離散時間系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)

§7.5離散時間系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)一、求系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)(1)離散時間系統(tǒng)(n)h(n)單位脈沖響應(yīng)h[k]定義?h[k]的求解等效初始條件法迭代法階躍響應(yīng)g[k]的求解單位脈沖響應(yīng)h[k]定義單位脈沖序列[k]作用于離散時間LTI系統(tǒng)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位脈沖響應(yīng),用符號h[k]表示。對N階LTI離散時間系統(tǒng)，h[k]滿足方程n

m

ai

h[k

i]

bj

[k

j]i0

j

0h[k]的求解求解方法:迭代法等效初始條件法將[k-j]對系統(tǒng)的瞬時作用則轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的等效初始條件。等效初始條件由差分方程和h[1]=h[2]==h[n]=0遞推求出。例1

若描述某離散時間LTI系統(tǒng)的差分方程為y[k

]

3y[k

1]

2

y[k

2]

f

[k

]求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]。解：h[k]滿足方程h[k

]

3h[k

1]

2h[k

2]

[k

]1)求等效初始條件對于因果系統(tǒng)有h[1]=h[2]=0，代入上面方程可推出h[0]

[0]

3h[1]

2h[2]

1h[1]

[1]

3h[0]

2h[1]

3可以選擇h[0]和h[1]或h[1]和h[0]作為初始條件注意：選擇初始條件的基本原則是必須將[k]的作用體現(xiàn)在初始條件中.且必須以n為連續(xù)值的一組

y(n)條件給出。2)求差分方程的齊次解特征方程為特征根為齊次解的表達(dá)式為

3r

2

0r

2r1

1,

r2

2kk2)211)

C

(h[k]

C

(21

2代入初始條件，有

h[1]

C

1

C

0h[0]

C1

C2

1解得C1=-1，C2=2h[k

]

(1)k

2(2)k

k

0單位階躍響應(yīng)單位階躍序列u[k]作用在離散時間LTI系統(tǒng)上產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，用符號g[k]表示。求解方法：k迭代法經(jīng)典法利用單位階躍響應(yīng)與單位脈沖響應(yīng)的關(guān)系g[k

]

h[n]nh[k]=g[k]g[k1]kkg[k

]

(1)n

2

(2)nn0n06k(2)

]u[k

](1)k

4

12

3

[例2

求例1所述系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)g[k]。解:

例1所述系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h[k]=[(1)k+2(2)k]u[k]利用h[k]與g[k]的關(guān)系，可得(利用p372附錄4中1號公式)a

11

a1

ak

1ka

n0n1

2

2

3h(0)

1,

h(1)

5,h2

(

n

)

3h1

(

n

2

)

3[3

n

1

2

n

1

]u

(

n

2

)利用LTIh(n)

h1

(n)

h2

(n)

(3n1

2n1

)u(n)

3(3n1

2n1

)u(n

2)n

nC

32C1

2,

C2

31

1h

(n

)

C

2

1n

1n

1

2

)u(n)h

(n)

(3例3(例7－14):y(n)5y(n

1)6y(n

2)

x(n)3x(n

2)首先只考慮x(n)激勵再考慮－3x(n

2)的激勵求系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)(2)利用已知的階躍響應(yīng)求單位沖激響應(yīng)h(n)例4:已知因果系統(tǒng)是一個二階常系數(shù)差分方程，并已知當(dāng)x(n)=u(n)時的響應(yīng)為：g(n)

(2n

35n

10)u(n)求系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)若系統(tǒng)為零狀態(tài)，求此二階差分方程2y

(

n

)

a1

y

(

n

1)

a

2

y

(

n

2)

br

x

(

n

r

)r

0解

設(shè)此二階系統(tǒng)的差分方程的一般表達(dá)式為：1

2

a

a

0

2

14

(n)

(

1

2n

12

5n

)u(n

1)特征根：2

51

2

2

522

a

1

a

2

(

2

)(

5

)

7

10

a1

7

a2

10由g(n)

求h(n)35n

10)u(n

1)g(n)

(2

n

3

5n

10)u(n)g(n

1)

(2n1

3

5n1

10)u(n

1)g(n)

(2n

35n

10)[u(n)

u(n

1)]

(2n

(n)

u(n)

u(n

1)

h(n)

g(n)

g(n

1)h(n)

7h(n

1)

10h(n

2)

b0

(n)

b1

(n

1)

b2

(n

2)b0

14b1

98

13

85b3

62

7

13

10

14

111n

0

h(0)

14n

1

h(1)

13n

2

h(n)

622h

(n

)

14

(n

)

(

1

2

n

12

5

n

)u

(n

1)5h(2)

62h(0)

14

h(1)

13

y(n)

7

y(n

1)

10

y(n

2)

14

x(n)

85

x(n

1)

111x(n

2)h(1)

7h(0)

10h(1)

14(1)

b1(0)

b2

(1)13

7

14

0

0

b1(0)

0二、根據(jù)單位樣值響應(yīng)分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果性：輸入變化不領(lǐng)先于輸出變化必要條件穩(wěn)定性：輸入有界則輸出必定有界(BIBO)充分條件n

0

h(n)

0n

h

(

n

)

例5:p40.7

28以下各序列是系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)h(n)，試分別討論各系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。解:1.(n)因果、穩(wěn)定(n

5)因果、穩(wěn)定(n

4)非因果、穩(wěn)定4.u(n)因果、非穩(wěn)定5.u(n

3)因果、非穩(wěn)定6.2n

u(n)因果、非穩(wěn)定7.3n

u(n)非因果、穩(wěn)定8.0.5n

u(n)因果、穩(wěn)定9.

1

u(n)因果、穩(wěn)定n10.1

u(n)因果、穩(wěn)定n!問：它是否是因果系統(tǒng)？是否是穩(wěn)定系統(tǒng)？例6:已知某系統(tǒng)的

h

(

n

)

a

n

u

(

n

)是因果系統(tǒng)

nn

n1

a

a

11a

1

h(n)

a

u(n)

1

a1

ak

1有界穩(wěn)定發(fā)散不穩(wěn)定答:

n

0

u(n)

0

h(n)

anu(n)

0例7:y(n)

1

y(n

1)

x(n)

2x(n

1)3x(n

2)5求系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)h(n)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性解:

1

h(n)

C(

1

)

n

n

25

55

25955

u

(

n

2

)1

n

(

n

1)

66

h

(

n

)

(

n

)

5n

266

(

0

.2

)

nn

0h

(

n

)

1

9

穩(wěn)定系統(tǒng)5h(0)

1,

h(1)

9

h(2)

66

C

66h(0)

1

h(0

1)

(0)

(0

1)

3

(0

2)例8

判斷M1+M2+1點(diǎn)滑動平均系統(tǒng)是否是因果系統(tǒng)。(M1

,

M

2

0)解：M1+M2+1點(diǎn)滑動平均系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為11

2M

2f

[k

n]y[k

]

M

M

1n

M1系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為121M

2h[k

]

M

M

1n

M1

[k

n]0h[k]

M

2

k

M1其它1/(M

M

2

1)1顯然，只有當(dāng)M2

=0時，才滿足h[k]=0,k<0的充要條件。即當(dāng)M2

=0時，系統(tǒng)是因果的。例9

判斷M1+M2+1點(diǎn)滑動平均系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：由例8可知，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為0h[k]

M

2

k

M1其它1/(M

M

2

1)111

1M1k

k

M

2M1

M

2

h[k

]

由連續(xù)時間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件可以判斷出該系統(tǒng)穩(wěn)定。對h[k]求和，可得j

0:

y

(

k

)

e

(

j

)

h

(

k

j

)LDTISLTIS

:

y

(t

)

e

(

)

h

(t

)

d

0任意序列都可以表示單位取樣序列的移位加權(quán)和：x(k)

x(

j)

(k

j)j

§7.6.卷積和.用卷積和求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)k(k)LDTISLDTISjk0c(k

j)kh(k)jch(k

j)

(k

)

h(k

)c

(k

)

ch(k

)c

(k

j)

ch(k

j)x(k)

x(

j)

(k

j)j

y(k)

x(

j)h(k

j)j二.卷積和的計(jì)算圖解法按公式計(jì)算序列陣表格法查表法利用單位序列信號求卷積利用卷積的性質(zhì)求卷積圖解法計(jì)算卷積和f[n]

h[n]

f[m]h[n

m]m卷積和定義為計(jì)算步驟:將f

[n]、h[n]中的自變量由n改為m；把其中一個信號翻轉(zhuǎn)，如將h[m]翻轉(zhuǎn)得h[-m]；把h[-m]平移n,n是參變量.n>0圖形右移,n<0圖形左移。將f

[m]與h[n-m]重疊部分相乘；對乘積后的圖形求和。圖解法計(jì)算卷積和的動態(tài)演示mh(n)*mx(m)m例1:P32:例7－151.圖解法：例.某系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)是h(n)

an

u(n),其中0

a

1,若激勵信號為G

N

(n)即x(n)

u(n)

u(n

N),求響應(yīng)y(n)?解:

y(n)

x(m)h(n

m)

[u(m)

u(m

N)]a

nm

u(n

m)mh(m)h(nm)m折迭：h(m)是將h(m)依縱軸反折后得到的。m位移：h(n

m)是將h(m)沿m軸右移

n得到的。4m

0y

(

4

)

x

(

0

)

h

(

4

)

x

(1)

h

(

3

)

x

(

2

)

h

(

2

)

x

(

3

)

h

(1)

x

(

4

)

h

(

0

)

x

(

m

)

h

(

4

m

)3

.相乘：如

n

4時

h

(

4

m

)5.求和式0

n

N

1m0m0nanm

an

am0y(n)

nn

0時1],

N

N

11

aa

[1

a

Nn例2

已知f

[k]=u[k],

h[k]=aku[k],0<a<1,

計(jì)算y[k]=f[k]*h[k]0knh

[k

]或h[n

]10knf

[k

]或f

[n

]10nh

[

-

n

]1k

0,f

[n]與h

[k-n]圖形沒有相遇1nf

[

n

]h

[

k

-

n

]

,

k

<

0nf

[

n

]k1h

[

k

-

n

]

,

k

010y

[

k

]k

0k

0,

f

[n]與h[k-n]圖形相遇y[k]=0ky[k

]

a

k

nn00

otherwiseR

[k

]

1N例3N

N0

k

N

1計(jì)算y[k]=R [k]*

R [k]。knN-10RN[k]

或RN[k]1n-(N-1)1RN[-n]nN-100RN[n]k-(N-1)kRN[k

-n]

,

k

<

01?k

0時,RN

[n]與RN

[k-n]圖形沒有相遇y[k]=0nN-101NR

[n]k-(N-1)knN-11RN[n]0

k-(N-1)kRN[k

-n]

,

N

1

k

2N

2N-1kRN[k]*RN[k]2N-20

1

2

3N4321?0

k

N

1時,重合區(qū)間為[0，k]RN[k

-n]

,

0

k

N

1y[k

]

1

k1kn0?N1

k

2N

2時,重合區(qū)間為[(N1)+k，N1]y[k

]

N

11

2N

1

knk

(

N

1)?k2N2時,N

NR

[n]與R

[k-n]圖形不再相遇y[k]

=02.序列陣表格法(排表法）例4:已知f(k)和h(k)如圖所示，試用幾種不同的方法求卷積和y(k)并驗(yàn)證之。f

(k

)k0211*k01

24h(k)21常采用的方法為表格的頂端序列以f

(k)表示，左面

邊界縱排序列以h(k)表示，表中所記錄的數(shù)字相應(yīng)于

f

(k)與h(k)所標(biāo)數(shù)的乘積，為求卷積，只要將對角線上的數(shù)值迭加即可。f

(k)h(k)20-1021000040-22-1y(k)

0，4，2，-2,

-1排表法yc

f3

h3

1f

(k

)h(2)h(3)h(1)h(k

)h(0)h(3)

f

(0)

h(3)

f

(1)

h(3)

f

(2)

h(3)

f

(3)h(2)

f

(0)

h(2)

f

(1)

h(2)

f

(2)

h(2)

f

(3)h(1)

f

(0)

h(1)

f

(1)

h(1)

f

(2)

h(1)

f

(3)f

(0)

f

(1)

f

(2)

f

(3)h(0)

f

(0)

h(0)

f

(1)

h(0)

f

(2)

h(0)

f

(3)y(0)

h(0)f

(0)y(1)

h(0)f

(1)

h(1)f

(0)y(2)

h(0)f

(2)

h(1)f

(1)

h(2)f

(0)y(3)

h(0)f

(3)

h(1)f

(2)

h(2)f

(1)

h(3)f

(0)......2

0

1

0

2

1

2

0

14

0

20

0

00

4

2

2

1不進(jìn)位乘法y(k

)

0,4,2,2,1*以矩陣相乘的形式出現(xiàn)

1

2

4

2

0

00

0

00

1

2

10

2

00

0

0

000200020

1020

10

2y(k

)

0,4,2,2,1mLLn=mn(m,

L).(L.n)

(m.n)3.單位序列卷積法f

(k)

2

(k)

(k

2)*h(k)

2

(k

1)

(k

2)y

(k

)

2

(k

)

(k

2)*

2

(k

1)

(k

2)

4

(k

1)

2

(k

2)

2

(k

3)

(k

4)4.查卷積和表(p34;表7－1）*撿驗(yàn)卷積結(jié)果正確與否的方法a.參與卷積的兩序列的各項(xiàng)之和的乘積是否等于所得序列各項(xiàng)之和？n

kn

f

n

k

1

n

fk

0

k

0

k

0f

(

k

)

h

(

k

)y

(

k

)

0

4

2

2

1

(2

0

1)(

0

2

1)

3b

.由

y

(

k

)和

f

(

k

)反求

h

(

k

),

若與已知條件相符y

(k

)便是正確的。h(k

)*

f

(k

)

y(k

)h(k

)

f

1

(k

)*

y(k

)0

2

12

0

14

2

24

0

22

0

1

2

0

1

0h(k)0

4

2

2

10

0

0

ix1

(n)

x2

(n)

[

x1

(i)]x2

(n)＝x1

(n)

x2

(i)n

n

n

n已知：x1

(n)

n[(u(n)

u(n

6)];x2

(n)

u(n

6)

u(n

1)求：s(n)

x1

(n)

x2

(n)解：

x1

(i)

i[u(i)

u(i

6)]

i

ii

i0

i0

i6應(yīng)用雜級數(shù)12dfd

2

fdt

dt

1it

f2

(

)d

t

t

f2

(

)d4.利用差分性質(zhì)求卷積f1

f2例5:21

23

...

n

1

n(n

1)u(n)n

n

nx1(n)

i

ii

i0

i61

n(n

1)u(n)

[1

n(n

1)

(1

23

45)]u(n

6)2

2

1

n(n

1)[u(n)

u(n

6)]

15u(n

6)n22x

2

(

n

)

[u

(

n

6)

u

(

n

1)]

(n

6)

(n

1)s(n

)

x

1

(

n

)

*

x

2

(n

)

x

1

(i)

x

2

(n

)

i

1{

n(n

1)[u(n)

u(n

6)]

15u(n

6)}[

(n

6)

(n

1)]21

1

(n

1)(n

2)[u(n

1)

u(n

5)]

{

(n

6)(n

7)[u(n

6)

u(n)]

15[u(n)

u(n

1)]

25.用函數(shù)式計(jì)算卷積s(n)

x1

(n)

x2

(n)

m[u(m)

u(m

6)][u(n

m

6)

u(n

m

1)]m

mu

(m)u

(n

m

6)

mu

(m)u

(n

m

1)m

m

mu

(m

6)u

(m

6)u

(n

m

6)

mu

(m

6)u

(n

m

1)m

n

1?2n6m0mu(m)u(n

m6)

m

(n

6)(n7)u(n6)m62m0mn1mu(m)u(n

m

1)

m

1

(n

1)(n

2)u(n

1)12n6m6mu(m

6)u(n

m

6)

m

[ (n

6)(n

7)

15]u(n)m2m6mn1[mu(m

6)u(n

m

1)]

m

[

1

(n

1)(n

2)

15]u(n

5)2s(n)

1

(n

6)(n

7)[u(n

6)

u(n)]215[u(n)

u(n

5)]

1

(n

1)(n

2)[u(n

1)

u(n

5)]由上限n

6

0三.卷積和的性質(zhì)交換律：

e

(

k

)

*

h

(

k

)

h

(

k

)

*

e

(

k

)分配律:e1

(k)

e2

(k)*

h(k)

e1

(k)

h(k)

e2

(k)*

h(k)結(jié)合律：[e(k

)*

h1

(k

)]*

h2

(k

)

e(k

)*[h1

(k

)*

h2

(k

)]卷積和的差分y(k

)

e(k

)*

h(k

)

e(