先進(jìn)控制基礎(chǔ)-第05章-估計(jì)問(wèn)題基礎(chǔ)課件

緒論

—三種重要的先進(jìn)控制理論概述估計(jì)理論：估計(jì)理論所要解決的基本問(wèn)題是如何從被噪聲污染的觀測(cè)信號(hào)（觀測(cè)數(shù)據(jù)）中盡可能充分地濾除干擾噪聲的影響，在某種意義下求得被估信號(hào)的最優(yōu)估計(jì)。19世紀(jì)初高斯——最小二乘法；20世紀(jì)20-30年代費(fèi)歇爾——經(jīng)典估計(jì)理論；1941年柯?tīng)柲曷宸颉x散時(shí)間情況下的預(yù)測(cè)問(wèn)題；1942年維納——連續(xù)時(shí)間濾波；20世紀(jì)60年代初卡爾曼——卡爾曼濾波理論；20世紀(jì)70年代以來(lái)多傳感器信息融合緒論

—三種重要的先進(jìn)控制理論概述卡爾曼濾波理論：相對(duì)于其他估計(jì)方法（如最小二乘估計(jì)、最小方差估計(jì)、極大后驗(yàn)估計(jì)、貝葉斯估計(jì)、極大似然估計(jì)），卡爾曼濾波從與被估計(jì)信號(hào)有關(guān)的量測(cè)值中通過(guò)算法提取出所需信號(hào)，它實(shí)際上是對(duì)隨時(shí)間改變的參數(shù)估計(jì)的一種順序最小二乘逼近。特點(diǎn)：算法是遞推的，且使用狀態(tài)空間法在時(shí)域內(nèi)設(shè)計(jì)濾波器，所以適用于對(duì)多維隨機(jī)過(guò)程的估計(jì)。采用動(dòng)力學(xué)方程即狀態(tài)方程描述被估計(jì)量的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律，被估計(jì)量的動(dòng)態(tài)統(tǒng)計(jì)信息由過(guò)程白噪聲的統(tǒng)計(jì)信息和動(dòng)力學(xué)方程確定。離散型算法可直接在數(shù)字計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。第五章

——估計(jì)問(wèn)題基礎(chǔ)當(dāng)今時(shí)代是信息時(shí)代，是知識(shí)飛速增長(zhǎng)的時(shí)代。

一方面，各門學(xué)科不斷分化，分支學(xué)科越來(lái)越多，各種新興學(xué)科和新領(lǐng)域不斷出現(xiàn)

各學(xué)科和領(lǐng)域之間又不斷相互滲透、相互交叉，不斷產(chǎn)生許多新的邊緣學(xué)科和領(lǐng)域

5.1估計(jì)問(wèn)題的發(fā)展過(guò)程和估計(jì)問(wèn)題分類估計(jì)理論涉及系統(tǒng)辨識(shí)（SystemIdentification）狀態(tài)估計(jì)（StateEstimation）時(shí)間序列分析（timeseriesanalysis）多傳感器信息融合（MultisensorInformationFusion）四門學(xué)科及它們相互交叉、相互滲透的邊緣學(xué)科和領(lǐng)域。模型（Model）是對(duì)事物、現(xiàn)象、過(guò)程或系統(tǒng)的簡(jiǎn)化描述或模仿，有物理模型、數(shù)學(xué)模型、仿真模型等。

建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型通常包括兩方面工作：

是模型結(jié)構(gòu)的確定（包括模型的類型和階次等）模型的參數(shù)估計(jì)

估計(jì)問(wèn)題可分為五類

模型參數(shù)估計(jì)

時(shí)間序列、信號(hào)或狀態(tài)估計(jì)多傳感器信息融合估計(jì)自校正信號(hào)或狀態(tài)估計(jì)

自校正信息融合信號(hào)或狀態(tài)估計(jì)

從估計(jì)的精度或性能來(lái)看，估計(jì)可分為最優(yōu)估計(jì)次優(yōu)估計(jì)自校正估計(jì)。最優(yōu)估計(jì)是相對(duì)的，是針對(duì)一定的性能指標(biāo)而言的

例如，“最小二乘法”估計(jì)、線性最小方差估計(jì)、加權(quán)最優(yōu)融合估計(jì)等。

在一種性能指標(biāo)下的最優(yōu)估計(jì)可能是在另一種性能指標(biāo)下的次優(yōu)估計(jì)

5.2.1參數(shù)估計(jì)第一類最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題是模型參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。建立數(shù)學(xué)模型是對(duì)時(shí)間序列、信號(hào)或系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)的基礎(chǔ)。

模型參數(shù)估計(jì)的最基本的方法是最小二乘法（LeastSquareMethod）。最小二乘法的基本原理是實(shí)際觀測(cè)值與模型計(jì)算值的誤差的平方和最小原理，由此得名“最小二乘”法。

5.2模型參數(shù)估計(jì)問(wèn)題

例1：快速動(dòng)態(tài)橢圓檢測(cè)

和旋轉(zhuǎn)角，如圖1所示。

在圖像處理、機(jī)器人等領(lǐng)域，需要對(duì)運(yùn)動(dòng)圖像中的橢圓曲線進(jìn)行快速檢測(cè)，這個(gè)問(wèn)題類似于當(dāng)年高斯提出用最小二乘法確定天體運(yùn)動(dòng)軌道。幾何上這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為確定其標(biāo)準(zhǔn)型的五個(gè)參數(shù)，即橢圓中心位置

，長(zhǎng)短軸圖1橢圓曲線和檢測(cè)點(diǎn)

橢圓和其他二次曲線方程的一般形式為

通常檢測(cè)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)是帶有測(cè)量誤差的，為此利用橢圓曲線上更多的點(diǎn)的坐標(biāo)的檢測(cè)得到較精確的橢圓參數(shù)估計(jì)將已知橢圓上個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的檢測(cè)值（含有檢測(cè)誤差），代入5.2.1，則有方程誤差，即

最小二乘法原理就是用極小化方程誤差的平方和來(lái)確定未知橢圓模型參數(shù)，即它們極小化性能指標(biāo)由極值原理，置關(guān)于各參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為零，即從而可以解出，進(jìn)而由有關(guān)公式可立刻求出標(biāo)準(zhǔn)型橢圓參數(shù)

例2：

5.2.2線性參數(shù)模型最小二乘估計(jì)

最小二乘估計(jì)是一種經(jīng)典的數(shù)據(jù)處理方法，最早的應(yīng)用可以追溯到18世紀(jì)。最小二乘法原理簡(jiǎn)單，可以離線計(jì)算，又可在線遞推計(jì)算，并可在非線性系統(tǒng)中擴(kuò)展為迭代計(jì)算由最小二乘法獲得的估計(jì)在一定條件下有最佳的統(tǒng)計(jì)特性，即估計(jì)的結(jié)果是無(wú)偏的、一致的和有效的。設(shè)時(shí)不變單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

用矩陣方程式表示為殘差估計(jì)準(zhǔn)則

殘差包含兩方面的誤差因素：參數(shù)擬合誤差隨機(jī)干擾帶來(lái)的誤差（過(guò)程噪聲）。最小二乘的估計(jì)準(zhǔn)則就是使得殘差平方和最小。最小二乘參數(shù)估計(jì)

正則方程

化簡(jiǎn)根據(jù)數(shù)學(xué)分析中的求極值原理可知，因?yàn)槭堑亩魏瘮?shù)，它的極小值是存在的。取得正則方程

估計(jì)量

持續(xù)激勵(lì)條件

極小值

對(duì)準(zhǔn)則函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)并化簡(jiǎn)，有

表明了最小二乘法的一個(gè)重要性質(zhì)，即它只有一個(gè)局部極小值存在。因此，這個(gè)極小值也是全部極小值矩陣求逆引理

2.遞推最小二乘估計(jì)（RLS）

遞推最小二乘估計(jì)原理

令

定義，這是一個(gè)方陣，它的維數(shù)取決于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，而與觀測(cè)次數(shù)無(wú)關(guān)，則式(5.2.3)可化為：

將式（5.2.1）、（5.2.2）、（5.2.4）代入（5.2.3）令

則（5.2.5）可改寫為

遞推最小二乘估計(jì)遞推算法：

3.初值的確定

人為地給定初值。第二類最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題是信號(hào)或狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題，也稱最優(yōu)濾波。從被噪聲污染的觀測(cè)信號(hào)中過(guò)濾噪聲，求未知真實(shí)信號(hào)或狀態(tài)最優(yōu)估值叫濾波。“濾波”這一術(shù)語(yǔ)最初來(lái)自無(wú)線電領(lǐng)域。

1941年，控制論創(chuàng)始人Wiener提出了信號(hào)Wiener濾波理論。經(jīng)典Wiener濾波方法是一種頻域方法，在處理多變量、時(shí)變、非平穩(wěn)時(shí)間序列時(shí)往往不能達(dá)到預(yù)期要求，且算法是非遞推的，要求存儲(chǔ)全部歷史數(shù)據(jù)，不便于工程應(yīng)用。5.3信號(hào)，狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題

例3

Wiener濾波問(wèn)題

圖1信號(hào)Wiener濾波問(wèn)題

典型的Wiener信號(hào)濾波問(wèn)題如圖1所示。Kalman濾波1960年，美國(guó)數(shù)學(xué)家和控制論學(xué)者Kalman針對(duì)Wiener濾波理論的缺點(diǎn)和局限性，以及電子技術(shù)和計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)發(fā)展的需要，提出了Kalman濾波理論（狀態(tài)估計(jì)理論）Kalman濾波方法是一種時(shí)域方法，它基于狀態(tài)空間模型和射影理論解決狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題。

Kalman濾波算法是遞推算法，便于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，且可處理多變量、時(shí)變、非平穩(wěn)時(shí)間序列濾波問(wèn)題Kalman濾波也可解決信號(hào)濾波問(wèn)題

非遞推算法

遞推算法實(shí)際上，有

式(5.3.1)中的第二項(xiàng)為校正量，它是根據(jù)誤差例4

動(dòng)態(tài)測(cè)量系統(tǒng)Kalman濾波問(wèn)題。

第三類最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題是最優(yōu)信息融合估計(jì)問(wèn)題。

滿足現(xiàn)代電子與信息戰(zhàn)爭(zhēng)及國(guó)防軍事的需要

為了提高對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)（導(dǎo)彈、飛機(jī)、衛(wèi)星、坦克、車輛、船艦等）的跟蹤精度提高對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)精度涌現(xiàn)了大量具有不同應(yīng)用背景的多傳感器系統(tǒng)

5.4信息融合估計(jì)問(wèn)題

20世紀(jì)70年代后

由于高技術(shù)武器的出現(xiàn)，尤其是由于精確制導(dǎo)武器、遠(yuǎn)程打擊和導(dǎo)彈攔截武器的出現(xiàn)使得依靠單傳感器提供的信息很難滿足目標(biāo)跟蹤或狀態(tài)估計(jì)精度的要求因此必須對(duì)每個(gè)傳感器提供的信息按某種最優(yōu)融合準(zhǔn)則進(jìn)行最優(yōu)融合，才能提高對(duì)目標(biāo)跟蹤或狀態(tài)估計(jì)的精度。多傳感器信息融合有兩種方法：狀態(tài)融合方法觀測(cè)融合方法。

分布式狀態(tài)融合估計(jì)原理如圖所示

分布式狀態(tài)融合估計(jì)原理

分布式觀測(cè)融合估計(jì)原理如圖所示。

分布式觀測(cè)融合估計(jì)原理

多傳感器分布式狀態(tài)融合Kalman濾波器原理對(duì)于狀態(tài)估計(jì)而言，如何利用基于每個(gè)觀測(cè)方程得到的局部Kalman濾波器進(jìn)行加權(quán)融合得到在某種性能指標(biāo)下的最優(yōu)融合Kalman濾波器？它的精度應(yīng)當(dāng)比每個(gè)局部Kalman濾波器的精度高。多傳感器分布式狀態(tài)融合Kalman濾波器原理如圖所示。多傳感器分布式狀態(tài)融合Kalman濾波器原理多傳感器觀測(cè)融合Kalman濾波器原理

多傳感器觀測(cè)融合估計(jì)原理是先將各局部傳感器的觀測(cè)加權(quán)融合得到一個(gè)融合的觀測(cè)方程，然后與狀態(tài)方程聯(lián)立得到觀測(cè)融合狀態(tài)估計(jì)。由此得到如圖所示的觀測(cè)融合Kalman濾波器框圖觀測(cè)融合Kalman濾波器框圖第四類最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題是自校正估計(jì)，即漸近最優(yōu)估計(jì)。自校正估計(jì)是最優(yōu)濾波與系統(tǒng)辨識(shí)相交叉的邊緣領(lǐng)域。自校正Kalman