2023屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)函數(shù)的性質(zhì)-單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性含答案

2023屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)函數(shù)的性質(zhì)-單調(diào)性、奇偶性、周

期性、對(duì)稱性

目錄

一、常規(guī)題型方法1

題型一函數(shù)的單調(diào)性1

題型二函數(shù)的奇偶性4

題型三單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用10

題型四函數(shù)的周期性13

題型五函數(shù)的對(duì)稱性18

題型六周期性與對(duì)稱性的綜合應(yīng)用22

二、針對(duì)性鞏固練習(xí)26

練習(xí)一函數(shù)的單調(diào)性26

練習(xí)二函數(shù)的奇偶性28

練習(xí)三單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用30

練習(xí)四函數(shù)的周期性32

練習(xí)五函數(shù)的對(duì)稱性34

練習(xí)六周期性與對(duì)稱性的綜合應(yīng)用36

常規(guī)題型方法

題型一函數(shù)的單調(diào)性

【典例分析】

典例1-1.（2020?天津?高一期末）函數(shù)/（7）=1084一22+62—5）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.（-oo,3]B.[3,+oo）C.（1,3]D.[3,5）

典例1—2.（2022?湖北武漢?高一期中）若二次函數(shù)/0）=a/+（a+6）c—5在區(qū)間（一8,1）為增函

數(shù)，則a的取值范圍為（）

A.[—2,0）B.[-2,0]C.（-2,0]D.（-2,0）

典例1—3.（浙江省臺(tái)州山海協(xié)作體2022—2023學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)/Q）=

—2Q￡CH---Q.X1

?2’是定義在凡上的減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

—,立＞1

X'

A.[1,2]B.[1,2）C.[1,+8）D.（0,1]

【方法技巧總結(jié)】

1.函數(shù)單調(diào)性的判斷方法有:定義法、性質(zhì)法、圖像法、導(dǎo)數(shù)法。

2.技巧：定義法為新課階段重點(diǎn)，高考使用頻率并不高，性質(zhì)法只處理函數(shù)的加減運(yùn)算，不處理乘除運(yùn)算，圖

像法利用好數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)處理問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)法處理復(fù)雜函數(shù)。

3.注意:求解單調(diào)區(qū)間要注意函數(shù)本身定義域;如果函數(shù)在多個(gè)不同的區(qū)間內(nèi)都是單調(diào)的，結(jié)果中各區(qū)間之

間可能用“和”也可能用"U”,需注意區(qū)分;復(fù)合函數(shù)注意“同增異減”。

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試）函數(shù)/（0）=32。7—2乂3，-2的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.[2,+°o）B.[1,+co）C.[0,+°°）D.[—2,4-0°）

2.（2022?河北.唐山市第十一中學(xué)高三階段練習(xí)）若函數(shù)/⑺=一02+2四—2在（3,+8）上是減函數(shù)，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是（）

A.（-8,3]B.（―co,1）C.[3,+oo）D.（―oo,3）

3.（浙江看北斗聯(lián)=2022—2023學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)/⑺=

產(chǎn)+如：8滿足對(duì)任意如啊e（_8,1],且都有/（切一〃電）V0成立，則a

的范圍是（）

A.[2,4）B.[3,4）C.（-oo,-2]D.[-2,4）

題型二函數(shù)的奇偈性

【典例分析】

典例2-1.（2022?北京市一六一中學(xué)方三期中）關(guān)于函數(shù)/（0=皿（7七-1）,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.定義域?yàn)椋ㄒ?,1）B.圖象關(guān)于9軸對(duì)稱C.圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增

典例2—2.（2022?寧夏?紅川市第六中學(xué)商三期中（理））函數(shù)=的圖像大致為（）

211—4

典例2-3.（2022?陜西?渭南市瑞泉中學(xué)高三階段練習(xí)（文））函數(shù)y=/（⑼是R上的奇函數(shù)，當(dāng)cVO

時(shí)，/（X）=2H+C,則當(dāng);r>0時(shí)，/（2）=（）

A.—2,+。B.2-x-xC.-2-x+xD.2x-x

典例2—4.（2022?安徽省杯寧縣第二中學(xué)高三階段練習(xí)）若函數(shù)/Q）=din（五旺五一叫為偶函數(shù)，

則a=（）

A.4-B.-J-C.1D.2

42

典例2—5.（2022.安徽舜范大學(xué)府屬中學(xué)方一期中）已知函數(shù)/Q）=/+3》+春言+5,若/（一7）=

一7,則/（7）=（）

A.17B.12C.-7D.-17

【方法技巧總結(jié)】

1.函數(shù)奇偶性的判斷方法有:定義法、性質(zhì)法、圖像法。

2.定義法注意函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,才可能會(huì)有奇偶性;性質(zhì)法與單調(diào)性不同，加減乘除都有性

質(zhì)，可以用舉例子驗(yàn)證的方法幫助記憶；圖像法注意對(duì)稱的情況；另外復(fù)合函數(shù)注意口訣“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇

同外”。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?黑龍江-IM!■江市第三方級(jí)中學(xué)方一階段練習(xí)）設(shè)/⑺=（9）ZeR,則/（0是（）

A.奇函數(shù)且在（一8,0）上單調(diào)遞減B.偶函數(shù)且在（-oo,0）上單調(diào)遞減

C.奇函數(shù)且在（O,+oo）上單調(diào)遞減D.偶函數(shù)且在（0,+oo）上單調(diào)遞減

|工|

2.（2022?江蘇?南京舜大附中方三期中）函數(shù)/（0=三的圖象大致為（）

Zx

3.（2022?安微卿范大學(xué)渺屬中學(xué)方一期中）已知/Q）是R上的偶函數(shù)，當(dāng)。＞0時(shí)，/（z）=。+衍T,則0

V0時(shí),/（工）=（）

A.-x-V1—xB.x-V1—xC.-x+V1—xD.x+y/1—x

4.（2022-黑龍江?哈爾濱七十三中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)/（⑦）=?3"—『），則”函數(shù)/（c）為偶函數(shù)”

是％=1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2021?山東盾，?島第六十七中學(xué)H一期中）已知函數(shù)/3）=33+故+29#0）滿足/（—3）=5,則”3）

等于（）

A.2B.-5C.-1D.-3

題型三單調(diào)性與奇偈性的貽應(yīng)用

【典例分析】

典例3-1.(2022-廣東?深圳市燕川中學(xué)商一期中)偶函數(shù)/(2)的定義域?yàn)镽,且對(duì)于任意環(huán)ge

(—8,0](x,片g)，均有,⑹二八切vo成立，若一°)</(2a-1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

1力2

A.(y.+oo)B.(-00,0)U(y,+oo)

C.(0,-y)D.

典例3-2.(2022?廣西?高一階段練習(xí))己知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)/Q)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，且/(一5)

=0,則滿足3—3)/(0>0的2的取值范圍是()

A.(-5,0)U(3,5)B.(-5,0)U(0,5)C.(-0o,-5)U(0,5)D.(-5,-3)U(3,5)

典例3-3.(2022?湖北?應(yīng)城第一高級(jí)中學(xué)方一期中)設(shè)偶函數(shù)/Q)在區(qū)間口,+8)上單調(diào)遞增，則

()

A.f(-1)</(-1)</(2)B./(2)</(-1)

C./(2)</(-1)D.f(-l)</(-1)</(2)

【方法技巧總結(jié)】

1.題型主要有:解不等式和比較大小。

2.技巧：根據(jù)單調(diào)性和奇偶性畫出函數(shù)草圖，注意端點(diǎn)的開閉情況,并根據(jù)圖像去解不等式或比較大小。另

外,偶函數(shù)在解不等式時(shí)要注意比較自變量到對(duì)稱軸的距離，不然討論起來(lái)太過(guò)麻煩。

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?陜西?西安■中學(xué)高一期中)已知g(⑼為定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)aWb,有以口)一號(hào)⑹。

<0,若g(館)+g(m—2)>0,則實(shí)數(shù)小的取值范圍是()

A.(3,+°°)B.(—8,3)C.(1,+°°)D.(—8,1)

2.(2022?福堂?及門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校方一期中)已知函數(shù)/Q)為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)，若/(/)

=0,則』詈40的解集是()

A.(-8,—u(o,y]B.(―00)—y]U(y,+°o)

C.[-4,。)U(0,切D.[方,+8)

3.(2022.江蘇?榆州市第七中學(xué)方三階段練習(xí))已知函數(shù)人0)=e，+6$記。=/(log^J,d=/(2.3,l3),c=

/。0改1。)，則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

題型四函數(shù)的周期性

【典例分析】

典例4—1.(2020?直慶市南開中學(xué)高一階盤練習(xí))已知定義在五上的函數(shù)/Q)滿足/(0=八。+5),當(dāng)

xG[-2,0)時(shí),/(。)=—(x+2戶,當(dāng)a6[0,3)時(shí),f㈤=X,則/(I)+/(2)H----F/(2021)=()

A.809B.811C.1011D.1013

典例4-2.(2022-四川省薛相南山中學(xué)南二期末(文))已知定義在R上的函數(shù)/(c)滿足/Q)=-/(x+

2),當(dāng)a;￡(0,2]時(shí),/(，)=2I+logI,則/(2023)等于()

3

A.-2B.2C.7D.9

典例4-3.(2022?全國(guó)?模擬fll測(cè))已知函數(shù)/3)的定義域?yàn)镽,且f(c+2)=/(x-2)+2022/(2)對(duì)

任意恒成立，又函數(shù)/(土+2021)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一2021,0)對(duì)稱，且f⑴=2022,則/(2021)=()

A.2021B.-2021C.2022D.-2022

典例4—4.(2022?河北?方三階段練習(xí))已知函數(shù)y=/Q)是定義在H上的奇函數(shù),且滿足73+2)=

—/(7)，當(dāng)[—2,0]時(shí)，/(z)=4+0；,則當(dāng)a;W[4,6]時(shí),f(x)—()

A.x2—7x+12B.-X2+9x—20C.-x~+7x—12D.-x2,+9x+20

【方法技巧總結(jié)】

1.技巧:熟練掌握各類周期性公式，并根據(jù)周期把所求函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

2.注意:兩抽象函數(shù)相等，括號(hào)里相減為常數(shù)，則有周期性，最小正周期即該常數(shù)絕對(duì)值，另外還有三類變化

型公式需記憶，無(wú)法背誦結(jié)論的，需用替換法結(jié)合方程組的思想進(jìn)行處理化簡(jiǎn)進(jìn)而求出周期。

【變式訓(xùn)練】

1.(2020*湖北荊州,商一期末)已知函數(shù)/(。)的定義域?yàn)镽,當(dāng)cV0時(shí)，f(x)=2丈,當(dāng)一1W力&1時(shí)，

f(-x)+/(4)=0,當(dāng)①>0時(shí),/>+/)=/([-]),則7(2020)=()

A.-2B.-1C.1D.2

2.(2019?安徽安徽?商三階盤練習(xí)(文))定義在A上函數(shù)/(乃滿足+，且當(dāng)工€時(shí),

JW

x+a,-1^X<O_

0-VI諾/（V）=嗚）'則〃5a）=（）

/(力)=,lf-4

A?看1113

Br?一而D.

--ic16

3.(2020?海南??？谝恢蟹饺A段練習(xí))若為偶函數(shù)，滿足〃%)?/(力+3)=2020,〃-1)=1,則

/(2020)的值為()

A.0B.1C.1010D.2020

4.(2020?河南?新鄉(xiāng)市第一中學(xué)高一階段練習(xí))己知/⑸是定義在R上周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí),

/(x)=㈤,那么當(dāng)［-7,-5］時(shí)f(c)=()

A.\x+3|B.\x-3|C.|x+6|D.|①一6|

題型五函數(shù)的對(duì)稱性

【典例分析】

典例5—1.（2022?吉林吉林?高三階段練習(xí)）已知函數(shù)/（0的定義域?yàn)锳,滿足〃2—0=/3）,且在

（—8,1）上單調(diào)遞增,則關(guān)于x的不等式/（2-x）>/（3+2c）的解集為（）

A.（-8,-3）U（一/+8）B.（-3,-j）

C.（-00,-3）D.（一皆,+8）

典例5—2.（2022?寧夏石嘴山?一模（文））設(shè)函數(shù)y=f（c）的定義域?yàn)?。，若?duì)任意的gWO,且必

+g=2a,恒有/Qi）+/（g）=2b,則稱函數(shù)/（⑼具有對(duì)稱性,其中點(diǎn)（a,b）為函數(shù)y=/Q）的對(duì)稱中心，

研究函數(shù)/（2）=*-1+」]+tan（x-1）的對(duì)稱中心，則/（益D）+/（'）+/（9099）+…+

JbJL乙UN///

■￡4204232、）_一（/x）

A.0B.2022C.4043D.8086

典例5-3.（2021.江西九江?商二期末（文））若函數(shù)/（⑼與g（c）=3"的圖象關(guān)于直線c=3對(duì)稱，則

/（⑼=（）

A.3A3B.33rc.3。-6D.36f

【方法技巧總結(jié)】

1.技巧:掌握對(duì)稱軸與對(duì)稱中心的公式,并能熟練使用即可。

2.注意：兩抽象函數(shù)相等或相加為常數(shù)，括號(hào)里相加為常數(shù)，則有對(duì)稱性，對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心橫坐標(biāo)都是該

常數(shù)的一半，這是幫助記憶與區(qū)分對(duì)稱性與周期性的公式。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?廣東?深圳市南山區(qū)華僑城中學(xué)高三階段練習(xí)）己知定義在R上的函數(shù)滿足/Q）=

/（2—z）,其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,0）,且對(duì)任意的、x2e（1,+8）,且①]片處，（為一電）[/（的）一/（g）]>0恒成立,

則不等式（。-1）/（。）>0的解集為（）

A.（-00,1]B.[l,+oo）C.（-c?,0]U[l,2]D.[0,1]U[2,4-00）

2.（2022-全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））已知定義在A上的函數(shù)〃①）滿足:①/Q）+/（2—0=0；②"⑼一

〃一2-0=0；③在[-1,1]上的表達(dá)式為,①e[T'O]，則函數(shù)/3）與函數(shù)

（2]，

gQ）=Ie。””>（）的圖象在區(qū)間[-3,3]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

I,viz.U

A.3B.4C.5D.6

3.（202L陜西省洛南中學(xué)高二階段練習(xí)（文））下列函數(shù)中,其圖象與函數(shù)y=2"的圖象關(guān)于直線工=1對(duì)稱

的是（）

1+l2+2：

A.9=2-B.?=22-HC.y=2D.y=2

題型六周期性與對(duì)稱性的綜合應(yīng)用

【典例分析】

典例6-1.(淅江省溫州市2022—2023學(xué)年高二上學(xué)期期中教學(xué)試題)已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)/3),

滿足/(1+x)=f(l-⑼，且當(dāng)［0,1］時(shí)/Q)=2，-1,則/(7)的值為()

A.-1B.0C.1D.2

典例6-2.(2022-福建寧德?商一期中)已知/(2)的定義域?yàn)镽JM)為偶函數(shù)，f(：r+1)為奇函數(shù)，且

當(dāng)1—W2時(shí),/Q)=2(x-1),則f(孑)的值等于()

A.1B.-1C.5D.-5

典例6—3.(2022?北京市第十七中學(xué)南一期中)已知/(土)是定義域?yàn)?一8,+8)的奇函數(shù)，滿足

/(I-⑼=/(1+0)，若八1)=1,則/⑴+f⑵+/(3)+/(4)+……+/(2020)+/(2021)+/(2022)=()

A.0B.1C.2D.2021

【方法技巧總結(jié)】

L技巧:根據(jù)函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性可以推導(dǎo)出函數(shù)的周期性。

2.注意:周期性與對(duì)稱性都可以結(jié)合奇偶性來(lái)互相推導(dǎo):周期性與對(duì)稱性作為函數(shù)的重要工具，需熟練應(yīng)用

到各類題型中去。

【變式訓(xùn)練】

1.(2022-福建泉州?南三期中)已知定義在尺上的奇函數(shù)/(立)滿足"2-x)=f(x)，當(dāng)0</<1時(shí)，f(x)=

23則/(l+log22022)=()

AI。"R1024r1011D1024

~1024~101110241011

2.(2022?淅江?方一期中)己知/Q)是定義在R上的偶函數(shù),且函數(shù)/Q+l)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若/(0)

=1,則/(2022)+/(2023)的值為()

A.0B.1C.-1D.2

3.(2022-江西看豐城中學(xué)方三開學(xué)考試(理))已知函數(shù)夕=/Q)是定義在R上的奇函數(shù),滿足/(1—0=/

(1+⑼.若/(I)=2,則/(I)+/(2)+-+/(50)=()

A.-50B.0C.2D.50

針對(duì)性鞏固練習(xí)

練習(xí)一函數(shù)的單調(diào)性

1.(2020?湖南?落利縣城審科學(xué)研究宜寄一期中)已知函數(shù)/Q)=5-五三，則/Q)()

A.在(1,+8)上單調(diào)遞增B.在(—1,+8)單調(diào)遞增

C.在(一1,+8)上單調(diào)遞減D.在(1,+8)單調(diào)遞減

2.(2022?四川看內(nèi)江市第六中學(xué)高三開學(xué)考試(理))“0<a4■”是“函數(shù)/⑺=a/-c+1在區(qū)間

(-8,3］上單調(diào)遞減”的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2022?湖北?沙市中學(xué)南一階代練習(xí)）函數(shù)/（4）=<、在R上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)

—xl—（a+l）x+2a,x>0

a的取值范圍是（）

A.（—1,0）B.[—1,0]C.（—1>+°°）D.[—1,+°0）

練習(xí)二函數(shù)的奇偶性

4.（2022?全國(guó),商一專題練習(xí)）函數(shù)/Q）=拿上的圖象關(guān)于（）對(duì)稱

A.原點(diǎn)B.y^xC.工軸D.y軸

5.（2022-浙江臺(tái)州?方二期木）已知函數(shù)/（x）=\n（Vl+^+x）-sine則函數(shù)/Q）的大致圖像為（）

6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（⑼是奇函數(shù)，且當(dāng)工>0時(shí)，/（。）=10，+/+1,那么當(dāng)工<0時(shí),

/①）的解析式是（）

A.——I-x—1B.-l-c—lC.~^——x+1D.-----------x+1

10工10工1041伊

7.（2022?安徽雷麻州市第三中學(xué)高一期中）已知函數(shù)〃。）=a/-W-3a-b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)?/p>

[2%1-小則（）

11

A.a=—,i>=0B.a=-l,b=OC.a=l,b=lD.a=一■6=-1

JJ

8.（2022.廣西?玄一院長(zhǎng)練習(xí)）已知函數(shù)/㈤=a/_乞+3,且〃5）=—2,則/（—5）=（）

X

A.-2B.2C.3D.8

練習(xí)三單調(diào)性與奇偈性的綜合應(yīng)用

1

9.（2022?安徽?玄一期中）設(shè)函數(shù)/Q）=2㈤―，使得/（0>/（3x-1）成立的。的取值范圍是（)

1+x2

B-(-8=)U(/,+8)

D.(—co,一■U(-j-.+oo)

10.（2022?江蘇省江浦方級(jí)中學(xué)商一期中）已知/Q）是奇函數(shù)，且在（0,+8）上是增函數(shù)，又"2）=0,則

—1）V0的解集為（）

A.(—1,0)U(1,3)B.(—00,—1)U(1,3)C.(—1,0)U(3,+°°)D.(—00,-1)U(3,+°O)

IL(2022?北京?大峪中學(xué)高一期中)若/(力)是定義在(-oo,+oo)上的偶函數(shù)，VXI,X2E[0,+8)(為#立2)，有

，㈣匚』包>一<0,則()

*D,2427]

A./(3)</(1)<f(-2)B./(I)</(-1)</(3)

C./(-2)</(1)</(3)D.f(3)</(-2)<f(l)

練習(xí)四函數(shù)的周期性

12.(2011-河北石家莊?一模(理))定義在貝上的偶函數(shù)f3)滿足73)=/3+2),當(dāng)工€[3,4]時(shí)/Q)=C一

2,則

A.B,/(-y)</(y)C,D,/(-y)</(y)

13.(2022-陜西西安?一模(理))已知函數(shù)/(X)滿足/(1+4)=-/(工一1),當(dāng)1<c<2時(shí)，/(2；)=2“一1,則/

(2021)=()

A.-1B.0C.1D.2

14.(2008-四川?方才真題(理))設(shè)定義在H上的函數(shù)/(0滿足/(7)?/(>+2)=13,若"1)=2,則f(99)=(

)

A.13B.2C.-y-D.會(huì)

15.(2022-全國(guó)?商三專題練習(xí))已知函數(shù)/Q)滿足+2)=f(x)，當(dāng)2e(-1,0)時(shí)，有『3)=2",則當(dāng)工e

(一3,—2)時(shí),/3)等于()

練習(xí)五函數(shù)的對(duì)稱性

16.(2022?廣西?桂電中學(xué)高三階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/⑺滿足/(Z一1)=/(3—0，且V%gC

[1,+co),皿W電,都有>。，/(3)=3.若對(duì)VxG(1,3),f(2x—a')—3>0恒成立，則a的

取值范圍是()

A.(-1,9)B.[-1,7]

C.(—oo,—l)U(9,+<?)D.(—oo,—l]U[7,+8)

17.(2022-浙江?南三專題練習(xí))已知函數(shù)/(c)=」一+sinx+1,定義域?yàn)镽的函數(shù)ff(x)滿足g(-x)+

sine

ff(.x)=2,若函數(shù)y=/Q)與，=g(rc)圖象的交點(diǎn)為出,劭)，(電,他)，…，(叫物)，則匯(為+功)=()

￡=1

A.0B.4C.8D.12

18.(2022.廣東?高三開學(xué)考武)下列函數(shù)與沙=e"關(guān)于/=1對(duì)稱的是()

A.y=e.X—1B.y=e!C.y=e2fD,y=Inx

練習(xí)六周期性與對(duì)稱性的綜合應(yīng)用

19.(2022?江西*■州?高三期中(文))定義在A上的偶函數(shù)/㈤滿足/㈤+/(4-⑼=0,且當(dāng)/[0,2]時(shí)，/

3)=-/+4,則/(2021)=()

A.-4B.-2C.-1D.—3

20.(2022-黑龍江?杜丹江市第二高it中學(xué)方三階盤練習(xí))函數(shù)y=/(⑼對(duì)任意ceR都有/(,+2)=/(⑼

成立，且函數(shù)夕=/3—1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，/(1)=4,則/(2020)4-/(2021)+/(2022)=()

A.4B.3C.2D.1

21.(2022?江西?桂川一中方三階段練習(xí)(理))已知/(⑼是定義域?yàn)?—8,+8)的奇函數(shù)，滿足/(I一乃=

/(1+?).若f(l)=2,則*1)+/(2)+/(3)+“?+/(10)=()

A.0B.2C.4D.20

函數(shù)的性質(zhì)-單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性

目錄

一、常規(guī)題型方法1

題型一函數(shù)的單調(diào)性1

題型二函數(shù)的奇偶性4

題型三單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用10

題型四函數(shù)的周期性13

題型五函數(shù)的對(duì)稱性18

題型六周期性與對(duì)稱性的綜合應(yīng)用22

二、針對(duì)性鞏固練習(xí)26

練習(xí)一函數(shù)的單調(diào)性26

練習(xí)二函數(shù)的奇偶性28

練習(xí)三單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用30

練習(xí)四函數(shù)的周期性32

練習(xí)五函數(shù)的對(duì)稱性34

練習(xí)六周期性與對(duì)稱性的綜合應(yīng)用36

常規(guī)題型方法

題型一函數(shù)的單調(diào)性

【典例分析】

典例1一1.(2020?天津?高一期末)函數(shù)/3)=logJ—c2+6rc—5)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(-oo,3]B.[3,+oo)C.(1,3]D.[3,5)

【答案】C

【分析】首先由函數(shù)解析式，求其定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性，可

得答案.

【詳解】由/(X)=logi(—x2+6x—5),則—x2+6工-5>0,(c—5)3—1)<0,解得■1<工<5,即函數(shù)

3

/3)的定義域(1,5),

由題意，令9(土)=logix,h(x)=-x2+6x—5,JO'Jf(x)=g(/i(x)),

易知gQ)在其定義域上單調(diào)遞減，要求函數(shù)fQ)的單調(diào)遞減區(qū)間，需求在(1,5)上二次函數(shù)從工)的遞增

區(qū)間，

由h(x)=-a;2+6x—5=—(x—3)2+4,則在(1,5)上二次函數(shù)比(0的遞增區(qū)間為(1,3),

故選：C.

典例1—2.(2022-湖北武漢?高一期中)若二次函數(shù)/(⑼=ax2+(a+6)c—5在區(qū)間(一8,1)為增函

數(shù)，則a的取值范圍為()

A.[-2,0)B.[-2,0]C.(-2,0]D.(-2,0)

【答案】A

[分析]根據(jù)條件確定二次函數(shù)的圖象應(yīng)開口向下，再利用端點(diǎn)值和對(duì)稱軸比較大小.

【詳解】當(dāng)a<0時(shí)，一用詈31,解得：a)一2,所以一2WaV0,

當(dāng)a>()時(shí)，不滿足條件,

綜上可知：-2WaV0

故選:A

典例1-3.(浙江看臺(tái)州山海協(xié)作體2022—2023學(xué)年方一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/Q)=

22—2QCH—~(ix1

-2’是定義在R上的減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

—,x>l

X'

A.[1,2]B.[1,2)C.”,+8)D.(0,1]

【答案】A

[分析]根據(jù)二次函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分割點(diǎn)處函數(shù)值之間的關(guān)系，列出不等式，求解即可.

X2—'lax+-^-a,cW1

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)〃⑼={是定義在R上的減函數(shù),

a:>l

~x,

a>l

所以，a>0,解得lWa42,即a€[1,2].

12a+號(hào)a>a

故選：A.

【方法技巧總結(jié)】

1.函數(shù)單調(diào)性的判斷方法有:定義法、性質(zhì)法、圖像法、導(dǎo)數(shù)法。

2.技巧:定義法為新課階段重點(diǎn)，高考使用頻率并不高，性質(zhì)法只處理函數(shù)的加減運(yùn)算，不處理乘除運(yùn)算，圖

像法利用好數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)處理問(wèn)題,導(dǎo)數(shù)法處理復(fù)雜函數(shù)。

3.注意:求解單調(diào)區(qū)間要注意函數(shù)本身定義域:如果函數(shù)在多個(gè)不同的區(qū)間內(nèi)都是單調(diào)的，結(jié)果中各區(qū)間之

間可能用“和”也可能用“U”,需注意區(qū)分;復(fù)合函數(shù)注意“同增異減”。

【變式訓(xùn)練】

1.(2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試)函數(shù)/(。)=32i—2x3-2的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.[2,+co)B.[l,+oo)C.[0,+°°)D.[-2,+8)

【答案】A

【分析】利用換元法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求解.

【詳解】解：函數(shù)/(工)=3勿t_2x3k2=(31)2-2x3T

令3，T=t,(t>o)

所以原函數(shù)化為：y=/一2t,對(duì)稱軸為t—1,該函數(shù)在tG[l,4-oo)單調(diào)遞增

而3。-2=七，1/3)=3-2><31在;re[2,+8)上單調(diào)遞增

故選：A.

2.(2022-河北?唐山市第十一中學(xué)寄三院漫練習(xí))若函數(shù)/Q)=-d+2g一2在(3,+8)上是減函數(shù)，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是()

A.(-oo,3]B.(-oo.l)C.[3,+8)D.(—8,3)

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口方向及對(duì)稱軸，可確定函數(shù)單調(diào)性，從而可得

【詳解】解：函數(shù)/（力）=—X14-2ax—2為二次函數(shù)，對(duì)稱軸為直線土=Q,且二次函數(shù)開口向下,

則/（力）的增區(qū)間為（—8,a）,減區(qū)間為（a,+8）；

故若函數(shù)/（]）=一/+2ai—2在（3,+8）上是減函數(shù)

則a<3.

故選：A.

3.（浙江盾北斗聯(lián)JL2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考教學(xué)試題）已知函數(shù)/⑸=

x2H-ax—8,—

滿足對(duì)任意即ge（―8,1],且電力g,都有/二產(chǎn)）<0成立，則a

(―a+4)x—3a,x<-l

的范圍是（）

A.[2,4）B.[3,4）C.（-oo,-2]D.[-2,4）

【答案】B

—a+4>0

【分析】根據(jù)已知條件，判斷出/3）的單調(diào)性，列出不等式組，一號(hào)W-1，即可求解.

-2a-4&-7—a

【詳解】由二’（珀V。得，工6（一8.1[上J3）為增函數(shù)，得

X'2X\

一Q+4>0

1—《一1，解得4>a>3.

2a-4<-7-a

故選:B

題型二函數(shù)的奇偶性

【典例分析】

典例2—1.（2022?北京市一六一中學(xué)高三期中）關(guān)于函數(shù)/（c）=In（1三一1）,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.定義域?yàn)椋ㄒ?,1）B.圖象關(guān)于夕軸對(duì)稱C.圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增

【答案】B

【分析】由747一1>（）即可求出其的定義域；利用工）=一/（⑹可判斷/3）為奇函數(shù)；求利用復(fù)合函

數(shù)的單調(diào)性即可判斷了（⑼在（0,1）內(nèi)的單調(diào)性.

【詳解】因?yàn)?/p>

所以,；}：">°=:}:<0=>（a;+l）（a;—l）<0=>—1<S<1,

所以定義域?yàn)楣蔄正確；

因?yàn)?（一H）=In（后三）=-73）,

所以/（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故8錯(cuò)誤，。正確；

又y=l-a;>（）在（0,1）上單調(diào)遞減，

所以彳-i>°在（°，1）上單調(diào)遞增，

又g=lni在（0,+oo）上單調(diào)遞增，

所以g=ln（了J---1）在（0,1）上單調(diào)遞增，故。正確.

■1x

故選：B.

典例2-2.(2022.寧夏?銀川市第六中學(xué)方三期中(理))函數(shù)八為=呼一的圖像大致為()

2|x|-4

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式分析函數(shù)的定義域和奇偶性，再通過(guò)特殊值用排除法求解.

【詳解】函數(shù)/儂)=竟，，定義域?yàn)?—8,-2)U(-2,2)U(2,+8),

(一。卜_3

/(一工)U/LTUTULTU—/(“)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)CD;

當(dāng)方>2時(shí)，/(工)>0,排除選項(xiàng)B.

故選:A

典例2—3.(2022?陜西?渭南市瑞泉中學(xué)高三階段練習(xí)(文))函數(shù)沙=/3)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)。V0

時(shí)，/3)=2工+加則當(dāng)±>0時(shí)，/3)=()

A.-2x+xB.2-x-xC.-2-x+xD.2x-x

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可求解.

【詳解】解：由題意得：

當(dāng)z>0時(shí)，一a;V0,/(一工)=2-1—x

函數(shù)y=/(z)是H上的奇函數(shù)，故/(工)=—/(一工)=-2一工+工

故選:C

典例2—4.(2022.安微省懷寧縣第二中學(xué)高三階段練習(xí))若函數(shù)/Q)=x3ln(QT詬—?jiǎng)訛榕己瘮?shù),

則a=()

A.4-B.《C.1D.2

42

【答案】B

【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)可得g(①)=ln(VT2+2a-re)為奇函數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)滿足g(-6)+g(①)=0

求解即可.

【詳解】易得定義域?yàn)镽,因?yàn)楹瘮?shù)/(4)=x:i\n(Vx2+2a-x)為偶函數(shù)，且g=d為奇函數(shù)，故g(i)=

ln(Vx24-2a—x)為奇函數(shù).

故g(—2)+g(。)=0,即hi(J(一化)2+2a+力)+ln(Vx2+2a—x)=0,ln(a;2+2a—國(guó)=0,即2a=1,解

得a=4.

故選：B

典例2—5.(2022?安徽彈范大學(xué)附舄中學(xué)玄一期中)已知函數(shù)/(工)=73+30；+等/+5,若/(一7)=

一7,則八7)=()

A.17B.12C.-7D.-17

【答案】A

【分析】由/(2)=c：'+3z+L~~|+5可得/(c)—5=3?+3Z+二！是奇函數(shù)，故利用奇函數(shù)的性質(zhì)即

可

a-7_11_n7

【詳解】因?yàn)?(-7)=(-7):,+3x(-7)++5=-7即(一7尸+3x(-7)+=-12,

所以八7)=73+3x7+|^+5=—[(-7)3+3x(-7)+]^]+5=17,

故選:A

【方法技巧總結(jié)】

1.函數(shù)奇偶性的判斷方法有:定義法、性質(zhì)法、圖像法。

2.定義法注意函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,才可能會(huì)有奇偶性;性質(zhì)法與單調(diào)性不同，加減乘除都有性

質(zhì)，可以用舉例子驗(yàn)證的方法幫助記憶：圖像法注意對(duì)稱的情況：另外復(fù)合函數(shù)注意口訣“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇

同外”。

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?黑龍江?杜丹江市第三方級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí))設(shè)/(勸=信廣，zeR,則/⑶是()

A.奇函數(shù)且在(-8,0)上單調(diào)遞減B.偶函數(shù)且在(-oo,0)上單調(diào)遞減

C.奇函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞減D.偶函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞減

【答案】D

【分析】由/(-2)=/(工)，可知/⑸是偶函數(shù)，當(dāng)1>0時(shí)，,f(rc)=(!)",則/⑺在(0,4-co)上單調(diào)遞減，由

此即可選出答案.

【詳解】依題意，得4ER,且/(-1)=■戶=/(/),所以/(⑼是偶函數(shù).

當(dāng)工>0時(shí)，/(1)=(4)”=([):則/(7)單調(diào)遞減；

OO

當(dāng)Z〈。時(shí),f(z)=(9"=d"=3，，則/(c)單調(diào)遞增.

故選：D.

I工I

2.(2022?江蘇?南京岸大附中方三期中)函數(shù)=M的圖象大致為()

【答案】A

【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義，判斷函數(shù)奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.

【詳解】由”2)=名?，則其定義域?yàn)?-00,0)U(0,+8),

因?yàn)?(—X)=—~=-f-y=/(x)，故函數(shù)為偶函數(shù)，

"(1)QO

/(，)=』=二，小)=2x3，

島，小

2/，

令r(z)=0,解得2=±2,可得下表:

X(一82)-2(-2.0)(0.2)2(2,+8)

r3)—0+一0+

/⑺極小值/極小值7

故選：A.

3.(2022?安徽彈范大學(xué)府屬中學(xué)方一期中)已知/Q)是A上的偶函數(shù)，當(dāng)出》。時(shí),/3)=±+，中，則2

<0時(shí)，/儂)=()

A.-x—V1—xB.x—V1—xC.—x+V1—xD.x+V1—x

【答案】C

【分析】設(shè)為<0,則一宓>0,求出八一工)，再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】解：設(shè)rcVO,則-z>0,所以f(-z)=一2+"-；1+1,

又/(工)是R上的偶函數(shù)，所以/(-7)=/(x),

所以/(工)=一7+V—x+1(x<0).

故選:C

4.(2022-黑龍江?哈爾濱七十三中高三階段練習(xí))已知函數(shù)/Q)=x(a-3,一千)，則“函數(shù)/Q)為偶函數(shù)”

是％=1”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

［分析］根據(jù)偶函數(shù)的定義求出當(dāng)函數(shù)/(乃為偶函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的值，再利用集合的包含關(guān)系判斷可得出

結(jié)論.

【詳解】若函數(shù)/⑺為偶函數(shù)，則對(duì)任意的(一工)=一通丁-卜3")=工(93"-。?:尸)，

因?yàn)?(—c)=f(a;),則?3,—a?3-°)=a?(a-31--3-1),

即—"3'-a-3一,=a-3x-—?3丁即(a-目6+3-")=0,所以