微積分練習(xí)題(含答案)

微積分練習(xí)題(含答案)1.函數(shù)$F(x)=\int_{0}^{x}\frac{t}{e^t}dt$的單調(diào)增加區(qū)間為$(0,+\infty)$。2.函數(shù)$F(x)=\int_{0}^{x}te^{-t}dt$在點(diǎn)$x=1$處有極值。3.計(jì)算$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}35\sinx\sin^2x\cosxdx=-\frac{35\pi}{8}$。4.計(jì)算$\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{dx}{x(1+\lnx)^2}=\frac{1}{2}$。5.求函數(shù)$I(x)=\int_{1}^{x}\frac{t}{1+\lnt}dt$在$[1,e]$上的最大值與最小值。最大值為$e^2-3$，最小值為$\frac{1}{4}$。6.設(shè)函數(shù)$f(x)=\begin{cases}1,&-1<x<1\\\frac{1}{1+\cos^2x},&x\geq1\text{或}x\leq-1\end{cases}$，計(jì)算$\int_{0}^{4}f(x-2)dx=2+\frac{\pi}{2}$。7.計(jì)算$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2x\sinx}{\pi-x}dx=\frac{\pi}{2}$。8.設(shè)$f(x)$是連續(xù)函數(shù)，且$\int_{0}^{x}f(t)dt=\frac{x^2}{2}\sinx$，則$\int_{0}^{\pi}f(x)\sin^2xdx=\frac{\pi^3}{6}$。9.若$\int_{0}^{x^3}f(t)dt=x$，則$f(8)=\frac{1}{16}$。10.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\ln(1+\sint)dt=1$，$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\frac{\cost}{\ln(1+x^2)}dt=1$。11.設(shè)$I=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^f(x)dx-\int_{a}^f'(x)dx$，則$I=2\int_{a}^f(x)dx$。12.已知$f(2)=1$，$f'(2)=2$，及$\int_{0}^{2}f(x)dx=1$，則$\int_{0}^{1}x^2f''(2x)dx=0$。13.若$\int_{0}^{x}\sintf(t)dt=x+\cosx$，則$f(x)=\frac{1-x}{1-x^2}$.1.存在函數(shù)g(x)，使得limx→af(x)=g(a)。如果存在這樣的函數(shù)g(x)，那么f(x)在x=a處有極限。2.設(shè)偶函數(shù)f(x)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且f''(x)≠0，則x=0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)。3.求曲線y=(1/2π)*e^(-x^2/2)的單調(diào)區(qū)間、極值、拐點(diǎn)并研究圖形的凹向。單調(diào)性：在(-∞,-1)單調(diào)增，在(-1,0)單調(diào)減，在(0,∞)單調(diào)增。極值：在x=0處取得極大值1/(2π)。拐點(diǎn)：在x=-1和x=1處。凹向：在(-∞,-1)和(1,∞)上凹，在(-1,1)上凸。4.求函數(shù)f(x)=(x-4)^3*(x+1)^2的極值和拐點(diǎn)并討論函數(shù)圖形的單調(diào)性與凹向。f'(x)=3(x-4)^2*(x+1)^2*(2x-1)，f''(x)=6(x-4)*(x+1)*(5x-2)。極值：在x=-2和x=6處取得極大值，在x=1處取得極小值。拐點(diǎn)：在x=-2處。單調(diào)性：在(-∞,-2)上下凹且單調(diào)減，在(-2,1)上下凸且單調(diào)增，在(1,∞)上上凹且單調(diào)減。5.證明不等式：2x≥3-1/x(x>0)。將不等式化為通分形式，得到2x^2-3x+1≥0，即(2x-1)(x-1)≥0，當(dāng)x>0時(shí)，不等式成立。6.證明方程x-5x+1=0在(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。設(shè)f(x)=x-5x+1，則f(0)=1>0，f(1)=-3<0，因此在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。又f'(x)=1-10x，因此在(0,1)內(nèi)f'(x)的值域?yàn)?-9,1)，由介值定理可知，存在c∈(0,1)使得f'(c)=0，即f(x)在(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)。又因?yàn)閒(0)>0，f(1)<0，因此該極值點(diǎn)為極大值點(diǎn)，即f(c)>0。綜上所述，方程x-5x+1=0在(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。7.證明不等式：x<ln(1+x)<x/(1+x)(x>0)。對f(t)=ln(1+t)在[0,x]上使用拉格朗日中值定理，得到ln(1+x)-ln1=f'(c)(x-0)，即ln(1+x)=x/(1+c)，其中0<c<x。又因?yàn)?<c<x，因此1+c<1+x，即1/(1+c)>1/(1+x)，代入上式得到ln(1+x)<x/(1+x)。又因?yàn)閘n(1+x)>0，因此x<ln(1+x)。綜上所述，得證。1.將f(9-x)的定義域轉(zhuǎn)化為x的定義域，即9-x在[2,3]中，解得x在[6,7]中，所以f(9-x)的定義域是[6,7]。2.由于f(g(x))=3x/(2-x)，所以f(g(1))=undefined，即g(1)=2不在g(x)的定義域內(nèi)。3.奇函數(shù)的定義是f(-x)=-f(x)，偶函數(shù)的定義是f(-x)=f(x)，所以只有選項(xiàng)D滿足條件。4.將分子和分母同時(shí)除以x^15，得到lim[(1/x+2)/(1/x+6)]^5，x趨向無窮大時(shí)，1/x趨向0，所以極限為(2/6)^5=32/243。5.將分式拆開，得到lim[1/(1+2n)+1/(3+4n)]，當(dāng)n趨向無窮大時(shí)，分母趨向無窮大，所以極限為0+0=0。6.將3x-5/x^3拆成3/x^2-5/x^3，sin(1/x^2)在x趨向無窮大時(shí)的極限為0，所以極限為-5/∞=0。7.當(dāng)x<1時(shí)，f(x)=1，當(dāng)x>=1時(shí)