備課教案4-不定積分new

_第四章 不定積分§4.1不定積分概念微分學(xué)的基本問題是：已知一個(gè)函數(shù)，求它的導(dǎo)數(shù)。但是，在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中往往還會(huì)遇到與精品文檔放心下載此相反的問題：已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求原來的函數(shù)，由此產(chǎn)生了積分學(xué)。精品文檔放心下載“積分”是“微分”的逆運(yùn)算。一、原函數(shù)1、原函數(shù)定義我們?cè)谟懻搶?dǎo)數(shù)的概念時(shí)，解決了這樣一個(gè)問題：已知某物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程隨時(shí)間t變感謝閱讀化的規(guī)律為ss(t)，那么，在任意時(shí)刻t物體運(yùn)動(dòng)的速度為v(t)s(t)。現(xiàn)在提出相反的問題：謝謝閱讀例1 已知某物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間t變化的規(guī)律為vv(t)，要求該物體運(yùn)動(dòng)的路程隨時(shí)間謝謝閱讀變化的規(guī)律ss(t)。顯然，這個(gè)問題就是在關(guān)系式v(t)s(t)中，當(dāng)v(t)為已知時(shí)，謝謝閱讀要求s(t)的問題。例2 已知曲線yf(x)上任意點(diǎn)(x,y)處的切線的斜率為2x，要求此曲線方程，這個(gè)問題就是要根據(jù)關(guān)系式y(tǒng)2x，求出曲線yf(x)。感謝閱讀從數(shù)學(xué)的角度來說，這類問題是在關(guān)系式F(x)f(x)中，當(dāng)函數(shù)f(x)已知時(shí)，求出函謝謝閱讀F(x)。由此引出原函數(shù)的概念。定義4.1:設(shè)f(x)是定義在某區(qū)間I內(nèi)的已知函數(shù)，如果存在一個(gè)函數(shù)F(x)，對(duì)于每一點(diǎn)xI，都有：感謝閱讀F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx謝謝閱讀則稱函數(shù)F(x)為已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)。感謝閱讀_例如，由于(sinx)cosx，所以在(,)內(nèi)，sinx是cosx的一個(gè)原函數(shù)；又因?yàn)楦兄x閱讀(sinx2)cosx，所以在(,)內(nèi)，sinx2是cosx的一個(gè)原函數(shù)；更進(jìn)一步，對(duì)任意常謝謝閱讀數(shù)C，有(sinxC)cosx，所以在(,)內(nèi)，sinxC都是cosx的原函數(shù)。精品文檔放心下載2、原函數(shù)性質(zhì)（1）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I內(nèi)一定有原函數(shù)；（2）若F(x)f(x)，則對(duì)于任意常數(shù)C，F(xiàn)(x)C都是f(x)的原函數(shù)。謝謝閱讀即如果f(x)在I上有原函數(shù)，則它有無窮多個(gè)原函數(shù)；謝謝閱讀（3）若F(x)和G(x)都是f(x)的原函數(shù)，則F(x)G(x)C，（C為任意常數(shù)）。感謝閱讀即任意兩個(gè)原函數(shù)只相差一個(gè)常數(shù)。二、不定積分1、不定積分定義定義4.2: 若F(x)是f(x)在區(qū)間I內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則稱F(x)C(C為任意常數(shù))為謝謝閱讀(x)在區(qū)間I內(nèi)的不定積分，記為f(x)dx，即謝謝閱讀f(x)dxF(x)C。其中： ——為積分號(hào)，(x)——被積函數(shù)，(x)dx——被積表達(dá)式，x——積分變量，——積分常數(shù)。由不定積分的定義可知，計(jì)算一個(gè)函數(shù)的不定積分時(shí)，就歸結(jié)為“求出被積函數(shù)的一個(gè)原精品文檔放心下載函數(shù)再加上任意的常數(shù)”即可。_1計(jì)算下列不定積分。（1）2xdx；（2）sinxdx；（3）exdx。解（1）因?yàn)?x2)2x，所以x2是2x的一個(gè)原函數(shù)，由不定積分的定義知：2xdxx2C。（2）因?yàn)?cosx)sinx，所以cosx是sinx的一個(gè)原函數(shù)，由不定積分的定義知精品文檔放心下載sinxdxcosxC。（3）因?yàn)?ex)ex，所以ex是ex的一個(gè)原函數(shù)，由不定積分的定義知精品文檔放心下載exdxexC。2求1dx。x解：①當(dāng)x0時(shí)， ∵lnx1，即lnx是1的一個(gè)原函數(shù)感謝閱讀x x1dxlnxCx②當(dāng)x0時(shí)，∵11xx，ln(x)∴1dxln(x)Cx兩式合并，當(dāng)x0時(shí)，有：1dxlnxC。x由上述例題可以看出，求不定積分就是求被積函數(shù)的全體原函數(shù)，這個(gè)“全體”就體現(xiàn)在任意謝謝閱讀常數(shù)C上,因此,求不定積分時(shí),積分常數(shù)C不能丟。感謝閱讀由于“積分”和“微分”互為逆運(yùn)算，故檢驗(yàn)一個(gè)積分結(jié)果是否正確，只須對(duì)積分結(jié)果求導(dǎo)，精品文檔放心下載看他是否等于被積函數(shù)。_2、不定積分性質(zhì)由不定積分的定義，有：性質(zhì)⑴：先積分后微分，兩種互逆運(yùn)算相抵消。f(x)dx或df(x)dxf(x)dxf(x)；性質(zhì)⑵：先微分后積分，兩種互逆運(yùn)算抵消后，相差常數(shù)C。精品文檔放心下載F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C。由此可見，微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互此處繪圖逆的。例3利用性質(zhì)求下列不定積分。圖4-1（1）sinxdx；（2）sinxdx。（1）利用“先積后微，結(jié)果等于被積函數(shù)”得：sinxdxsinx（2）利用“先微后積，結(jié)果等于被積函數(shù)+C”得：謝謝閱讀sinxdxsinxc3、不定積分幾何意義不定積分的圖形是由F(x)C所表示的無窮多條積分曲線所組成的“積分曲線簇”。（如圖5-1所示）每一條積分曲線對(duì)應(yīng)于同一橫坐標(biāo)_x0處的切線互相平行。不定積分幾何意義：不定積分F(x)C表示f(x)的一簇積分曲線，而f(x)正是積精品文檔放心下載分曲線的切線的斜率。4求過點(diǎn)1,3，且其切線的斜率為2x的曲線方程。感謝閱讀解：由2xdxx2C得：yx2c的曲線簇謝謝閱讀將x1,y3代入得：c2∴yx223為過點(diǎn)1,且其切線的斜率為2x的曲線方程。由圖5-2可以看出：yx2c表示無窮多條拋物線，這些拋物線就構(gòu)成一條關(guān)于2x的積精品文檔放心下載分曲線簇。簇中每一條曲線對(duì)應(yīng)于同一橫坐標(biāo)x1處有相同的斜率f(1)2x 2。精品文檔放心下載x1故對(duì)應(yīng)x1處，這簇曲線的切線互相平行，任兩條曲線的縱坐標(biāo)之間相差一個(gè)常數(shù)C。精品文檔放心下載故確定一條曲線yx22，其它各曲線便可由yx22沿y軸方向上、下移動(dòng)而得到。感謝閱讀§4.2 基本積分公式一、基本積分公式（背！）由不定積分的定義，從導(dǎo)數(shù)公式可得到相應(yīng)的積分公式。為了計(jì)算方便，下面列出基本積分公式：精品文檔放心下載（1）0dxC；（8）cosxdxsinxC；（2）dxxC；（9）sec2xdxtanxC；（3）xndxxn1C,(n1)；（10）csc2xdxcotxC；n1（11）secxtanxdxsecxC；（4）1dxlnxC；（12）cscxcotxdxcscxC；x（5）axdxaxC；1lnadxarcsinxC（13）1x2（6）exdxexC；arccosxC；_這些基本積分公式是求不定積分時(shí)常用的公式，同學(xué)們必須熟練地掌握！感謝閱讀二、不定積分運(yùn)算法則法則⑴：函數(shù)代數(shù)和的積分等于函數(shù)積分的代數(shù)和。[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx；精品文檔放心下載推廣：f(x)g(x)v(x)dxf(x)dxg(x)dxv(x)dx謝謝閱讀法則⑵：被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以移到積分號(hào)的外面。謝謝閱讀kf(x)dxkf(x)dx（k0）。感謝閱讀現(xiàn)在利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式，可以求一些函數(shù)的不定積分。謝謝閱讀例1計(jì)算下列不定積分：（1）x2xdx；（2）(1x)2dx；x2（3） x xdx； （4）3xexdx。感謝閱讀_解（1）x2 xdxx52dx72x72C；精品文檔放心下載（2）(1x)2dx12xx2121dxdxx2x2dxx+1dxx2dx2xx21x212ln|x|xC12ln|x|xC；1(2)x（3）337xxdxx4dx13x41C4x4C。174（4）3xexdx(3e)xdx(3e)xC3xexC。ln(3e)1ln3注意：檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確，只要對(duì)結(jié)果求導(dǎo)，看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)，相等時(shí)結(jié)精品文檔放心下載果是正確的，否則結(jié)果是錯(cuò)誤的。三、直接積分法所謂直接積分法，就是利用不定積分的基本積分公式和法則，來求一些簡單函數(shù)的不定積分。精品文檔放心下載例2 計(jì)算下列不定積分。_（1）2xxdx；（2）tan2xdx；（3）1dx；（4）1dx。sin2xcos2xx2(1x2)2xdxx33解：（1）2xxdx2dx2xdxx2dx322x2x21Cx25；5x2C2312（2）tan2xdx(sec2x1)dxsec2xdxdxtanxxC；謝謝閱讀1sin2xcos2x11dx（3）sin2xcos2xdxsin2xcos2xdxcos2xdxsin2xtanxcotxC；（4）1dx111dx1dx1x2(1x2)1x2dxx21x2arctanxC。x2x注意：當(dāng)被積函數(shù)不能直接用公式時(shí)，需先進(jìn)行一些恒等變形或拆分，將其化為積分基本公精品文檔放心下載式的形式，再求積分即可。3計(jì)算下列不定積分：（1）cos2xdx；（2）cos2xdx；（3）sin2xdx；sin2x22解（1）cos2xdx12sin2xdx(csc2x2)dxcotx2xC；sin2xsin2x（利用三角恒等變形：cos2xcos2xsin2x2cos2x112sin2x）（2）cos2xdx1cosxdx1dx1cosxdxxsinxC。222222（利用三角函數(shù)降冪公式：cos2x11cosx）22（3）sin2xdx1cosxdx1dx1cosxdx1x1sinxC222222（利用三角函數(shù)降冪公式：sin2x11cosx）22§4.3 換元積分法_一、第一類換元法（湊微分法）前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了直接積分法，但是僅利用基本積分公式和不定積分的性質(zhì)所能計(jì)算的積分是非精品文檔放心下載常有限的。例如計(jì)算不定積分：exdx，這個(gè)積分看上去很簡單，與基本積分公式exdx相似，但不能用直接積分法。區(qū)別在于exdx中的被積函數(shù)yex是由yeu,ux復(fù)合而成的。如何求謝謝閱讀出這類復(fù)合函數(shù)的積分呢？利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推導(dǎo)出計(jì)算不定積分的一種常用方法——謝謝閱讀湊微分法。先看一例子：例如：求lnx31xdx解：lnx31xdxlnx3lnxdx精品文檔放心下載lnx3dlnx換元lnxuu3du用積分公式1u4C4還原14Culnx4lnx上述例題中求積分的方法就是換元法。此法關(guān)鍵f(x)(x)dx形式，設(shè)法將其湊成f(x)d(x)的形式。：被積函數(shù)具有故此類換元法又稱為“湊微分法”。定理：設(shè)F(u)是f(u)的一個(gè)原函數(shù)且u(x)可導(dǎo)，則謝謝閱讀f[(x)](x)dxF[(x)]C。感謝閱讀湊微分法的名稱來源于把被積函數(shù)分為復(fù)合函數(shù)f[(x)]與中間變量的導(dǎo)數(shù)(x)兩部分，再謝謝閱讀_(x)dx湊成d(x)。第一類換元法常做如下描述：f(x)(x)dxf(x)d(x)精品文檔放心下載令(x)uf(u)du用公式F(u)C感謝閱讀回代u(x)F(x)C1求xsinx2dx解：xsinx2dx1sinx2d(x2)1sinx2x2dx22令x2u112sinud(u)2(cosu)C回代ux212cosx2C例2求x1dx解： x1dxx112x1dx(x1)12d(x1)謝謝閱讀令x1uu12d(u)用公式u121C2u23C1312回代ux12x13C32由上述例題看出，第一類換元法關(guān)鍵是：_xdx dx如何將 湊成微分 注：熟練以后，可以省去分析過程和設(shè)新變量的過程，而可以直接“湊”成基本公式謝謝閱讀形式，求出最后結(jié)果即可。3計(jì)算下列不定積分（直接湊微分）（1）axb100dx；（2）xex2dx；（3）lnxdx；（4）2cos2xdx。x解：當(dāng)運(yùn)算熟練之后，可以不寫出中間變量，直接計(jì)算。（1）axb100dx1axbdaxb1axbC.100101a101a（2）xex2dxex21d(x2)1ex2C;22（3）lnxdx12C.x2（4）2cos2xdxcos2xd(2x)sin2xC。4計(jì)算不定積分sin2xdx解法一：sin2xdx12sin2xd2x12cos2xC.精品文檔放心下載解法二：sin2xdx2sinxcosxdx2sinxd(sinx)sin2xC.感謝閱讀解法三：sin2xdx2sinxcosxdx2cosxd(cosx)cos2xC.此題三個(gè)結(jié)果12cos2x,sin2xcos2x均為sin2x的原函數(shù)。精品文檔放心下載注：檢驗(yàn)積分結(jié)果正確與否，只要把結(jié)果求導(dǎo)，如果倒數(shù)等于被積函數(shù)，則說明結(jié)感謝閱讀果正確！說明同一道不定積分題可出現(xiàn)不同結(jié)果。例5計(jì)算不定積分（1）sin2xcos5xdx；（2）cos2xdx.感謝閱讀_解：（1）sin2xcos5xdxsin2xcos4xdsinxsin2x1sin2x2dsinx；感謝閱讀sin2x2sin4xsin6xdsinx謝謝閱讀13sin3x52sin5x71sin7xC.感謝閱讀（2）cos2xdx1cos2xdx1dxcos2xdx1dx1cos2xd2x2224xsin2xC.24注：①當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)乘積時(shí)，一般拆開“奇次項(xiàng)”去湊微分；謝謝閱讀②當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)偶數(shù)次冪時(shí)，常用半角公式通過降冪的方式來計(jì)算。感謝閱讀有些積分，需要先將被積函數(shù)進(jìn)行“恒等變形”，然后再用“湊微分”法求積分。謝謝閱讀6計(jì)算下列不定積分：（1）1dx；（2）1dx。2x2aa2x2解（1）1dx111x1x2x22(1x2dx2daarctanC；aa)a1xaaa2a（2）1dx1dx1112xdxa2(ax)(ax)2aaxax11dx1dx2aaxax11dax1dax2aaxax12alnaxlnaxC1lnaxC2aax由此例題得兩公式如下：_1dx1arctanx11lnaxCC；a2x2aaa2x22aax。例7求1dxx2a2解：1dxdx1xarxsinxdCa2x2a1x21x2aaaa由此例題得公式如下：a21xC湊微分法在積分學(xué)中是經(jīng)常用的，這種方法的特點(diǎn)是“湊微分”，要掌握這種方法，需要熟記精品文檔放心下載一些函數(shù)的微分公式，為了做題方便，下面列出一些常用的湊微分格式：精品文檔放心下載（1）dx1d(axb)（a,b為常數(shù)，且aa（2）xdx1d(x2)；21dx1（4）x2d；x（6）exdxd(ex)；（8）cosxdxd(sinx)；（10）sec2xdxd(tanx)；謝謝閱讀1x2dxd(arctanx)；（12）1

0）；（3）1dx2d(x)；x（5）1xdxd(lnx)；（7）sinxdxd(cosx)；（9）tanxdxlncosx；（11）csc2xdxd(cotx)；精品文檔放心下載（12）1dxd(arcsinx)。1x2_8計(jì)算下列不定積分：（1）tanxdx； （2）cotdx； （3）cscxdx； （4）secxdx。感謝閱讀解（1）tanxdx（2）cotxda（3）cscxdx

cossinxxdxcossinxxdxsin1xdx感謝閱讀112121

cos1xd(cosx)lncosxC；精品文檔放心下載1d(sinx)lnsinxC；sinxdcosxsinxdx1sin2x1cos2x11dcosxcosx1cosx1d(1cosx)1d(1cosx)cosx1cosx1ln1cosxC1ln1cosxC感謝閱讀21cosx21cosx謝謝閱讀1ln1cosx2Cln1cosxClncscxcotxC21cos2xsinx用上述公式C（4）secxdxcsc(x)dxlncsc(x)cotx2222lnsecxtanxC（用到“誘導(dǎo)公式”：名稱變余函數(shù)，符號(hào)看象限）補(bǔ)充積分公式_⒈tanxdxlncosxC；dx1arctanxC；cotxdxlnsinxC；⒌⒉a2x2aa⒊secxdxlnsecxtanxC；⒍dx1lnax；a2x22aC⒋cscxdxlncscxcotxC；axdx1lnxaC7.；x2a22axa8.dxarcsinxC。a2x2a9計(jì)算下列不定積分（利用補(bǔ)充公式直接求解）（1）1dx；49x2（2）149x2dx.（3）19x24dx.解：（1）1dx11d3x11arctan3xC1arctan3xC；22（2）1dx11d3x11ln23xC1ln23xC；22（3）1dx1122d3x11ln3x2C1ln3x2C.22二、第二類換元法第二類換元法中，是“引入新變量t，將x表示為t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)x(t)”，從而簡化積精品文檔放心下載分計(jì)算的。例8求1dx。2x11解：積分中含有根式 2x1，無法用湊微分法，故用第二類換元法。謝謝閱讀_令2x1t，則xt21,dxtdt。于是21dxtdt1t111dt1t1tdt1dt1dt1t12x11tt

11td(1

t)

t

ln1t

C

2x

1ln1

2x

1

C。注意 當(dāng)被積函數(shù)中含有根式naxb時(shí)，通常作變量代換naxbt消去根式，便于計(jì)算。感謝閱讀第二類換元法常做如下描述：f(x)dx令x(t)f(t)(t)dt謝謝閱讀用公式F(t)C變量還原(x)CF1t1(x)例1求1dx。1ex解：令tex，即xlnt，則dxd(lnt)1dt。于是t1111dt恒等變形(t1)t111exdx1ttdtt(t1)t(t1)dt(tt1)dt1dt1d(t1)lntlnt1Ctt1還原lnexlnex1C例2求1dx13x1解：令3x1t，即xt31，則：dxdt313tdt.，有：_1dx13t2dt3t2t2113dt3dtt1t11dt13x11t1t1t1t3t113tdtdt1d1dt11ttt232tln1tC還原3x123x1ln13x1C.32§4.4 分部積分法應(yīng)用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則可推出分部積分法。一、分部積分法設(shè)uu(x)，vv(x)都是x的可導(dǎo)函數(shù)，由乘積的微分法則，有：精品文檔放心下載d(uv)udvvdu_移項(xiàng)： udvd(uv)vdu兩邊積分：udvd(uv)vduuvvdu感謝閱讀即： udvuvvdu定理：設(shè)函數(shù)uu(x)及vv(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則謝謝閱讀udvuvvdu。二、分部積分公式用法udvuvvdu此公式作用：在于把求udv的問題轉(zhuǎn)化為求vdu的問題，謝謝閱讀即：vdu較之udv容易求得。分部積分法常用于被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)乘積的積分，如被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)精品文檔放心下載(或?qū)?shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等)的乘積，三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積等。謝謝閱讀1求xsinxdx。解 被積函數(shù)是冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積，用分部積分法。感謝閱讀ux,dvsinxdxd(cosx)，于是dudx,vcosx謝謝閱讀xsinxdxxd(cosx)x(cosx)(cosx)dx精品文檔放心下載xcosxcosxdxxcosxsinxC精品文檔放心下載x2若選取usinx,dvxdx，則dud(sinx),v。于是2xsinxdxsinxd(x22)x22sinxx22d(sinx)（結(jié)果比原積分還難求解，不可?。└兄x閱讀所