N8-4偏導(dǎo)數(shù)與全微分課件

第4節(jié)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算二、高階偏導(dǎo)數(shù)

偏導(dǎo)數(shù)與全微分第八章*四、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用三、全微分一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算1.偏增量與全增量在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，設(shè)函數(shù)當(dāng)改變量保持不變.在點(diǎn)稱為函數(shù)關(guān)于x的偏增量.在點(diǎn)稱為函數(shù)關(guān)于y的偏增量.在點(diǎn)稱為函數(shù)的全增量.上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)某鄰域內(nèi)有定義，則稱此極限為若極限設(shè)函數(shù)注意:記為2.偏導(dǎo)數(shù)的定義上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束同樣定義對(duì)y

的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D

內(nèi)每一點(diǎn)

(x,y)處對(duì)x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)

,記為或y

偏導(dǎo)數(shù)存在,上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如：偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫出)三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)x的求多元函數(shù)對(duì)一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需要將其他變量看成常數(shù)，用一元函數(shù)求導(dǎo)法即可.注意：上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

求解法1:解法2:在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

設(shè)證:求證例2（P329-例2）求解:的偏導(dǎo)數(shù)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束即x＝y(tǒng)＝0時(shí),例4.

設(shè)二元函數(shù)解:上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù).在上節(jié)已證f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!例5.

討論二元函數(shù)在(0,0）是否可導(dǎo)與連續(xù)。解:上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在點(diǎn)M0處的切線的斜率.在點(diǎn)M0處的切線是曲線的斜率.上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、高階偏導(dǎo)數(shù)一般說來，函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)仍為x,y的函數(shù).若它們關(guān)于x,y的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱這些偏導(dǎo)數(shù)為共有四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù).函數(shù)f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù),上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為f(x,y)關(guān)于x的n

階偏導(dǎo)數(shù)定義：例如：則定理.點(diǎn)連續(xù)，(證明略)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.

求函數(shù)解

:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)及上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.二者不等上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束應(yīng)用1.一元函數(shù)

y=f(x)的微分回顧近似計(jì)算估計(jì)誤差2.偏微分偏增量:f(x,y)關(guān)于

x偏微分f(x,y)關(guān)于

y偏微分三、全微分

上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束用S表示邊長(zhǎng)分別為x與y的矩形的面積，問面積改變多少?分析：(1)關(guān)于△x,△y

的線性函數(shù)(主部)則有3.全微分引例x與y分別取得改變量設(shè)面積的增量為(2)比

的更高階的無窮小量.如果邊長(zhǎng)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D上點(diǎn)(x,y)處全增量可表示成其中A,B與x,

y無關(guān),僅與x,y有關(guān)，若函數(shù)在域D

內(nèi)每點(diǎn)都可微,更高階無窮小量,則稱函數(shù)

f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微.則稱函數(shù)在D

內(nèi)可微.稱為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全微分.記作4.二元函數(shù)全微分的定義上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微由微分定義:得函數(shù)z=f(x,y)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1.若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,則該函數(shù)在該點(diǎn)同樣可證證:

由全增量公式必存在,得到對(duì)x

的偏增量因此有

偏導(dǎo)數(shù)5.可微的必要條件（P332--TH8.1）且有即上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.函數(shù)由例5可知，在點(diǎn)(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.即：偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!是否可導(dǎo)可微.解

:上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理2.證明：設(shè)函數(shù)點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的6.可微的充分條件（P333--TH8.2）偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)點(diǎn)可微.(證明略)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束所以函數(shù)在點(diǎn)可微.注意到故有整理可得上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束推廣:

類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9（P333-例6）計(jì)算函數(shù)的全微分，并計(jì)算解:例10.計(jì)算函數(shù)的全微分.解:

函數(shù)在(2,1)點(diǎn)的全微分值.上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束*四、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用1.近似計(jì)算由全微分定義當(dāng)較小時(shí),及有近似等式:(可用于近似計(jì)算;誤差分析)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:

已知即受壓后圓柱體體積減少了

例11（類似P334-例8）一圓柱體受壓后發(fā)生形變,半徑由20cm增大到20.05cm

,則高度由100cm減少到99cm

,求此圓柱體體積的近似改變量.上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例12.計(jì)算的近似值.解:設(shè)則取則上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束分別表示x,y,z的絕對(duì)誤差界,2.誤差估計(jì)（不講）利用則z的絕對(duì)誤差界約為z的相對(duì)誤差界約為上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例13.

利用公式求計(jì)算面積時(shí)的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差.解：故絕對(duì)誤差約為又所以S的相對(duì)誤差約為計(jì)算三角形面積.現(xiàn)測(cè)得上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論

定義;記號(hào);幾何意義

函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)

混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)導(dǎo)數(shù)值與求導(dǎo)順序無關(guān)2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法

求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義

求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時(shí),應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.微分定義4.重要關(guān)系函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)二元函數(shù)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束5.微分應(yīng)用?近似計(jì)算?估計(jì)誤差絕對(duì)誤差相對(duì)誤差上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備例1.

證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：由對(duì)稱性方程上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:

利用故f

在(0,0)連續(xù);得在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,但不可微.備例2.證明:上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束而所以f

在點(diǎn)(0,0)不可微!上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在點(diǎn)(0,0)可微.在點(diǎn)(0,0)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,不連續(xù),證明:1)故函數(shù)在點(diǎn)(0,0)連續(xù)