非高斯隨機變量的結(jié)構(gòu)可靠性

中文翻譯非高斯隨機變量的結(jié)構(gòu)可靠性摘要：不確定性分析中的重要問題之一就是尋找通過系統(tǒng)傳遞不確定性的有效方法。在本文中，我們采用多項式混沌展開算法（PCE），因為這種算法可以減少大型工程設(shè)計軟件中的計算工作量。本文的研究重點是多項式混沌展開（PCE）算法對于不同概率分布情況的實現(xiàn)方式。同時將研究和驗證現(xiàn)有的兩種算法一一廣義的多項式混沌展開算法和變換方法在處理非正態(tài)隨機變量時的準確性和效率。本文將以一個高度非線性結(jié)構(gòu)的無人聯(lián)結(jié)翼飛機模型以及一個三元桁架結(jié)構(gòu)作為例子來演示這種算法。引文不確定性分析的理論和方法在過去的30年里已經(jīng)取得了重大的進步。因此，使用隨機變量描述設(shè)計參數(shù)變得日益重要。對于那些隨機性相對較小的問題，我們通常采用確定性模型，而不是一個隨機性模型。然而，概率方法已經(jīng)證明了在系統(tǒng)分析和設(shè)計時不確定度高的那些問題里的理性基礎(chǔ)。盡管事實上它們所應(yīng)用的的問題涉及相當大的不確定性，有限元方法（FEM）已經(jīng)在結(jié)構(gòu)工程的各個領(lǐng)域處理著確定性變量。因此，在結(jié)構(gòu)工程中研究人員們利用隨機場理論及其應(yīng)用正做著大量的研究工作。在隨機方法中最重要的部分是關(guān)于離散格式以及隨機響應(yīng)的解釋。利用帶有隨機系數(shù)的正交基函數(shù)，比如K-L展開和多項式混沌展開能有效促進這些問題的解決。結(jié)合了K-L展開及多項式混沌展開的譜隨機有限元法（SSFEM）正在變得愈發(fā)強勁，使得工程師們可以估算結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的風險。有關(guān)于譜隨機有限元法（SSFEM）的詳細說明可以在參考資料［1-3］中找到。Tatang［4］和Isukapalli［5］引入多項式混沌展開（PCE）來表示響應(yīng)系統(tǒng)中存在的不確定性。Tatang使用概率搭配方法來獲取多項式混沌展開的待定系數(shù)。Isukapalli引入偏導(dǎo)數(shù)模型的輸出結(jié)果來提高該過程的精度。在概率搭配法中，選定的設(shè)計點必定在高概率區(qū)；因此，當興趣在概率密度函數(shù)（PDF）的末尾時，我們應(yīng)該重新考慮此數(shù)據(jù)的選擇過程。Pettit等人⑹利用蒙特卡洛仿真法（MCS）實施了關(guān)于多項式混沌展開（PCE）評價系數(shù)的屈曲特征值問題的非侵入性制定過程。由于蒙特卡洛仿真（MCS）一般需要龐大的計算量才能取得收斂值，因此在使用時，小規(guī)模的計算量將得不到準確結(jié)果。Xiu和Karniadakis［7,8］使用正交多項式的阿斯基方案將多項式混沌展開（PCE）進一步擴展來表示不同的分布函數(shù)。而正交多項式的阿斯基方案將超幾何正交多項式進行了分類，并指出了它們之間的極限過渡關(guān)系。例如，通過雅克比多項式可以得到拉蓋爾多項式，而拉蓋爾多項式則可以生成厄米多項式。根據(jù)前面的方法，我們可以將各種隨機展開的用法——包括多項式混沌展開（PCE）和K-L展開分為兩類：即非介入性公式法和介入性公式法，如圖1。非介入性公式法是指多項式混沌展開（PCE）是作為一種不會干擾有限元程序的替代模型來創(chuàng)建響應(yīng)面的。因此，非介入性分析有時又被稱隨機響應(yīng)面法。相比之下，用多項式混沌展開（PCE）直接修改有限元（FEM）程序的剛度矩陣的則是介入性公式法。當已知協(xié)方差函數(shù)時，K-L展開可以用來代表不確定性系統(tǒng)的特點。然而，如果我們沒有用來形成協(xié)方差函數(shù)的信息，例如結(jié)構(gòu)響應(yīng)的案例，那么多項式混沌展開（PCE）就可以替代K-L展開來代表這種不確定性。隨機展開（PCE/K-L展開）介入性公式非介入性公式譜隨機有限元隨機響應(yīng)面法/PCE圖.1.介入性與非介入性公式另一類不確定性量化法是專注于結(jié)構(gòu)失效概率的可靠性分析法。這一領(lǐng)域的常用方法是一階可靠性方法（FORM）。在一階可靠性方法（FORM）中，極限狀態(tài)近似的位于最可能失效點所在的切平面。邊界是指定基于使用一階可靠性方法（FORM）近似解的失效概率。如果位于最可能失效點的極限狀態(tài)近似值都是準確的，那么邊界將會產(chǎn)生比較好的解；否則，這種方法也許會導(dǎo)致巨大的錯誤。當失效平面高度非線性時，一階可靠性方法（FORM）只能得出不準確解。因此，一階可靠性方法（FORM）得出的解是震蕩的，而且還包含了不合理的失效概率值。本文側(cè)重于獲得非正態(tài)隨機變量情況下的失效概率，以及使用隨機展開法來解釋置信區(qū)的平均響應(yīng)。雖然針對多項式混沌展開（PCE）的非高斯分布法的效率如前所述，與傳統(tǒng)方法相比，它必然要將這兩種方法的效率進行量化。在這項研究中，關(guān)于結(jié)構(gòu)失效概率的非介入性公式的——結(jié)合了合適的非高斯法與拉丁超立方抽樣法一一效率估計，第一次被拿來與蒙特卡洛法（MCS）和一階可靠性法（FORM）相提并論。結(jié)合了多項式混沌展開（PCE）與拉丁超立方抽樣法（LHS）的新方法被開發(fā)，用來解決大規(guī)模具有非高斯分布的結(jié)構(gòu)設(shè)計問題。當前方法已有通過使用方差分析（ANOVA）和拉丁超立方抽樣（LHS）的方法，來檢查收斂準則的具體步驟，這就可以保證每個輸入變量都能代表其范圍內(nèi)的所有部分。當構(gòu)建出系統(tǒng)響應(yīng)的近似模型之后，顯著性檢驗以及殘差分析被用來檢查足夠擬合的狀態(tài)。另外，還得到了多項式混沌展開（PCE）的——能提供測量值可能的上下限一一置信區(qū)間。初探和相關(guān)工作在這一節(jié)，我們將回顧關(guān)于非常規(guī)隨機變量的兩種方法，以及多項式混沌展開的概念。變換法是由Isukapalli提出的，而廣義的多項式混沌展開（PCE）則是由Xiu和Karniadakis建議用來處理非常規(guī)分布問題的。接下來的幾個小節(jié)會簡要介紹這些概念以及其他關(guān)于非介入性方法的特點。2.1.非介入性公式的混合方法解決多項式混沌展開（PCE）系數(shù)的混合方法的的基本思想就是生成響應(yīng)模型中的不確定性參數(shù)的近似值：（1） 用拉丁超立方抽樣（LHS）選擇實驗設(shè)計點。（2） 在每個設(shè)計點模擬系統(tǒng)響應(yīng)。（3） 用多項式混沌展開（PCE）構(gòu)建近似模型。（4） 進行方差分析和殘差分析。在這個方法中，我們希望用被稱為拉丁超立方抽樣（LHS）的分層抽樣法來減少所需的模擬次數(shù)。結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的隨機響應(yīng)通過拉丁超立方抽樣（LHS）投射到多項式混沌擴張和待定的系數(shù)估計。在系統(tǒng)中建立了一個不確定性的近似模型后，再用顯著性檢驗和殘差分析檢查足夠擬合的狀態(tài)。方差分析（ANOVA）用來確定模型中重要的參變量，并且可以估計擬合不足和反應(yīng)均值的置信區(qū)間。這種方法的細節(jié)可以參看參考資料［9］。2?2.拉丁超立方抽樣（LHS）當模擬一個小數(shù)目且分層的抽樣方案能提供可接受的精度時，為了降低所需的計算成本，我們采用了拉丁超立方抽樣（LHS）法。McKay等人建議采用已被成功地用于生成多變量樣本的統(tǒng)計分布的LHS法。在LHS法中，每個隨機變量的分布可以分為〃個概率相等的時間間隔或箱。每個箱都有一個分析點?？偣灿衝個分析點進行隨機混合，因此每個箱都有1n的分布概率。圖2表示一般LHS法的簡要步驟：（1） 等概率的基礎(chǔ)上將為每個變量的分布劃分為n個不重疊的時間間隔。（2） 根據(jù)概率密度在每個時間間隔選擇一個隨機值。⑶重復(fù)步驟（1）和（2）直到我們已選定所有隨機變量的值，例如：”％,,氣（4）將獲得的n個值中的任意一個「與除x.外的任意一個其他值進行隨機配

對。概率區(qū)間上的概率分布函數(shù)的變化規(guī)律可以確保任何一個輸入變量都能代表其范圍內(nèi)的所有部分，同時在響應(yīng)計算中產(chǎn)生相對較小方差時的成本更低。LHS法也提供了靈活的樣本，同時確保分層抽樣，即，每個輸入變量都在n個類型中進行采樣。預(yù)計用LHS確定PCE的未知系數(shù)將減少所需的模擬次數(shù)。[11]中，可以發(fā)現(xiàn)LHS更詳細的說明。(a)步驟1(a)步驟1(b)步驟2和3(c)步驟4圖.2.1解法的基本概念：兩個變量和五個實現(xiàn)2.3.多項式混沌展開(PCE)Ghanem和Spanos[3]指出高斯隨機變量多項式混沌展開簡單定義就是收斂級數(shù)，u（0）=ar+#a「G（。））TOC\o"1-5"\h\z00 ?1 ?i=1+萱?ar2C.（o）,&.（0））+重已i2arC(o),&(o),&(o))+ ⑴i1=1i2=1i3=1似3.1 .2 .3其中k(o)￥是一種高斯隨機變量，rG,,&)是一組多階厄米多項式i1i=1 Pi1 ，p的泛型元素，通常被稱為齊次混沌數(shù)列p，a’，，是確定性常量，o表示所涉及的隨機字符的數(shù)量。 ' '得到多維厄米多項式的一般表達式如下 ,?--e2&『&）_一'p"&P)項_1、,延

i

其中矢量&中包含-e2&『&）_一'p一般而言，一階厄米多項式的定義如下V⑥=(-1》哈

n 中?其中中(〃)(&)是第n個導(dǎo)數(shù)的正態(tài)密度中G)=L7況。與2,這是方程(2)的單變量版本。從方程(3)，我們可以很輕易地找到扳}=k&,E2-1,^3—3&,&4—6&2+3，&5—10&3+15&,} ⑷i正交多項式和&滿足???V=1,〈甲〉=0和〈VV〉=〈V2>8Vi,j0 i ijiijTOC\o"1-5"\h\z&0〉=1,&k〉=Vkodd和〈&k〉=(k—1)〈&k—2〉 (5)其中〈?〉表示期望值計算。方程(1)可以簡寫為如下形式：u(o)=2f四G(。)) (6)iii=0其中b和vG(e))與a,,a和:TC,,E)分別完全相同。1i i iP Pi iP例如，一個二階序列，2階多項式混沌展開如下u(o)=b+b&(o)+bM(0)+bG2(e)—1)+b&(。足(o)+bG2(e)—1)⑺0 11 22 3 1 41 2 5 2其中E1(o)和&2(o)是兩個獨立的隨機變量。方程(6)在非介入性公式中可被用作不確定性系統(tǒng)響應(yīng)的替代模型。這種方法的核心思想就是將響應(yīng)和隨機系統(tǒng)算子投影到跨越多項式混沌展開的隨機空間；并且通過一個有效取樣方案評估投影系數(shù)。在本文，向前選擇和淘汰落后的方法——據(jù)Fstatistics所說可以將回歸錯誤最小化——在公式(6)中被用于通過LHS計算未知的投影系數(shù)氣。與厄米多項式相關(guān)的原始形式的PCE適用于高斯分布。然而，其他的正交多項式可以用來表示非高斯分布，這是廣義PCE的核心思想。各個多項式和其范圍的相關(guān)信息，如表1,下面的章節(jié)將描述這些概念。2.4對PCE的平均響應(yīng)的置信區(qū)間置信區(qū)間表示的其范圍內(nèi)分析結(jié)果的可能值。通常，任何參數(shù)的置信區(qū)間包括兩部分：置信水平和錯誤的容限。置信水平表示該區(qū)間包含的真實參數(shù)值的概率。誤差幅度表示我們對真實值猜測的準確程度。替代模型通常用于獲取隨機變量特定值的平均響應(yīng)。因此，在構(gòu)建了不確定性系統(tǒng)的替代模型之后，我們可以估計PCE在特定點平均響應(yīng)的置信區(qū)間。我們首先定義矢量七為隨機變量的一個特定點（§,q,,&〃），此隨機變量為：TOC\o"1-5"\h\z%=［即&如g）iw（§如G2當尸G）［? （8）其中其中p是多項式的階次，w（&）是上節(jié)所述的PCE。在這一點的平均響應(yīng)ji? ???估計值是y（x）=xtp （9）0 0其中p為一組PCE的待定系數(shù)。在特定點X處的100（1-a）%的置信區(qū)間為：0^y（x）—t（O2XTWtX）~1x<^<y（x）+t,2XT（xtX）~1x （10）2，V 2，V其中V代表t分布的自由度，X是nXp階的隨機變量矩陣。關(guān)于多重回歸分析、置信區(qū)間的相關(guān)討論可在參考文獻［12〕中找到。2.5.PCE的費高斯隨機變量的生成任何高斯分布的概率分布函數(shù)（PDF）表現(xiàn)出鐘形和對稱圖形。然而，許多工程實際情況需要各種類型的偏態(tài)分布的。要定義各種偏態(tài)分布的形狀，我們需要引入不同系列的概率分布函數(shù)，如伽瑪分布或者廣泛應(yīng)用在工程和科學(xué)學(xué)科的指數(shù)分布。本文側(cè)重于模擬非高斯隨機變量的非介入性分析。兩種方法，轉(zhuǎn)化法和廣義PCE算法，正在被調(diào)查并核實它們針對非正態(tài)隨機變量情況下的準確性和效率。2.5.1.廣義多項式混沌展開為了替代PCE表示各種概率分布，Xiu和Karniadakis［7推出了正交多項式方案，該方案將超幾何正交多項式進行了分類，并指示它們之間的極限關(guān)系。他們預(yù)期的是，對于非正態(tài)分布的情況使用原始的PCE（方程（1））也許會緩慢收斂。在廣義多項式混沌展開中，多項式w.（公式（6））不收斂到厄米多項式。在正交多項式方案中的任何正交多項式都能用于表示高斯和非高斯隨機過程，而不能表示厄米多項式。例如，對于Gamma和泊松分布來說，Laquerre和沙利耶多項式分別是比較合適的選擇。表1示出了多項式類型及其相關(guān)的隨機變量。選擇隨機變量和相應(yīng)多項式的類型后，非介入性公式法可適用于不確定性分析。表1.多項式［6〕

PDF(&)多項式（「）有效區(qū)間連續(xù)高斯Hermite(-3,+3)伽馬Laguerre[0,+勺貝塔Jacobi[.,b]均勻Legende[.,b]離散PoissonCharlier{0,1,2, ,}BinomialKrawtchouk{0,1,2, ,N}NegativeMeixner{0,1,2, ,}HypergeometricHahn{0,1,2, ,N}2.5.2.轉(zhuǎn)換法 ?--Devroye[13]提出了對標準正態(tài)隨機變量很有用的變換方法。Isukapalli[5]介紹了隨機響應(yīng)面法的變換技術(shù)。根據(jù)表2,所輸入的隨機變量可以通過標準正態(tài)隨表2.各種分布的代表性正態(tài)隨機變量泛函[4]分布類型變換Uniform(a,b)a+(b*"2+2歸住1Normal(日,c)日+c&Lognormal(日,c)exp（日+城）Gamma(a,b)(FT1VabN9a+rjExponential(人)1 (11一3￥-尸。g[2+2。葉[善[￥/機變量函數(shù)來表示。在此表中，&是一個標準的正態(tài)分布變量，r和c是隨機變量的平均值和標準偏差，而。，力和人則是各自分布的尺度參數(shù)。通過使用轉(zhuǎn)化法，隨機輸入變量，其中包括非正態(tài)分布，被轉(zhuǎn)換成標準正態(tài)分布的變量。在此之后，原始PCE可被用作不確定性的系統(tǒng)的響應(yīng)曲面模型。各種變換方案的詳細描述可以在［5,13］中找到。以下各節(jié)將介紹兩種方法分別在三元桁架結(jié)構(gòu)和聯(lián)接翼無人機結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用。對新方法的總結(jié)也將給出。結(jié)構(gòu)實例可靠性分析評估結(jié)構(gòu)失效的概率是通過比較極限狀態(tài)函數(shù)與0的大小。一般而言，極限狀態(tài)函數(shù)Z與失效概率Pf可以作如下定義Z=R-CPf=PZ0） （11）其中R是結(jié)構(gòu)的阻力，c是該系統(tǒng)的容量。可靠性分析并不限定于失效概率的計算。各種統(tǒng)計性質(zhì)的評價值，例如概率分布函數(shù)和結(jié)構(gòu)響應(yīng)的置信區(qū)間，在可靠性分析中都有著重要的作用。統(tǒng)計特性的評估，包括置信區(qū)間，將在此部分以數(shù)值例子進行說明。我們進行有三個隨機變量的三元桁架結(jié)構(gòu)模型的可靠性分析。正常和非正常分布被考慮。另外，選擇聯(lián)接翼無人機結(jié)構(gòu)是為了顯示新方法在實際工程問題中的適用性。3.1.銷聯(lián)接三桿結(jié)構(gòu)一個不確定的，不對稱的銷聯(lián)接三桿結(jié)構(gòu)如下圖所示（圖3）。圖.3.銷聯(lián)接三桿結(jié)構(gòu)每個單元受載荷的長度為Lm，方向為a^，都是確定的。每個單元的楊氏模量也假定是確定的，為E。載荷大小（P）和方向（0都是隨機的。橫截面面積A也是隨機的。隨機數(shù)因此為AnN^1in2,0.1in2)

^N(1000lb,250lb)0□N(45。,7.5。)其中符號x表示隨機變量x^N（七，七）被視為正態(tài)分布，并且有平均值七和標準差b。X虛功原理被用于計算施加載荷是節(jié)點位移矢量［u,打「，它由下列方程組的解給出:3( )EAm=1Pcos。=乙\ucos2a+vcosasina)、’m=1m(12)Psin0=勇(vsin2a+ucosasina)^jt(12)m=1按照期望應(yīng)限制結(jié)構(gòu)的水平偏轉(zhuǎn)u<0.001in。表3.可靠性方法的比較Pf差值（％）MCS0.0045-混沌多項式0.00442.2FORM0.005113.3該實例的結(jié)果與MCS及表單結(jié)果一起列在表3中。為得到失效概率P，進行了一百萬次模擬來得到MCS中的收斂值，并且用100個LHS樣本來尋找Pf的第三階PCE模型。在這個實例中下，非線性的方法比如PCE對回歸模型有著顯著的效果。FORM的解收斂于P=0.0051。很明顯，在這個例子中PCE比FORM更準確?？梢灶A(yù)期的是，PCE連同LHS比FORM更適用于非線性響應(yīng)問題。許多實際工程情況中需要各種偏分布，這些分布不是鐘形且對稱狀的正態(tài)分布。伽瑪分布是表示傾斜情況的有利工具。現(xiàn)在，在前例中，銷聯(lián)接三桿結(jié)構(gòu)的隨機變量A被作為伽瑪分布，此分布的尺度參數(shù)為a=10，P=0.1（圖4），

圖.4.隨機變量A的Gamma密度函數(shù)的而其他變量保持不變。關(guān)于前述的伽馬分布，隨機變量A的均值和方差分別為日=以。=1.0和b2=a°2=0.1。所述分析建立在通過兩種非高斯法對200個樣本使用LHS。為表示隨機變量A的伽瑪分布，拉蓋爾多項式被用在廣義PCA方法中，并且表2中的轉(zhuǎn)換函數(shù)被用在變換法中。為了估算的非高斯模擬法的效果，使用MCS計算了一百萬個樣本。圖5顯示了該實例中轉(zhuǎn)換法⑸和廣義PCE算法⑺分別得出的結(jié)果。采用MCS（PCE的階次圖.5,失效概率估算出的失效概率為P=0.065。該值非常接近采用其他兩種方法的更高階(例4到例6)模型得出的結(jié)果。在PCE的更高階模型中檢測到4.27%的最大差值和1.83%的最小的差異。為了顯示結(jié)果收斂，我們列出了從第二階到第六階模型的運算結(jié)果。然而，據(jù)F-statistics［9］認為，第五和第六階PCE的對此模型影響不大。由于第四和第六階PCE系數(shù)為負值，而第五階PCE系數(shù)為正值，因此圖5中第五階模型的Pf比第四階及第六階模型的值要高1.0%到2.1%。在這種情況中，有界的結(jié)果并不重要，因為F-statistics預(yù)示了第五階和第六階模型具有較小影響，從每一組隨機的隨機數(shù)發(fā)生器中獲得的統(tǒng)計數(shù)據(jù)能以較小的間隔分開。MCS的結(jié)果也有1.2%的范圍。圖5顯示廣義PCE法的低階模型比轉(zhuǎn)化法有著更精確的結(jié)果；然而，這兩種算法在高階(從例4到例6)模型有著幾乎相同的結(jié)果，與MCS相比都有著足夠的精度。3.2聯(lián)接翼結(jié)構(gòu)在飛機的結(jié)構(gòu)完整性領(lǐng)域，風險與可靠性分析是最讓人們感興趣的地方。在這一節(jié)中，關(guān)于飛機結(jié)構(gòu)的可靠性分析在這里由于彎曲問題被用來處理失效概率。在NASTRAN軟件中為了進行幾何非線性有限元分析，該聯(lián)接翼模型設(shè)計了1562個網(wǎng)格點和3013個有限單元。在此模型中，共有2173個QUAD4，156個TRIA3和684個剪切元件用于每個機翼蒙皮，肋骨和網(wǎng)中。在聯(lián)接翼中，向后和向前掠升力面取代了傳統(tǒng)的單獨機翼和水平尾翼。這種非傳統(tǒng)的設(shè)計可以減輕重量，降低了機動阻力以及提高穩(wěn)定性。聯(lián)接翼的隨機模型和配置的更詳細描述可以在［6,9］中找到。接合翼的具體設(shè)計問題是如何克服機尾風力的屈曲失效并在壓縮載荷作用下，相應(yīng)的氣動彈性并發(fā)問題。臨界氣動彈性響應(yīng)，如顫振和發(fā)散，有可能與接合翼［6］的升力面的全局和后屈曲響應(yīng)疊加到一起。因此，我們對聯(lián)接翼飛機使用LHS法通過評估PCE的待定系數(shù)進行了基于非介入性公式法的屈曲分析。特征值問題可以表示為&的函數(shù)，因為，楊氏模量被計算為E=R+b&TOC\o"1-5"\h\z(K(&)+X(&)AK(&))①(&)=0 (13)其中AK代表幾何剛度矩陣。本征值是由多項式混沌展開表示。特征值的相關(guān)預(yù)測和力矩可以通過以下公式得到：\o"CurrentDocument"人=尤Pv,〈人〉=P,Var(人)=尤〈w2)P2 (14)ii 0 iii=0 i=1其中Pj是多項式混沌展開七的回歸系數(shù)，〈?〉表示期望操作值。圖6顯示以下五組有限元由隨機變量控制：（1）向前翼根（2）尾部翼根（3）向前翼關(guān)節(jié)（4）尾部翼關(guān)節(jié)（5）外側(cè)翼關(guān)節(jié)。這幾組單元的楊氏模量在表1到表5中已顯示，正如圖6所示。這五處單元的楊氏模量被模擬為不相關(guān)的按Gamma分布的隨機變量a=100p=6.9x108（n=a。=6.9x1010Paq=*乖=6.9x109,COV=0.）其中在第一和第二屈曲特征值人=1.345,1=1.807在平均設(shè)計點O1.345的特征'1 '2值代表著34.5%圖.6.聯(lián)翼模型和五個隨機變量部分的位置的安全范圍。為演示連接翼的可靠度分析，當?shù)谝惶卣髦底兊眯∮?.34時表示失敗，在此例中它是作為極限狀態(tài)考慮的。表4示出的MCS和PCS之間失效概率的對比。該MCS結(jié)果是通過進行10000次NASTRAN模擬得到。非介入性分析是采用LHS對200個樣本抽樣而進行的。在非介入性公式中，第四階PCE和轉(zhuǎn)換法（表2）在不考慮每個隨機變量相互影響的情況下被采用。在獲得PCE的待定系數(shù)后，通過殘留分析和ANOVA分析來確定模型是否合適。被給定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效概率通過在PCE的替代模型上進行