微分方程及其求解課件

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法給出特解(p,q為常數(shù))二階常系數(shù)非齊次線性微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解解的疊加原理解的疊加原理一、

為實數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項式,代入原方程,得為m

次多項式.一、為實數(shù),設(shè)特(2)若是特征方程的單根,(3)若是特征方程的重根,即即(1)若不是特征方程的根,可設(shè)可設(shè)可設(shè)(2)若是特征方程的單根,(3)若是特征上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程(k是重根次數(shù)).綜上討論不是根是單根是重根特解形式設(shè)為上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程(k是重根次數(shù)例1.的一個特解.解:本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為例1.的一個特解.解:本題而特征方程為不是特征方程的根.例2.的通解.

解:本題特征方程為其根為對應齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得例2.的通解.解:本題特征方程為其根為對應齊次方程的通例2.的通解.

解:比較系數(shù),得因此特解為所求通解為代入方程得例2.的通解.解:比較系數(shù),得因此特解為所求通解為代入令的特解y*(一般為復根)求可以證明與分別是下列方程的解設(shè)令的特解y*(一般為復根)求可以證明與分別是下列方程的解設(shè)綜上討論(α±iβ)不是根特解形式設(shè)為(α±iβ)是根綜上討論(α±iβ)不是根特解形式設(shè)為(α±iβ)是根解例3的一個特解

.有共軛復根特征方程本題不是特征根的特解令特解解例3的一個特解.有共軛復根特征方程本題不是特征根的特解例3的一個特解

.將特解代入原方程得解例3的一個特解.將特解代入原方程得例3的一個特解

.于是求得一個特解原方程得一個特解例3的一個特解.于是求得一個特解原方程得一個特解解例4的通解

.對應齊次方程特征方程為特征根:對應齊次方程的通解：解例4的通解.對應齊次方程特征方程為特征根:對應齊次方解例4的通解

.齊次通解：特征方程是特征方程的根本題故設(shè)特解為考慮方程解例4的通解.齊次通解：特征方程是特征方程的根本題故設(shè)特解例4的通解

.代入方程整理得于是求得一個特解原方程通解為解例4的通解.代入方程整理得于是求得一個特解原方程通解為一、一階微分方程求解

1.一階標準類型方程求解關(guān)鍵:

辨別方程類型,掌握求解步驟四個標準類型:可分離變量方程,齊次方程,線性方程,*全微分方程小結(jié)一、一階微分方程求解1.一階標準類型方程求解關(guān)鍵:1.可降階的二階微分方程二、高階微分方程求解逐次積分解法:高階

yf(x)型的微分方程1.可降階的二階微分方程二、高階微分方程求解逐次積分解法

yf(x

y)型的微分方程解法:令化為x,p的一階微分方程.則

yf(y

y)型的微分方程解法:令化為y,p的一階微分方程.則yf(xy)型的微分方程解法:令化為x,二階線性微分方程的通解的結(jié)構(gòu)齊次方程的通解的結(jié)構(gòu)如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程

y+P(x)y+Q(x)y=0的兩個線性無關(guān)的解那么y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解其中C1、C2是任意常數(shù)二階線性微分方程的通解的結(jié)構(gòu)齊次方程的通解的結(jié)構(gòu)2.二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導數(shù)只差常數(shù)代入①得稱②為微分方程①的特征方程,(r

為待定常數(shù))①所以令①的解為②其根稱為特征根.因為r為常數(shù)時,函數(shù)(p,q為常數(shù))2.二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導數(shù)只差常數(shù)代入①得實根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程方法步驟①寫出特征方程②求出特征根③按特征根的三種不同情況依下表寫出通解實根特征根通解以上結(jié)論可推3.二階線性微分方程的通解的結(jié)構(gòu)設(shè)y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一個特解

Y(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的通解那么yY(x)y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解

非齊次方程的通解的結(jié)構(gòu)3.二階線性微分方程的通解的結(jié)構(gòu)設(shè)y*(微分方程ypyqyPm(x)ex

的待定特解不是根是單根是重根特解形式設(shè)為微分方程ypyqyPm(x)ex的待定特(α±iβ)不是根特解形式設(shè)為(α±iβ)是根微分方程ypyqyeαxPm(x)cosβx或ypyqyeαxPm(x)sinβx的待定特解整合為(α±iβ)不是根特解形式設(shè)為(α±iβ)是根微分方程則是特解形式設(shè)為整合為的解是的解則是特解形式設(shè)為整合為的解是的解思考題1.微分方程(λ>0)的特解形式為2.微分方程滿足條件y(0)=0的解2011年考研題思考題1.微分方程(λ>0)的特解形式為2.微分方程滿足條設(shè)的特解為設(shè)的特解為則所求特解為思考題3.寫出微分方程的待定特解的形式.解設(shè)的特解為設(shè)則所求特解為練習題3.寫出微分方程的待定特解的形式.解特征根（重根）則所求特解為練習題3.寫出微分方程的待定特解的形式.解特征4.設(shè)F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表達式.4.設(shè)F(x)＝f