工程斷裂力學(xué)課件

能量守恒與斷裂判據(jù)能量守恒與斷裂判據(jù)1

在現(xiàn)代斷裂力學(xué)建立以前，機(jī)械零構(gòu)件是根據(jù)傳統(tǒng)的強(qiáng)度理論進(jìn)行設(shè)計(jì)的，不論在機(jī)械零構(gòu)件的哪一部分，設(shè)計(jì)應(yīng)力的水平一般都不大于材料的屈服應(yīng)力，即這里是設(shè)計(jì)應(yīng)力；是安全系數(shù)，其值大于1；是屈服應(yīng)力，在等截面物體受到單向拉伸時(shí)，即為單向拉伸的屈服強(qiáng)度。傳統(tǒng)強(qiáng)度理論在現(xiàn)代斷裂力學(xué)建立以前，機(jī)械零構(gòu)件是根據(jù)傳統(tǒng)的強(qiáng)2經(jīng)典斷裂理論

斷裂力學(xué)的一大特點(diǎn)是，假定物體已經(jīng)帶有裂紋。現(xiàn)代斷裂力學(xué)能對(duì)此帶裂紋物體的裂紋端點(diǎn)區(qū)進(jìn)行應(yīng)力應(yīng)變分析，從而得到表征裂端區(qū)應(yīng)力應(yīng)變場強(qiáng)度的參量。本章介紹的是在現(xiàn)代斷裂力學(xué)發(fā)展以前，科學(xué)家根據(jù)能量守恒定律而建立的斷裂判據(jù)，相對(duì)于現(xiàn)代斷裂力學(xué)，這可稱為經(jīng)典的斷裂理論。經(jīng)典斷裂理論斷裂力學(xué)的一大特點(diǎn)是，假32-1Griffith能量釋放觀點(diǎn)

Griffith是本世紀(jì)二十年代英國著名的科學(xué)家，他在斷裂物理方面有相當(dāng)大的貢獻(xiàn)，其中最大的貢獻(xiàn)要算提出了能量釋放(energyrelease)的觀點(diǎn)，以及根據(jù)這個(gè)觀點(diǎn)而建立的斷裂判據(jù)。本節(jié)要介紹根據(jù)Griffith觀點(diǎn)而發(fā)展起來的彈性能釋放理論，此理論在現(xiàn)代斷裂力學(xué)中仍占有相當(dāng)重要的地位。2-1Griffith能量釋放觀點(diǎn)4Griffith裂紋

圖(2－1)的Griffith裂紋問題(即無限大平板帶有穿透板厚的中心裂紋，且受到無窮遠(yuǎn)處的單向均勻拉伸的裂紋問題)，以及圖(2－2)的矩形平板帶有單邊裂紋(singleedgecrack)的問題。設(shè)兩平板的厚度均為B，Griffith裂紋長度為2a，單邊裂紋的長度為a。

Griffith裂紋圖(2－1)的Griffith裂5Griffith能量釋放觀點(diǎn)

現(xiàn)在只考慮Griffith裂紋右端點(diǎn)。在拉伸應(yīng)力的作用下，此裂紋端點(diǎn)向正前方擴(kuò)展。根據(jù)Griffith能量釋放觀點(diǎn)，在裂紋擴(kuò)展的過程中，能量在裂端區(qū)釋放出來，此釋放出來的能量將用來形成新的裂紋面積。

Griffith能量釋放觀點(diǎn)現(xiàn)在只考慮Griffi6能量釋放率定義裂紋尖端的能量釋放率(energyreleaserate)如下∶能量釋放率是指裂紋由某一端點(diǎn)向前擴(kuò)展一個(gè)單位長度時(shí)，平板每單位厚度所釋放出來的能量。為了紀(jì)念Griffith的功績，用其姓的第一個(gè)字母G來代表能量釋放率。由定義可知，G具有能量的概念。其國際制單位(SI單位制)一般用“百萬牛頓/米”(MN/m)。

能量釋放率定義裂紋尖端的能量釋放率(energyrel7表面自由能

材料本身是具有抵抗裂紋擴(kuò)展的能力的，因此只有當(dāng)拉伸應(yīng)力足夠大時(shí)，裂紋才有可能擴(kuò)展。此抵抗裂紋擴(kuò)展的能力可以用表面自由能(surfacefreeenergy)來度量。一般用γs表示。

表面自由能定義為：材料每形成單位裂紋面積所需的能量，其量綱與能量釋放率相同。

表面自由能材料本身是具有抵抗裂紋擴(kuò)展的能力的，因8著名的Griffith斷裂判據(jù)若只考慮脆性斷裂，而裂端區(qū)的塑性變形可以忽略不計(jì)。則在準(zhǔn)靜態(tài)的情形下，裂紋擴(kuò)展時(shí)，裂端區(qū)所釋放出來的能量全部用來形成新的裂紋面積。換句話說，根據(jù)能量守恒定律，裂紋發(fā)生擴(kuò)展的必要條件是裂端區(qū)要釋放的能量等于形成裂紋面積所需的能量。設(shè)每個(gè)裂端裂紋擴(kuò)展量為Δa，則由能量守恒定律有：這就是著名的Griffith斷裂判據(jù)。著名的Griffith斷裂判據(jù)若只考9關(guān)于Griffith斷裂判據(jù)Griffith假定γs為一材料常數(shù)，剩下的問題就是如何計(jì)算帶裂紋物體裂端的能量釋放率G。若此G值大于或等于2γs，就會(huì)發(fā)生斷裂；若小于2γs，則不發(fā)生斷裂，此時(shí)G值僅代表裂紋是否會(huì)發(fā)生擴(kuò)展的一種傾向能力，裂端并沒有真的釋放出能量。能量是對(duì)一切宏觀微觀物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的描述。相應(yīng)于不同形式的運(yùn)動(dòng)，能量分為機(jī)械能、分子內(nèi)能、電能、化學(xué)能、原子能、內(nèi)能等。關(guān)于Griffith斷裂判據(jù)Grif10帶裂紋的彈性體的變形能考慮帶有裂紋的彈性體，在拉伸載荷作用下，若裂紋仍然維持靜止，則此彈性體所儲(chǔ)存的總應(yīng)變能U要比在沒裂紋時(shí)所儲(chǔ)存的總應(yīng)變能U0大，兩者之差用U1表示?？梢哉fU1是因裂紋存在而附加的應(yīng)變能。

為什么？帶裂紋的彈性體的變形能考慮帶有裂紋的彈性體，在拉11單邊裂紋的能量釋放率

假想裂紋發(fā)生了準(zhǔn)靜態(tài)擴(kuò)展，裂端所釋放的能量是由總應(yīng)變能的一部分轉(zhuǎn)化過來的，因此，比較裂紋擴(kuò)展前后的總應(yīng)變能就可以得到能量釋放率。則根據(jù)能量守恒定律和能量釋放率的定義，可得：

單邊裂紋單邊裂紋的能量釋放率假想裂紋發(fā)生了準(zhǔn)靜態(tài)擴(kuò)展，裂12中心裂紋的能量釋放率

由于對(duì)稱關(guān)系，中心裂紋系統(tǒng)所釋放的能量將均等地分配到兩個(gè)裂端，使每個(gè)端的裂紋擴(kuò)展量為Δa。因此，裂紋兩端具有相同的能量釋放率，其表達(dá)式將為單邊裂紋能量釋放率表達(dá)式的一半。對(duì)稱中心裂紋中心裂紋的能量釋放率由于對(duì)稱關(guān)系，中心裂紋系統(tǒng)所13能量釋放率的另一表達(dá)形式

由于沒有裂紋時(shí)的總應(yīng)變能U0與裂紋長度無關(guān)，U=U0＋U1，所以：單邊裂紋對(duì)稱中心裂紋能量釋放率的另一表達(dá)形式由于沒有裂紋時(shí)的總應(yīng)變能U014Griffith裂紋的彈性力學(xué)理論分析Griffith利用Inglis的無限大平板帶有橢圓孔的彈性解析解，得到了因裂紋存在而附加的應(yīng)變能U1，其表達(dá)式為：這里σ是無窮遠(yuǎn)處的均勻拉伸應(yīng)力，E是彈性模量。上式僅適用于很薄的平板(平面應(yīng)力狀態(tài))；若是厚板，其內(nèi)部是平面應(yīng)變狀態(tài)時(shí)，E應(yīng)為所取代，這里ν是泊松比。

如何得到？Griffith裂紋的彈性力學(xué)理論分析15Griffith斷裂判據(jù)可得Griffith裂紋的能量釋放率為：由Griffith斷裂判據(jù)得：Griffith斷裂判據(jù)可得Griffith裂紋的能量釋放率16臨界斷裂曲線在剛發(fā)生斷裂時(shí)，σ2a為一常數(shù)。若值小于上式等號(hào)右邊的常數(shù)值，則此時(shí)應(yīng)力水平和裂紋長度，不足以產(chǎn)生斷裂。若σ2a值大于右邊的常數(shù)值，則在此時(shí)的應(yīng)力水平和裂紋長度下，將會(huì)發(fā)生斷裂。上述關(guān)系，此曲線劃分了斷裂區(qū)和安全區(qū)。由圖還可知道∶若已知當(dāng)前Griffith裂紋的長度，將可計(jì)算出發(fā)生斷裂的臨界應(yīng)力；或者，若已知當(dāng)前的應(yīng)力水平，將可知會(huì)發(fā)生斷裂的臨界裂紋長度。臨界斷裂曲線在剛發(fā)生斷裂時(shí)，σ2a為一常數(shù)17課外作業(yè)用有機(jī)玻璃板制成50×150毫米的矩形板，在板正中央鉆一小孔，然后用線鋸和刀片制成Griffith裂紋。要求裂紋長度不得大于15毫米，試檢驗(yàn)斷裂判據(jù)。課外作業(yè)用有機(jī)玻璃板制成50×150毫米的矩形板，在板正中央18思考并回答1.試用斷裂力學(xué)觀點(diǎn)，討論為何玻璃纖維的強(qiáng)度比同種材料的玻璃板高許多倍。2.若圖中，矩形板兩端不是施加拉伸應(yīng)力，而是施加一定的位移，問此時(shí)下式將有何變化?思考并回答1.試用斷裂力學(xué)觀點(diǎn)，討論為何玻璃纖192-2能量平衡理論在Griffith彈性能釋放理論的基礎(chǔ)上，Irwin和Orowan從熱力學(xué)的觀點(diǎn)重新考慮了斷裂問題，提出了能量平衡理論。按照熱力學(xué)的能量守恒定律，在單位時(shí)間內(nèi)，外界對(duì)于系統(tǒng)所做功的改變量，應(yīng)等于系統(tǒng)儲(chǔ)存應(yīng)變能的改變量，加上動(dòng)能的改變量，再加上不可恢復(fù)消耗能的改變量。

2-2能量平衡理論在Griffith彈性能釋20能量平衡理論

假設(shè)W為外界對(duì)系統(tǒng)所做的功，U為系統(tǒng)儲(chǔ)存的應(yīng)變能，T為動(dòng)能，D為不可恢復(fù)的消耗能，則Irwin—Orowan能量平衡理論可用公式表達(dá)如下∶假定裂紋處于準(zhǔn)靜態(tài)，例如裂紋是靜止的或是以穩(wěn)定速度擴(kuò)展，則動(dòng)能不變化，即dT/dt=0。若所有不可恢復(fù)的消耗能都是用來制造裂紋新面積，則：At為裂紋總面積，γp為表面能。能量平衡理論假設(shè)W為外界對(duì)系統(tǒng)所做的21表面能與表面自由能若沒有塑性變形，γp將等于Griffith的表面自由能γs。若有塑性變形，顯然要形成新裂紋面積需要更多的能量，因此γp＞γs。據(jù)估計(jì)，塑性很好的材料(例如低碳鋼)與脆性材料(例如玻璃)相比，γp大約比γs大兩個(gè)數(shù)量級(jí)到三個(gè)數(shù)量級(jí)。表面能與表面自由能若沒有塑性變形，γ22斷裂判據(jù)此為包括塑性變形的帶裂紋物體斷裂判據(jù)。可以考慮塑性的斷裂判據(jù)斷裂判據(jù)此為包括塑性變形的帶裂紋物體斷裂判據(jù)?？梢钥紤]塑性的23兩個(gè)斷裂判據(jù)的等價(jià)性對(duì)于發(fā)生脆性斷裂的材料，在斷裂發(fā)生前，裂端區(qū)塑性變形所消耗的能量通常是可以忽略不計(jì)的。此時(shí)，表面能即為表面自由能，則成為脆性斷裂的判據(jù)。由于Irwin—Orowan斷裂判據(jù)和Griffith斷裂判據(jù)都是根據(jù)能量守恒定律建立起來的，因而兩者應(yīng)該是同一個(gè)判據(jù)。

關(guān)于兩個(gè)判據(jù)的等價(jià)性可以從兩個(gè)角度來理解。兩個(gè)斷裂判據(jù)的等價(jià)性對(duì)于發(fā)生脆性斷裂的材料，在斷24兩個(gè)斷裂判據(jù)的等價(jià)性第一角度：Irwin判據(jù)：對(duì)于脆彈性：所以等價(jià)于：單邊裂紋雙邊裂紋兩個(gè)斷裂判據(jù)的等價(jià)性第一角度：單邊裂紋25兩個(gè)斷裂判據(jù)的等價(jià)性另一角度：dW代表外界對(duì)系統(tǒng)做功的變化量，dU代表系統(tǒng)彈性能的變化量，所以d(W-U)為在裂紋尖端釋放而使裂紋擴(kuò)展的能量。因此d(W-U)/dAt就是Griffith能量釋放率。兩個(gè)斷裂判據(jù)的等價(jià)性另一角度：26關(guān)于失穩(wěn)擴(kuò)展與止裂在脆性斷裂的情況下，若能量釋放率G已大于表面自由能2γs，此時(shí)裂紋擴(kuò)展是否可能繼續(xù)進(jìn)行下去，直到整體破壞?或是裂紋擴(kuò)展一個(gè)階段后，會(huì)自動(dòng)止裂?換句話說，如何判斷裂紋是否已發(fā)生失穩(wěn)擴(kuò)展。

答案∶所釋放能量與形成裂紋面積所需能量的差額，是隨裂紋增長而越來越大；還是隨著裂紋增長反而越來越小，以致最后差額接近于零。如果是前者，則以發(fā)生了失穩(wěn)擴(kuò)展；如果是后者，則最終會(huì)止裂。關(guān)于失穩(wěn)擴(kuò)展與止裂在脆性斷裂的情況下，若能量釋27失穩(wěn)擴(kuò)展與止裂判據(jù)失穩(wěn)擴(kuò)展裂紋止裂失穩(wěn)擴(kuò)展裂紋止裂失穩(wěn)擴(kuò)展

裂紋止裂因?yàn)棣胹為常量失穩(wěn)擴(kuò)展與止裂判據(jù)28雙懸臂梁試件如圖所示的雙懸臂梁試件，受到一對(duì)拉力P的作用，試求斷裂發(fā)生時(shí)的臨界拉力；若發(fā)生斷裂，是否為失穩(wěn)擴(kuò)展？雙懸臂梁試件如圖所示的雙懸臂梁試件，受到一對(duì)拉力P29雙懸臂梁試件斷裂問題的求解設(shè)B為試件厚度，H為試件半高度，a為加載線到裂端的距離。l/2為力作用點(diǎn)沿力方向的位移。試件可簡化為懸臂梁問題，上下每個(gè)梁的長度即為裂紋的長度a。由材料力學(xué)計(jì)算梁的撓度公式，可知力作用點(diǎn)的位移為：式中，E為彈性模量，是慣性矩。雙懸臂梁試件斷裂問題的求解設(shè)B為試件厚度，H為試件半30雙懸臂梁試件斷裂問題的求解當(dāng)裂紋長度由a增加到a+da時(shí)，系統(tǒng)剛度會(huì)隨之降低，因此，位移l也會(huì)增至l+dl。此時(shí)P-l關(guān)系如圖所示。這里OA和OB分別為裂長為a和a+da的P-l關(guān)系線。由前式知，P與l成正比，在恒拉力P的作用下，釋放的能量d(W-U)即為圖中三角形OAB的面積（陰影部分）。說明：U1=Pl/2,U2=P(l+dl)/2,所以釋放能量為：dU=U2-U1=Pdl/2=dW/2,就是圖中陰影部分面積。雙懸臂梁試件斷裂問題的求解當(dāng)裂紋長度31雙懸臂梁試件斷裂問題的求解在恒拉力的作用下，對(duì)撓度公式進(jìn)行微分得：代入上式得能量釋放率G：雙懸臂梁試件斷裂問題的求解32雙懸臂梁試件斷裂問題的求解利用Griffith判據(jù)，可得在某裂紋長度a時(shí)的臨界拉力為：由于，因此可以知道在恒拉力作用下斷裂發(fā)生后的裂紋擴(kuò)展為失穩(wěn)擴(kuò)展。雙懸臂梁試件斷裂問題的求解利用Griffith判據(jù)，可得在某33問題1.在雙懸臂梁試件斷裂問題中，若施以拉力超過上面的臨界拉力Pcr后，立即把此時(shí)的載荷線位移固定住，即裂紋擴(kuò)展中，l維持定值。問裂紋擴(kuò)展是否會(huì)停止？并繪制P-l圖。2.Griffith裂紋（即帶有中心裂紋的無線大平板受到均布拉伸應(yīng)力作用）的斷裂是否為失穩(wěn)擴(kuò)展？問題1.在雙懸臂梁試件斷裂問題中，若施以拉力超過上面的臨界拉342-3內(nèi)聚應(yīng)力理論斷裂的結(jié)果是造成新的裂紋面積，從原子間距的觀點(diǎn)來看，就是把平行且相鄰的晶體平面間的原子分離。作為物理模型，可視為把有相互作用力而結(jié)合在一起的兩平面分離開。設(shè)σ為平面間的內(nèi)聚應(yīng)力，ε為應(yīng)變。ε=（δ-δ0)/δ0，這里δ為瞬時(shí)平面間的距離。這部分內(nèi)容已屬于微觀力學(xué)范疇。2-3內(nèi)聚應(yīng)力理論斷裂的結(jié)果是35內(nèi)聚應(yīng)力變化曲線當(dāng)ε由零漸漸增加時(shí)，起初σ基本上與ε成正比而增加，快接近最高內(nèi)聚應(yīng)力時(shí)，開始偏離線性關(guān)系，過了最高點(diǎn)σc以后，σ開始下降而ε仍然繼續(xù)增加。如圖所示。這種關(guān)系是定性的，并未得到實(shí)驗(yàn)的支持。其中最大內(nèi)聚應(yīng)力σc稱為內(nèi)聚強(qiáng)度。內(nèi)聚應(yīng)力實(shí)際是原子間引力的概念內(nèi)聚應(yīng)力變化曲線當(dāng)ε由零漸漸增加時(shí)36內(nèi)聚應(yīng)力分布根據(jù)以上模型，在裂紋端點(diǎn)，內(nèi)聚應(yīng)力剛好是內(nèi)聚強(qiáng)度。垂直于裂紋表面的內(nèi)聚應(yīng)力分布如圖所示。這里x方向?yàn)榱鸭y擴(kuò)展方向，當(dāng)外載荷引起的應(yīng)力在裂端前大于內(nèi)聚強(qiáng)度時(shí)就發(fā)生斷裂。內(nèi)聚應(yīng)力分布根據(jù)以上模型，在裂紋端37內(nèi)聚強(qiáng)度的估算設(shè)σ-ε曲線可近似用正弦函數(shù)表示，當(dāng)ε=0（平衡時(shí)）或ε=λ/2（平面間不再有作用力，裂紋已形成）時(shí)，內(nèi)聚應(yīng)力σ為零。當(dāng)ε為小量時(shí)，σ-ε關(guān)系近似為線性，因此彈性模量為：于是內(nèi)聚強(qiáng)度為：內(nèi)聚強(qiáng)度的估算設(shè)σ-ε曲線可近似用正弦函數(shù)表示，38內(nèi)聚強(qiáng)度的估算當(dāng)ε=λ/2時(shí)，內(nèi)聚應(yīng)力為零。從物理上來說，當(dāng)λ/2>1時(shí)，即當(dāng)原子平面間距比平衡時(shí)大一倍以上時(shí)，原子平面間不再有相互作用而形成了自由的裂紋面，同時(shí)也不再恢復(fù)原狀。此時(shí)，理論估計(jì)的內(nèi)聚強(qiáng)度為：對(duì)鋼材來說，楊氏模量約為2.05×105MN/m2，因此理論內(nèi)聚強(qiáng)度約為6.5×104MN/m2，這個(gè)強(qiáng)度比目前最強(qiáng)的超高強(qiáng)度鋼的抗拉強(qiáng)度大20倍以上，比一般低碳鋼抗拉強(qiáng)度大100倍以上。內(nèi)聚強(qiáng)度的估算當(dāng)ε=λ/2時(shí)，內(nèi)聚39理論內(nèi)聚強(qiáng)度與表面自由能的關(guān)系

若裂紋延長Δa，則對(duì)抗內(nèi)聚應(yīng)力使平面間距增加dδ所做的功為σ（Bδa）dδ，當(dāng)平面間距由平衡時(shí)的δ0增加到形成裂紋的間距時(shí)，則裂紋延長Δa外力所做的總功ΔW為：因?yàn)樗裕豪碚搩?nèi)聚強(qiáng)度與表面自由能的關(guān)系若裂40理論內(nèi)聚強(qiáng)度與表面自由能在臨界點(diǎn)：注意到于是：對(duì)鋼材來講，上式估計(jì)的表面自由能大約和實(shí)驗(yàn)實(shí)測值同一數(shù)量級(jí)（因?yàn)樗苄阅苷贾涞匚唬?；但?duì)于脆性材料，此理論值比實(shí)測值偏高不少。像玻璃這樣的脆性材料，斷裂前的塑性變形微乎其微，釋放的能量只用來形成新裂紋面和貢獻(xiàn)給擴(kuò)展時(shí)的動(dòng)能，用在塑性變形部分微乎其微，這是玻璃表面能偏低的主要原因之一。理論內(nèi)聚強(qiáng)度與表面自由能在臨界點(diǎn)：