7 靜止原子激光器的振蕩理論

第7章靜止原子激光器的振蕩理論固體激光器、半導(dǎo)體激光器以及染料激光器的激活介質(zhì)粒子是固定不動(dòng)的，或者其運(yùn)動(dòng)速度是可以忽略不計(jì)的。這類激光器是靜止原子激光器，其介質(zhì)主要是均勻加寬。7靜止原子激光器的振蕩理論首先求解二能級(jí)原子系綜的密度矩陣運(yùn)動(dòng)方程，求出非對(duì)角元ρa(bǔ)b與ρba利用式(5.6.5)得到介質(zhì)的宏觀極化強(qiáng)度(5.6.5)利用激光電磁場(chǎng)方程討論激光振蕩的振幅特性與頻率特性。(6.3.47)7靜止原子激光器的振蕩理論7.1單模振蕩7.1.1集居數(shù)矩陣的運(yùn)動(dòng)方程由大量原子組成的系綜，必須根據(jù)其激發(fā)狀態(tài)以及工作介質(zhì)的物理狀態(tài)，對(duì)系綜內(nèi)各種原子的密度矩陣進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，從而得到集居數(shù)矩陣的運(yùn)動(dòng)方程。其形式為7靜止原子激光器的振蕩理論(7.1.1)(7.1.2)(7.1.3)(7.1.4)在單位時(shí)間內(nèi)，由于外界激發(fā)而使得上能級(jí)的原子數(shù)得增加率（a），由于自發(fā)輻射或其它弛豫過(guò)程使該能級(jí)上得原子數(shù)目得衰減（-aaa），以及由于受激輻射而使得上能級(jí)數(shù)目的減少(7.1.1)表示能級(jí)a的原子數(shù)隨時(shí)間的變化來(lái)源于:7靜止原子激光器的振蕩理論7.1.2單模振蕩的一階理論對(duì)集居數(shù)矩陣的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行具體的求解。先從其中的第三個(gè)方程(7.1.3)入手。由于氣體中原子彈性碰撞或固體中聲子-原子相互作用可以使ρa(bǔ)b比對(duì)角元的衰減得更快，這樣非對(duì)角元的總衰減率應(yīng)為（7.1.3）（3.1.2）式中相——由于毀相碰撞引起的非對(duì)角元ρa(bǔ)b的衰減率。7靜止原子激光器的振蕩理論

本節(jié)討論靜止原于情形，并且假定腔內(nèi)只有第n個(gè)縱模產(chǎn)生振蕩，即式（7.1.3）中的激光場(chǎng)E表示(7.1.5)式中En(t)、n(t)滿足蘭姆自洽場(chǎng)方程式。場(chǎng)與原子相互作用項(xiàng)為(7.1.6)要解出ρa(bǔ)b，必須知道ρa(bǔ)a和ρbb。求ρa(bǔ)a、ρbb又必須知道ρa(bǔ)b和ρba。因而無(wú)法求出集居數(shù)矩陣元的精確解析解，而只能在某些假設(shè)條件下求近似解。7靜止原子激光器的振蕩理論1．一級(jí)近似如果λa(z,t0)、λb(z，t0)是時(shí)間的慢變化函數(shù)，在

a-1和

b-1時(shí)間內(nèi)變化不大，將上而式積分可得對(duì)于式(7.1.3),如果不計(jì)常數(shù)因子，其解為當(dāng)E(z,t)=0時(shí)，式(7.1.1)(7.1.2)兩式為(a1)7靜止原子激光器的振蕩理論N(z)僅是位置的函數(shù)，即反轉(zhuǎn)粒子數(shù)不隨時(shí)間而變。這樣，在式(a1）中，可將(ρa(bǔ)a-ρbb)視為與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)而移出積分號(hào)外，然后將式(7.1.5)的En(z,t)代入，得到令(7.1.7)7靜止原子激光器的振蕩理論假設(shè)En(t)、n(t)均為時(shí)間的慢變化函數(shù)，因此,與它們有關(guān)的因子也移出積分號(hào)外，完成積分得到由于ω0≈ωn,并且ω0和ωn均顯著大于γ，因此上式括號(hào)中的第二項(xiàng)與第一項(xiàng)相比可以忽略。略去高頻反共振項(xiàng)在電磁共振中稱為旋轉(zhuǎn)波近似。于是上式寫(xiě)成7靜止原子激光器的振蕩理論將上兩式代入(7.1.10)一級(jí)近似由于ρba=ρa(bǔ)b*，所以得到宏觀電極化強(qiáng)度（5.6.5）7靜止原子激光器的振蕩理論(7.1.11)根據(jù)(6.3.40)式，可得P(1)(z,t)的空間傅里葉分量為其中(7.1.12)(7.1.13)激活介質(zhì)的平均反轉(zhuǎn)原子數(shù)0000007靜止原子激光器的振蕩理論將式（7.1.12）與式（6.3.44）比較，得到(7.1.14)(7.1.15)在反轉(zhuǎn)原子數(shù)不變的近似下，宏觀電極化強(qiáng)度是電場(chǎng)強(qiáng)度的線性函數(shù)。下面討論模的振幅特性和頻率特性。將式(7.1.15)代入蘭姆自洽場(chǎng)方程式(6.3.47)，得到7靜止原子激光器的振蕩理論(7.1.16)這是模的振幅所滿足的方程．第一項(xiàng)表示在介質(zhì)內(nèi)平均反轉(zhuǎn)原子數(shù)情況下腔內(nèi)介質(zhì)的極化導(dǎo)致振幅的增長(zhǎng)。第二項(xiàng)表示由腔內(nèi)存在的各種損耗機(jī)制導(dǎo)致的振幅的衰減。因?yàn)楣鈴?qiáng)正比于振幅的平方，所以從式(7.1.16)可知光強(qiáng)的時(shí)間增益系數(shù)為00(a1)7靜止原子激光器的振蕩理論可見(jiàn)靜止原于的增益系數(shù)具有洛侖茲線型，線寬為Δωn=2

，這個(gè)結(jié)論與經(jīng)典理論是一致的。Gt(ωn)與單位長(zhǎng)度的增益系數(shù)g(ωn)有如下關(guān)系式中c一光速?gòu)氖?7.1.16)看出，如果要求激光振蕩的振幅隨時(shí)間增加，而不因腔的損耗按指數(shù)衰減，則必須有(7.1.17)07靜止原子激光器的振蕩理論激光振蕩的閾值條件由上式所決定．上式表明，要實(shí)現(xiàn)激光運(yùn)轉(zhuǎn)，激活介質(zhì)所獲得的增益至少應(yīng)等于各種損耗機(jī)制所導(dǎo)致的損耗。當(dāng)振蕩被調(diào)諧到譜線中心頻率時(shí)(ωn=ω0)，對(duì)該模，閾值反轉(zhuǎn)原子數(shù)由下式給出或(a2)7靜止原子激光器的振蕩理論可見(jiàn)，諧振腔的Q值越高，介質(zhì)的能級(jí)壽命越長(zhǎng)（即越小)，偶極躍遷幾率越大，則閾值反轉(zhuǎn)越小，越容易實(shí)現(xiàn)激光振蕩。從式(7.1.16)還可以著出，當(dāng)反轉(zhuǎn)原子數(shù)超過(guò)閾值反轉(zhuǎn)數(shù)時(shí)，模的振幅按指數(shù)增大起來(lái)，而且在此近似下，這種增大是無(wú)限制的。（？）一級(jí)近似中，作了反轉(zhuǎn)原子數(shù)不變的假設(shè),因而不能說(shuō)明飽和效應(yīng)。所以只能預(yù)言激光器的閾值行為，而不能預(yù)言激光器在閾值以上是如何自行調(diào)整到穩(wěn)態(tài)運(yùn)轉(zhuǎn)的。

7靜止原子激光器的振蕩理論模的頻率特性如果考慮閾值運(yùn)轉(zhuǎn)情況，就可以在式(7.1.17)中取等號(hào)，解出代入上式得到并略去(7.1.18)(7.1.19)(6.3.47)(7.1.14)7靜止原子激光器的振蕩理論激光振蕩頻率n均與腔的共振頻率n不一致。當(dāng)介質(zhì)工作譜線的中心頻率0比振蕩頻率高(n<0)，由上式看出n>n；如果n>0，則必有n<n

。這說(shuō)明實(shí)際的振蕩頻率相對(duì)于腔的共振頻率n而言，總是向中心頻率靠近，這正是經(jīng)典理論所討論的頻率牽引效應(yīng)。(7.1.19)7靜止原子激光器的振蕩理論7.1.3單模振蕩的三階近似理論1、二階近似7靜止原子激光器的振蕩理論(7.1.1)前面我們從(ρa(bǔ)a-ρbb)與時(shí)間無(wú)關(guān)的條件下，得到非對(duì)角元素的一級(jí)近似解ρa(bǔ)b(1)和ρba(1),討論了模的振幅特性和頻率特性。為了研究閾值以上激光器的行為，必須考慮受激輻射對(duì)粒子反轉(zhuǎn)數(shù)的影響，這就需要求解集居數(shù)矩陣方程中的對(duì)角元ρa(bǔ)a和ρbb。從集居數(shù)矩陣運(yùn)動(dòng)方程(7.1.1）知7靜止原子激光器的振蕩理論略去以2n為頻率的振蕩項(xiàng)和分子中含有0-n

的項(xiàng)，則上式中(7.1.26)于是(7.1.20)000007靜止原子激光器的振蕩理論令對(duì)于ρbb

，同樣可得到(7.1.20)(7.1.23)(7.1.26)則激光上、下能級(jí)的速率方程稱R為受激輻射速率參數(shù),它依賴于輻射的強(qiáng)度、兩能級(jí)間的躍遷幾率(正比于D）、兩能級(jí)間的平均衰減率以及模頻率n均到譜線中心頻率0的距離00(7.1.27)7靜止原子激光器的振蕩理論速率方程(7.1.26,27)是在假設(shè)(ρa(bǔ)a-ρbb

）不隨時(shí)間而變的條件下得到的。只要(ρa(bǔ)a-ρbb)隨時(shí)間的變化相對(duì)于

-1來(lái)說(shuō)是慢變化的，就可以將(ρa(bǔ)a-ρbb)提到積分號(hào)外，這個(gè)近似就稱為速率方程近似。這種近似的適用條件是:由泵浦、馳豫(衰減）過(guò)程導(dǎo)致粒子數(shù)布居的變化同

-1

比是慢變化；同時(shí)要求場(chǎng)的強(qiáng)度不能太強(qiáng)，使得受激輻射過(guò)程導(dǎo)致粒子反轉(zhuǎn)數(shù)的變化同

-1

比也是一種慢變化。7靜止原子激光器的振蕩理論將式(7.1.26,27）對(duì)時(shí)間積分，并利用速率方程近似，得到(7.1.25)(7.1.24)稱Rs為飽和參量,它是系統(tǒng)趨向飽和快慢的量度。從兩式可得：7靜止原子激光器的振蕩理論當(dāng)電場(chǎng)強(qiáng)度E=0時(shí),ρa(bǔ)a-ρbb=ρa(bǔ)a(0)-ρbb

(0)

，所以(ρa(bǔ)a-ρbb)的零級(jí)近似值就是不存在電場(chǎng)時(shí)(ρa(bǔ)a-ρbb)的值。當(dāng)E0時(shí)，隨著E的增大，R增大，粒子反轉(zhuǎn)數(shù)(ρa(bǔ)a-ρbb)減少，這就是粒子反轉(zhuǎn)數(shù)的飽和現(xiàn)象。反轉(zhuǎn)數(shù)決定激光介質(zhì)增益，所以E越強(qiáng)時(shí)(即光強(qiáng)越強(qiáng))，增益就越小，這將使光強(qiáng)增大的速率變慢，從而最終總會(huì)使得光強(qiáng)趨于一個(gè)穩(wěn)定值。(7.1.25)(7.1.23)07靜止原子激光器的振蕩理論R是空間坐標(biāo)z的周期為n/2的周期函數(shù)，所以粒子反轉(zhuǎn)數(shù)(ρa(bǔ)a-ρbb)也是z的周期函數(shù)。在駐波波腹處，光強(qiáng)最強(qiáng)，R最大，粒子反轉(zhuǎn)數(shù)下降得最多；在駐波波節(jié)處，光強(qiáng)為零，粒子反轉(zhuǎn)數(shù)基本上沒(méi)有什么變化。

于是粒子反轉(zhuǎn)數(shù)相對(duì)于z的變化曲線將出現(xiàn)周期性地凹陷，這種現(xiàn)象稱為空間燒孔效應(yīng)，相鄰兩孔之間距離為1/2波長(zhǎng)，如圖07靜止原子激光器的振蕩理論7靜止原子激光器的振蕩理論2.三階近似計(jì)算積分時(shí)仍采用速率方程近似。同求解ρa(bǔ)b(1)

時(shí)的過(guò)程一樣，得到（7.1.3）(7.1.25)(d1)(7.1.10)07靜止原子激光器的振蕩理論假設(shè)R/Rs<<1(電場(chǎng)足夠小，弱飽和情形）,則N定態(tài)可以展成級(jí)數(shù)。我們?nèi)?7.1.25)(7.1.10)(7.1.29)(d2)007靜止原子激光器的振蕩理論用替換的辦法。定義(7.1.14)(7.1.13)(d3)將R、Rs值代入，并利用07靜止原子激光器的振蕩理論考慮到N(z)是z的慢變化函數(shù)，空間高頻項(xiàng)的積分為零，完成對(duì)式(d3）的積分，有(d4)其中(d5)07靜止原子激光器的振蕩理論(d6)(7.1.14)其中(7.1.31)000007靜止原子激光器的振蕩理論同理其中(d7)(7.1.15)(7.1.32)下面討論振幅特性和頻率特性。一種辦法是將式(7.1.16)和式(7.1.19)中的換成，再利用式(d4)即可進(jìn)行具體討論;0007靜止原子激光器的振蕩理論再一種辦法是將式(7.1.31)和式(7.1.32)代入蘭姆方程式(6.3.47)，再利用式(7.1.14)、(7.1.31)、(7.1.15)、(7.1.32)，忽略，就得到模的振幅和頻率所滿足的方程.即:(7.1.33)(7.1.36)7靜止原子激光器的振蕩理論(7.1.34)(7.1.37)(7.1.35)其中為無(wú)量綱光強(qiáng)線性凈時(shí)間增益系數(shù)自飽和系數(shù)線性模牽引系數(shù)模推斥系數(shù)7靜止原子激光器的振蕩理論各有關(guān)系數(shù)表示式如下為無(wú)量綱洛倫茲函數(shù)

一階因子

三階因子

000000007靜止原子激光器的振蕩理論在場(chǎng)振幅En(t)較小時(shí)，右邊的第二項(xiàng)可以忽略，一級(jí)理論。在n>0時(shí)，En指數(shù)增加，隨著En的增加，

nIn增大，使得En增長(zhǎng)率下降，這就是飽和效應(yīng)。最后在

n=nIn時(shí)，En=0達(dá)到穩(wěn)定振蕩。將上式兩邊同乘以EnD2/

ab，可以得到如下形式(7.1.34)利用初始條件In(0)=I0定出常數(shù)，最后得到7靜止原子激光器的振蕩理論上式為無(wú)量綱光強(qiáng)隨時(shí)間的變化規(guī)律。最初，對(duì)于小的I0，有

nI0<<n

，從上式可見(jiàn)，近似有即在器件開(kāi)始運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)刻，腔內(nèi)光強(qiáng)按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)。隨著時(shí)間的推移，

nI0

項(xiàng)逐漸增大，使In(t)的增長(zhǎng)速率減慢，最后光強(qiáng)趨向一個(gè)穩(wěn)定值

(7.1.39)(7.1.38)7靜止原子激光器的振蕩理論時(shí)間t是以n

為單位表示的四條曲線自下而上分別對(duì)應(yīng)于

n/n=0.25，0.50，0.75和1.07靜止原子激光器的振蕩理論式中——譜線中心的閾值反轉(zhuǎn)數(shù)。稱為相對(duì)激發(fā)度。由上式可知，In是失諧量(0-n)的函數(shù)。將

n與

n的表達(dá)式代入式(7.1.39)，可以得到穩(wěn)態(tài)光強(qiáng)的明顯表達(dá)式

(d8)007靜止原子激光器的振蕩理論相對(duì)激發(fā)度自下而上分別取1.05、1.10、1.15和1.20。由圖可見(jiàn)，穩(wěn)態(tài)光強(qiáng)在譜線中心處形成高峰，這是因?yàn)楝F(xiàn)在討論的是靜止原子，不可能出現(xiàn)Lamb凹陷的情況。圖中所用參數(shù)=2×100MHz，

=2×55.55MHz。7靜止原子激光器的振蕩理論如果用式(d4)表示的代替式(a1)中的，就可得到三級(jí)近似情況下光強(qiáng)的時(shí)間增益系數(shù)在弱飽和下，上式右端中括號(hào)中第二項(xiàng)遠(yuǎn)比1小，可作1-x1/(1+x)近似，這樣就得到(a3)007靜止原子激光器的振蕩理論中心頻率處的小信號(hào)增益為(a3)其中飽和光強(qiáng)(a5)(a4)(a3)可表示為(a6)7靜止原子激光器的振蕩理論在穩(wěn)態(tài)時(shí)，光強(qiáng)的時(shí)間增益系數(shù)應(yīng)等于它的時(shí)間損耗系數(shù)，即穩(wěn)態(tài)時(shí)，應(yīng)有

(a6)將式(a3)代入，就可得到穩(wěn)態(tài)時(shí)光強(qiáng)式(a2)

在n=0時(shí)，上式可簡(jiǎn)化成(a7)(a8)7靜止原子激光器的振蕩理論當(dāng)腔內(nèi)光強(qiáng)增加時(shí)，-nIn項(xiàng)起作用，結(jié)果使頻率牽引減少，所以-nIn

為頻率推斥項(xiàng)。推斥的原因是，由于飽和效應(yīng)，使反轉(zhuǎn)粒子數(shù)下降，而由一級(jí)近似計(jì)算

n時(shí)用的是未飽和的反轉(zhuǎn)數(shù)，將牽引量估算多了，-nIn正是對(duì)此作出的修正。將

n和n的表達(dá)式代入式(7.1.37)中，模的頻率特性線性模牽引系數(shù)模推斥系數(shù)(7.1.37)7靜止原子激光器的振蕩理論在穩(wěn)態(tài)下將得到(d9)其中(d10)穩(wěn)定因子。表示模的頻率移動(dòng)(相對(duì)于無(wú)源腔頻率)相對(duì)于失諧量(0-n)所占的比例數(shù)。

(7.1.38)可得

無(wú)源腔模的線寬

原子譜線的均勻線寬

00007靜止原子激光器的振蕩理論典型的S值大約在0.01~0.1范圍，說(shuō)明頻率牽引量只是失諧量0-n

的一個(gè)很小的分?jǐn)?shù)。由于S<<1，nn，所以常用下式來(lái)代替式(d9)

(d11)折射率略去推斥效應(yīng)，即將一級(jí)近似解時(shí)S的值代入，注意nn

，就得到(d12)7靜止原子激光器的振蕩理論上式所表示的折射率與頻率的依賴關(guān)系如圖(d13)7靜止原子激光器的振蕩理論7.2靜止原子激光器的多模運(yùn)轉(zhuǎn)當(dāng)有兩個(gè)模或多個(gè)模在一個(gè)激光器里振蕩時(shí)，由于介質(zhì)的非線性而產(chǎn)生拍頻，反轉(zhuǎn)數(shù)(aa-bb)會(huì)含有頻率為模間頻率整數(shù)倍的脈動(dòng)。這些變化與原子衰減率相比較一般同樣大或者更大一些，因此上節(jié)中的速率方程近似可能導(dǎo)致不正確的結(jié)果。下面我們采用微擾方法來(lái)求解集居數(shù)矩陣運(yùn)動(dòng)方程。7靜止原子激光器的振蕩理論1.一級(jí)近似在多模振蕩時(shí)，集居數(shù)矩陣運(yùn)動(dòng)方程仍為式(7.1.1~4)所表示，只是腔內(nèi)的電場(chǎng)應(yīng)為微擾能相應(yīng)地變?yōu)?7.2.1)(d14)反轉(zhuǎn)粒子數(shù)的零級(jí)近似(E(z,t)=0)(7.2.2)7靜止原子激光器的振蕩理論并假定E(z,t)、En(t)和的在時(shí)間1/

內(nèi)變化很小，重復(fù)上節(jié)處理單模時(shí)所采用的步驟，可得(7.2.10)若N(z,t)不是位置z的函數(shù)，利用{sinkz}的正交性有(7.2.3)007靜止原子激光器的振蕩理論式(7.2.11）與式（7.1.12)完全相同。由此看出，在一級(jí)近似下，若N(z，t)不是位置的函數(shù)，Pn(t)只與第n個(gè)模的場(chǎng)有關(guān)，和其它模無(wú)關(guān)，各個(gè)模的行為彼此獨(dú)立。這種近似下的理論僅僅適用于閾值情況。(7.2.11)(d15)其中007靜止原子激光器的振蕩理論2.三級(jí)近似將方程(7.2.3）和它的共軛式代入式（7.1.1)中，忽略高頻項(xiàng)并積分，可得

若N(z,t‘)、E

(t’)、E(t‘)、、均為t’的慢變化函數(shù)，與它們有關(guān)的因子可提出積分號(hào)外，并將t‘換成t，完成上述積分，可得07靜止原子激光器的振蕩理論式中(d16)(7.2.4)(7.2.6)7靜止原子激光器的振蕩理論同理可得(7.2.5)(7.2.4)-(7.2.5)式:7靜止原子激光器的振蕩理論即：在多模輻射場(chǎng)作用下，反轉(zhuǎn)粒子數(shù)的二級(jí)修正值以各種縱模之間兩兩差頻（-）波動(dòng)，這和單模情況是不同的。對(duì)非對(duì)角元的三級(jí)修正時(shí)，（aa(2)-bb(2)

）不能提出積分號(hào)外，即不能采用速率方程近似，否則這種波動(dòng)被忽略(7.2.7)7靜止原子激光器的振蕩理論考慮到ab

的三級(jí)近似值，ab應(yīng)為(7.2.8)將方程(7.2.7）代入式（7.1.3)式，忽略高頻項(xiàng)，并考慮N(z,t)、En(t’)、的慢變化特性，完成積分，可得

7靜止原子激光器的振蕩理論于是宏觀極化強(qiáng)度其中(7.2.10)007靜止原子激光器的振蕩理論相對(duì)位相角(7.2.13)(7.2.9)其中7靜止原子激光器的振蕩理論P(yáng)(z,t)的空間傅立葉分量為(7.2.12)007靜止原子激光器的振蕩理論式中表示電極化強(qiáng)度Pn(3)(t)的振幅調(diào)制，它是由各個(gè)模之間的拍頻造成的。(d17)7靜止原子激光器的振蕩理論的極化場(chǎng)才能對(duì)振蕩模n作出貢獻(xiàn)。這相當(dāng)于要求腔頻滿足從物理上可理解為:以縱模差頻(-)調(diào)制的粒子數(shù)反轉(zhuǎn)介質(zhì)與模作用時(shí),產(chǎn)生頻率為(-+)的極化場(chǎng)。考慮到指標(biāo)、是活動(dòng)的，因此，介質(zhì)的極化在兩側(cè)產(chǎn)生邊帶(或邊頻)，從而可對(duì)位于邊帶附近的第n個(gè)模作出貢獻(xiàn)。由于諧振腔的Q值很高，諧振寬度c=n/Qn很窄，因而只有滿足頻率關(guān)系(7.2.14)7靜止原子激光器的振蕩理論即式(d17)中求和的各個(gè)指標(biāo)必須滿足式（7.2.14)，才能使n模的極化振幅Pn(t)為時(shí)間的慢變化函數(shù)。這樣，式(d17)中的四個(gè)正弦的乘積利用三角函數(shù)中的積化和差寫(xiě)為

或波矢滿足即指標(biāo)滿足(d18)7靜止原子激光器的振蕩理論上式共八項(xiàng)。符合條件式(7.2.14)的只有三項(xiàng)7靜止原子激光器的振蕩理論上式代入（d17），得(7.2.15)(d19)7靜止原子激光器的振蕩理論當(dāng)=時(shí)，，而當(dāng)-=1時(shí)式中(7.2.16)與介質(zhì)在腔內(nèi)的位置有關(guān)(7.1.12)Cn(1)(t)與Sn(1)(t)；(7.2.15)Cn(3)(t)與Sn(3)(t)。將Cn(t)=Cn(1)(t)+Cn(3)(t)，Sn(t)=Sn(1)(t)+Sn(3)(t)代入自洽方程可得7靜止原子激光器的振蕩理論式中n——總飽和系數(shù)，其他參數(shù)如n、n、F1等均與單模情況的相應(yīng)參數(shù)相同。

(7.2.17)其中(7.2.19)(7.2.18)7靜止原子激光器的振蕩理論式(7.2.17)與式(7.2.18)中的求和指標(biāo)必須滿足式(7.2.14)。式(7.2.17)和式(7.2.18)為靜止原子多模運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，場(chǎng)的振幅和頻率所滿足的方程。從振幅方程可以看出，除了包含在單模情況下增益項(xiàng)和飽和項(xiàng)以外，還包含有由極化強(qiáng)度的非線性而產(chǎn)生的模耦合項(xiàng)。由頻率所滿足的方程可以找出模的自鎖條件。

7靜止原子激光器的振蕩理論7.2.2二模振蕩及模競(jìng)爭(zhēng)nμρσ只能取1或2并滿足(7.2.14)

當(dāng)n=1時(shí),只有1111,1122,1221;n=2時(shí),只有2222,2112,2211,于是(7.2.17)變?yōu)?靜止原子激光器的振蕩理論上兩式可簡(jiǎn)化成7.2.207.2.217.2.22再簡(jiǎn)化成第一個(gè)模和第二個(gè)模的線性凈增益系數(shù)，表7-1交叉飽和系數(shù)自飽和系數(shù)7.2.237.2.247靜止原子激光器的振蕩理論交叉飽和系數(shù)描寫(xiě)一個(gè)模的存在對(duì)另一個(gè)模飽和強(qiáng)弱的影響。在方程(7.2.23)和方程(7.2.24)中如去掉含有θnm的項(xiàng)，這兩個(gè)方程就類似于在單模情況下得到的方程。由于交叉飽和項(xiàng)的存在，一個(gè)模強(qiáng)度的增加將導(dǎo)致另一個(gè)模強(qiáng)度的減小，這就是模競(jìng)爭(zhēng)效應(yīng)。7.2.25(n,m=1,2)7靜止原子激光器的振蕩理論雙模振蕩時(shí)模間的競(jìng)爭(zhēng)將方程式(7.2.23)兩邊同乘以

將方程(7.2.24)兩邊同乘以

得到如下的無(wú)量綱光強(qiáng)方程(7.2.26)(7.2.27)在穩(wěn)態(tài)下，，方程為(7.2.28)(7.2.29)7靜止原子激光器的振蕩理論表示兩個(gè)模均不能振蕩(兩個(gè)模的凈增益系數(shù)均為負(fù)值)。解是穩(wěn)定的，但沒(méi)有實(shí)際意義。因?yàn)樵摷す馄鳑](méi)有工作?？梢垣@得雙模光強(qiáng)的四組穩(wěn)態(tài)解1、I1(s)=I2(s)=0相當(dāng)于一個(gè)單模激光器，因?yàn)槟Ｊ?沒(méi)振蕩，所以不產(chǎn)生模式競(jìng)爭(zhēng)?；蛘叱跏嫉摩?>0，可是由于第二個(gè)模的振蕩使α1’=α1-α2θ12/β2

減小，致使α1’<0，這樣兩個(gè)模競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果使模1振蕩被抑制。2、I1(s)=0，I2(s)=α2/β27靜止原子激光器的振蕩理論同理，單模振蕩。4、3、I2(s)=0，I1(s)=α1/β1(7.2.30)(7.2.31)(7.2.32)C稱為耦合系數(shù),它表示兩個(gè)模之間耦合的強(qiáng)弱7靜止原子激光器的振蕩理論若一個(gè)模其飽和主要由系數(shù)β決定，則稱之為弱耦合。若其飽和主要由系數(shù)θ決定，稱之為強(qiáng)藕合。因此雙模激光器中，若C>1，屬于強(qiáng)耦合；若C<1，為弱耦合；當(dāng)C=1時(shí)為中間耦合。弱耦合模的特性與強(qiáng)耦合模的特性完全不同。如果兩個(gè)模只有弱耦合，它們之間雖有影響，但都能振蕩。如果兩模之間為強(qiáng)耦合情況就完全不同，這時(shí)一個(gè)模的振蕩強(qiáng)度的增加，會(huì)使另一個(gè)模的振蕩強(qiáng)度減弱，甚至不能振蕩，這就是模間競(jìng)爭(zhēng)效應(yīng)。7靜止原子激光器的振蕩理論所謂穩(wěn)定性是指在穩(wěn)態(tài)情況下，光強(qiáng)有一點(diǎn)擾動(dòng)后，是否還能恢復(fù)到原來(lái)的穩(wěn)態(tài)，這相當(dāng)于力學(xué)中的平衡態(tài)的穩(wěn)定性問(wèn)題。下面采用擾動(dòng)分析法來(lái)討論解的穩(wěn)定性為此我們考慮在穩(wěn)態(tài)解附近有強(qiáng)度的微小起伏，即令如果I1、I2是穩(wěn)定解，則當(dāng)t→∞時(shí)，應(yīng)有ε1→0ε2→0，否則就不是穩(wěn)定的代入(7.2.26)、(7.2.27)略去數(shù)量級(jí)為ε2的項(xiàng)7靜止原子激光器的振蕩理論討論第二組穩(wěn)態(tài)解得穩(wěn)定性。將I1(s)=0，I2(s)=α2/β2，代入上式得(b1)7靜止原子激光器的振蕩理論由上式可見(jiàn)：若α1’<0，則t→∞時(shí)，有ε1→0。在α2>0時(shí)，當(dāng)t→∞時(shí)，ε2→0恒能滿足。所以在α1’<0，α2>0時(shí)，解I1(s)=0，I2(s)=α2/β2是穩(wěn)定的。7靜止原子激光器的振蕩理論由上式可知，若α1>0，但α1’<0，則表示模2的振蕩抑制了模1的振蕩。如果α1足夠大，以致使α1’>0，則模1可以抵制模2的競(jìng)爭(zhēng)，并建立起振蕩，此時(shí)ε1將不隨時(shí)間的推移而趨于零。在這種情況下，I1(s)=0，I2(s)=α2/β2就是不穩(wěn)定解7靜止原子激光器的振蕩理論討論第四組穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性。將(7.2.30-31)代入(b1)寫(xiě)成矩陣形式:式中為穩(wěn)定矩陣（b2）7靜止原子激光器的振蕩理論做線性變換使矩陣H對(duì)角化，使(b2)變?yōu)橛腥绻?<0λ2<0則當(dāng)t→∞時(shí)，分別有ε1’→0ε2’→0。因?yàn)棣?

、ε2是ε1’和ε2’的線性組合，所以有ε1→0，ε2→0，也即I1(s)和I2(s)是穩(wěn)定的。7靜止原子激光器的振蕩理論特征值式中為使λ1,

2<0，須使A>B，即A2>B2

得這就是穩(wěn)定性的判據(jù)(7.2.33)7靜止原子激光器的振蕩理論2、C>1，α1’<0,α2’<0，不滿足，即有穩(wěn)態(tài)解，但不穩(wěn)定，要產(chǎn)生強(qiáng)烈的競(jìng)爭(zhēng)，結(jié)果必定出現(xiàn)模抑制。強(qiáng)耦合用條件來(lái)判斷第四組穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性(7.2.30)I1(s)和I2(s)有正解只有兩種可能:1、C<1，α1’>0，α2’>0，因此兩個(gè)模都可能建立穩(wěn)定振蕩。弱耦合7靜止原子激光器的振蕩理論C=1時(shí)θ12θ21=β1β2

，方程(7.2.28)和(7.2.29)表示在以I1、I2為坐標(biāo)軸的平面上是互相平行的兩條直線。在這些線上任意點(diǎn)所表示的強(qiáng)度組合都是穩(wěn)定的。中性耦合。穩(wěn)態(tài)解為7靜止原子激光器的振蕩理論表7-2雙模方程穩(wěn)定解的條件中性耦合弱耦合C>1強(qiáng)耦合C=0，無(wú)耦合7靜止原子激光器的振蕩理論7.2.3三模振蕩與模式鎖定在三個(gè)模式振蕩時(shí)，振幅方程(7.2.17)和頻率方程(7.2.18)為：符合條件式(7.2.14)的：當(dāng)n=1時(shí)，只有6項(xiàng)，111、122、133、221、232、331，其中，除Ψ1232≠0外，其他組合位相的Ψ1μθσ均為零。當(dāng)n=2時(shí)，有7項(xiàng)，其中Ψ2123=Ψ2321≠0。當(dāng)n=3時(shí)，有6項(xiàng)，其中Ψ3212≠0。27項(xiàng)(7.2.34)(7.2.35)7靜止原子激光器的振蕩理論從上式可見(jiàn),這些非零的組合項(xiàng)并不是無(wú)關(guān)的,它們可以用一個(gè)變量Ψ來(lái)表示(7.2.9)因此方程式(7.2.34)和式(7.2.35)的右邊第二項(xiàng)可以分成組合位相等于零的項(xiàng)和組合位相不等于零的項(xiàng)。于是得到(7.2.36）無(wú)量綱光強(qiáng)(7.2.43)7靜止原子激光器的振蕩理論式中(7.2.37）(7.2.38）(7.2.39）(7.2.40）(7.2.41）(7.2.42）為頻率自推斥(n=m)和交叉牽引或推斥系數(shù)7靜止原子激光器的振蕩理論由于θ11=β1

，所以上式可以具體地寫(xiě)成可見(jiàn)，右邊第一項(xiàng)α1是頻率為ω1振蕩模的線性凈增益，第二項(xiàng)是自飽和項(xiàng)，θ12和θ13為互飽和項(xiàng)。最后一項(xiàng)為ω1、ω2

、ω3三個(gè)模之間的相互作用引起的飽和效應(yīng)，通常稱它為組合調(diào)效應(yīng)。(7.2.36）7靜止原子激光器的振蕩理論式(7.2.39)每一項(xiàng)的物理含意是：右邊第二項(xiàng)σ1為頻率牽引項(xiàng)第三項(xiàng)由三項(xiàng)組成τ11=ρ1為自推斥項(xiàng)，τ12和τ13是由于互飽和效應(yīng)引起的頻率牽引或推斥效應(yīng)。第四項(xiàng)為組合調(diào)效應(yīng)引起的頻率推斥。(7.2.39）7靜止原子激光器的振蕩理論組合位相Ψ可隨時(shí)間緩慢地變化，按式(7.2.36)~(7.2.41)，各個(gè)縱模的振幅和頻率達(dá)到穩(wěn)定的數(shù)值后還會(huì)以頻率波動(dòng)(7.2.43)即基本上以相鄰縱模差頻(ω2-ω1)和(ω3-ω2)的差拍頻率波動(dòng)這樣運(yùn)行的多縱模激光器各縱模間的頻率和位相沒(méi)有確定的關(guān)系(7.2.44)7靜止原子激光器的振蕩理論作為各個(gè)縱模的疊加，合成瞬時(shí)光強(qiáng)隨時(shí)間作無(wú)規(guī)的波動(dòng)，如圖所示。在這種情況下，接收器測(cè)量到的光強(qiáng)(它是在接收器響應(yīng)時(shí)間之內(nèi)的平均值）為各縱模強(qiáng)度的簡(jiǎn)單求和(即非相干疊加)。7靜止原子激光器的振蕩理論如果縱模數(shù)為N，且各縱模強(qiáng)度相等，即En=E0，則總強(qiáng)度為如果采取某種措施，使振蕩著的N個(gè)縱?；ハ嚓P(guān)聯(lián)，就是說(shuō)，設(shè)頻率等間隔分布，并有固定的相鄰縱模位相差，即對(duì)所有的n都有各縱模的相干疊加，瞬時(shí)光強(qiáng)形成了周期性脈沖序列，如圖7靜止原子激光器的振蕩理論7靜止原子激光器的振蕩理論脈沖的峰值光強(qiáng)比自由振蕩的總強(qiáng)度提高了N倍，即并且脈沖寬度變窄，因此穩(wěn)定振蕩的多模激光器當(dāng)各縱模頻率成等間隔分布并有固定位相關(guān)系時(shí)，將形成時(shí)域中的等間隔的脈沖序列，輸出這種現(xiàn)象稱為鎖模。發(fā)生鎖模的條件可歸納為(7.2.45)7靜止原子激光器的振蕩理論實(shí)現(xiàn)鎖模條件將式(7.2.39)~(7.2.41)代入式(7.2.44)，并考慮到，可得(7.2.46)式中AB=(7.2.50)7靜止原子激光器的振蕩理論于是鎖模條件可表示為：可見(jiàn)實(shí)現(xiàn)鎖模必須滿足條件(7.2.51)(7.2.52)7靜止原子激光器的振蕩理論三模自鎖當(dāng)將模式E2調(diào)諧到譜線中心的頻率時(shí)，E1和E3模對(duì)稱分布在中心兩側(cè)，因而E1≈E3，ω2-ω1≈ω3-ω2由表7-1可以看出這時(shí)σ2=0，ρ2=0，σ1=-σ3，ρ1=-ρ3，由(7.2.19)和(7.2.42)知：τ21=-τ23。可以得出兩種自鎖狀態(tài)7靜止原子激光器的振蕩理論對(duì)于其中兩個(gè)模（如E1和E2

）的相位φ1和φ1，適當(dāng)選擇初始位相，使得于是激光場(chǎng)隨時(shí)間的變化可表示為上式即表示鎖模脈沖，其周期為(7.2.54)(7.2.55)對(duì)于第一種自鎖狀態(tài)，有7靜止原子激光器的振蕩理論這樣三個(gè)模疊加也能得到周期性脈沖,如圖的虛線曲線。對(duì)于第二種自鎖狀態(tài)，有(7.2.56)7靜止原子激光器的振蕩理論后者峰值較前者為低，原因是前者是三個(gè)模同位相疊加，而后者并不完全同位相。三模干涉疊加的脈沖波形7靜止原子激光器的振蕩理論總的說(shuō)來(lái)，若E2模愈是調(diào)諧在靠近譜線的中心頻率，多縱模的強(qiáng)度愈大，非線性效應(yīng)愈強(qiáng)，則愈容易鎖模。利用激活介質(zhì)自身的非線性達(dá)到自鎖，最初在He—Ne激光器中被觀察到，之后又在CO2激光器、Ar+激光器以及固體激光器中觀察到。但這種自鎖是不容易的，要鎖定許多縱模使之達(dá)到實(shí)用要求就更不容易。自鎖往住不穩(wěn)定，各種干擾常使自鎖條件破壞并使鎖定狀態(tài)瓦解。因此，自鎖實(shí)用價(jià)值不大。7靜止原子激光器的振蕩理論對(duì)于要求鎖模運(yùn)轉(zhuǎn)的激光器，通常都是在激光器諧振腔內(nèi)人為地放置調(diào)制元件，進(jìn)行強(qiáng)迫鎖模（又分為主動(dòng)鎖模和被動(dòng)鎖模）7靜止原子激光器的振蕩理論二能級(jí)原子系統(tǒng)的薛定諤方程的解令γa=γb=γ(5.5.2）(5.5.4）(5.5.5）(5.5