圓錐曲線的綜合經(jīng)典例題(有答案)

經(jīng)典例題精析類型一：求曲線的標準方程1.求中心在原點,一個焦點為且被直線截得的弦AB的中點橫坐標為的橢圓標準方程.思路點撥：先確定橢圓標準方程的焦點的位置〔定位〕，選擇相應的標準方程，再利用待定系數(shù)法確定、〔定量〕.解析：方法一：因為有焦點為，所以設橢圓方程為，,由，消去得，所以解得故橢圓標準方程為方法二：設橢圓方程,,,因為弦AB中點,所以，由得,〔點差法〕所以又僅供學習參考故橢圓標準方程為.舉一反三：該焦點與長軸上較近的端點的距離為【答案】依題意設橢圓標準方程為()，并有，解之得，,∴橢圓標準方程為2．根據(jù)以下條件，求雙曲線的標準方程.〔1〕與雙曲線有共同的漸近線，且過點；〔2〕與雙曲線有公共焦點，且過點解析：〔1〕解法一：設雙曲線的方程為由題意，得，解得，所以雙曲線的方程為解法二：設所求雙曲線方程為〔〕，僅供學習參考將點代入得，所以雙曲線方程為即〔2〕解法一：設雙曲線方程為－=1由題意易求又雙曲線過點，∴又∵，∴，故所求雙曲線的方程為.解法二：設雙曲線方程為，將點代入得，所以雙曲線方程為.總結升華：先根據(jù)條件確定雙曲線標準方程的焦點的位置〔定位〕，選擇相應的標準方程，再利用待定系數(shù)法確定、.在第〔1〕小題中首先設出共漸近線的雙曲線系方程.然后代點坐標求得方法簡便.第〔2〕小題實軸、虛軸沒有唯一給出.故應答兩個標準方程.(1)求雙曲線的方程，關鍵是求、，在解題過程中應熟悉各元素〔、、、及準線〕之間的關系，并注意方程思想的應用.(2)假設雙曲線的漸近線方程，可設雙曲線方程為〔〕.舉一反三：【變式】求中心在原點，對稱軸在坐標軸上且分別滿足以下條件的雙曲線的標準方程.〔1〕一漸近線方程為，且雙曲線過點〔2〕虛軸長實與軸長的比為，焦距為10..僅供學習參考【答案】〔1〕依題意知雙曲線兩漸近線的方程是,故設雙曲線方程為，∵點在雙曲線上，∴，解得，∴所求雙曲線方程為.(〔2〕由設,,那么)依題意，解得.∴雙曲線方程為或.3．求滿足以下條件的〔1〕過點；〔2〕焦點在直線：拋物線的標準方程，并求對應拋物線的準線方程：上思路點撥：從方程形式看，求拋物線的標準方程僅需確定一次項系數(shù)；從實際分析，一般需結合圖形確定開口方向和一次項系數(shù)兩個條件，否那么，應展開相應的討論解析：〔1〕∵點在第二象限，∴拋物線開口方向上或者向左當拋物線開口方向左時，設所求的拋物線方程為〔〕，∵過點，∴，∴，∴，開口方向上時，當拋物線設所求的拋物線方程為〔〕，∵過點，∴，僅供學習參考∴，∴，∴所求的拋物線的方程為或，對應的準線方程分別是，.〔2〕令得，令得，∴拋物線的焦點為或當焦點為時，，∴，此時拋物線方程；焦點為時，，∴，此時拋物線方程為∴所求的拋物線的方程為或，對應的準線方程分別是，.總結升華：這里易犯的錯誤就是缺少對開口方向的討論，先入為主，設定一種形式的標準方程后求解，以致失去一解.求拋物線的標準方程關鍵是根據(jù)圖象確定拋物線開口方向，選擇適當?shù)姆匠绦问?，準確求出焦參數(shù)P.舉一反三：【變式1】分別求滿足以下條件的拋物線的標準方程.〔1〕焦點為F(4,0)；〔2〕準線為；〔3〕焦點到原點的距離為1；〔4〕過點〔1，－2〕；〔5〕焦點在直線x-3y+6=0上.【答案】〔1〕所求拋物線的方程為y=16x2；〔2〕所求拋物線的標準方程為x=2y；2〔3〕所求拋物線的方程y=2±4x或x2=±4y；僅供學習參考〔4〕所求拋物線的方程為或；〔5〕所求拋物線的標準方程為y=2－24x或x2=8y.【變式2】拋物線的頂點在原點，焦點在軸負半軸上，過頂點且傾角為的弦長為，求拋物線的方程.【答案】設拋物線方程為()，又弦所在直線方程為由∴，解得兩交點坐標,，解得.∴拋物線方程為.類型二：圓錐曲線的焦點三角形4．、是橢圓〔〕的兩焦點，P是橢圓上一點，且，求的面積.思路點撥：如圖求的面積應利用，即.關鍵是求.由橢圓第一定義有，易求之.,由余弦定理有解析：設,,依題意有，即.僅供學習參考∴.舉一反三：【變式1】設為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，假設，那么的面積為〔〕A．B．C．D．【答案】依據(jù)雙曲線的定義有，由又得、，，那么，即，所以，應選A.【變式2】雙曲線實軸長6，過左焦點的弦交左半支于、兩點，且，設右焦點，求的周長.【答案】：由雙曲線的定義有:，，兩式左、右分別相加得(即.∴.故的周長.【變式3】橢圓的焦點是,直線是橢圓的一條準線.①求橢圓的方程；②設點P在橢圓上,且,求.【答案】僅供學習參考①.②設那么，又.【變式4】雙曲線的方程是.〔1〕求這雙曲線的焦點坐標、離心率和漸近線方程；〔2〕設和是雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，且，求的大小【答案】〔1〕由得，∴，，.焦點、，離心率，漸近線方程為.〔2〕，∴∴僅供學習參考【變式5】中心在原點，焦點在x軸上的一個橢圓與雙曲線有共同焦點和，且，又橢圓長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比.〔1〕求橢圓與雙曲線的方程；〔2〕假設為這兩曲線的一個交點，求的余弦值.【答案】〔1〕設橢圓方程為()，雙曲線方程，那么，解得∵,∴,.故所求橢圓方程為，雙曲線方程為.〔2〕由對稱性不妨設交點在第一象限.設、.由橢圓、雙曲線的定義有:解得由余弦定理有.類型三：離心率5．橢圓上的點和左焦點，橢圓的右頂點和上頂點，當，〔O為橢圓中心〕時，求橢圓的離心率.思路點撥：因為，所以此題應建立、的齊次方程，使問題得以解決.僅供學習參考那么，即.∵，∴，即，∴又∵.，∴.總結升華：求橢圓的離心率，即求的比值，那么可由如下方法求.〔1〕可直接求出、；〔2〕在不好直接求出、的情況下，找到一個關于、的齊次等式或、用同一個量表示；〔3〕假設求的取值范圍，那么想方法找不等關系.舉一反三：【變式1】如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且那么雙曲線的離心率為〔〕是等邊三角形，A．B．C．D．【答案】連接，那么是直角三角形，且，令，那么，，僅供學習參考即，，所以，應選D.【變式2】橢圓〔〕與x軸正半軸交于A點，與y軸正半軸交于B點，F(xiàn)點是左焦點，且，求橢圓的離心率.法一：,,∵又,∴,,，代入上式，得，利用代入，消得,即由，解得,∵,∴.法二：在ΔABF中，∵，，∴，即下略〕【變式3】如圖，橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,過其右焦點F作斜率為1的直線,交橢圓于A、B兩點,假設橢圓上存在一點C,使.求橢圓的離心率.僅供學習參考【答案】設橢圓的方程為〔〕，焦距為,那么直線l的方程為:,由，消去得,設點、那么,∵＋,∴C點坐標為.∵C點在橢圓上,∴.∴又∴∴∴【變式4】設、為橢圓的離心率為_____.，且兩個焦點，點是以為直徑的圓與橢圓的交點，假設，那么橢圓【答案】如圖，點滿足.在中，有：∵，∴,令此橢圓方程為那么由橢圓的定義有,,僅供學習參考∴又∵，∴，，∴∴，∴，即.6．、為橢圓的兩個焦點，為此橢圓上一點，且.求此橢圓離心率的取值范圍；解析：如圖，令,,,那么在中，由正弦定理，∴，令此橢圓方程為(),那么,,∴即〔〕，∴∵,∴,,且為三角形內角，∴，∴,僅供學習參考∴,∴.即此橢圓離心率的取值范圍為.舉一反三：【變式1】橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩個焦點，假設橢圓上存在一點P，使，求其離心率的取值范圍.【答案】△FPF中，，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，12由余弦定理：4c=|PF1|+|2PF2|-2|2PF1||PF2|cos120°①2又|PF1|+|PF2|=2a②聯(lián)立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴【變式2】橢圓的焦點為，，兩條準線與軸的交點分別為，假設，那么該橢圓離心率的取值范圍是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】由得，即，解得，故離心率.所以選D.【變式3】橢圓中心在坐標系原點，焦點在x軸上，過橢圓左焦點F的直線交橢圓P、僅供學習參考Q兩點，且OP⊥OQ，求其離心率e的取值范圍．【答案】e∈[,1)【變式4】雙曲線(a＞1,b＞0)的焦距為2c,直線過點(a,0)和(0,b),且點(1,0)到直線的距離與點(-1,0)到直線的距離之和s≥c．求雙曲線的離心率e的取值范圍．【答案】直線的方程為bx+ay-ab=0．由點到直線的距離公式,且a＞1,得到點(1,0)到直線的距離．同理得到點(-1,0)到直線的距離=．．由s≥c,得≥c,即5a≥2c2．≥2e2．于是得5即4e4-25e2+25≤0．解不等式,得≤e2≤5．由于e＞1,所以e的取值范圍是．類型五：軌跡方程7．中，,,為動點，假設、邊上兩中線長的和為定值15.求動點的軌跡方程.思路點撥：充分利用定義直接寫出方程是求軌跡的直接法之一.應給以重視僅供學習參考解法一：設動點,且,那么、邊上兩中點、的坐標分別為,.∵,∴,即.從上式知，動點到兩定點,的距離之和為常數(shù)30，故動點的軌跡是以,為焦點且,,的橢圓，挖去點.∴動點的軌跡方程是().解法二：設的重心，,動點,且，那么.∴點的軌跡是以,為焦點的橢圓〔挖去點〕，且,,.其方程為().又,代入上式，得()為所求.總結升華：求動點的軌跡，首先要分析形成軌跡的點和條件的內在聯(lián)系，選擇最便于反映這種聯(lián)系的坐標形式，建立等式，利用直接法或間接法得到軌跡方程.舉一反三：【變式1】求過定點且和圓:的軌跡方程.【答案】設動圓圓心,動圓半徑為,.〔1〕動圓與圓外切時，〔2〕動圓與圓內切時，，，1〕、〔2〕有∴動圓圓心M的軌跡是以、為焦點的雙曲線，且,,.故動圓圓心的軌跡方程為.【變式3】圓的圓心為M，圓的圓心為M，一動21圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程.【答案】設動圓圓心P〔x，y〕，動圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得：，.∴.∴動圓圓心P的