第二章一元線性回歸模型概論課件

單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型

理論與方法

TheoryandMethodologyofSingle-EquationEconometricModel

單方程模型的特點(diǎn)：模型中只包含一個(gè)方程是應(yīng)用最廣泛的模型是聯(lián)立方程模型理論與方法的基礎(chǔ)第二章經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：

一元線性回歸模型

回歸分析概述一元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)一元線性回歸模型檢驗(yàn)一元線性回歸模型預(yù)測(cè)實(shí)例§2.1回歸分析概述

IntroductiontoRegressionAnalysis一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念二、總體回歸函數(shù)三、隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)四、樣本回歸函數(shù)一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念1、變量間的關(guān)系經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系，大體可分為兩類(lèi)：確定性關(guān)系或函數(shù)關(guān)系：研究的是確定現(xiàn)象非隨機(jī)變量間的關(guān)系。

統(tǒng)計(jì)依賴或相關(guān)關(guān)系：研究的是非確定現(xiàn)象隨機(jī)變量間的關(guān)系。例如：

函數(shù)關(guān)系：統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系/統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系：對(duì)變量間統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系的考察主要是通過(guò)

相關(guān)分析(correlationanalysis)

或回歸分析(regressionanalysis)來(lái)完成的：

因果關(guān)系，是指兩個(gè)或兩個(gè)以上變量在行為機(jī)制上的依賴性，作為結(jié)果的變量是由作為原因的變量所決定的，原因變量的變化引起結(jié)果變量的變化。因果關(guān)系具有單向因果關(guān)系和互為因果關(guān)系之分。例如：勞動(dòng)力與國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值之間具有單向因果關(guān)系，在經(jīng)濟(jì)行為上是勞動(dòng)力影響國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值，而不是相反；在國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值與消費(fèi)總額之間則存在經(jīng)濟(jì)行為上的互為因果關(guān)系，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值既決定消費(fèi)總額，反過(guò)來(lái)又受消費(fèi)拉動(dòng)。回歸分析與相關(guān)分析的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系回歸分析建立在相關(guān)分析和因果關(guān)系分析基礎(chǔ)之上，都是研究變量之間的相互關(guān)系區(qū)別（1）從研究目的看，相關(guān)分析是測(cè)定變量之間關(guān)系的密切程度和變量變化的方向；回歸分析對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的變量建立數(shù)學(xué)方程（回歸模型）描述變量之間具體的變動(dòng)關(guān)系，通過(guò)控制或給定自變量的數(shù)值來(lái)估計(jì)或預(yù)測(cè)應(yīng)變量可能的數(shù)值。（2）從對(duì)變量的處理看，相關(guān)分析對(duì)稱地處理變量，不考慮二者的因果關(guān)系，而回歸分析對(duì)變量的處理是不對(duì)稱的；相關(guān)分析中的變量都作為隨機(jī)變量，而在回歸分析中，假定解釋變量是非隨機(jī)的，應(yīng)變量是隨機(jī)變量。回歸分析是關(guān)于一個(gè)變量（被解釋變量或應(yīng)變量）與另一個(gè)或多個(gè)變量（解釋變量或自變量）之間依存關(guān)系的研究。其目的是要根據(jù)已知的解釋變量的值去估計(jì)應(yīng)變量的值?；貧w分析是在相關(guān)分析和因果關(guān)系分析的基礎(chǔ)上，去研究解釋變量對(duì)被解釋變量的影響。只有存在相關(guān)關(guān)系的變量才能進(jìn)行回歸分析，相關(guān)程度愈高，回歸測(cè)定的結(jié)果愈可靠。具有因果關(guān)系的變量之間具有數(shù)學(xué)上的相關(guān)關(guān)系，而具有相關(guān)關(guān)系的變量之間并不一定具有因果關(guān)系。因果關(guān)系的判定或推斷必須依據(jù)經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)的相關(guān)理論。2、回歸分析的基本概念

回歸分析是研究一個(gè)變量關(guān)于另一個(gè)（些）變量的具體依賴關(guān)系的計(jì)算方法和理論。這里前一個(gè)變量被稱為被解釋變量（ExplainedVariable）或應(yīng)變量（DependentVariable），后一個(gè)（些）變量被稱為解釋變量（ExplanatoryVariable）或自變量（IndependentVariable）。由于變量間關(guān)系的隨機(jī)性，回歸分析關(guān)心的是根據(jù)解釋變量的已知或給定值，考察被解釋變量的總體均值，即當(dāng)解釋變量取某個(gè)確定值時(shí)，與之統(tǒng)計(jì)相關(guān)的被解釋變量所有可能出現(xiàn)的對(duì)應(yīng)值的平均值。回歸分析構(gòu)成計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的方法論基礎(chǔ)，其主要內(nèi)容包括：（1）根據(jù)樣本觀察值對(duì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，求得回歸方程；（2）對(duì)回歸方程、參數(shù)估計(jì)值進(jìn)行檢驗(yàn)；（3）利用回歸方程進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)及預(yù)測(cè)。例2.1：一個(gè)假想的社區(qū)有99戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月家庭消費(fèi)支出Y與每月家庭可支配收入X的關(guān)系。即如果知道了家庭的月收入，能否預(yù)測(cè)該社區(qū)家庭的平均月消費(fèi)支出水平。為達(dá)到此目的，將該99戶家庭劃分為組內(nèi)收入差不多的10組，以分析每一收入組的家庭消費(fèi)支出（表2.1）。二、總體回歸函數(shù)表中表明：對(duì)于同一等級(jí)的收入水平，有不同的消費(fèi)支出。如何考慮Y與X的關(guān)系呢？由于不確定因素的影響，對(duì)同一收入水平X，不同家庭的消費(fèi)支出不完全相同；但由于調(diào)查的完備性，給定收入水平X的消費(fèi)支出Y的分布是確定的，即以X的給定值為條件的Y的條件分布（Conditionaldistribution）是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。因此，給定收入X的值Xi，可得消費(fèi)支出Y的條件均值（conditionalmean）或條件期望（conditionalexpectation）：E(Y|X=Xi)。該例中：E(Y|X=800)=605

從散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：隨著收入的增加，消費(fèi)“平均地說(shuō)”也在增加，且Y的條件均值均落在一根正斜率的直線上。這條直線稱為總體回歸線。YX05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消費(fèi)支出Y（元）

注意這里所描述X與Y的表達(dá)式不是精確的表達(dá)式，而是Y的平均值（即條件期望）與X的平均關(guān)系。將總體因變量的條件期望表示為自變量的某種函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為總體回歸函數(shù)(PRF)，(populationregressionfunction)

總體回歸曲線的幾何意義：表示當(dāng)自變量給定時(shí)，因變量的條件期望值的軌跡，總體回歸函數(shù)實(shí)際上是概率性模型。三、隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)1、隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的引入

總體回歸函數(shù)說(shuō)明在給定的收入水平Xi下，該社區(qū)家庭平均的消費(fèi)支出水平。但對(duì)某一個(gè)別的家庭，其消費(fèi)支出可能與該平均水平有偏差。記由（2.1.2）式，個(gè)別家庭的消費(fèi)支出為：（2.1.3）式稱為總體回歸函數(shù)（方程）PRF的隨機(jī)設(shè)定形式。表明被解釋變量除了受解釋變量的系統(tǒng)性影響外，還受其他因素的隨機(jī)性影響。

由于方程中引入了隨機(jī)項(xiàng)，成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，因此也稱為總體回歸模型。⒉隨機(jī)誤差項(xiàng)的影響因素客觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象是十分復(fù)雜的，很難用有限個(gè)變量、某一種確定的形式來(lái)描述，這就是設(shè)置隨機(jī)誤差項(xiàng)的原因。隨機(jī)誤差項(xiàng)主要包括內(nèi)容：（1）未包含在模型中的變量的影響。隨機(jī)誤差項(xiàng)常作為未知影響因素的代表、無(wú)法取得數(shù)據(jù)的已知影響因素的代表、眾多細(xì)小影響因素的綜合代表。（2）變量的觀測(cè)誤差。（3）模型的設(shè)定誤差。（4）客觀現(xiàn)象的內(nèi)在隨機(jī)性。人類(lèi)行為的隨機(jī)性、社會(huì)環(huán)境和自然環(huán)境影響的隨機(jī)性，決定了經(jīng)濟(jì)變量的內(nèi)在隨機(jī)性。只能歸于隨機(jī)誤差項(xiàng)。⒊產(chǎn)生并設(shè)計(jì)隨機(jī)誤差項(xiàng)的主要原因理論的含糊性；數(shù)據(jù)的欠缺；節(jié)省原則。四、樣本回歸函數(shù)（SRF）⒈問(wèn)題的提出

由于總體的信息往往無(wú)法掌握，現(xiàn)實(shí)的情況只能是在一次觀測(cè)中得到總體的一組樣本。問(wèn)題是能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？例2.2：在例2.1的總體中有如下一個(gè)樣本，問(wèn)：能否從該樣本估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF？X800110014001700200023002600290032003500Y63893511551254140816501925206822662530家庭消費(fèi)支出與可支配收入的一個(gè)隨機(jī)樣本該樣本的散點(diǎn)圖（scatterdiagram)：

樣本散點(diǎn)圖近似于一條直線，畫(huà)一條直線以盡可能好地?cái)M合該散點(diǎn)圖，由于樣本取自總體，可以該線近似地代表總體回歸線。該線稱為樣本回歸線（sampleregressionlines），其函數(shù)形式記為：

注意：這里將樣本回歸線看成總體回歸線的近似替代⒉樣本回歸函數(shù)的隨機(jī)形式/樣本回歸模型

由于方程中引入了隨機(jī)項(xiàng)，成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型，因此也稱為樣本回歸模型。同樣地，樣本回歸函數(shù)也有如下的隨機(jī)形式：⒊回歸分析的主要目的根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF，估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF?！?.2一元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)

SimpleLinearRegressionModelandItsEstimation一、線性回歸模型及其普遍性二、線性回歸模型的基本假設(shè)三、一元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)四、最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)五、參數(shù)估計(jì)量的概率分布與隨機(jī)項(xiàng)方差的估計(jì)單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型分為兩大類(lèi)：

線性模型和非線性模型線性模型中，變量之間的關(guān)系呈線性關(guān)系非線性模型中，變量之間的關(guān)系呈非線性關(guān)系

一元線性回歸模型：只有一個(gè)解釋變量

i=1,2,…,nY為被解釋變量，X為解釋變量，0與1為待估參數(shù)，為隨機(jī)干擾項(xiàng)“回歸”一詞的由來(lái)

回歸分析最旱起源于生物學(xué)的研究，“回歸”最初是遺傳學(xué)中的一個(gè)名詞。1889年英國(guó)的生物學(xué)家兼統(tǒng)計(jì)學(xué)家F.Gallton和他的朋友K.Pearson收集了上千個(gè)家庭成員的身高、臂長(zhǎng)和腿長(zhǎng)的記錄。企圖尋找出子女們身高與父母?jìng)兩砀咧g關(guān)系的具體表現(xiàn)形式。根據(jù)1078個(gè)家庭的調(diào)查結(jié)果得到：

但從他們的研究結(jié)果來(lái)看，并非高的越長(zhǎng)越高，矮的越長(zhǎng)越矮（父母身高增加一個(gè)單位，而Y僅增加0.516個(gè)單位）。高個(gè)子父母的子女身高有低于其父母身高的趨勢(shì)，而矮個(gè)子父母的子女身高有高于其父母身高的趨勢(shì)，結(jié)論：父母所生子女有回歸于人類(lèi)平均身高的趨勢(shì)，故某人種的平均身高是相當(dāng)穩(wěn)定的?！?jiàn)1889年F.Gallton的論文《普用回歸定律》?；貧w的含義：任何變異的東西總有趨向于一般、平穩(wěn)的勢(shì)頭。后來(lái)人們將此種方法普遍用于尋找變量之間的規(guī)律。X為父母的身高，Y為成年子女的身高。一、線性回歸模型及其普遍性1、線性回歸模型的特征一個(gè)例子凱恩斯絕對(duì)收入假設(shè)消費(fèi)理論：消費(fèi)（C）是由收入（Y）唯一決定的，是收入的線性函數(shù)：

C=+Y(2.2.1)

但實(shí)際上上述等式不能準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)。原因:⑴消費(fèi)除受收入影響外，還受其他因素的影響⑵線性關(guān)系只是一個(gè)近似描述；⑶收入變量觀測(cè)值的近似性：收入數(shù)據(jù)本身并不絕對(duì)準(zhǔn)確地反映收入水平。因此，一個(gè)更符合實(shí)際的數(shù)學(xué)描述為：

C=+Y+

其中：是一個(gè)隨機(jī)誤差項(xiàng)，是其他影響因素的“綜合體”。線性回歸模型的特征：

⑴通過(guò)引入隨機(jī)誤差項(xiàng)，將變量之間的關(guān)系用一個(gè)線性隨機(jī)方程來(lái)描述，并用隨機(jī)數(shù)學(xué)的方法來(lái)估計(jì)方程中的參數(shù)；⑵在線性回歸模型中，被解釋變量的特征由解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)共同決定。2、線性回歸模型的普遍性

線性回歸模型是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的主要形式，許多實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中經(jīng)濟(jì)變量間的復(fù)雜關(guān)系都可以通過(guò)一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)處理，使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系。

回歸分析的主要目的是要通過(guò)樣本回歸函數(shù)（模型）SRF盡可能準(zhǔn)確地估計(jì)總體回歸函數(shù)（模型）PRF。

估計(jì)方法有多種，其種最廣泛使用的是普通最小二乘法（ordinaryleastsquares,OLS）。

為保證參數(shù)估計(jì)量具有良好的性質(zhì)，通常對(duì)模型提出若干基本假設(shè)。

二、線性回歸模型的基本假設(shè)

通常采用普通最小二乘法（OLS）估計(jì)線性回歸模型，為了保證OLS估計(jì)量具有良好的統(tǒng)計(jì)特性——線性、無(wú)偏性和有效性，對(duì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型給出四項(xiàng)基本假定。滿足這些基本假定，OLS估計(jì)量將具有優(yōu)良性，否則OLS方法不能使用，應(yīng)尋找其它估計(jì)方法。顯然，基本假定是針對(duì)OLS方法提出來(lái)的。

假設(shè)1、解釋變量X是確定性變量，不是隨機(jī)變量；

假設(shè)2、隨機(jī)誤差項(xiàng)具有零均值、同方差和不序列相關(guān)性：

E(i)=0i=1,2,…,n

Var(i)=2i=1,2,…,n

Cov(i,j)=0i≠ji,j=1,2,…,n

假設(shè)3、隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量X之間不相關(guān)：

Cov(Xi,i)=0i=1,2,…,n

假設(shè)4、服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布i~N(0,2)i=1,2,…,n線性回歸模型的基本假設(shè)

1、如果假設(shè)1、2滿足，則假設(shè)3也滿足;2、如果假設(shè)4滿足，則假設(shè)2也滿足。

以上假設(shè)也稱為線性回歸模型的經(jīng)典假設(shè)或高斯（Gauss）假設(shè)，滿足該假設(shè)的線性回歸模型，也稱為經(jīng)典線性回歸模型（ClassicalLinearRegressionModel,CLRM）。

重要提示幾乎沒(méi)有哪個(gè)實(shí)際問(wèn)題能夠同時(shí)滿足所有基本假設(shè)；通過(guò)模型理論方法的發(fā)展，可以克服違背基本假設(shè)帶來(lái)的問(wèn)題；違背基本假設(shè)問(wèn)題的處理構(gòu)成了單方程線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論方法的主要內(nèi)容：

異方差問(wèn)題（違背同方差假設(shè)）序列相關(guān)問(wèn)題（違背序列不相關(guān)假設(shè)）多重共線性問(wèn)題（違背解釋變量不相關(guān)假設(shè)）

0均植、正態(tài)性假設(shè)是由模型的數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論決定的。

另外，在進(jìn)行模型回歸時(shí)，還有兩個(gè)暗含的假設(shè)：

假設(shè)5：隨著樣本容量的無(wú)限增加，解釋變量X的樣本方差趨于一有限常數(shù)。即

假設(shè)6：回歸模型是正確設(shè)定的

假設(shè)5旨在排除時(shí)間序列數(shù)據(jù)出現(xiàn)持續(xù)上升或下降的變量作為解釋變量，因?yàn)檫@類(lèi)數(shù)據(jù)不僅使大樣本統(tǒng)計(jì)推斷變得無(wú)效，而且往往產(chǎn)生所謂的偽回歸問(wèn)題（spuriousregressionproblem）。假設(shè)6也被稱為模型沒(méi)有設(shè)定偏誤（specificationerror）三、一元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)普通最小二乘法OLS

（OrdinaryLeastSquare)

1．為了精確地描述Y與X之間的關(guān)系，用這兩個(gè)變量的每一對(duì)觀察值（n組觀察值），作Y與X的散點(diǎn)圖，方法很多，可用Eviews來(lái)畫(huà)。

2.觀察Y與X的散點(diǎn)圖是否存在直線關(guān)系或近似直線關(guān)系。如果是則設(shè)定為：

真實(shí)模型為：yi=β0+β1xi+μi

最小二乘法的核心是找一條直線（2.2.2)，使得所有這些點(diǎn)yi到該直線的縱向距離的和（平方和）最小——實(shí)際與理論抽象最接近。普通最小二乘法的思路yx縱向距離橫向距離距離A為實(shí)際點(diǎn)，B為擬合直線上與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)yixi三種距離最小二乘法的數(shù)學(xué)原理

距離是Y的實(shí)際值與擬合值之差，差異大,則擬合不好，差異小擬合好，所以稱為殘差、擬合誤差或剩余值。

“最好”直線就是使誤差平方和最小的直線。于是可以運(yùn)用求極值的原理，求出待定參數(shù)。數(shù)學(xué)推證

給定一組樣本觀測(cè)值（Xi,Yi）（i=1,2,…n）要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地?cái)M合這組值.

普通最小二乘法（Ordinaryleastsquares,OLS）給出的判斷標(biāo)準(zhǔn)是：二者之差的平方和最小。正規(guī)方程求解正規(guī)方程組得到結(jié)構(gòu)參數(shù)的普通最小二乘估計(jì)量（ordinaryleastsquaresestimators）及其離差形式：例2.3.1：在上述家庭可支配收入-消費(fèi)支出例中，對(duì)于所抽出的一組樣本數(shù)，參數(shù)估計(jì)的計(jì)算可通過(guò)下面的表2.3.1進(jìn)行。

因此，由該樣本估計(jì)的回歸方程為：

四、最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)當(dāng)模型參數(shù)估計(jì)出后，需考慮參數(shù)估計(jì)值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說(shuō)需考察參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。

一個(gè)用于考察總體的估計(jì)量，可從如下幾個(gè)方面考察其優(yōu)劣性：

（1）線性性，即它是否是另一隨機(jī)變量的線性函數(shù)；

（2）無(wú)偏性，即它的均值或期望值是否等于總體的真實(shí)值；

（3）有效性，即它是否在所有線性無(wú)偏估計(jì)量中具有最小方差。

這三個(gè)準(zhǔn)則也稱作估計(jì)量的小樣本性質(zhì)。

當(dāng)不滿足小樣本性質(zhì)時(shí)，需進(jìn)一步考察估計(jì)量的大樣本或漸近性質(zhì)：（4）漸近無(wú)偏性，即樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)，是否它的均值序列趨于總體真值；（5）一致性，即樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)，它是否依概率收斂于總體的真值；（6）漸近有效性，即樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)，是否它在所有的一致估計(jì)量中具有最小的漸近方差。結(jié)論：

普通最小二乘估計(jì)量具有線性性、無(wú)偏性、最小方差性等優(yōu)良性質(zhì)。具有這些優(yōu)良性質(zhì)的估計(jì)量又稱為最佳線性無(wú)偏估計(jì)量，即BLUE估計(jì)量（theBestLinearUnbiasedEstimators）。估計(jì)參數(shù)的方法還有：最大似然法(MaximumLikelihood)即按產(chǎn)生該樣本概率最大的原則確定模型參數(shù)的估計(jì)量。對(duì)于ML，當(dāng)從總體隨機(jī)抽取n組樣本觀測(cè)值后，最合理的參數(shù)估計(jì)量應(yīng)該使得從模型中抽取該n組樣本觀測(cè)值的概率最大。ML雖沒(méi)有OLS應(yīng)用普遍，但仍具有重要地位，在本層次教學(xué)中，不作要求。五、參數(shù)估計(jì)量的概率分布及隨機(jī)干擾項(xiàng)方差的估計(jì)2、隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差2的估計(jì)

由于隨機(jī)項(xiàng)i不可觀測(cè)，只能從i的估計(jì)——?dú)埐頴i出發(fā)，對(duì)總體方差進(jìn)行估計(jì)。

可以證明，2的最小二乘估計(jì)量為它是關(guān)于2的無(wú)偏估計(jì)量。

隨機(jī)誤差項(xiàng)方差的估計(jì)§2.3一元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

二、變量的顯著性檢驗(yàn)

三、參數(shù)的置信區(qū)間

回歸分析是要通過(guò)樣本所估計(jì)的參數(shù)來(lái)代替總體的真實(shí)參數(shù)，或者說(shuō)是用樣本回歸線代替總體回歸線。盡管從統(tǒng)計(jì)性質(zhì)上已知，如果有足夠多的重復(fù)抽樣，參數(shù)的估計(jì)值的期望（均值）就等于其總體的參數(shù)真值，但在一次抽樣中，估計(jì)值不一定就等于該真值。那么，在一次抽樣中，參數(shù)的估計(jì)值與真值的差異有多大，是否顯著，這就需要進(jìn)一步進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。主要包括擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、變量的顯著性檢驗(yàn)及參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。

一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

擬合優(yōu)度檢驗(yàn)：對(duì)樣本回歸直線與樣本觀測(cè)值之間擬合程度的檢驗(yàn)。

度量擬合優(yōu)度的指標(biāo)：判定系數(shù)（可決系數(shù)）R2

問(wèn)題：采用普通最小二乘估計(jì)方法，已經(jīng)保證了模型最好地?cái)M合了樣本觀測(cè)值，為什么還要檢驗(yàn)擬合程度？??????????????XY采用普通最小二乘法(OLS)估計(jì)方法,已經(jīng)保證了模型最好地?cái)M合樣本觀測(cè)值,為什么還要檢驗(yàn)擬合程度？普通最小二乘法(OLS)所保證的最好擬合，是同一個(gè)問(wèn)題內(nèi)部的比較；擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果所表示的優(yōu)劣，是不同問(wèn)題之間的比較。

1、總離差平方和的分解已知由一組樣本觀測(cè)值（Xi,Yi），i=1,2…,n得到如下樣本回歸直線

如果Yi=?i即實(shí)際觀測(cè)值落在樣本回歸“線”上，則擬合最好?？烧J(rèn)為，“離差”全部來(lái)自回歸線，而與“殘差”無(wú)關(guān)。

對(duì)于所有樣本點(diǎn)，則需考慮這些點(diǎn)與樣本均值離差的平方和,可以證明：記總體平方和（TotalSumofSquares）回歸平方和（ExplainedSumofSquares）殘差平方和（ResidualSumofSquares

）TSS=ESS+RSS

Y的觀測(cè)值圍繞其均值的總離差(totalvariation)可分解為兩部分：一部分來(lái)自回歸線(ESS)，另一部分則來(lái)自隨機(jī)勢(shì)力(RSS)。在給定樣本中，TSS不變，如果實(shí)際觀測(cè)點(diǎn)離樣本回歸線越近，則ESS在TSS中占的比重越大，因此

擬合優(yōu)度：回歸平方和ESS/Y的總離差TSS2、判定系數(shù)R2統(tǒng)計(jì)量

稱R2為（樣本）可決系數(shù)/判定系數(shù)（coefficientofdetermination)。

判定系數(shù)的取值范圍：[0，1]R2越接近1，說(shuō)明實(shí)際觀測(cè)點(diǎn)離樣本線越近，擬合優(yōu)度越高。

判定系數(shù)R2度量了回歸模型對(duì)Y的變動(dòng)解釋的比例。R2越大，說(shuō)明在Y的總變動(dòng)中由模型作出了解釋的部分占的比重越大，模型擬合優(yōu)度越高，模型的解釋功能越強(qiáng)。在例2.3.1的收入-消費(fèi)支出例中，

注：可決系數(shù)是一個(gè)非負(fù)的統(tǒng)計(jì)量。它也是隨著抽樣的不同而不同。為此，對(duì)可決系數(shù)的統(tǒng)計(jì)可靠性也應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn)，這將在第3章中進(jìn)行。

二、變量的顯著性檢驗(yàn)

回歸分析是要判斷解釋變量X是否是被解釋變量Y的一個(gè)顯著性的影響因素。在一元線性模型中，就是要判斷X是否對(duì)Y具有顯著的線性性影響。這就需要進(jìn)行變量的顯著性檢驗(yàn)。

變量的顯著性檢驗(yàn)所應(yīng)用的方法是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的假設(shè)檢驗(yàn)。

計(jì)量經(jīng)計(jì)學(xué)中，主要是針對(duì)變量的參數(shù)真值是否為零來(lái)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的。

1、假設(shè)檢驗(yàn)

所謂假設(shè)檢驗(yàn)，就是事先對(duì)總體參數(shù)或總體分布形式作出一個(gè)假設(shè)，然后利用樣本信息來(lái)判斷原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè)。

假設(shè)檢驗(yàn)采用的邏輯推理方法是反證法。先假定原假設(shè)正確，然后根據(jù)樣本信息，觀察由此假設(shè)而導(dǎo)致的結(jié)果是否合理，從而判斷是否接受原假設(shè)。判斷結(jié)果合理與否，是基于“小概率事件不易發(fā)生”這一原理的關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)的討論—如何建立假設(shè)為什么一般將需要檢驗(yàn)的命題作為備擇假設(shè)？1、從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度0假設(shè)必須包含“=”，備擇假設(shè)不能出現(xiàn)“=”犯第一類(lèi)錯(cuò)誤（棄真）的概率α小于犯第二類(lèi)錯(cuò)誤（取偽）的概率β。α可以準(zhǔn)確給定，而β不能準(zhǔn)確給定。2、從邏輯學(xué)角度通過(guò)樣本只能“證偽”，即拒絕0假設(shè)；不能“證實(shí)”，即接受0假設(shè)

2、變量的顯著性檢驗(yàn)

t檢驗(yàn):目的是檢驗(yàn)X是否為Y的自變量。

檢驗(yàn)步驟：

（1）對(duì)總體參數(shù)提出假設(shè)

H0：1=0，H1：10（2）以原假設(shè)H0構(gòu)造t統(tǒng)計(jì)量，并由樣本計(jì)算其值（3）給定顯著性水平，查t分布表，得臨界值t/2(n-2)

(4)比較，判斷若|t|>t/2(n-2)，即在（1-α)水平下拒絕原假設(shè)為：H0：β1=0，接受H1，則X的t檢驗(yàn)通過(guò)，說(shuō)明x為Y的自變量。

若|t|

t/2(n-2)，即在（1-α)水平下不能拒絕原假設(shè)為：H0：β1=0，則X的t檢驗(yàn)不通過(guò)。3、關(guān)于常數(shù)項(xiàng)的顯著性檢驗(yàn)T檢驗(yàn)同樣可以進(jìn)行。一般不以t檢驗(yàn)決定常數(shù)項(xiàng)是否保留在模型中，而是從經(jīng)濟(jì)意義方面分析回歸線是否應(yīng)該通過(guò)原點(diǎn)。對(duì)于一元線性回歸方程中的0，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)：

在上述收入-消費(fèi)支出例中，首先計(jì)算2的估計(jì)值

t統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果分別為：

給定顯著性水平=0.05，查t分布表得臨界值

t0.05/2(8)=2.306|t1|>2.306，說(shuō)明家庭可支配收入在95%的置信度下顯著，即是消費(fèi)支出的主要解釋變量；

|t0|>2.306,表明在95%的置信度下，拒絕截距項(xiàng)為零的假設(shè)。

法二：在EVIEWS中，可用Prob的值來(lái)判斷t檢驗(yàn)是否通過(guò)。若P值<,拒絕H0，t檢驗(yàn)通過(guò)，若P值>不拒絕H0，t檢驗(yàn)不通過(guò)。

假設(shè)檢驗(yàn)可以通過(guò)一次抽樣的結(jié)果檢驗(yàn)總體參數(shù)可能的假設(shè)值的范圍（如是否為零），但它并沒(méi)有指出在一次抽樣中樣本參數(shù)值到底離總體參數(shù)的真值有多“近”。

要判斷樣本參數(shù)的估計(jì)值在多大程度上可以“近似”地替代總體參數(shù)的真值，往往需要通過(guò)構(gòu)造一個(gè)以樣本參數(shù)的估計(jì)值為中心的“區(qū)間”，來(lái)考察它以多大的可能性（概率）包含著真實(shí)的參數(shù)值。這種方法就是參數(shù)檢驗(yàn)的置信區(qū)間估計(jì)。

三、參數(shù)的置信區(qū)間

如果存在這樣一個(gè)區(qū)間，稱之為置信區(qū)間（confidenceinterval）；

1-稱為置信系數(shù)（置信度）（confidencecoefficient），

稱為顯著性水平（levelofsignificance）；置信區(qū)間的端點(diǎn)稱為置信限（confidencelimit）或臨界值（criticalvalues）。一元線性模型中，i(i=1，2）的置信區(qū)間:在變量的顯著性檢驗(yàn)中已經(jīng)知道：

意味著，如果給定置信度（1-），從分布表中查得自由度為(n-2)的臨界值，那么t值處在(-t/2,t/2)的概率是(1-)。表示為：

即于是得到:(1-)的置信度下,i的置信區(qū)間是

在上述收入-消費(fèi)支出例中，如果給定

=0.01，查表得：

由于于是，1、0的置信區(qū)間分別為：（0.605,0.7344)

（-6.719,291.52）

由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數(shù)估計(jì)值與總體參數(shù)真值的“接近”程度，因此置信區(qū)間越小越好。

要縮小置信區(qū)間，需

（1）增大樣本容量n，因?yàn)樵谕瑯拥闹眯潘较拢琻越大，t分布表中的臨界值越小；同時(shí)，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差減?。?/p>

（2）提高模型的擬合優(yōu)度，因?yàn)闃颖緟?shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差與殘差平方和呈正比，模型擬合優(yōu)度越高，