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【考綱要求】理解復(fù)數(shù)的基本概念,理解復(fù)數(shù)相等的充要條件;了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示形式及其幾何意義;能將代數(shù)形式的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上用點或向量表示,并能將復(fù)平面上的點或向量所對的復(fù)數(shù)用代數(shù)形式表示。會進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算,了解兩個具體相加、相減的幾何意義【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念虛數(shù)單位iii()實數(shù)可以與它進行四則運算,進行四則運算時,原有加、乘運算律仍然成立;4n=i(neN*)說明:這里a,beR容易忽視但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù)。所以復(fù)數(shù)的分類如下兩個復(fù)數(shù)相等的定義:如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等,那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等。即:應(yīng)當理解()一個復(fù)數(shù)一旦實部、虛部確定,那么這個復(fù)數(shù)就唯一確定;反之一樣()復(fù)數(shù)相等的充要條件是將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為實數(shù)解決問題的基礎(chǔ)一般地,兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等,而不能比較大小。如果兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù),就可以比較大小;也只有當兩個復(fù)數(shù)全是實數(shù)時才能比較大小。兩個復(fù)數(shù)的實部相等,而且虛部相反,那么這兩個復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù)。即:考點二:復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其四則運算復(fù)數(shù)的代數(shù)形式復(fù)數(shù)通常用字母z表示,即a+bi(a,beR把復(fù)數(shù)表示成a+bi的形式,叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。復(fù)數(shù)除法通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù):考點三:復(fù)數(shù)的幾何意義;2原點外,虛軸上的點都表示純虛數(shù)。復(fù)數(shù)集和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系,即個復(fù)數(shù)和它對應(yīng),這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義,也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法,即幾何表示方法。復(fù)數(shù)的幾何表示()坐標表示在復(fù)平面內(nèi)以點Z(a,b)表示復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR2()兩個復(fù)數(shù)不全是實數(shù)時不能比較大小,但它們的模可以比較大小。如果復(fù)數(shù)z、z分別對應(yīng)于向量OP、OP,那么以O(shè)P、OP為兩邊作平行四邊形OPSP,對角線要點詮釋復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算一般用代數(shù)形式進行;求解計算時,要充分利用的性質(zhì)計算問題;在復(fù)數(shù)的求解過程中,要注意復(fù)數(shù)整體思想的把握和應(yīng)用;【典型例題】類型一:復(fù)數(shù)的有關(guān)概念【思路點撥】利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念易求得?!敬鸢浮?22舉一反三:2-iA.2B2C-D.-【答案】Ai,2-a5【解析】222+1必為純虛數(shù)是虛數(shù)但不一定是純虛數(shù)必為實數(shù)可能是實數(shù)也可能是虛數(shù)【答案】22仁牛M∩N≠Φ,求整數(shù)a,b【思路點撥】先判斷兩集合元素的關(guān)系,再列方程組,進而解方程組,最后檢驗結(jié)果是否符合條件?!窘獯稹?22-【總結(jié)升華】2、利用復(fù)數(shù)相等可實現(xiàn)復(fù)數(shù)問題實數(shù)問題的轉(zhuǎn)化。解題時要把等號兩邊的復(fù)數(shù)化為標準的代數(shù)形式。類型三:復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運算【思路點撥】復(fù)數(shù)除法通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù)。3-4i(3-4i)(3+4i)-i2【總結(jié)升華】復(fù)數(shù)除法關(guān)鍵是把分母實數(shù)化,通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù),利用i2=-1進行運算。()8【答案】:原式2]42(2i)4-+解法二:驗證法驗證每個選項與的積,正好等于的便是答案—【思路點撥】可不設(shè)代數(shù)形式利用整體代換的思想求解=+,+=++=+∈,∴+=,∴+=±,【總結(jié)升華】1、復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算分母的共軛復(fù)數(shù),注意要把的冪寫成最簡形式2、復(fù)數(shù)的四則運算類似于多項式的四則運算,此時含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項,不含i的看作另一類同類項,分別合并即可,但要注意把i的冪寫成最簡單的形式,在運算過程中,要熟透i的特點及舉一反三:a,beRa,beR11-7i5【答案】A-4-3i【解析】選為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)3+4i=iii2類型三:復(fù)數(shù)的幾何意義圍于z的實部大于零而虛部小于零。(1+i)-m(4+i)-6i所對應(yīng)的點在第二象限,則實數(shù)m的取值范圍是()∴me(3,4),故選【答案】C【解析】復(fù)數(shù)6+5i對應(yīng)的點為A(6,5),復(fù)數(shù)-2+3i對應(yīng)的點為對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+4i.類型四:化復(fù)數(shù)問題為實數(shù)問題【例】已知x,y互為共軛復(fù)數(shù),且(x+y)2-3xyi=4-6i求x,y【思路點撥】設(shè)z=a+bi(a,beR)代入條件,把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題,易得a、b的兩個方22【總結(jié)升華】用一個復(fù)數(shù)都可通過這一形式將問題化虛為實;設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來研究是解決復(fù)數(shù)問題的常用方法。2-42【思路點撥】根的判別式只適用實系數(shù)的一元二次方程,虛系數(shù)有實根用兩復(fù)數(shù)相等,化虛為實?!窘馕觥吭O(shè)x為方程的一個實根,則有02【總結(jié)升華】設(shè)出實根,化虛為實,再利用兩復(fù)數(shù)相等?!敬鸢浮浚涸O(shè)實根為x則0即(2x2
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