利用不變量化簡(jiǎn)二次曲面方程課件

6.3利用不變量化簡(jiǎn)二次曲面方程

Usinginvarianttosimplifyequationsofquadraticsurfaces前面研究了用直角坐標(biāo)變換的方法將一般二次曲面方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程.雖然方程的形式發(fā)生了變化,但是決定曲面的特征的內(nèi)蘊(yùn)性不會(huì)變化.這種反映曲面的某種幾何性質(zhì)的表達(dá)式一定是經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換后不變的,這就是曲面的不變量.在這一節(jié)里,將應(yīng)用二次曲面（6.1-1）在直角坐標(biāo)變換下的不變量來(lái)化簡(jiǎn)化它的方程.6.3利用不變量化簡(jiǎn)二次曲面方程

Usinginvari6.3.1二次曲面的不變量與半不變量

(Invariantsandsemi-invariantsofquadraticsurfaces)

由二次曲面方程（6.1-1）式左端F(x,y,z)的系數(shù)組成的一個(gè)非常數(shù)函數(shù)f,如果經(jīng)過(guò)直角坐標(biāo)變換下,F(x,y,z)變?yōu)镕'(x',y',z')時(shí),有那么這個(gè)函數(shù)f就稱為二次曲面在直角坐標(biāo)變換下的不變量.如果這個(gè)函數(shù)f只是經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)軸變換不變,那么這個(gè)函數(shù)稱為二次曲面在直角坐標(biāo)變換下的半不變量.6.3.1二次曲面的不變量與半不變量

關(guān)于二次曲面的不變量與半不變量,有著下面的定理,這里將略去它的證明而直接應(yīng)用.

定理1

二次曲面（6.1-1）在空間直角坐標(biāo)變換下,有四個(gè)

不變量I1,I2,I3,I4與兩個(gè)半不變量K1,K2.推論1

在直角坐標(biāo)變換下,二次曲面（6.1-1）的特征方程

不變,從而特征根也不變.推論2

K1是6.2.2節(jié)中定理1中第（V）類二次曲面在直角

坐標(biāo)變換下的不變量,而

K2是6.2.2節(jié)定理1中第Ⅲ,

第Ⅳ與第Ⅴ類二次曲面在直角坐標(biāo)變換下的不變量.關(guān)于二次曲面的不變量與半不變量,有著下面的定理,這里將略去它6.3.2二次曲面五種類型的判別

Identifyingfivetypesofquadraticsurfaces由上節(jié)定理1,二次曲面方程通過(guò)坐標(biāo)變化總可以化成下面的五類簡(jiǎn)化方程中的一個(gè)：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)(Ⅴ)6.3.2二次曲面五種類型的判別

Identifying

現(xiàn)在介紹如何應(yīng)用二次曲面的不變量來(lái)判別二次曲面的類型。容易知道：(1)當(dāng)二次曲面（6.1-1）是第Ⅰ類曲面時(shí),那么有(2)當(dāng)二次曲面（6.1-1）是第Ⅱ類曲面時(shí),那么有

現(xiàn)在介紹如何應(yīng)用二次曲面的不變量來(lái)5(3)當(dāng)二次曲面（6.1-1）是第Ⅲ類曲面時(shí),那么有

(4)當(dāng)二次曲面（6.1-1）是第Ⅳ類曲面時(shí),那么有(5)當(dāng)二次曲面（6.1-1）是第Ⅴ類曲面時(shí),那么有

(3)當(dāng)二次曲面（6.1-1）是第Ⅲ類曲面時(shí),那么有6定理2

已給二次曲面（6.1-1）,則用不變量來(lái)判別曲面為

何種類型的充要條件是：第Ⅰ類曲面：

；第Ⅱ類曲面：

；第Ⅲ類曲面：

；第Ⅳ類曲面：

；第Ⅴ類曲面：

定理2已給二次曲面（6.1-1）,則用不變量來(lái)判別曲面為6.3.3應(yīng)用不變量化簡(jiǎn)二次曲面的方程

Simplifyingtheequationofaquadraticsurfacebyinvariants

這里應(yīng)用二次曲面的四個(gè)不變量與兩個(gè)半不變量來(lái)化簡(jiǎn)二次曲面的方程.定理3

二次曲面（6.1-1）當(dāng)且僅當(dāng)：(1)是第Ⅰ類曲面時(shí),I3≠0,方程化簡(jiǎn)為其中1,2,3為二次曲面的非零特征根.

(2)是第Ⅱ類曲面時(shí),I3

＝0,I4≠0,方程化簡(jiǎn)為其中1,2為二次曲面的非零特征根.6.3.3應(yīng)用不變量化簡(jiǎn)二次曲面的方程

Simplify8

(3)是第Ⅲ類曲面時(shí),方程化簡(jiǎn)為其中1,2

為二次曲面的非零特征根.(4)是第Ⅳ類曲面時(shí),方程化簡(jiǎn)為(5)是第Ⅴ類曲面時(shí),方程化簡(jiǎn)為

(3)是第Ⅲ類曲面時(shí),二次曲面（6.1-1）的特征方程關(guān)于的方程

==0稱為二次曲面（6.1-1）的特征方程.它是關(guān)于的一元三次方程,即解得三個(gè)特征值為1,2,3,.二次曲面的特征值有以下的性質(zhì)：（1）1,2,3不全為零;（2）1,2,3都是實(shí)數(shù);（3）1+2+3=I1;（4）123=I3.二次曲面（6.1-1）的特征方程關(guān)于的方程定理4

已給二次曲面（6.1-1）,則用它的不變量來(lái)判斷已知曲面為何種曲面的條件是：(1)橢球面：I2>0,I1I3>0,I4<0；(2)虛橢球面：

I2>0,I1I3>0,I4>0；(3)點(diǎn)(或稱虛母線二次錐面)：I2>0,I1I3>0,I4=0；(4)單葉雙曲面：

I3≠0,I2≤0(或

I1

I3≤0),I4>0；(5)雙葉雙曲面：

I3≠0,I2≤0(或

I1

I3≤0),I4<0；定理4已給二次曲面（6.1-1）,則用它的不變量來(lái)判斷已(6)二次錐面：

I3≠0,I2≤0(或

I1

I3≤0),I4=0；(7)橢圓拋物面：

I3=0,I4<0；(8)雙曲拋物面：

I3=0,I4>0；(9)橢圓柱面：

I3=I4=0,I2>0,I1K2<0；(10)虛橢圓柱面：

I3=I4=0,I2>0,I1K2>0；(11)交于一條實(shí)直線的一對(duì)共軛虛平面：

I3=I4=K2=0,I2>0；(6)二次錐面：

I3≠0,I2≤0(或I(12)雙曲柱面：

I3=I4=0,I2<0,K2≠0；(13)一對(duì)相交平面：

I3=I4=K2=0,I2<0；(14)拋物柱面：

I3=I4=I2=0,K2≠0；(15)一對(duì)平行平面：

I3=I4=I2=K2=0,K1<0；(16)一對(duì)平行的共軛虛平面：