蘇教版選擇性必修第一冊(cè)4.3.3 等比數(shù)列 課件（2份打包）

第第頁(yè)蘇教版選擇性必修第一冊(cè)4.3.3等比數(shù)列課件（2份打包）(共47張PPT)

第4章數(shù)列

第二課時(shí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用

課標(biāo)要求

1.熟練應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)解題.2.能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題.

素養(yǎng)要求

通過(guò)利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材

必備知識(shí)探究

內(nèi)容

索引

互動(dòng)合作研析題型

關(guān)鍵能力提升

拓展延伸分層精練

核心素養(yǎng)達(dá)成

WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU

問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究

1

一、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

1.思考類(lèi)比等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的問(wèn)題，等比數(shù)列是否也有相似的性質(zhì)？

2.填空(1)性質(zhì)一：若Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，則數(shù)列{an}是______數(shù)列.

等比

q

溫馨提醒等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)分為三類(lèi)：第一類(lèi)是項(xiàng)數(shù)的“奇、偶”性，主要描述數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之間的關(guān)系；第二類(lèi)是“片段和”性質(zhì)：一個(gè)等比數(shù)列依次等項(xiàng)數(shù)之和也成等比；第三類(lèi)是“相關(guān)和”性質(zhì)，即Sn＋m＝Sn＋qnSm.因此，在運(yùn)用性質(zhì)時(shí)，一定要認(rèn)清條件適合用哪一條性質(zhì)，以免出錯(cuò).

3.做一做思考辨析，判斷正誤

√

√

√

×

二、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用

1.思考日常生活中的增長(zhǎng)率、利潤(rùn)、利息、濃度匹配、養(yǎng)老保險(xiǎn)等問(wèn)題都與等比數(shù)列及其求和知識(shí)有關(guān)，如何解決這類(lèi)問(wèn)題？

提示解答這些問(wèn)題時(shí)，應(yīng)在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上先將問(wèn)題數(shù)學(xué)化，然后再函數(shù)化，最后數(shù)列化，即用數(shù)列的知識(shí)和方法求解實(shí)際問(wèn)題.

2.填空(1)解等比數(shù)列模型的求和應(yīng)用題，一是直接運(yùn)用公式求和；二是由特例入手，歸納總結(jié)一般情形，進(jìn)而建立____________________，再求其和；三是尋找遞推公式，把它轉(zhuǎn)化為數(shù)列的問(wèn)題.

(2)解等差數(shù)列、等比數(shù)列應(yīng)用題時(shí)，首先要認(rèn)真審題，深刻理解問(wèn)題的實(shí)際背景，理清蘊(yùn)含在語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)中的______數(shù)列、______數(shù)列問(wèn)題，使關(guān)系明朗化、標(biāo)準(zhǔn)化，然后用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)求解.在建模時(shí)要明確是求n，an，還是Sn.

等比數(shù)列求和的模型

等差

等比

C

3.做一做中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地……”，則該人最后一天走的路程為()

A.24里B.12里C.6里D.3里

HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG

互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升

2

例1等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S2＝7，S6＝91，則S4為()

A.28B.32

C.21D.28或－21

A

題型一等比數(shù)列的連續(xù)n項(xiàng)之和的性質(zhì)

解析∵{an}為等比數(shù)列，∴S2，S4－S2，S6－S4也為等比數(shù)列，

即7，S4－7，91－S4成等比數(shù)列，

∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.

∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，

∴S4＝28.

遷移1將例題中的條件“S2＝7，S6＝91”改為“各項(xiàng)都為正數(shù)，Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值.

解設(shè)S2n＝x，S4n＝y(tǒng)，則2，x－2，14－x，y－14成等比數(shù)列，

遷移2將例題中條件“S2＝7，S6＝91”改為“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值.

法二設(shè)b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，

b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，

b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99，

則b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56，

∴b1(1＋q＋q2)＝56.

函數(shù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn(且Sn≠0)，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn(q≠－1).

思維升華

訓(xùn)練1在等比數(shù)列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.

法二∵{an}為等比數(shù)列，顯然公比不等于－1，

∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數(shù)列，

例2已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{an}，全部項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，前3項(xiàng)之積為64，求該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.

題型二等比數(shù)列的不連續(xù)n項(xiàng)和的性質(zhì)

解設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，全部奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)之和分別記為S奇，S偶，由題意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.

思維升華

訓(xùn)練2已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)是1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).

解設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*).

∴2n＝256，∴n＝8，

即公比q＝2，項(xiàng)數(shù)n＝8.

B

題型三等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用

A.2B.3C.4D.1

(1)解應(yīng)用問(wèn)題的核心是建立數(shù)學(xué)模型.

(2)一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型.

(3)注意問(wèn)題是求什么(n，an，Sn).

思維升華

訓(xùn)練3一個(gè)熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度，在以后的每一分鐘內(nèi)，它上升的高度都是它在前一分鐘內(nèi)上升高度的80%.這個(gè)熱氣球上升的高度能超過(guò)125m嗎？

課堂小結(jié)

1.牢記1個(gè)知識(shí)點(diǎn)

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì).

2.掌握2種方法

(1)應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)時(shí)運(yùn)用整體思想.

(2)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.

3.注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)

對(duì)于某些數(shù)列問(wèn)題，必須充分挖掘題目中隱含的條件(如n是奇數(shù)還是偶數(shù))，若忽略這些隱含條件將導(dǎo)致錯(cuò)誤.

TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG

拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成

3

1.已知一個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為1011，偶數(shù)項(xiàng)之和為2022，則這個(gè)數(shù)列的公比為()

A.8B.－2C.4D.2

D

2.已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項(xiàng)之和是奇數(shù)項(xiàng)之和的2倍，又它的首項(xiàng)為1，且中間兩項(xiàng)的和為24，則此等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()

A.6B.8C.10D.12

B

C

ABD

5.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬.”馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問(wèn)各出幾何？此問(wèn)題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說(shuō)：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說(shuō)：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？此問(wèn)題中1斗為10升，則牛主人應(yīng)償還粟的升數(shù)()

D

6.正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S30＝13S10，S10＋S30＝140，則S20等于________.

40

7.一個(gè)球從256米的高處自由落下，每次著地后又跳回到原來(lái)高度的一半，則當(dāng)它第6次著地時(shí)，共經(jīng)過(guò)的路程是________米.

752

得210(S30－S20)＝S20－S10.

又S10，S20－S10，S30－S20成等比數(shù)列，

9.已知等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，其和為255，且偶數(shù)項(xiàng)的和比奇數(shù)項(xiàng)的和大85，首項(xiàng)a1＝1，求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).

10.(1)設(shè)數(shù)列{xn}滿(mǎn)足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，記{xn}的前n項(xiàng)和為Sn，求S20；

解(1)∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，

∴xn＋1＝2xn，且xn>0，

∴{xn}為等比數(shù)列，且公比q＝2，

∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10250.

(2)設(shè)數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求ba1＋ba2＋ba3＋…＋ba6.

解設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝2.

11.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，則S12等于()

A.40B.60C.32D.50

B

解析由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4，8，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.

12.若數(shù)列{xn}滿(mǎn)足lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x100＝100，則lg(x101＋x102＋…＋x200)的值等于()

A.200B.120C.110D.102

D

13.某企業(yè)出資1000萬(wàn)元用于一個(gè)高科技項(xiàng)目，每年可獲利25%，由于企業(yè)間競(jìng)爭(zhēng)激烈，每年年底需要從利潤(rùn)中取出200萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)研發(fā)與廣告出資方能保持原有的利潤(rùn)增長(zhǎng)率.問(wèn)經(jīng)過(guò)多少年后，該項(xiàng)目的資金可以達(dá)到或超過(guò)翻兩番(4倍)的目標(biāo)？(取lg2≈0.3)

解設(shè)該項(xiàng)目n年后資金數(shù)為an，n∈N*.

則由已知得an＋1＝an(1＋25%)－200，

∵lg2≈0.3，∴不等式化為0.1n≥1.2，∴n≥12.

故經(jīng)過(guò)12年后，該項(xiàng)目資金可達(dá)到或超過(guò)翻兩番的目標(biāo).

本課結(jié)束(共51張PPT)

第4章數(shù)列

4.3.3等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

第一課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

課標(biāo)要求

1.探索并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.

素養(yǎng)要求

在探索等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).

問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材

必備知識(shí)探究

內(nèi)容

索引

互動(dòng)合作研析題型

關(guān)鍵能力提升

拓展延伸分層精練

核心素養(yǎng)達(dá)成

WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU

問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究

1

一、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

1.思考設(shè){an}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，試推導(dǎo)Sn.

提示法一(錯(cuò)位相減法)Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1①.

在①式兩邊同乘q，得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn②.

由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，

2.填空

溫馨提醒(1)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法一采用的是錯(cuò)位相減法，就是在前n項(xiàng)和式子的兩邊同乘公比，通過(guò)相減，可以抵消相同的項(xiàng)，從而得到等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn.這種方法一般適用于數(shù)列{anbn}前n項(xiàng)和的求解，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，且q≠1.

(2)當(dāng)q＝1時(shí)，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式不能用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)，因?yàn)榇藭r(shí)等比數(shù)列是常數(shù)列，所以Sn＝na1.

B

由此可見(jiàn)，非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是一個(gè)關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)與一個(gè)常數(shù)的和，且指數(shù)型函數(shù)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為_(kāi)_______.

(2)當(dāng)公比q＝1時(shí)，因?yàn)閍1≠0，所以Sn＝na1是關(guān)于n的________函數(shù)(常數(shù)項(xiàng)為0的一次函數(shù))，則數(shù)列S1，S2，S3，…，Sn，…的圖象是正比例函數(shù)y＝a1x圖象上的一群孤立的點(diǎn).

相反數(shù)

正比例

溫馨提醒我們可以得到利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和判斷數(shù)列{an}是否為等比數(shù)列的變形：Sn＝Aan＋B(a≠0，a≠1，AB≠0)，且A＋B＝0.

3.做一做如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)，那么數(shù)列{an}________等比數(shù)列.(填“是”或“不是”).

是

HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG

互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升

2

題型一等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用

遷移1設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝3a3，求此數(shù)列的公比q.

遷移2在等比數(shù)列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.

思維升華

(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.

例2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n－2，求{an}的通項(xiàng)公式，并判斷{an}是否是等比數(shù)列.

題型二等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征應(yīng)用

解當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.

當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝31－2＝1不適合上式.

法一由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，顯然a1，a2，a3不是等比數(shù)列，

故{an}不是等比數(shù)列.

法二由等比數(shù)列{bn}的公比q≠1時(shí)的前n項(xiàng)和Sn＝A·qn＋B滿(mǎn)足的條件為A＝－B，對(duì)比可知Sn＝3n－2，－2≠－1，

故{an}不是等比數(shù)列.

思維升華

訓(xùn)練2若{an}是等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn＝3n－1＋t，則t＝________.

題型三利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和

例3設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.

(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

思維升華

訓(xùn)練3求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).

課堂小結(jié)

1.牢記2個(gè)公式

課堂小結(jié)

2.掌握2種方法

(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的基本量法.

(2)錯(cuò)位相減法.

3.注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)

前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用中，注意前n項(xiàng)和公式要分類(lèi)討論，即當(dāng)q≠1和q＝1時(shí)是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情況.

TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG

拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成

3

1.設(shè)數(shù)列{(－1)n}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn等于()

D

2.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，前3項(xiàng)和為21，則a3＋a4＋a5等于()

A.33B.72C.84D.189

C

解析由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，

得q2＋q－6＝0.∵q>0，∴q＝2.

∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝q2·S3＝22×21＝84.

3.等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，則a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝()

B

C

BD

32

3n－1

2n－1

9.在等比數(shù)列{an}中，a2－a1＝2，且2a2為3a1和a3的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公比及前n項(xiàng)和.

解②得q＝3或q＝1.

由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合題意，應(yīng)舍去.故公比q＝3，首項(xiàng)a1＝1.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn＝an·3n，求