名校物理課件-力學(xué)與工程科學(xué)-彈性力學(xué)

彈性力學(xué)2023年7月27日2內(nèi)容提要向量與張量應(yīng)變分析應(yīng)力分析本構(gòu)關(guān)系彈性力學(xué)邊值問題Saint-Venant問題平面問題（直角坐標(biāo)）平面問題（極坐標(biāo)）平面問題（復(fù)變方法）空間問題2023年7月27日3成績評定交六次作業(yè)4×6＝24分課堂提問6分期中考試30分期末考試40分2023年7月27日4教材與參考書教材：王敏中、王煒、武際可，彈性力學(xué)教程，

北京大學(xué)出版社，2002參考書目：武際可、王敏中、王煒，彈性力學(xué)引論Timoshenko、Goodier，彈性理論徐芝綸，彈性力學(xué)，上冊Love，ATreatiseontheMathematicalTheoryofElasticityetc.2023年7月27日5緒論彈性，elasticity外力消失后，物體恢復(fù)原狀的性質(zhì)理想彈性體，perfectelasticbody僅具有彈性性質(zhì)的理想物體彈性力學(xué)，TheoryofElasticity彈性體在外界因素影響下，研究其變形規(guī)律和應(yīng)力分布的科學(xué)為什么？與其它力學(xué)分支的關(guān)系2023年7月27日6理論基礎(chǔ)與基本假設(shè)Newton定律連續(xù)性假設(shè)，Continuity何謂連續(xù)性？合理性完全彈性假設(shè)，PerfectElastic其他假設(shè)：小變形假設(shè)，SmallDeformation，Infinitesimal線彈性假設(shè)，LinearElasticity均勻性假設(shè)，Homogeneity各向同性假設(shè)，Isotropy無初應(yīng)力假設(shè)，NoInitialStress彈性力學(xué)（1）2023年7月27日8向量代數(shù)（復(fù)習(xí)）定義Einstein約定求和坐標(biāo)變換（正交坐標(biāo)變換）2023年7月27日9基本公式Kronecker記號置換記號（Levi-Civita）2023年7月27日10張量代數(shù)定義（二階張量并矢基定義）坐標(biāo)變換（正交坐標(biāo)變換）二階張量的矩陣表示2023年7月27日11張量運(yùn)算加法轉(zhuǎn)置反稱張量的軸向量單位張量張量的跡2023年7月27日12向量與張量之積內(nèi)積外積2023年7月27日13張量與張量之積單重積雙重積2023年7月27日14重要公式兩個結(jié)論：2023年7月27日15向量分析Hamilton算子：2023年7月27日16向量分析（續(xù)）Laplace算子：2023年7月27日17張量分析向量的梯度：張量的散度：2023年7月27日18張量分析（續(xù)）張量的旋度：基本公式：2023年7月27日19張量分析（續(xù)二）兩個重要公式：積分公式：彈性力學(xué)（2）2023年7月27日21位移及其性質(zhì)位移（Displacement）應(yīng)用彈性力學(xué)假設(shè)連續(xù)性假設(shè)小變形假設(shè)2023年7月27日22幾何方程位移梯度幾何方程（KinematicEquation）Cauchy應(yīng)變張量旋轉(zhuǎn)張量平移轉(zhuǎn)動變形2023年7月27日23幾何意義正應(yīng)變剪應(yīng)變2023年7月27日24應(yīng)變分析任意方向的伸長Green應(yīng)變張量2023年7月27日25應(yīng)變分析（續(xù)）任意角度的變化2023年7月27日26應(yīng)變張量的性質(zhì)應(yīng)變?yōu)橐粋€二階張量定義，并矢坐標(biāo)變換2023年7月27日27主方向、主應(yīng)變二階張量與矩陣一一對應(yīng)（給定基底）對稱二階張量在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型可對角化特征向量稱為應(yīng)變張量的主方向特征值稱為主應(yīng)變2023年7月27日28不變量二階張量的不變量：坐標(biāo)變換下不變的性質(zhì)三維空間中有三個獨(dú)立的不變量：2023年7月27日29幾何解釋、變形橢球體應(yīng)變變形橢球2023年7月27日30應(yīng)變張量的柱坐標(biāo)分量2023年7月27日31應(yīng)變張量的球坐標(biāo)分量2023年7月27日32應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（Compatibility）問題的提出問題的意義力學(xué)意義：已知每一點(diǎn)的局部變形，能否得到整體上無矛盾的位移場？數(shù)學(xué)意義：任意六個未知函數(shù)（應(yīng)變分量）能否通過3個位移分量來表示？結(jié)論：應(yīng)變場不能任意給定，應(yīng)該有某種限制條件，即：“協(xié)調(diào)關(guān)系”2023年7月27日33必要條件張量形式直角坐標(biāo)分量形式2023年7月27日34Volterra積分問題：上述必要條件是否充分？Volterra積分問題：線積分是否與路徑相關(guān)？如何證明？2023年7月27日35Volterra積分的證明單連通區(qū)域多連通區(qū)域：位移單值性條件2023年7月27日36結(jié)論充分必要條件位錯與向錯不協(xié)調(diào)張量位錯：Burgers向量向錯：Frank向量彈性力學(xué)（3）2023年7月27日38外力和內(nèi)力外力超距力，體力接觸力，面力內(nèi)力在外力的作用下，彈性體內(nèi)部的分子的初始狀態(tài)發(fā)生變化，產(chǎn)生了分子之間的附加力，這種力稱為內(nèi)力。2023年7月27日39六面體上的面力2023年7月27日40斜面上的面力，應(yīng)力張量應(yīng)力張量在不同坐標(biāo)系下服從二階張量的變換關(guān)系，是二階張量2023年7月27日41平衡方程力平衡力矩平衡平衡方程2023年7月27日42應(yīng)力張量的性質(zhì)主應(yīng)力主方向性質(zhì)主應(yīng)力是正應(yīng)力的極值主方向相互垂直主方向之間的剪應(yīng)力為零應(yīng)力張量的不變量:2023年7月27日43最大剪應(yīng)力問題：哪兩個方向之間的剪應(yīng)力最大？剪應(yīng)力在單位向量n下的條件極值問題結(jié)論剪應(yīng)力大小的極大值是主應(yīng)力差的一半最大剪應(yīng)力發(fā)生的方向?yàn)橹鞣较蚱矫鎯?nèi)的分角線方向2023年7月27日44八面體應(yīng)力（OctahetronStresses）

問題：主坐標(biāo)系中的正八面體表面上的應(yīng)力2023年7月27日45應(yīng)力偏量（DeviatoricStresses）

不考慮應(yīng)力張量的靜水壓力部分應(yīng)力偏量的不變量2023年7月27日46應(yīng)力函數(shù)（StressFunctions）應(yīng)力函數(shù)是平衡方程的通解2023年7月27日47應(yīng)力函數(shù)（續(xù)）應(yīng)力函數(shù)最一般形式的通解上述解是否問題的一般解？完備性定理彈性力學(xué)（4）2023年7月27日49本構(gòu)關(guān)系（ConstitutiveLaw）已知條件應(yīng)變分析，幾何方程應(yīng)力分析，平衡方程物理事實(shí)：處于相同變形的兩個物體，即使大小和形狀都相同，其受力分布一般并不同。還必須建立另外的一組關(guān)系，這就是應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系，通常稱為本構(gòu)關(guān)系。假設(shè)：線彈性其他本構(gòu)關(guān)系：流體力學(xué)、非牛頓流體力學(xué)、彈性力學(xué)、塑性力學(xué)、土力學(xué)、粘彈性力學(xué)等?；疽?guī)律：熱力學(xué)定律。2023年7月27日50外力功與內(nèi)力功外力功內(nèi)力功：外力做功在彈性體內(nèi)儲存為彈性能2023年7月27日51熱力學(xué)定律熱力學(xué)第一定律熱力學(xué)第二定律幾點(diǎn)說明兩個平衡態(tài)之間的緩慢變化等號表明是熱力學(xué)可逆過程當(dāng)擾動為虛擬的物理過程時，不等式反號2023年7月27日52兩種基本的本構(gòu)描述自由能表示內(nèi)能表示2023年7月27日53兩種可逆過程等溫過程絕熱過程2023年7月27日54廣義Hooke定律基本假設(shè)應(yīng)力與應(yīng)變是線性的無初應(yīng)力材料是各向同性的變形過程是等溫的問題各向異性？絕熱過程？Lame系數(shù)楊氏模量Poisson比2023年7月27日55各向同性線彈性材料線彈性本構(gòu)關(guān)系各向同性線彈性應(yīng)變能是應(yīng)變張量不變量的二次函數(shù)2023年7月27日56應(yīng)變能應(yīng)變能（StrainEnergy）兩點(diǎn)說明積分是在應(yīng)變空間中進(jìn)行的（6維）應(yīng)變能是應(yīng)變分量的正定二次型2023年7月27日57剛度矩陣與柔度矩陣剛度矩陣（StiffnessMatrix)柔度矩陣（ComplianceMatrix）2023年7月27日58彈性常數(shù)的性質(zhì)應(yīng)變能的正定性剛度矩陣與柔度矩陣均是正定的彈性常數(shù)應(yīng)該滿足一定的關(guān)系壓縮模量（CompressionModulus）負(fù)Poisson比材料2023年7月27日59彈性系數(shù)之間的關(guān)系2023年7月27日60各向異性線彈性材料本構(gòu)關(guān)系的一般表示應(yīng)變能2023年7月27日61規(guī)范記法優(yōu)點(diǎn)：可保證坐標(biāo)變換時的正交性21個材料常數(shù)2023年7月27日62具有對稱面的彈性材料一個對稱面，13個彈性常數(shù)兩個對稱面，9個彈性常數(shù)（正交各向異性）2023年7月27日63具有對稱軸的彈性材料一個對稱軸，5個彈性常數(shù)（橫觀各向同性）兩個對稱軸，2個彈性常數(shù)（各向同性）2023年7月27日64其他本構(gòu)關(guān)系熱彈性材料磁彈性材料彈性力學(xué)（5）2023年7月27日66ContentSummaryofGoverningEquationsBoundaryConditionsTheSolutiontoanElasticityProblemExistenceandUniquenessTheProofofUniquenessPrincipleofSuperpositionSt.Venant’sPrinciple2023年7月27日67SummaryofGoverningEquationsKinematicequations(K)orintensornotationCompatibilityEquations(C)orintensornotation2023年7月27日68SummaryofGoverningEquations(cont.)EquilibriumEquations(E)orintensornotationStrain-stressRelationships(H)orintensornotation2023年7月27日69BoundaryConditionsDisplacementboundaryconditionsorTractionBoundaryConditionsorMixedBoundaryConditionsOnpartoftheboundarydisplacementsaregiven,ontheotherstractionsareassignedPartofthedisplacementcomponentsandpartofthetractionsaregivenonthesameareaoftheboundary2023年7月27日70TheSolutiontoanElasticityProblemAsolutiontoanelasticityproblemshouldsatisfyallofthefollowingconditions:StressessatisfytheequilibriumequationsinsidetheelasticbodyandtractionboundaryconditionsontheboundaryStrainssatisfythecompatibilityequationsinsidetheelasticbodyDisplacementarecontinuousandrelatedtothestrainsasinthekinematicequationsinsidetheelasticbodyandsatisfythedisplacementboundaryconditionsontheboundaryStressesareconsistentwithstrainsbygeneralizedHooke’slawAnyviolationoftheaboveitemsdeniesthecorrectnessofthesolution2023年7月27日71ExistenceandUniquenessItcanbeprovedthatthesolutionexistsforanelasticityproblem.Whileprovingthisisfarbeyondthescopeofthepresentcourse,appreciationofthisconclusionisimportant.Whatisthepointofsearchingforasolutioninvainifthesolutiondoesnotexist?Anotherconclusionofequalimportanceistheuniquenessofthesolution.Thiscanbeprovedrelativelyeasilywhencertainconditionsaresatisfied.Whatuseyoucanmakeofthesolutionyouobtainifthereexistsothersolutiondifferentfromyours?2023年7月27日72TheProofofUniquenessEquations:BoundaryConditions:Physically，2023年7月27日73BVPinTermsofDisplacementsEliminatingStressesandStrainsBoundaryConditionsinTermsofDisplacementsBi-HarmonicFunctions2023年7月27日74BVPinTermsofStressesEliminatingDisplacementsandStrainsStressBoundaryConditionsSingle-ValuedConditionsNotes2023年7月27日75PrincipleofSuperpositionTheprincipleofsuperpositionisvalidinalllinearsystemsBothequationsandboundaryconditionsofElasticityarelinear2023年7月27日76St.Venant’sPrincipleAnyofself-balancedforcesystemappliedtoamaterialobjectwillonlyhavelocaleffectsaroundwhereitisappliedFarwayfromthatlocalregiontheresponsesoftheobjectarenotaffected2023年7月27日77St.Venant’sPrinciple(cont.)Correctness?CounterExample?ExactlyExpressionProofofthePrinciple2023年7月27日78虛位移原理可能位移與變形可能應(yīng)變滿足連續(xù)條件的位移場幾何方程位移邊界條件虛位移與虛應(yīng)變可能位移與真實(shí)位移之差虛位移原理在外力作用下處于平衡狀態(tài)的可變形體，當(dāng)給定物體微小虛位移時，外力的總虛功等于物體的總虛應(yīng)變能。2023年7月27日79數(shù)學(xué)表述虛位移與虛應(yīng)變虛位移原理:虛位移原理的另一種表述：變形體平衡的充分必要條件是：對于任意微小的虛位移，外力的總虛功等于物體的總虛應(yīng)變能。2023年7月27日80最小勢能原理系統(tǒng)總勢能最小勢能原理在所有可能的位移場中，真實(shí)位移場使得系統(tǒng)的總勢能最小。最小勢能原理的逆定理若某一可能的位移場使得系統(tǒng)的總勢能最小，則它一定是系統(tǒng)的真實(shí)位移場。2023年7月27日81虛應(yīng)力原理可能應(yīng)力滿足平衡條件的應(yīng)力場平衡方程應(yīng)力邊界條件虛應(yīng)力可能應(yīng)力與真實(shí)應(yīng)力之差虛應(yīng)力原理在外力作用下處于平衡狀態(tài)的可變形體，微小虛外力在真實(shí)位移做的總虛功等于虛應(yīng)力在真實(shí)應(yīng)變上的總虛應(yīng)變余能。2023年7月27日82數(shù)學(xué)表述虛應(yīng)力虛應(yīng)力原理:虛應(yīng)力原理的另一種表述：變形體位移協(xié)調(diào)的充分必要條件是：對于任意微小的虛外力，外力的總虛功等于物體的總虛應(yīng)變余能。2023年7月27日83最小余能原理系統(tǒng)總余能最小余能原理在所有可能的應(yīng)力場中，真實(shí)應(yīng)力場使得系統(tǒng)的總余能最小。最小余能原理的逆定理若某一可能的應(yīng)力場使得系統(tǒng)的總余能最小，則它一定是系統(tǒng)的真實(shí)應(yīng)力場。彈性力學(xué)（6）2023年7月27日85Saint-Venant問題問題的提法細(xì)長柱體在端頭力作用下的彈性力學(xué)邊值問題邊值問題的描述方程組（不考慮體力）邊界條件2023年7月27日86放松邊條件問題的難點(diǎn)端頭外力分布的任意性Saint-Venant原理的應(yīng)用采用兩組容易求解的靜力等效的外力代替端頭外力實(shí)際工程應(yīng)用中能提供的邊界條件放松邊條件：用合力及合力矩代替端頭邊條件采用放松邊界條件，解的唯一性？原點(diǎn)取在截面形心x，y為截面主軸2023年7月27日87問題的分類將問題應(yīng)用疊加原理分為拉壓彎扭簡單拉壓純彎曲扭轉(zhuǎn)橫向彎曲問題的半逆解法，設(shè)：2023年7月27日88簡單拉壓應(yīng)力解位移解（不計剛體位移）2023年7月27日89純彎曲應(yīng)力解位移解（不計剛體位移）2023年7月27日90平截面假定的合理性考慮特殊的純彎曲Euler-Bernoulli平截面假定：2023年7月27日91扭轉(zhuǎn)應(yīng)力應(yīng)力假設(shè)平衡方程應(yīng)力協(xié)調(diào)方程側(cè)面邊條件Saint-Venant邊條件2023年7月27日92扭轉(zhuǎn)應(yīng)力的求解扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)（Prandtl應(yīng)力函數(shù)）平衡方程應(yīng)力協(xié)調(diào)方程側(cè)面邊條件常數(shù)如何確定？積分與路徑無關(guān)？利用端頭放松邊條件2023年7月27日93扭轉(zhuǎn)剛度考慮一般的多連通區(qū)域應(yīng)用側(cè)面邊條件，有：驗(yàn)證應(yīng)用端頭邊條件：扭轉(zhuǎn)剛度2023年7月27日94扭轉(zhuǎn)位移的求解應(yīng)用Hooke定律和幾何關(guān)系引入輔助函數(shù)扭轉(zhuǎn)的翹曲函數(shù)2023年7月27日95扭轉(zhuǎn)位移場位移場滿足：位移場2023年7月27日96位移單值性條件位移場單值：扭轉(zhuǎn)函數(shù)的確定2023年7月27日97扭轉(zhuǎn)解的表達(dá)式2023年7月27日98扭轉(zhuǎn)的性質(zhì)扭轉(zhuǎn)剛度恒正剪應(yīng)力的最大值在邊界上達(dá)到剪應(yīng)力的方向?yàn)榕まD(zhuǎn)函數(shù)等值線的切向引理：

下調(diào)和函數(shù)的最小值在邊界上達(dá)到2023年7月27日99扭轉(zhuǎn)性質(zhì)的證明扭轉(zhuǎn)剛度恒正剪應(yīng)力的最大值在邊界上達(dá)到剪應(yīng)力的方向?yàn)榕まD(zhuǎn)函數(shù)等值線的切向2023年7月27日100橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)假設(shè)扭轉(zhuǎn)函數(shù)剪應(yīng)力扭轉(zhuǎn)剛度2023年7月27日101橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)（續(xù)）最大剪應(yīng)力位移場平截面假定是否成立？圓桿的扭轉(zhuǎn)什么截面扭轉(zhuǎn)剛度最大？最大剪應(yīng)力的位置？SV猜想。2023年7月27日102帶半圓槽圓桿的扭轉(zhuǎn)問題邊界描述扭轉(zhuǎn)函數(shù)扭轉(zhuǎn)剛度計算位移場2023年7月27日103帶半圓槽圓桿的扭轉(zhuǎn)（續(xù)）扭轉(zhuǎn)應(yīng)力邊界上的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力最大扭轉(zhuǎn)應(yīng)力半圓槽桿與圓桿比較剛度相當(dāng)強(qiáng)度減半2023年7月27日104矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)函數(shù)剪應(yīng)力扭轉(zhuǎn)剛度2023年7月27日105矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)（續(xù)）最大剪應(yīng)力位移場計算2023年7月27日106開口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)問題描述扭轉(zhuǎn)函數(shù)2023年7月27日107開口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)（續(xù)）扭轉(zhuǎn)剛度扭轉(zhuǎn)應(yīng)力翹曲函數(shù)2023年7月27日108閉口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)函數(shù)近似解位移單值性條件扭轉(zhuǎn)剛度最大剪應(yīng)力2023年7月27日109閉口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)（續(xù)）開、閉口扭轉(zhuǎn)剛度比較扭轉(zhuǎn)應(yīng)力比較多連通區(qū)域的求解2023年7月27日110扭轉(zhuǎn)剛度的上界用翹曲函數(shù)表示的扭轉(zhuǎn)剛度扭轉(zhuǎn)剛度的另一種形式上界定理2023年7月27日111扭轉(zhuǎn)剛度的下界用扭轉(zhuǎn)函數(shù)表示的扭轉(zhuǎn)剛度扭轉(zhuǎn)剛度的另一種形式下界定理2023年7月27日112橫向彎曲應(yīng)力假設(shè)平衡方程應(yīng)力協(xié)調(diào)方程應(yīng)力一般解原點(diǎn)在截面形心主軸坐標(biāo)系2023年7月27日113橫向彎曲（續(xù)）應(yīng)力一般解滿足的方程側(cè)面邊條件Saint-Venant邊條件2023年7月27日114彎曲應(yīng)力的求解應(yīng)力函數(shù)的引進(jìn)滿足應(yīng)力協(xié)調(diào)方程滿足側(cè)面邊條件2023年7月27日115彎曲應(yīng)力的求解（續(xù)一）Saint-Venant邊條件彎曲應(yīng)力函數(shù)的引進(jìn)2023年7月27日116彎曲應(yīng)力的求解（續(xù)二）扭矩條件彎曲剪應(yīng)力2023年7月27日117彎曲位移的求解類似于扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)的引進(jìn)，令：則有：2023年7月27日118彎曲函數(shù)引入彎曲函數(shù)：它們滿足：2023年7月27日119彎曲位移場忽略剛體位移，橫向彎曲的位移場為：2023年7月27日120彎曲剪應(yīng)力利用彎曲函數(shù)表示彎曲剪應(yīng)力：截面常數(shù)可以表示為：2023年7月27日121彎曲中心無扭橫向彎曲的條件彎曲中心Новожилов彎曲中心公式

為的截面形心2023年7月27日122圓截面桿的橫向彎曲彎曲應(yīng)力函數(shù)彎曲剪應(yīng)力2023年7月27日123圓截面桿的橫向彎曲（續(xù)）最大剪應(yīng)力注意到這點(diǎn)與材料力學(xué)結(jié)果一致材力的假設(shè)：平行于y軸的弦上各點(diǎn)的剪應(yīng)力指向同一點(diǎn)，弦端點(diǎn)的剪應(yīng)力與邊界相切平行于y軸的弦上各點(diǎn)都相等彈性力學(xué)（7）2023年7月27日125平面應(yīng)變問題問題的提法幾何特點(diǎn)：彈性體為母線與軸平行的長柱體。物理特點(diǎn)：彈性體上所受體力和側(cè)面所受外力都平行于xy平面，全與z無關(guān)，且它們在平面內(nèi)構(gòu)成平衡力系。邊值問題的描述物理?xiàng)l件位移假設(shè)2023年7月27日126平面應(yīng)變問題的簡化應(yīng)變場應(yīng)力場平衡方程位移邊界條件應(yīng)力邊界條件2023年7月27日127解的存在唯一性截面內(nèi)受自平衡力系端頭邊界條件的提法2023年7月27日128協(xié)調(diào)條件應(yīng)變協(xié)調(diào)條件應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力協(xié)調(diào)條件2023年7月27日129Airy應(yīng)力函數(shù)無體力應(yīng)力協(xié)調(diào)方程2023年7月27日130Airy應(yīng)力函數(shù)（續(xù)）有體力2023年7月27日131平面應(yīng)力問題問題的提法幾何特點(diǎn)：彈性體占有的區(qū)域?yàn)橐槐“逦锢硖攸c(diǎn)：在板的側(cè)面受有關(guān)于z=0的對稱外力，在板內(nèi)無體力，在板的上下表面也無外力

邊值問題的描述物理?xiàng)l件應(yīng)力假設(shè)特別提示：一般說來，應(yīng)力與z有關(guān)！2023年7月27日132平面應(yīng)力問題的求解平衡方程應(yīng)力協(xié)調(diào)方程應(yīng)力一般解2023年7月27日133平面問題（無體力）方程應(yīng)力表達(dá)式應(yīng)力邊值問題位移邊值問題混合邊值問題2023年7月27日134矩形梁的彎曲“狹長”矩形梁邊值問題假設(shè)應(yīng)力函數(shù)（半逆解法）2023年7月27日135矩形梁的彎曲（續(xù)）應(yīng)力函數(shù)的形式應(yīng)力場問題：位移場的計算？側(cè)面受分布載荷如何解？2023年7月27日136三角函數(shù)解法受有余弦分布外力邊值問題假設(shè)應(yīng)力函數(shù)（半逆解法）2023年7月27日137三角函數(shù)解法（續(xù)）應(yīng)力函數(shù)的形式應(yīng)力場彈性力學(xué)（8）2023年7月27日139平面問題的極坐標(biāo)表示坐標(biāo)基的微商幾何方程2023年7月27日140平面問題的極坐標(biāo)表示（續(xù)）平衡方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系2023年7月27日141應(yīng)變協(xié)調(diào)條件協(xié)調(diào)方程位移單值性條件在原點(diǎn)周圍的小圓上2023年7月27日142應(yīng)力協(xié)調(diào)條件應(yīng)力協(xié)調(diào)方程Airy應(yīng)力函數(shù)2023年7月27日143厚壁圓筒問題幾何描述高壓管道，儲氣瓶

方程與邊界條件假設(shè)應(yīng)力函數(shù)（半逆解法）應(yīng)力函數(shù)的一般形式不產(chǎn)生應(yīng)力，A=0位移單值性條件，D=02023年7月27日144厚壁圓筒：位移場廣義Hooke定律和幾何關(guān)系

位移表達(dá)式（不計剛體位移）問題：位移場單值性條件？2023年7月27日145厚壁圓筒：應(yīng)力場應(yīng)力解結(jié)果分析應(yīng)力集中系數(shù)2023年7月27日146曲梁的彎曲幾何描述同心圓弧形的曲梁方程與邊界條件應(yīng)力函數(shù)的形式2023年7月27日147曲梁的彎曲：純彎曲應(yīng)力函數(shù)的一般解應(yīng)力表達(dá)式2023年7月27日148曲梁的彎曲：切向力應(yīng)力函數(shù)的形式應(yīng)力函數(shù)一般解應(yīng)力表達(dá)式位移表達(dá)式（不計剛體位移）2023年7月27日149曲梁的彎曲：法向力應(yīng)力函數(shù)的形式應(yīng)力函數(shù)一般解應(yīng)力表達(dá)式2023年7月27日150曲梁的彎曲：向錯與位錯純彎曲情形切向力作用法向力作用2023年7月27日151帶圓孔的無限大板之拉伸（一）無窮遠(yuǎn)的邊條件提法邊值問題描述2023年7月27日152應(yīng)用疊加原理，問題分解：帶圓孔的無限大板之拉伸（二）2023年7月27日153帶圓孔的無限大板之拉伸（三）問題一的求解，厚壁圓筒問題的特例：2023年7月27日154帶圓孔的無限大板之拉伸（四）問題二的求解，應(yīng)力函數(shù)假設(shè)：應(yīng)力函數(shù)的一般解：應(yīng)力解2023年7月27日155帶圓孔的無限大板之拉伸（五）疊加問題一和問題二的解，得到應(yīng)力場：圓孔周邊的應(yīng)力應(yīng)力集中系數(shù)2023年7月27日156集中力作用于全平面（一）集中力的提法邊值問題描述類似于帶圓孔之無限大板2023年7月27日157集中力作用于全平面（二）應(yīng)力假設(shè)：由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力的關(guān)系，應(yīng)力函數(shù)為：應(yīng)力函數(shù)是雙調(diào)和的：關(guān)于＝0對稱，

對應(yīng)x方向集中力關(guān)于＝0反對稱，

對應(yīng)y方向集中力2023年7月27日158集中力作用于全平面（三）應(yīng)力解：由集中力條件：應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：B由位移單值性條件確定2023年7月27日159集中力作用于全平面（四）位移單值性條件：位移場：直角坐標(biāo)下位移場：Kelvin解2023年7月27日160楔：集中力作用（一）對稱外力側(cè)面邊條件應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力場2023年7月27日16