第27章.相似-專訓(xùn)2：巧作平行線構(gòu)造相似三角形

第27章.相似——專訓(xùn)2：巧作平行線構(gòu)造相似三角形(刪除明顯有問(wèn)題的段落)1.在三角形ABC中，設(shè)邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)為E、F，AC的中點(diǎn)為D，BD分別交AE、AF于點(diǎn)P、Q。求證：BP：PQ：QD=5:3:2。解：連接DF。因?yàn)镋、F是邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以BE=EF=FC。又因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以AD=CD。因此，DF是△ACE的中位線，DF∥AE，且DF=1/2AE。所以DF∥PE。因此，△BEP∽△BFD，BE/PE=BP/FD=BD/BF。因?yàn)锽F=2BE，所以FD=2PE，BD=2BP，因此BP=PD。因?yàn)镈F∥AE，所以△APQ∽△FDQ，PQ/QD=AP/DF。設(shè)PE=a，則DF=2a，AP=3a。因此，PQ:QD=AP:DF=3:2，BP:PQ:QD=5:3:2。2.在三角形ABC中，AC=BC，F(xiàn)為底邊AB上一點(diǎn)，BF:AF=3:2，取CF的中點(diǎn)D，連接AD并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，求BE/EC的值。解：過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。則△GCD∽△AFD，CG/CD=AF/FD。因?yàn)锳C=BC，所以△ABC是等腰三角形，所以AG=BG，因此CG=2CD。又因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以AF=BF，因此FD=BD/5。因此，CG/CD=5/2，AF/FD=5/3，所以BE/EC=CG/CD×FD/AF=5/6。3.在三角形ABC中，AD為BC邊上中線，過(guò)C任作一條直線交AD于E，交AB于F，求證：AE:ED=2AF:FB。解：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，所以AD=BC/2。因此，AE=AD-DE=BC/2-DE。因?yàn)镃E∥AB，所以△ACF∽△CED，因此，AF/CE=AC/CD。因?yàn)锳D=BC/2，所以CD=BC-AD=BC/2。因此，AF/CE=2AC/BC。因?yàn)锳C=BC/2，所以AF/CE=2/3。因此，AE/ED=AF/FB=2/1。4.在三角形ABC中，AB>AC，在邊AB上取一點(diǎn)D，在AC上取一點(diǎn)E，使AD=AE，直線DE和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P。求證：BP×BD=CP×CE。解：連接AP。因?yàn)锳D=AE，所以AP是AC的中線，因此，AP=PC。因?yàn)锳B>AC，所以BD>CE。因此，BP>CP。因?yàn)椤鰾PD∽△CPE，所以BP/CP=BD/CE，因此，BP×BD=CP×CE。5.在三角形ABC中，點(diǎn)M為AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，且AE=1/4AB，連接EM并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。求證：BC=2CD。解：作平行于AE的直線DF，交BC于點(diǎn)F。因?yàn)锳E=1/4AB，所以DF=1/4BF。因?yàn)镸是AC的中點(diǎn)，所以EM∥BC。因此，△BEM∽△DFC，BE/DF=EM/FC=AB/2FC，因此，BE/DF=AB/FC。因?yàn)镈F=1/4BF，所以BE/BF=4/3。因?yàn)椤鰾EM∽△DFC，所以BM/DF=EM/FC=AB/2FC，因此，BM/DF=AB/FC。因?yàn)锳E=1/4AB，所以AB=4AE。因此，BM/DF=4AE/FC=AE/FC，因此，BM=AE×DF/