知識(shí)講解-復(fù)數(shù)(基礎(chǔ))

【考綱要求】理解復(fù)數(shù)的基本概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件；了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示形式及其幾何意義；能將代數(shù)形式的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上用點(diǎn)或向量表示，并能將復(fù)平面上的點(diǎn)或向量所對(duì)的復(fù)數(shù)用代數(shù)形式表示。會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解兩個(gè)具體相加、相減的幾何意義【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念虛數(shù)單位iii()實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立；4n=i（neN*）說(shuō)明：這里a,beR容易忽視但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù)。所以復(fù)數(shù)的分類(lèi)如下兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等。即：應(yīng)當(dāng)理解()一個(gè)復(fù)數(shù)一旦實(shí)部、虛部確定，那么這個(gè)復(fù)數(shù)就唯一確定；反之一樣()復(fù)數(shù)相等的充要條件是將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)解決問(wèn)題的基礎(chǔ)一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小。如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小；也只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小。兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而且虛部相反，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù)。即：考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其四則運(yùn)算復(fù)數(shù)的代數(shù)形式復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即a+bi（a,beR把復(fù)數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。復(fù)數(shù)除法通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù)：考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)的幾何意義;2原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。復(fù)數(shù)集和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)，這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義，也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法。復(fù)數(shù)的幾何表示()坐標(biāo)表示在復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn)Z(a,b)表示復(fù)數(shù)z=a+bi（a,beR2()兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小。如果復(fù)數(shù)z、z分別對(duì)應(yīng)于向量OP、OP，那么以O(shè)P、OP為兩邊作平行四邊形OPSP，對(duì)角線要點(diǎn)詮釋復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算一般用代數(shù)形式進(jìn)行；求解計(jì)算時(shí)，要充分利用的性質(zhì)計(jì)算問(wèn)題；在復(fù)數(shù)的求解過(guò)程中，要注意復(fù)數(shù)整體思想的把握和應(yīng)用；【典型例題】類(lèi)型一：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念【思路點(diǎn)撥】利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念易求得。【答案】222舉一反三：2-iA．2B2C-D.-【答案】Ai，2-a5【解析】222+1必為純虛數(shù)是虛數(shù)但不一定是純虛數(shù)必為實(shí)數(shù)可能是實(shí)數(shù)也可能是虛數(shù)【答案】22仁牛M∩N≠Φ,求整數(shù)a,b【思路點(diǎn)撥】先判斷兩集合元素的關(guān)系，再列方程組，進(jìn)而解方程組，最后檢驗(yàn)結(jié)果是否符合條件。【解答】222-【總結(jié)升華】2、利用復(fù)數(shù)相等可實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。解題時(shí)要把等號(hào)兩邊的復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式。類(lèi)型三：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算【思路點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)除法通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù)。3-4i(3-4i)(3+4i)-i2【總結(jié)升華】復(fù)數(shù)除法關(guān)鍵是把分母實(shí)數(shù)化，通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，利用i2=-1進(jìn)行運(yùn)算。()8【答案】：原式2]42(2i)4-+解法二：驗(yàn)證法驗(yàn)證每個(gè)選項(xiàng)與的積，正好等于的便是答案—【思路點(diǎn)撥】可不設(shè)代數(shù)形式利用整體代換的思想求解=+,+=++=+∈,∴+=,∴+=±,【總結(jié)升華】1、復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算可以類(lèi)比多項(xiàng)式運(yùn)算分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式2、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，此時(shí)含有虛數(shù)單位i的看作一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)，不含i的看作另一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)，分別合并即可，但要注意把i的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)單的形式，在運(yùn)算過(guò)程中，要熟透i的特點(diǎn)及舉一反三：a,beRa,beR11-7i5【答案】A-4-3i【解析】選為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)3+4i=iii2類(lèi)型三：復(fù)數(shù)的幾何意義圍于z的實(shí)部大于零而虛部小于零。(1+i)-m(4+i)-6i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()∴me(3,4)，故選【答案】C【解析】復(fù)數(shù)6＋5i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A(6,5)，復(fù)數(shù)－2＋3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋4i.類(lèi)型四：化復(fù)數(shù)問(wèn)題為實(shí)數(shù)問(wèn)題【例】已知x,y互為共軛復(fù)數(shù)，且(x+y)2-3xyi=4-6i求x,y【思路點(diǎn)撥】設(shè)z=a+bi（a,beR）代入條件，把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題，易得a、b的兩個(gè)方22【總結(jié)升華】用一個(gè)復(fù)數(shù)都可通過(guò)這一形式將問(wèn)題化虛為實(shí)；設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)研究是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的常用方法。2-42【思路點(diǎn)撥】根的判別式只適用實(shí)系數(shù)的一元二次方程，虛系數(shù)有實(shí)根用兩復(fù)數(shù)相等，化虛為實(shí)。【解析】設(shè)x為方程的一個(gè)實(shí)根，則有02【總結(jié)升華】設(shè)出實(shí)根，化虛為實(shí)，再利用兩復(fù)數(shù)相等?！敬鸢浮浚涸O(shè)實(shí)根為x則0即(2x2