第五章5 2三角函數(shù)概念課時(shí)

第五章三角函數(shù)高中快車(chē)道成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專(zhuān)題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤(pán)群4000G一線(xiàn)老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，永不過(guò)期5.2

三角函數(shù)的概念課時(shí)4

三角函數(shù)的概念(2)高中快車(chē)道教學(xué)目標(biāo)利用任意角的三角函數(shù)的定義,推導(dǎo)出任意角的三角函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)的規(guī)律.借助任意角的三角函數(shù)的定義,得出終邊相同角的同一三角函數(shù)的值相等即誘導(dǎo)公式一.能正確理解任意角的三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)規(guī)律和誘導(dǎo)公式一,初步掌握其應(yīng)用.學(xué)習(xí)目標(biāo)課程目標(biāo)學(xué)科核心素養(yǎng)通過(guò)三角函數(shù)的定義,理解任意角的三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)規(guī)律通過(guò)探究任意角的三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)規(guī)律,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)借助任意角的三角函數(shù)的定義,推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式一,理解誘導(dǎo)公式一的意義通過(guò)借助任意角的三角函數(shù)的定義推導(dǎo)誘導(dǎo)公式一,培養(yǎng)直觀(guān)想象、邏輯推理等素養(yǎng)理解任意角的三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)規(guī)律和誘導(dǎo)公式一,掌握它們的應(yīng)用通過(guò)運(yùn)用三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)規(guī)律和誘導(dǎo)公式一,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)情境導(dǎo)學(xué)上一課時(shí)我們已經(jīng)分析過(guò)了摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)情況，并抽象出了任意角的三角函數(shù)定義．把摩天輪所得的模型一般化，記點(diǎn)P為座艙位置，將點(diǎn)P放入單位圓(r＝1)中，觀(guān)察點(diǎn)P坐標(biāo)隨點(diǎn)P位置變化的具體情況．對(duì)任意角α，其頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓(圓心在原點(diǎn)O，半徑為1)的交點(diǎn)為P.請(qǐng)你思考：若知道角α的值，你能寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)嗎？點(diǎn)P在不同象限時(shí)，角α的三角函數(shù)值變化有什么規(guī)律？點(diǎn)P在不同象限時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)變化有什么規(guī)律？上述兩個(gè)規(guī)律是否有內(nèi)在聯(lián)系？初探新知【活動(dòng)1

】探究三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律【問(wèn)題1】怎樣確定三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)呢？【問(wèn)題2】你能在坐標(biāo)系中直觀(guān)地表示三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律嗎？【活動(dòng)2

】探究終邊相同的角的同一三角函數(shù)值之間的關(guān)系【問(wèn)題3】與角α終邊相同的角怎樣表示？【問(wèn)題4】終邊相同的角的同一三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？【問(wèn)題5】誘導(dǎo)公式一揭示了三角函數(shù)值怎樣的變化規(guī)律？【問(wèn)題6】誘導(dǎo)公式一有什么作用？典例精析【例1】[教材改編題]以原點(diǎn)為圓心的單位圓上一點(diǎn)從P(1，0)出發(fā)：??(1)

沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)????，到達(dá)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q坐標(biāo)為；A. sin

θ>0 B.

sinθ<0 C.

tan

θ>0 D.

tan

θ<0思路點(diǎn)撥：(1)可由三角函數(shù)定義確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)．(2)可由各象限角三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律作出判斷．(??,??

??

??

)(2)(多選)若到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，記∠POM為θ，當(dāng)θ終邊OM落在第二象限時(shí)，下列結(jié)論中正確的有(AD

)【解】(1)

單位圓半徑r＝1，圓弧PQ的長(zhǎng)為l，圓心角為α，α＝??＝????＝2π＋??.設(shè)Q(x??

??

??，y)，由任意角三角函數(shù)定義，可得x＝cos

α＝cos

??＝??，y＝sin

α＝sin

??＝

??，故??

??

??

??點(diǎn)Q坐標(biāo)為(??,

??).??

??(2)

當(dāng)終邊OM落在第二象限，即角θ的終邊位于第二象限時(shí)，設(shè)終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)為??(x，y)，其中x<0，y>0.由sinθ與y同號(hào)，cos

θ與x同號(hào)，tan

θ與??同號(hào)，知AD正確．【【方法規(guī)律】(1)由任意角的三角函數(shù)的定義,已知一個(gè)角的大小,可以在這個(gè)角的終邊上確定一個(gè)點(diǎn),從而可求出這個(gè)角的各個(gè)三角函數(shù)的值;(2)利用三角函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)規(guī)律,可判斷已知角的各個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào).A.第一象限C.第三象限B.

第二象限D(zhuǎn).第四象限(2)

(多選)|

??????

??|

－

??????

??

的值為0，則α是(

)??????

??A.第一象限角C.第三象限角|??????

??|B.

第二象限角D.第四象限角【變式訓(xùn)練1】(1)

已知點(diǎn)P(sin

α，cos

α)在第二象限，則角α的終邊在(

D

)AC【解】(1)點(diǎn)P(sin

α，cosα)在第二象限時(shí)，則sinα＜0，cosα＞0.由sinα<0，則α的終邊在第三、四象限；由cos

α>0，則α的終邊在第一、四象限．綜上，角α的終邊在第四象限．故選D.【例2】[教材改編題]確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)，然后用計(jì)算工具驗(yàn)證：(1)

sin

156°；(2)

cos(－450°)；??(3)tan(－

??????)；(4)

tan556°；????(5)

sin

(－465°)；(6)

cos????

.思路點(diǎn)撥：用公式一把任意角的三角函數(shù)值分別轉(zhuǎn)化為0°～360°(或0～2π)范圍內(nèi)角的三角函數(shù)值，利用三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律直接判號(hào)．【解】(1)

156°是第二象限角，所以sin

156°>0.(2)

cos(－450°)＝cos(－450°＋2×360°)＝cos

270°，270°角的終邊在y軸的負(fù)半軸上，所以cos(－450°)＝0.??

??

??

??

??(3)

tan(－??????)＝tan(－??????+4??)＝tan??????，??????是第四象限角，所以tan(－??????)<0.tan

556°＝tan（196°+360°）

＝tan

196°，196°是第三象限角，所以

tan

556°＞0.sin(－465°)＝sin(－465°＋720°)＝sin

255°，255°是第三象限角，所以sin(－465°)<0.????是第二象限角，所以cos

????<0.計(jì)算工具驗(yàn)證略．????

????【方法規(guī)律】判斷任意角的三角函數(shù)值符號(hào)的一般步驟：①變形：將已知的任意角寫(xiě)成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z；②轉(zhuǎn)化：根據(jù)公式一，轉(zhuǎn)化為求角α的某個(gè)三角函數(shù)值；③判號(hào)：利用三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律，判斷角α的符號(hào)．【變式訓(xùn)練2】不用計(jì)算器，sin180°，sin591.2°，sin(－358°)三者的大小順序是(

D

)sin

180°<sin

(－358°)<sin

591.2°sin

(－358°)<sin

180°<sin

591.2°sin

591.2°<sin

(－358°)<sin

180°sin

591.2°<sin

180°<sin

(－358°)【解】sin(－358°)＝sin(－358°+360°)＝sin

2°，2°是第一象限角，則sin(－358°)＞0；180°角的終邊在x軸負(fù)半軸，sin

180°＝0；sin

591.2°＝sin(－231.2°+360°)

＝sin

231.2°，231.2°是第三象限角，則sin

591.2°＝sin231.2°<0.可得sin591.2°<sin180°<sin(－358°).故選D.(也可由三角函數(shù)定義畫(huà)單位圓上對(duì)應(yīng)角得出答案)【例3】[教材改編題]求下列三角函數(shù)值：sin810°+cos-420°+tan1

125°cos??????+tan（-??????）??

??思路點(diǎn)撥

用誘導(dǎo)公式一,把任意角的三角函數(shù)值分別轉(zhuǎn)化為0°~360°(0~2π)范圍內(nèi)角的三角函數(shù)值,完成求值計(jì)算.【方法規(guī)律】求任意角的三角函數(shù)值的一般步驟:①變形:將已知的任意角寫(xiě)成2kπ+α的形式,其中α∈,k∈Z;②轉(zhuǎn)化:根據(jù)公式一,轉(zhuǎn)化為求角α的某個(gè)三角函數(shù)值;③求值:若角為特殊角,可直接求出該角的三角函數(shù)值.【解】【變式訓(xùn)練3】求出下列各式的值：(1)

cos

1

470°；(3)

sin

(－

??????)＋cos??????

·tan

4??.??

??【解】（1）cos

1

470°＝（cos

360°×4＋30°)＝

????（2）思路點(diǎn)撥

(1)

求出點(diǎn)B的縱坐標(biāo),運(yùn)用任意角的三角函數(shù)定義求解.

(2)易得α=?,從而可得角β的集合,運(yùn)用誘導(dǎo)公式一,求出求出sinβ. (3)

運(yùn)用三??角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律作出判斷.（備選例題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于點(diǎn)A,它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點(diǎn)B,始邊不動(dòng),終邊在運(yùn)動(dòng).(1)

若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-??,求tanα的值;??若△AOB為等邊三角形,寫(xiě)出與角α終邊相同的角β的集合,并求出sinβ的值;若點(diǎn)B在第二象限,試判斷cos(sinα)·sin(cosα)的符號(hào).【解】(1)

設(shè)點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為m,則由題意m2+（-??）2=1,且m>0,所以m=??,故B（-??，??）,根??

??

??

???????????????據(jù)三角函數(shù)的定義得tanα= =-

.(2)??

??(3)

因?yàn)辄c(diǎn)B在第二象限,所以α是第二象限的角,得0<sinα<1<?,-?<-1<cosα<0,所以cos(sinα)>0,sin(cosα)<0,所以cos(sinα)·sin(cosα)<0.【方法規(guī)律】(1)已知一個(gè)角的終邊的位置,運(yùn)用任意角的三角函數(shù)的定義求出這個(gè)角的三角函數(shù)的值;(2)運(yùn)用誘導(dǎo)公式一,可將求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0°~360°(或0~2π)范圍內(nèi)角的三角函數(shù)值;(3)

要確定三角函數(shù)值的符號(hào),只要確定該角所在的象限.課堂反思通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識(shí)？你認(rèn)為本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)是什么？隨堂演練A．第一象限C.第二象限或第四象限B.第二象限D(zhuǎn).第二象限或第三象限1.

[2021·湖北省十堰市高一期末改編題]若tan

θ·sin2θ<0，則角θ在(C

)2.

[2021·福建省漳州市高一期末改編題]已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a-9,a+2),且A.(-2,3]C.[-2,3)B.

(-2,3)D.

[-2,3]cosα≤0,sinα>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(

A

)3. (多選)已知sin

α·cos

α<0，tan

α·sin

α<0，下列說(shuō)法中正確的是(AC)A.