復(fù)變函數(shù)往年課件4 1復(fù)數(shù)項級數(shù)

一、復(fù)數(shù)列的極限二、級數(shù)的概念

三、典型例題四、小結(jié)與思考第一節(jié)

復(fù)數(shù)項級數(shù)一、復(fù)數(shù)列的極限1.定義那末a

稱為復(fù)數(shù)列{a

n

}當n

fi

￥

時的極限,記作liman

=

a

.nfi

￥此時也稱復(fù)數(shù)列{a

n

}收斂于a

.設(shè){a

n

}

(n

=

1,2,)

為一復(fù)數(shù)列,

其中a

n

=an

+ibn

,又設(shè)a

=a

+ib

為一確定的復(fù)數(shù),如果任意給定e

>0,相應(yīng)地都能找到一個正數(shù)N

(e),使an

-a

<e

在n

>N

時成立,2.復(fù)數(shù)列收斂的條件：定理一復(fù)數(shù)列{a

n

}(n

=1,2,)收斂于a

的充要條件是lim

an

=

a, lim

bn

=

b

.nfi

￥

nfi

￥定理一說明:可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩個實數(shù)列的斂散性.課堂練習:下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.=

1

+

ni

;1

-

ni(1)

zn;n

+

1(2)

z

=

(-1)n

+in1n(3)

zn

=2e

.-npi二、級數(shù)的概念1.定義設(shè){a

n

}={an

+ibn

}(n

=1,2,)為一復(fù)數(shù)列,￥an

=

a1

+a

2

+

+an

+n=1表達式稱為復(fù)數(shù)項無窮級數(shù).其最前面n

項的和sn

=

a1

+a

2

+

+an稱為級數(shù)的部分和.部分和收斂與發(fā)散￥如果部分和數(shù)列{sn

}

收斂,

那末級數(shù)

an收斂,n=1并且極限

lim

sn

=

s

稱為級數(shù)的和.nfi

￥nfi

￥說明:

與實數(shù)項級數(shù)相同,判別復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散性的基本方法是:

利用極限

lim

sn

=

s.￥如果部分和數(shù)列{sn

}不收斂,那末級數(shù)an發(fā)散.n=1￥例如,

級數(shù)

zn

:n=02n-1sn

=

1

+

z

+

z

+

+

z由于當

z

<

1

時,(z

?

1),=

1

-

z1

-

zn1

-

z1

-

znlim

sn

=

limnfi

￥

nfi

￥,1

-

z1=所以當z

<1

時級數(shù)收斂.2.復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的條件￥

￥定理二級數(shù)an

=(an

+ibn

)收斂的充要條件n=1

n=1￥

￥an

和bn

都收斂.n=1

n=1說明復(fù)數(shù)項級數(shù)的審斂問題

(定理二)實數(shù)項級數(shù)的審斂問題￥n級數(shù)

1

(1

+i

)是否收斂？n=1

n1

發(fā)散;nn￥

￥解

因為a

=

n=1

n=11

收斂.n2￥￥

n=1

n=1nb

=所以原級數(shù)發(fā)散.課堂練習￥

￥因為實數(shù)項級數(shù)

an和

bn收斂的必要條件是n=1

n=1lim

an

=0

和lim

bn

=0.nfi

￥

nfi

￥nfi

￥liman

=

0必要條件重要結(jié)論:￥n=1nfi

￥liman

?0

級數(shù)an發(fā)散.￥所以復(fù)數(shù)項級數(shù)an收斂的必要條件是n=1n=1￥例如,級數(shù)ein

:nnfi

￥

nfi

￥因為lima

=lim

ein

?0,nfi

￥不滿足必要條件,

所以原級數(shù)發(fā)散.啟示:

判別級數(shù)的斂散性時,

可先考察

liman

?=

0nfi

￥liman

?

0,如果級數(shù)發(fā)散;應(yīng)進一步判斷.=

0,nfi

￥liman3.

絕對收斂與條件收斂￥

￥如果

a

n

收斂,

那末an

也收斂.n=1

n=1n=1￥￡

an

成立.n=1￥且不等式an注意n=1￥

an

的各項都是非負的實數(shù),應(yīng)用正項級數(shù)的審斂法則判定.定理三非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù).如果收斂,那末稱級數(shù)為絕對收斂.￥n=1na￥n=1na定義￥￥

￥an與bn絕對收斂.n=1

n=1an絕對收斂

n=11i

πn(1)

因為an=

(1

+

)e

n下列數(shù)列是否收斂,如果收斂,求出其極限.i

π)e

n

;1n(1)

an

=

(1

+npb

=

(1

+

1

)sin

.n

nn

nn所以

a

=

(1

+

1

)cos

π

,而nfi

￥lim

bn

=

0nfi

￥lim

an

=

1

,解三、典型例題例1),+

i

sin)(cos1n=

(1

+pnpn(2)

an

=

ncos

in

.(2)解由于an

=

ncos

in

=

ncosh

n,當n

fi

￥

時,所以數(shù)列發(fā)散.收斂,1i

πnenn所以數(shù)列a

=(1

+)nfi

￥且liman

=1.an

fi

￥

,例2n=1是否收斂？級數(shù)￥1

+

i

2n+1n解=

0,1

+

i

2n+1nfi

￥級數(shù)滿足必要條件,

即limn但￥=

n=1￥n=11

+

i

2n+11

+

(-1)n

inn1

12

3+

-)1

12

3+ +)

-

i(1

-=

(1

+1n因為級數(shù)￥n=1原級數(shù)仍發(fā)散.收斂,n=1￥發(fā)散,

雖(-1)n

1n￥n=1=1n￥n=1(-1)+

in

1nn!n=1是否絕對收斂？級數(shù)￥(8i)n例3收斂,n!8n￥n=1故原級數(shù)收斂,且為絕對收斂.8n=

n!

,n!(8i)n因為所以由正項級數(shù)的比值判別法知:解收斂;￥因為n=1(-1)nn也收斂,21￥n=1n故原級數(shù)收斂.為條件收斂,