2023高考數(shù)學(xué)解題模板48 抽樣的方法

專題48抽樣的方法

【高考地位】

抽樣方法是高考的熱點(diǎn)，高考在這部分內(nèi)容命題趨向主要以選擇題、填空題為主，重點(diǎn)考查基礎(chǔ)知識(shí)、

基本概念及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用.在復(fù)習(xí)中，要理解幾種抽樣方法的區(qū)別于聯(lián)系，應(yīng)充分注意一些重要概念的實(shí)際

意義，理解概率統(tǒng)計(jì)中處理問(wèn)題的基本思想方法.其試題難度屬低檔題.

【方法點(diǎn)評(píng)】

類型一隨機(jī)抽樣

使用情景：簡(jiǎn)單.的隨機(jī)抽樣

解題模板：第一步認(rèn)真分析題意，認(rèn)清考查的是哪種簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣；

第二步運(yùn)用對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣進(jìn)行求解；

第三步得出結(jié)論.

例1從總體為N的一批零件中使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取一個(gè)容量為40的樣本，若某個(gè)零件在第2次抽取時(shí)

被抽到的可能性為1%,則N=()

A.100.B.4000C.101D.4001

【答案】B

【解析】因?yàn)閺目傮w為N的一批零件中使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取一個(gè)容量為40的樣本，

某個(gè)零件第2次抽取的可能性為1%,所以4竺0=」1一，解得N=4000,故選B

N100

例2某學(xué)校高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)共有學(xué)生3500人，其中高三學(xué)生數(shù)是高一學(xué)生數(shù)的兩倍，高二學(xué)

生數(shù)比高一學(xué)生數(shù)多300人，現(xiàn)在按」一的抽樣比用分層抽樣的方法抽取樣本，則應(yīng)抽取高一學(xué)生數(shù)為

100

()

A.8B.11C.16D.10

【答案】A

【解析】若設(shè)高三學(xué)生數(shù)為X,則高一學(xué)生數(shù)為1，高二學(xué)生數(shù)為；+300,所以有x+；+；+300=3500,

2222

解得x=1600.故高一學(xué)生數(shù)為800,因此應(yīng)抽取高一學(xué)生數(shù)為絲■=8.

故答案為：A

【變式演練1】將某省參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽的500名同學(xué)編號(hào)為：001,002,…，500,采用系統(tǒng)抽樣的方法抽

取一個(gè)容量為50的樣本，且隨機(jī)抽的的號(hào)碼013為一個(gè)樣本，這500名學(xué)生分別在三個(gè)考點(diǎn)考試，從001

到200在第一考點(diǎn)，從201到355在第二考點(diǎn)，從356到500在第三考點(diǎn)，則第二考點(diǎn)被抽中的人數(shù)為

A.17B.16C.15D.14

【答案】B

【解析】由題意知，系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為,=10,

因?yàn)殡S機(jī)抽的的號(hào)碼013為一個(gè)樣本，故在第一組中被抽取的樣本編號(hào)為3,

所以被抽取的樣本的標(biāo)號(hào)成首項(xiàng)為3,公差為10的等差數(shù)列。

可求得在在001到200之間抽取20人，在201到355之間抽取16人。

選Bo

【變式演練2］高二某班共有學(xué)生56人，座號(hào)分別為1,2,3,…,56現(xiàn)根據(jù)座號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取

一個(gè)容量為4的樣本.已知4號(hào)、18號(hào)、46號(hào)同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個(gè)同學(xué)的座號(hào)是（）

A.30B.31

C.32D.33

【答案】C

【解析】

試題分析：系統(tǒng)抽樣抽取的編號(hào)構(gòu)成等差數(shù)列，由4號(hào)、18號(hào)、46號(hào)同學(xué)在樣本中可知剩余的號(hào)為32號(hào)

考點(diǎn)：系統(tǒng)抽樣

【變式演練3】在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)（單位：分鐘）如下圖所示；

1300345668889

1411122233445556678

150122333

若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為1-35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績(jī)?cè)趨^(qū)間［139,151］上

的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】

試題分析：觀察莖葉圖可知，成績(jī)?cè)趨^(qū)間［139,151］的共有20人，設(shè)在區(qū)間［139,151］內(nèi)抽取的人數(shù)為〃，

根據(jù)分層抽樣可有4=型，解得“=4,故選A.

735

考點(diǎn)：1.莖葉圖；2.分層抽樣

【變式演練4】【2018河南鄭州市第一中學(xué)模擬】為了調(diào)查民眾對(duì)最新各大城市房產(chǎn)限購(gòu)政策的了解情況，

對(duì)甲、乙、丙、丁四個(gè)不同性質(zhì)的單位做分層.抽樣調(diào)查.假設(shè)四個(gè)單位的人數(shù)有如下關(guān)系：甲、乙的人數(shù)

之和等于丙的人數(shù)，甲丁的人數(shù)之和等于乙、丙的人數(shù)之和，且丙單位有36人，若在甲、乙兩個(gè)單位抽取

的人數(shù)之比為1:2,則這四個(gè)單位的總?cè)藬?shù)"為（）

A.96B.120C.144D.160

【答案】B

【解析】設(shè)甲單位人數(shù)為后，乙單位的人數(shù)丙單位的人數(shù)的，丁單位的人數(shù)當(dāng)

12

%+居=居=

=24

由題意得招，解得：｛

=36

=

48

336

易得：這四個(gè)單位的總?cè)藬?shù)N為120

故選：B

類型二用樣本估計(jì)總體

使用情景：有關(guān)頻率分布直方圖的基本計(jì)算

解題模板：第一步根.據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出相應(yīng)的頻率；

第二步運(yùn)用樣本的頻率估計(jì)總體的頻率；

第三步得出結(jié)論.

例3為了了解某校高三400名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)，制成樣本頻率分布直方圖如圖，規(guī)定不低于

60分為及格，不低于80分為優(yōu)秀，則及格率與優(yōu)秀人數(shù)分別是（）

A.60%,60B.60%,80

C.80%,80D.80%,D0

【答案】C

【解析】

試題分析：及格率為i=1-(0.015+0.005)x10=0.8,優(yōu)秀人數(shù)為400*(0.010+0.010)x10=80,故

選C.

考點(diǎn)：頻率分布直方圖.

【點(diǎn)評(píng)】這是一道獨(dú)型的頻率分布直方圖的計(jì)算問(wèn)題，其解題的關(guān)鍵是運(yùn)用頻數(shù)與頻率之間的關(guān)系進(jìn)行求

解.

【變式演練5】某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）分成

六段：［40,50）,［50,60）,…，［90,100］后得到頻率分布直方圖（如下圖所示），則分?jǐn)?shù)在［70,80）

【答案】30

【解析】

試題分析：由頻率分布直方圖知小長(zhǎng)方形面積為對(duì)應(yīng)區(qū)間概率，所有小長(zhǎng)方形面積和為1,因此分?jǐn)?shù)在［70,

80）內(nèi)的概率為1—（0.025+0.015x2+0.010+0.005）x10=0.3,人數(shù)為0.3xl°°=3°

考點(diǎn)：頻率分布直方圖

【變式演練6】一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)了樣本的頻率分

布直方圖（如下圖）.為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這I0000人中再用分層

抽樣方法抽出10°人作進(jìn)一步調(diào)查，則在［250°，3500）（元）月收入段應(yīng)抽出人.

頻率/組距

0.0005

0.0004

0.0003

0.0002

0.0001月收入（元）

1000150020002500300035004000

【答案】40

【解析】

試題分析:由圖（2500,3500元/月）收入段的頻率是0.0005X500+0.0003X500=0.4

故用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則在（2500,3500元/月）收入段應(yīng)抽出人數(shù)為0.4X100=40

考點(diǎn)：頻率分布直方圖；分層抽樣方法

【變式演練7】某班級(jí)有50名學(xué)生，其中有30名男生和20名女生，隨機(jī)詢問(wèn)了該班五名男生和五名女生

在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)，五名男生的成績(jī)分別為116,124,118,122,120,五名女生的成績(jī)分別為

118,123,123,118,123,下列說(shuō)法一定正確的是（）

A.這種抽樣方法是一種分層抽樣

B.這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣

C.這五名男生成績(jī)的方差大于這五名女生成績(jī)的方差

D.該班級(jí)男生成績(jī)的平均數(shù)小于該班女生成績(jī)的平均數(shù)

【答案】C.

【解析】

試題分析：根據(jù)抽樣方法的特點(diǎn)，可知該種抽樣既不是分層抽樣，也不是系統(tǒng)抽樣，故是錯(cuò)的，從這

五名學(xué)生的成績(jī)得不出該班的男生成績(jī)和女生成績(jī)的平均分，故D是錯(cuò)誤的，根據(jù)公式，可以求得五名男

生成績(jī)的方差為好=8,五名女生成績(jī)的方差為4=6,所以C對(duì)，故選C

考點(diǎn)：抽樣方法，方差，平均數(shù).

【變式演練8】某班同學(xué)利用勞動(dòng)節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì)［25,55］歲的人群隨機(jī)抽取"人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣

是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下

統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：

頻率

組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率組距

0.08

第一組P5.30)1200.60.07

第二組沖5)195P0.06

0.05

第三組[35,40)1000.5

0.04

第四組[40,45)a0.40.03

0.02———

第五組[45,50)300.3

0.01

第六蛆[5Q55]150.3一

V25303540455055舁齡(歲)

（1）補(bǔ)全頻率分布直方圖并求“、。、P的值;

（2）從年齡段在［40,50）的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗(yàn)活動(dòng)，其中每組各選

多少人？

【答案】（D1000,60,0.65（2）［40,45）歲中有4人,［45,50）歲中有2人.

【解析】

試題分析：（D先由頻率分布表的數(shù)據(jù)計(jì)算出各組的頻率，即直方圖中每一個(gè)小矩形的面積，進(jìn)而得到小

矩形的高，補(bǔ)全直方圖；（2）中考察的是分層抽樣，求解時(shí)要根據(jù)［40,45）［45,50）兩組的人數(shù)比例確定6

人中的抽取比例，從而確定抽取人數(shù)分別是多少

03

試題解析：（1）第二組的頻率為1-（0.04+0.04+003+0.02+0.01）x5=0.3,所以高為彳=0.06.頻率

直方圖如下：

第一組的人數(shù)為考=200,頻率為0.04x5=02,所以〃=:==1000.

0.602

由題可知，第二組的頻率為。.3,所以第二組的人數(shù)為1000x0.3=300,所以夕=1募95=0.65.

第四組的頻率為0.03x5=0.15,所以第四組的人數(shù)為1000x0.15=150,所以a=150x0.4=60.（6分）0

<2）因?yàn)椋?0,45）歲年齡段的“低碳族”與［45,50）歲年齡段的“低碳族”的比值為60:30=2:1,所以采用

分層抽樣法抽取6人，［40,45）歲中有4人，［45,50）歲中有2人.（10分）

考點(diǎn)：1.頻率分布表及直方圖：2.分層抽樣

【高考再現(xiàn)】

1.【2017課標(biāo)3,理3】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1

月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.

根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)

【答案】A

【解析】

試題分析：觀察折線圖，每年7月到8月折線圖呈下降趨勢(shì)，月接待游客量減少，選項(xiàng)/說(shuō)法錯(cuò)誤；

折線圖整體呈現(xiàn)出增長(zhǎng)的趨勢(shì)，年接待游客量逐年增加，選項(xiàng)3說(shuō)法正確；

每年的接待游客量七八月份達(dá)到最高點(diǎn)，即各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月，選項(xiàng)C說(shuō)法正確；

每年1月至6月的月折線圖平穩(wěn)，月接待游客量波動(dòng)性更小，7月至12月折線圖不平穩(wěn)，月接待游客蚩波

動(dòng)性大，選項(xiàng)。說(shuō)法正確；

故選D.

【考點(diǎn)】折線圖

【名師點(diǎn)睛】將頻率分布直方圖中相鄰的矩形的上底邊的中點(diǎn)順次連結(jié)起來(lái)，就得到一條折線，我們稱這

條折線為本組數(shù)據(jù)的頻率折線圖，頻率分布折線圖的的苜、尾兩端取值區(qū)間兩端點(diǎn)須分別向外延伸半個(gè)組

距，即折線圖是頻率分布直方圖的近似，他們比頻率分布表更直觀、形象地反映了樣本的分布規(guī)律.

2.12017江蘇，3］某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件.為檢

驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中

抽取▲件.

【答案】18

【解析】所求人數(shù)為60x-^_=18,故答案為18.

10000

【考點(diǎn)】分層抽樣.

【名師點(diǎn)睛】在分層抽樣的過(guò)程中，為了保證每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是相同的，這就要求各層所抽取的

個(gè)體數(shù)與該層所包含的個(gè)體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)之比，即n,：M=n:N.

3.【2017課標(biāo)1,文21為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了”塊地作試驗(yàn)田.這"塊地的畝產(chǎn)量（單位：

kg）分別為及，下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是

A.Xi,X2,X"的平均數(shù)B.X|,X2,X”的標(biāo)準(zhǔn)差

C.Xi,X1,X”的最大值D.XI,及，…，X"的中位數(shù)

【答案】B

【解析】

試題分析：刻畫(huà)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差，故選5

【考點(diǎn)】樣本特征數(shù)

【名師點(diǎn)睛】眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平；

中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)，（起到分水嶺的作用）中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平；

平均數(shù)：反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平；

方差：方差是和中心偏離的程度，用來(lái)衡量一批數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。催@批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大?。┎?/p>

把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.在樣本容量相同的情況下，方差越大，說(shuō)明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定.

標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，意義在于反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度.

4.【2017山東，文8】如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）.若這

兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和），的值分別為

A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7

【解析】

試題分析：由題意，甲組數(shù)據(jù)為56,62,65,70+x,74,乙組數(shù)據(jù)為59,61,67,60+y,78.要使兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相等,

有65=60+y,所以y=5，又平均數(shù)相同，則

56+62+65+（70+x）+74=59+6l+67+65+783.故選A.

55

【考點(diǎn)】莖葉圖、樣本的數(shù)字特征

【名師點(diǎn)睛】由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點(diǎn)同頻率分布直方圖類似.它優(yōu)于頻率分布直方

圖的第一點(diǎn)是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒(méi)有任何信息損失，第二點(diǎn)是莖葉圖便于記錄和表示.其缺點(diǎn)是當(dāng)

樣本容量較大時(shí),作圖較繁瑣.利用莖葉圖對(duì)樣本進(jìn)行估計(jì)是，要注意區(qū)分莖與葉，莖是指中間的一列數(shù)，葉是

從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù).

5.【2017課標(biāo)1,文2】為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了“塊地作試驗(yàn)田.這〃塊地的畝產(chǎn)量（單位:

kg）分別為X”及,…，％,下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是

A.X\,X2,X”的平均數(shù)B.X|,X2,X”的標(biāo)準(zhǔn)差

c.X）,X2,…，X"的最大值D.Xi,X2,X"的中位數(shù)

【答案】B

【解析】

試題分析：刻畫(huà)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差，故選5

【考點(diǎn)】樣本特征數(shù)

【名師點(diǎn)睛】眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平；

中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)，（起到分水嶺的作用》中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平,

平均數(shù)：反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平；

方差：方差是和中心偏離的程度，用來(lái)衡量一批數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。催@批額據(jù)偏離平均數(shù)的大?。┎?/p>

把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.在樣本容量相同的情況不，方差越大，說(shuō)明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定.

標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，意義在于反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度.

6.12016高考山東理數(shù)】某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），制成了如圖所示的頻率

分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是口7.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20）,[20,22.5）,[22.5,25）,

[25,27.5）,[27.5,30）.根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是（）

(A)56(B)60(C)120(D)140

頻率

【答案】D

【解析】

試題分析：由頻率分布直方圖知，自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)為后三組，有

200x(0.16+0.08+0.04)x2.5=140(人)選D.

考點(diǎn)：頻率分布直方圖

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖，是一道基礎(chǔ)題目.從歷年高考題目看，圖表題已是屢見(jiàn)不鮮，

作為一道應(yīng)用題，考查考生的視圖、用圖能力，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

7.12016高考江蘇卷】已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,54,5.5,則該組數(shù)據(jù)的方差是▲.

【答案】0.1

【解析】

試題分析：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3(4.7+4.8+54+5.4+5一5)=5.1,

/.S2=|[(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5,1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)2]=0.1.故答案應(yīng)填：0.1,

考點(diǎn)：方差

【名師點(diǎn)睛】本題考查的是總體特征額的估計(jì)，重點(diǎn)考查了方差的計(jì)算，本題有一定的計(jì)算量，屬于簡(jiǎn)單

題.認(rèn)真梳理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)理論，特別是系統(tǒng)抽樣和分層抽樣、頻率分布直方圖、方差等，針對(duì)訓(xùn)練近幾年

的江蘇高考類似考題，直觀了解本考點(diǎn)的考查方式，強(qiáng)化相關(guān)計(jì)算能力.

8.[2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.

機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不

足再購(gòu)買(mǎi),則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器

在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三

年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，〃表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).

（I）求X的分布列；

（II）若要求P（XW“）20.5,確定〃的最小值；

（III）以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在〃=19與〃=20之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)？

【答案】（I）見(jiàn)解析（II）19（III）〃=19

【解析】

試題分析：（D先確定》的取值分別為1617,18」8,20,21,2乙再用相互獨(dú)立事件概率模型求概率,然后寫(xiě)出分

布列；（ID通過(guò)頻率大小進(jìn)行比校；（皿》分別求出《=9,?=20的期望:根據(jù)”=19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于

?=20時(shí)所需費(fèi)用的期望值:應(yīng)選〃=19.

試題解析：（I）由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為89211的概

率分別為02040.2,02,從而

產(chǎn)（X=16）=0.2x0.2=0.045

P（X=17）=2x0.2x0.4=0.16）

P（X=18）=2x0.2x0.24-0.4x0.4=0.24；

P(X=19)=2x0.2x0.24-2x0.4x0.2=0.24；

P{X=20)=2x0.2x0.4+0.2x0.2=0.2；

P(X=21)=2x02x0.2=0.08；

P(X=22)=0.2x0.2=0.04

所峪X的分布列為

X16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

□

(H)由(I)知產(chǎn)(XW16=Q44尸(X?19)=0.68戟%的最小值為19.

(Ill)記1表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元).

當(dāng)〃=19時(shí),EF=19x200x0.68+(19x200+500)x0.2+(19x200+2x500)x0.08

+(19x200+3x500)x0.04=4040.

當(dāng)〃=20時(shí)，

EY=20x200x0.88+(20x200+500)x0.08+(20x200+2x500)x0.04=4080

可知當(dāng)M=19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于?=20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選〃=19.

考點(diǎn)：概率與統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)變量的分布列

【名師點(diǎn)睛】本題把隨機(jī)變量的分布列與統(tǒng)計(jì)及函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查,有一定綜合性但難度不是太大大,

求解關(guān)鍵是讀懂題意，所以提醒考生要重視數(shù)學(xué)中的閱讀理解問(wèn)題.

9.[2016年高考四川理數(shù)】(本小題滿分12分)

我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，

擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)X(噸)、一位居民的月用水量不超過(guò)X的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出X的部分

按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將

數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…，[4,4.5)分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

八頻率

組距

0.52--------------------------

0.40-------------------

I6

O.

SI2

S

O8

O

O.4

O

0.511.522.533.544.5月均用水量（噸）

(I)求直方圖中。的值；

(II)設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；

(III)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)X(噸)，估計(jì)X的值，并說(shuō)明理由.

【答案】(，I)a=0.30：(II)36000；(III)2.9.

【解析】

試題分析：(I)由高X組距=頻率，計(jì)算每組中的頻率，因?yàn)樗蓄l率之和為1,計(jì)算出a的值；(H)利

用高X組距=頻率，先計(jì)算出每人月均用水量不低于3噸的頻率，再利用頻率X樣本總數(shù)=頻數(shù)，計(jì)算所求

人數(shù),(IID將前6組的頻率之和與前5組的頻率之和進(jìn)行比較，得出2.5夕<3,再進(jìn)行計(jì)算.

試題解析：(I)由頻率分布直方圖知，月均用水量在[005)中的頻率為0.08x0.5=0.04,

同理，在[051),口52),[225),[335),[344),口35)中的頻率分另物0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,

0.02.0.04+0.08-0.5xa-0.20-026-0.5xaM).06-0.04-0.02=l,解得a=0_30.

(II)由(I),100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.

由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)全市30萬(wàn)居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000x0.12=36000.

(III)因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04-0.08-0.15-020-0.26-0.15=0,88>0,85,

而前5組的頻率之和為0.04*0.08-0.15-020-0.26=0.73<0.85,

所以2.5夕<3.

由0.3x(x-2.5)=0.85-0.73,

解得x=2.9.

所以，估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn).

考點(diǎn)：頻率分布直方圖.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解

決問(wèn)題的能力.在頻率分布直方圖中，第個(gè)小矩形面積就是相應(yīng)的頻率或概率，所有小矩形面積之和為I,

這是解題的關(guān)鍵，也是識(shí)圖的基礎(chǔ).

10.【2015江蘇高考，2】已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.

【答案】6

rAnAr"1-4+6+）+8+7—6,

［解析］X=-------------------------=6

o

【考點(diǎn)定位】平均數(shù)

-1

【名師點(diǎn)晴】樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，gPx=-（x1+x2+...+Xii）.解答此類問(wèn)題關(guān)鍵大概念清晰，類似概念

n

有樣本方差s~=）［（須-X）*+（Xj-x）*+...+（/一X）-］,標(biāo)準(zhǔn)差S=$［（再-x）2+（x；-x）1+...+（/-x）:］

其中我是樣本數(shù)據(jù)的第n項(xiàng)，n是樣本容量，嚏是平均數(shù).將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置

的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

11【2017北京，文17】某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根養(yǎng)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽

樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：［20,30）,［30,40）,—,［80,90］,

并整理得到如下頻率分布直方圖：

頻率A

麗,

0.04------------------------------------------------------------

0.02--------------------------------------------1---------------

0.01--------------------------------------------

________I-------1I~~----------------------------------?

o2030405060708090分?jǐn)?shù)

（I）從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；

（II）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50）內(nèi)的人數(shù)；

（III）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估

計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.

3

【答案】(I)0.4；(II)5A;(III)

2

t解析】

試題分析：(I)根據(jù)頻率分布直方圖，表示分?jǐn)?shù)大于等于70的概率，就求后兩個(gè)矩形的面積；(n)根

據(jù)公式頻數(shù)等于100X頻率求解；(UD首先計(jì)算分?jǐn)?shù)大于等于70分的總?cè)藬?shù)，根據(jù)樣本中分?jǐn)?shù)不小于70

的男女生人數(shù)相等再計(jì)算所有的男生人數(shù)，100-男生人數(shù)就是女生人數(shù).

試題解析：(I)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02+094)x10=0.6,所

以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1-0.6=0.4.

所以從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計(jì)為04

(II沖艮據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)x10=0.9,分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)

內(nèi)的人數(shù)為100-100x89—5=5.

所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為400XA=20.

(Ill)由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.02+0.04)x10x100=60,

所以樣本中分?jǐn)?shù)不.小于70的男生人數(shù)為60x'=30.

2

所以樣本中的男生人數(shù)為30x2=60,女生人數(shù)為100-60=40,男生和女生人數(shù)的比例為60:40=3:2.

所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計(jì)為3:2.

【考點(diǎn)】頻率分布直方圖的應(yīng)用

【名師點(diǎn)睛】1.用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)的基本思想，而利用頻率分布表和頻率分布直方圖來(lái)估計(jì)總體則是用

樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布的兩種主要方法.分布表在數(shù)量表示上比較準(zhǔn)確，直方圖比較直觀.

2.頻率分布表中的頻數(shù)之和等于樣本容量，各組中的頻率之和等于1；在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的

面積表示相應(yīng)各組的頻率，所以，所有小長(zhǎng)方形的面積的和等于1.

【反饋練習(xí)】

1.12018江西宜春二?！磕持袑W(xué)高一年級(jí)560人，高二年級(jí)540人，高三年級(jí)520人，用分層抽樣的方法

抽取容量為81的樣本，則在高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)抽取的人數(shù)分別為()

A.28、27、26B.28、26、24C.26、27>28D.27、26、25

【答案】A

【解析】根據(jù)題意得，用分層抽樣在各層中的抽樣比為

81二1

560+540+520-20

則在高一年級(jí)抽取的人數(shù)是560x」-=28人

20

高二年級(jí)抽取的人數(shù)是540x」-=27人

20

高三年級(jí)抽取的人數(shù)是520x1-=26人

20

故答案選A

2.［2018貴州黔東南州聯(lián)考】近年呼吁高校招生改革的呼聲越來(lái)越高，在贊成高校招生改革的市民中按年齡

分組，得到樣本頻率分布直方圖如圖，其中年齡在［30,40）歲的有2500人，年齡在［20,30）歲的有1200人,

A.0.013B.0.13C.0.012D.0.12

【答案】C

【解析】由題意，得年齡在范圍［30,40）歲的頻率為0.025x10=025,則贊成高校招生改革的市民有

1200

建=10000,因?yàn)槟挲g在范圍［20,30）歲的有1200人，則由=嚕9=0.012.

故選C.

3.現(xiàn)要完成下列3項(xiàng)抽樣調(diào)查：

①?gòu)?0盒酸奶中抽取3盒進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查；

②科技報(bào)告廳有32排座位，每排有40個(gè)座位，有一次報(bào)告會(huì)恰好坐滿了聽(tīng)眾，報(bào)告會(huì)結(jié)束后，為了聽(tīng)取

意見(jiàn)，邀請(qǐng)32名聽(tīng)眾進(jìn)行座談：

③某中學(xué)高三年級(jí)有12個(gè)班，文科班4個(gè)，理科班8個(gè)，為了了解全校學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，擬抽取一

個(gè)容量為50的樣本.

較為合理的抽樣方法是（）

A.①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③分層抽樣

B.①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，②分層抽樣，③系統(tǒng)抽樣

C.①系統(tǒng)抽樣，②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，③分層抽樣

D.①分層抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

【答案】A

【解析】在①中因?yàn)閭€(gè)體數(shù)量較少，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣即可；

在②中，因?yàn)閭€(gè)體數(shù)量多，且已按座位自然分組，故采用系統(tǒng)抽樣較好；

在③中，因?yàn)槲目粕屠砜粕牟町惷黠@，故采用分層抽樣較好.

故選A

4.用系統(tǒng)抽樣法（按等距離的規(guī)則）從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將這160名學(xué)生從1到160編號(hào).按

編號(hào)順序平均分成20段（1?8號(hào)，9?16號(hào)，…，153?160號(hào)），若第16段應(yīng)抽出的號(hào)碼為125,則第1段

中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定的號(hào)碼是（）

A.7B.5C.4D.3

【答案】B

【解析】用系統(tǒng)抽樣知，每段中有8人，第16段應(yīng)為從121至128這8個(gè)號(hào)碼，125是其中的第5個(gè)號(hào)碼,

所以第一段中被確定的號(hào)碼是5.

5.[2018云南玉溪第一中學(xué)模擬】總體由編號(hào)為01,02,03,,49,50的50各個(gè)體組成，利用隨機(jī)數(shù)表，（以

下摘取了隨機(jī)數(shù)表中第1行和第2行）選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從.隨機(jī)數(shù)表第1行的第9列和第10列數(shù)

字開(kāi)始由左向右讀取，則選出來(lái)的第4個(gè)個(gè)體的編號(hào)為

66674067146405719586110565096S7683203790

5716001166149084451175738805905227411486

A.05B..09C.11D.20

【答案】B

【解析】從隨機(jī)數(shù)表第1行的第9列和第10列數(shù)字開(kāi)始,依次是14,05,11,09,則第四個(gè)數(shù)字是09,選

B.

6.已知某校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們某次體育測(cè)試成績(jī)制成如圖所示的頻率分布直方圖.若該校有

3（X）0名學(xué)生，則在本次體育測(cè)試中，成績(jī)不低于70分的學(xué)生人數(shù)約為.

【答案】2100

【解析】依題意，所求人數(shù)為3000x(0.030+0.025+0.015)x10=2100,故答案為2100.

7.某市為了增強(qiáng)市民的消防意識(shí)，面向社會(huì)招募社區(qū)宣傳志愿者.現(xiàn)從20歲至45歲的志愿者中隨機(jī)抽100

名按年齡分組：第1組［20,25),第2組［25,30),第3組［30,35),第4組［35,40),第5組［40,45),得

到的頻率分布直方圖如圖所示.若用分層抽樣的方法從這100名志愿者中抽取20名參加消防演習(xí)活動(dòng)，則

從第4組中抽取的人數(shù)為.

【答案】4

【解析】由題意可知第4組的頻率為0.04x5=0.2,

利用分層抽樣的方法在100名志愿者中抽取20名，

第4組中抽取的人數(shù)為20x0.2=4.

故答案為4.

8