2023年三推理與證明及數(shù)學(xué)歸納法與不等式選講

專題三:推理與證明及數(shù)學(xué)歸納法與不等式選講

例1.設(shè)數(shù)列｛4｝滿足：％=2,??+1=??+—(?€N*).

4

(1)證明：/><2〃+1對(duì)〃eN*恒成立;

(2)令2=eN*),判斷"與a”的大小，并說(shuō)明理由。

例2.在數(shù)列｛%｝中，6=1,3441+%-41=0(〃22),設(shè)數(shù)列2=揚(yáng)，依｝的前〃項(xiàng)和為

小

(1)若4a“-%+|<0對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍；

z

(2)求證:對(duì)任意〃22的整數(shù)，^+^+...+Z?n<-(V3n2-l)；

(3)是否存在實(shí)數(shù)M,使得對(duì)任何的"eN\Tn<M恒成立，假如存在求出最小的M,假如不

存在請(qǐng)說(shuō)明理由。

例3.己知數(shù)列｛6,｝的前〃項(xiàng)和為S“，且%=4,Sn=nan+2-----------(n>2,ne).

(1)求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛bn｝滿足：4=4,且％=b：-(7?-1)/7,,-2(〃eTV*),求證:

b?>a”(〃N2,〃eN*)；

(3)求證：(l+-!-)?(l+-!-)?(l+-^-)??(1+—!—)〈隨(〃22,〃eN*).

皿bhb4b5b,,bn+x

例4.數(shù)列｛a“｝滿足a〕=1且a,-1=(1+—----)??+—(/?>1)a

n-+n2

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：an>2(?>2)；

(2)已知不等式ln(l+x)<x對(duì)x>0成立，證明：/<e2(〃21),其中無(wú)理數(shù)e=2.71828…。

例5.在單調(diào)遞增數(shù)列｛4｝中，q=2,不等式(〃+1)%>na2?對(duì)任意neN*都成立。

(1)求勺的取值范圍；

(2)判斷數(shù)列伍"能否為等比數(shù)列?說(shuō)明理由；

(3)設(shè)d=(l+l)(l+g)(1+/)，％=6(1—/)，求證：對(duì)任意的〃eN*,:之0。

例6.己知實(shí)數(shù)cNO,曲線C:y=?與直線/:y=x—c的交點(diǎn)為P（異于原點(diǎn)。）.在曲線C

上取一點(diǎn)片（和X）,過(guò)點(diǎn)片作42平行于x軸，交直線/于2,過(guò)點(diǎn)2作。洪平行于y軸，交

曲線C于鳥（乙，當(dāng)）；接著過(guò)點(diǎn)6作鳥。2平行于x軸，交直線/于Q,過(guò)點(diǎn)。2作26平行于了

軸，交曲線c于鳥（X3,%）;如此下去，可得到點(diǎn)月（七，為），4（不，％），.“，尺（毛，先），設(shè)點(diǎn)尸坐

標(biāo)為（a,&）,%=b,Q<b<a?

（1）試用c表達(dá)a,并證明aNl；

⑵證明：％2>X],且X“<a（〃wN*）；

（3）當(dāng)c=0,ON，時(shí)，求證：汽也口〈理（”,ZeN*）。

2k=\xk+22

,1,

例7.數(shù)列｛。“｝中,q=l,a“+|+2(〃=1,2,3,…).

(1)求證：?an<a?+1；②1<a“<2；

"140

(2)比較與之/用的大小,并加以證明。

總439

例8.已知不等式4+，+…+，>_L[]og,磯其中〃為大于2的整數(shù)，[log,網(wǎng)表達(dá)不超過(guò)

23n2

log?”的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列｛凡｝的各項(xiàng)為正，且滿足《=仇6>0),44」陛」,〃=2,3,4「-。

。/

(1)證明\<------——,n=3,4,5,…；

2+仇log2川

(2)試擬定一個(gè)正整數(shù)N,使得當(dāng)〃〉N時(shí),對(duì)任意b>0,都有??<|o

2Q

例9.已知數(shù)列｛”“｝中，q=-,4=一，且當(dāng)"22,〃cN時(shí)，3%=4a。

39zi

(I)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

(II)記萬(wàn)4=q?〃2.a"，"￡N*,對(duì)一切正整數(shù)〃，若不等式幾萬(wàn)6>1(4￡N*)恒成

i=l/=1

立，求4的最小值。

例10.把正奇數(shù)列｛2〃-1｝中的數(shù)按上小下大,左小右大的

1

原則排列成如圖“三角形”所示的數(shù)表，設(shè)為(i,/eN*)是3

位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行,從左向右數(shù)第j7911

個(gè)數(shù)。

(1)若amn=2009，求機(jī),〃的值；

(2)己知函數(shù)/(x)的反函數(shù)為

/-'(X)=64,,X3(X>0,〃eN*),若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第”行各數(shù)的和為"。

①求數(shù)列"3“)｝的前n項(xiàng)的和S?；

42"3

②令％=-S，｛%｝的前〃項(xiàng)之積為7；(〃eN*)，求證：Tn<--n\.

4—12

例11.(I)已知函數(shù)/。)=加-，+(1-/")(乂>0),其中r為有理數(shù)，且Ocrvl.求f(x)的

最小值；

(】1)試