶文理學院http:///重慶文理學院圖書館1/數(shù)字資源：中文電子圖書、中文電子資源中文電子圖書：超星數(shù)字圖書館(需安裝閱覽器)中文電子期刊：中文科技期刊數(shù)據(jù)庫(維普遠程試用)和中國期刊全文數(shù)據(jù)庫(CNKI)

需安裝閱覽器(AdobeReader和CAJViewer)常見的搜索引擎：http:///

http:///

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認識搜索引擎.doc，基本搜索技巧.txt(5)競賽開始后，賽題將公布在指定的網(wǎng)址供參賽隊下載，參賽隊在規(guī)定時間內(nèi)完成答卷，并準時交卷。今年的賽題將于競賽開始時在至少3個網(wǎng)站上公布。請新參賽的同學訪問全國大學生數(shù)學建模競賽網(wǎng)址(http://)。

2．數(shù)學模型的基礎知識2.1從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型2.2數(shù)學建模示例2.3數(shù)學建模的方法和步驟2.4數(shù)學模型的特點和分類2.5數(shù)學建模論文撰寫玩具、照片、飛機、火箭模型……~實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機……~物理模型地圖、電路圖、分子結構圖……~符號模型我們常見的模型2.1從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物。模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。你碰到過的數(shù)學模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟作出簡化假設（船速、水速為常數(shù)）；

用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20千米/小時）。數(shù)學模型(MathematicalModel)和數(shù)學建模（MathematicalModeling)對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結構。建立數(shù)學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學模型數(shù)學建模2.2

數(shù)學建模示例2.2.1

椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析模型假設通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面;地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。模型構成用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn)正方形對稱性用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f(),g()是連續(xù)函數(shù)對任意,f(),g()至少一個為0數(shù)學問題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);

對任意，f()?g()=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因為f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評注和思考建模的關鍵~假設條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長方形的椅子和f(),g()的確定1.3.2

商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)模型構成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk

,yk)~過程的狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk

,vk)~決策D={(u

,v)u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk

+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題模型求解xy3322110窮舉法~編程上機圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個格點

~10個點允許決策~移動1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11給出安全渡河方案評注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長1.3.3如何預報人口的增長指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設

:人口(相對)增長率r

是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長指數(shù)增長模型的應用及局限性與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合

適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長預測

不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律

不能預測較長期的人口增長過程19世紀后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數(shù)r或r(x),xm

利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為281.4(百萬)模型應用——預報美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟領域中的應用(如耐用消費品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.01.4.1數(shù)學建模的基本方法1.4

數(shù)學建模的方法和步驟縱覽18年的本科組36個題目(?？平M17個)，從問題的實際意義、解決問題的方法和題型三個方面作一些簡單的分析。

CUMCM的歷年賽題瀏覽1992年:(Ａ)作物生長的施肥效果問題(北理工：葉其孝）

(B)化學試驗室的實驗數(shù)據(jù)分解問題（復旦：譚永基）1993年:(Ａ)通訊中非線性交調(diào)的頻率設計問題（北大:謝衷潔）

(Ｂ)足球甲級聯(lián)賽排名問題（清華：蔡大用）1994年:(Ａ)山區(qū)修建公路的設計造價問題（西電大：何大可）

(Ｂ)鎖具的制造、銷售和裝箱問題（復旦:譚永基等）1995年:(Ａ)飛機的安全飛行管理調(diào)度問題（復旦:譚永基等）

(Ｂ)天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度問題（浙大:劉祥官等）CUMCM的歷年賽題瀏覽1996年:(A)最優(yōu)捕魚策略問題（北師大：劉來福）

(B)節(jié)水洗衣機的程序設計問題（重大：付鸝）1997年:(A)零件參數(shù)優(yōu)化設計問題（清華：姜啟源）

(B)金剛石截斷切割問題（復旦：譚永基等）1998年:(A)投資的收益和風險問題（浙大：陳淑平）

(B)災情的巡視路線問題（上海海運學院:丁頌康）1999年:(A)自動化機床控制管理問題（北大：孫山澤）

(B)地質(zhì)堪探鉆井布局問題（鄭州大學：林詒勛）

(C)煤矸石堆積問題（太原理工大學：賈曉峰）CUMCM的歷年賽題瀏覽2000年:(A)DNA序列的分類問題（北工大：孟大志）

(B)鋼管的訂購和運輸問題（武大：費甫生）

(C)飛越北極問題（復旦：譚永基）

(D)空洞探測問題（東北電力學院：關信）2001年:(A)三維血管的重建問題（浙大：汪國昭）

(B)公交車的優(yōu)化調(diào)度問題（清華：譚澤光）

(C)基金使用計劃問題（東南大學：陳恩水）2002年:(A)汽車車燈的優(yōu)化設計問題（復旦:譚永基等）

(B)彩票中的數(shù)學問題（信息工程大學：韓中庚）

(D)球隊的賽程安排問題（清華大學：姜啟源）CUMCM的歷年賽題瀏覽2003年:(A)SARS的傳播問題（集體）

(B)露天礦生產(chǎn)的車輛安排問題（吉林大：方沛辰）

(D)搶渡長江問題（華中農(nóng)大：殷建肅）2004年:(A)奧運會臨時超市網(wǎng)點設計問題(北工大：孟大志)(B)電力市場的輸電阻塞管理問題(浙大:劉康生）

(C)酒后開車問題（清華大學：姜啟源）

(D)公務員的招聘問題（信息工程大學：韓中庚）2005年:(A)長江水質(zhì)的評價與預測問題（信息工大:韓中庚）

(B)DVD在線租賃問題（清華大學：謝金星等）

(C)雨量預報方法的評價問題（復旦：譚永基）2006年:(A)出版社的資源管理問題（北工大:孟大志）

(B)艾滋病療法的評價及預測問題（天大：邊馥萍）

(C)易拉罐形狀和尺寸的設計問題（北理工：葉其孝）

(D)煤礦瓦斯和煤塵的監(jiān)測與控制問題（信息工程大學：韓中庚）2007年:(A)中國人口增長預測問題（清華大學:唐云）

(B)“乘公交，看奧運”問題（吉大：方沛辰，國防科大：吳孟達）

(C)“手機套餐”優(yōu)惠幾何問題(信息工程大學:韓中庚)(D)體能測試時間的安排問題(首都師大:劉雨林)

CUMCM的歷年賽題瀏覽2008年:

(A)數(shù)碼相機定位問題（復旦大學:譚永基）

(B)高等教育學費標準探討問題（北京理工：葉其孝）

(C)地面搜索問題（西北工業(yè)大學：肖華勇）

(D)NBA賽程的分析與評價問題（清華大學：姜啟源）2009年:

(A)制動器試驗臺的控制方法問題（吉林大學:方沛辰）

(B)眼科病床的合理安排問題（國防科大:吳孟達）

(C)衛(wèi)星和飛船的跟蹤測控問題（西安交大：周易倉）

(D)會議籌備問題（福州大學：王宏?。〤UMCM的歷年賽題瀏覽2001年夏令營三個題:(A)三峽工程高坡開挖優(yōu)化設計(三峽大學:李建林等）

(B)城市交通擁阻的分析與治理(北京理工大學:葉其孝）

(C)乳房癌的診斷問題（復旦大學:譚永基）2006年夏令營三個題:(A)教材出版業(yè)的市場調(diào)查、評估和預測方法問題（北工大:孟大志）

(B)鐵路大提速下的京滬線列車調(diào)度問題（信息工程大學:韓中庚）

(C)旅游需求的預測預報問題（北京理工：葉其孝）CUMCM的歷年賽題瀏覽從問題的實際意義分析

36個問題從實際意義分析大體上可分為：工業(yè)、農(nóng)業(yè)、工程設計、交通運輸、經(jīng)濟管理、生物醫(yī)學和社會事業(yè)等七個大類。

工業(yè)類：電子通信、機械加工與制造、機械設計與控制等行業(yè),共有10個題，占27.8%。農(nóng)業(yè)類：１個題，占2.8%。工程設計類:3個題，占8.3%。交通運輸類：4個題，占11.1%經(jīng)濟管理類：６個題，占16.7%生物醫(yī)學類：5個題，占13.9%社會事業(yè)類:７個題，占19.4%

涉及到的數(shù)學建模方法：幾何理論、組合概率、統(tǒng)計（回歸）分析、優(yōu)化方法(規(guī)劃)、圖論與網(wǎng)絡優(yōu)化、層次分析、插值與擬合、差分計算、微分方程、排隊論、模糊數(shù)學、隨機決策、多目標決策、隨機模擬、灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡、時間序列、綜合評價、機理分析等方法。從問題的解決方法上分析最多的是優(yōu)化方法和概率統(tǒng)計的方法.

優(yōu)化方法共24個題，占總數(shù)的66.7%，其中整數(shù)規(guī)劃4個，線性規(guī)劃6個，非線性規(guī)劃15個,多目標規(guī)劃7個。概率統(tǒng)計方法18個題，占50%，平均每年至少有一個題目用到概率統(tǒng)計的方法。插值與擬合方法有7個；圖論與